这三个条件中，连续是函数最弱的性质，而导函数连续是最强的性质。它们的逻辑关系：函数的导数连续 \Rightarrow \函数可导 \Rightarrow \函数连续 之所以取单向箭头，是因为，箭头后面的每一个条件都仅仅是前一个的必要条件而不够充分，以下几个例子足以说明：函数处处可导但导函数不连续的例子：f=\begin{cases}
x^2\sin \left( \frac{1}{x} \right) \,\,\text
{当}x\ne 0\\
0
\text
{当}x=0\\ \end{cases}， 在x=0处，函数的导数显然为0，且处处可导，但是f'=\begin{cases}
2x\sin \left( \frac{1}{x} \right) -\cos \left( \frac{1}{x} \right) \,\, \text{当}x\ne 0\\
0
\text
{当}x=0\\ \end{cases}，显然 f'在 x=0处是不连续的。函数处处连续且但不可导的例子f=\left
x \right|\就是一个很典型的例子， f处处连续，但f在0处不可导。
这里还有个小知识点，Weierstrass曾构造出闭区间上处处连续但处处不可导的函数。利用贝尔纲定理，我们可以得到闭区间上处处连续但处处不可导的函数不仅存在，而且非常之多，当然这样的函数构造也很困难。}