定积分求极限为什么都是0到1的定义

点击联系发帖人 时间：2022-10-13 08:47

定积分求极限为什么都是0到1

1.当f（x）≥0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积；
2.当f（x）≤0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；
3.一般情况下，表示介于曲线y=f（x）、两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和。

二、“定积分”的简单性质

1.定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
2.一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
设函数f（x）在[a，b]上有界（通常指有最大值和最小值），在a与b之间任意插入n-1个分点，，将区间[a，b]分成n个小区间（i=1，2，…，n），记每个小区间的长度为（i=1，2，…，n），在上任取一点ξi，作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）（i=1，2，…，n），并求和，记λ=max{△xi；i=1，2，…，n }，如果当λ→0时，和s总是趋向于一个定值，则该定值便称为函数f(x)在[a，b]上的定积分，记为，即，其中，称为函数f(x)在区间[a，b]的积分和。
（1）（k为常数）；
（3）（其中a＜c＜b）。
定积分特别提醒：
①定积分不是一个表达式，而是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，例如：
②定义中区间的分法和ξ的取法是任意的，

}

　设在区间上非负、连续．由直线，（轴）及曲线所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边．
　　在区间内任意插入若干个分点，将分为若干个小区间．然后过每个分点作轴的平行线，将曲边梯形分割为若干个窄曲边梯形．
　　由于这些小区间很小，曲线在小区间上的变化不是很大，所以可以把每一个窄曲边梯形近似地看成是一个窄的矩形．窄矩形的底就是小区间，取小区间上任意的一点，以该点处的高作为窄矩形的高．以窄矩形的面积近似代替窄曲边梯形的面积．
　　每个窄曲边梯形的面积都用相应的窄矩形的面积来近似代替，将所有这些窄矩形的面积相加，便得到了整个曲边梯形面积的近似值．通过右图动画直观地来分析一下．　　显然，按照刚才的方法，在区间[a,b]上插入的分点越多，所得到的小矩形也越多，用所有小矩形面积之和来近似表示曲边梯形的面积，所产生的误差也越小，即，对区间的分割越细，小矩形面积之和也就越接近于曲边梯形的面积．
　　将无限细分，即使每个小区间的长度趋于零，通过这样一个极限过程，就得到了曲边梯形的面积的精确值．

　　将上面的分析过程用数学的语言描述如下．
　　（1）　分割：在内任取个分点
　　　　　　　　　　　　　　，
　　把分割成个小区间，第个小区间的长度为
　　　　　　　　　　　　　　．
　　过每一分点作平行于轴的直线，将曲边梯形分为个窄曲边梯形．

　　（2）　取部分量的近似值：在每个小区间上任取一点，作以为高，为底的窄矩形，窄矩形的面积为，则第个小曲边梯形的面积
　　　　　　　　　　　　　　

　　（3）　求和得总量的近似值：将个小曲边梯形面积的近似值相加得曲边梯形面积的近似值
　　　　　　　　　　　　　　
　　（4）　取极限（无限分细）得总量的精确值：设
　　　　　　　　　　　　　　（小区间长度的最大值），则
　　　　　　　　　　　　　　
　　这是一个特殊的和式的极限．

　　定义：定积分就是上述类型的和式的极限，记为，即　　其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间．

　　根据定义，引例中的曲边梯形的面积　　其中曲边梯形是由曲线 和直线 以及轴 所围成的．

　　（1）　当时，曲边梯形在轴的上方（如图所示），定积分表示曲边梯形的面积，即　．　　（2）　当时，曲边梯形在轴的下方（如图所示），定积分表示曲边梯形的面积的负值，即．
　　（3）　当在上有正、有负时，则由，直线以及轴所围的图形，部分位于轴上方，部分位于轴下方（如图所示）．表示的是上、下图形面积的代数和：轴上方图形的面积之和－轴下方图形的面积之和．例如出现下图所示的情况时，则有＝．

　　课堂练习：根据定积分的几何意义，试求
　　提示：在几何上表示由直线以及轴所围图形面积的代数和．请画出图形，再根据图形分析．
　　（2），并分析和之间的关系．
　　提示：在几何上表示曲线，直线，以及轴所围图形面积的代数和．请画出图形，再根据图形分析．

　　（1）在几何上表示直线以及轴所围图形面积的代数和．由于是奇函数，其图形对称于原点，所以所围图形如下图所示，在轴上方的三角形面积与在轴下方的三角形面积完全一致，从而　　（2）在几何上表示曲线，直线，以及轴所围图形面积的代数和．　　因为是单位圆在轴上方的部分，所以，；又由对称性，．
　　 可以证明：在对称区间上，若是奇函数，则，若是偶函数，则．

}

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把一个函数同坐标轴围成的曲边梯形分割成宽为无限窄，长为对应函数值的无数个矩形，所以矩形面积之和就是曲边梯形的面积，也就是那个定积分的值。

定积分的定义怎么理解？？？求指导，谢谢啦

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