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积分值为1。具体步骤如图
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本文是数学分析复习系列第(3)篇文章. 上一篇文章：Fiddie：数分笔记(2)——6种数项级数的收敛性证明的基本方法参考书：裴礼文、梅加强、北大数学分析习题集.主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积,
且极限 \lim\limits_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)dx 存在,
则把无穷积分定义为\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{A\to+\infty}\int_a^Af(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外, \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_a^{+\infty}f(x)dx+\int_{-\infty}^af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同: (V.P.)\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{A\to+\infty}\int_{-A}^{A}f(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a',b], (a<a'<b) 都是Riemann可积, 且极限 \lim\limits_{a'\to a^+}\int_{a'}^bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为\int_a^{b}f(x)dx=\lim\limits_{a'\to a^+}\int_{a'}^bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分 \int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}dx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;
当 p\leq 1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分\int_0^1\dfrac{1}{x^p}dx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p\geq 1 时, 该瑕积分发散.例1.3 \int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{1+x^2}dx=
\arctan x|_{-\infty}^0+\arctan x|_{0}^{+\infty}=\pi 例1.4 \int_{-1}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=
\arcsin x|_{-1}^0+\arcsin x|_{0}^{1}=\pi. 如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f\geq 0, 则无穷积分 \int_a^{+\infty}f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=\int_a^Af(x)dx 是 A\in[a,+\infty) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0\leq f\leq Mg, M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分 \int_a^{+\infty}g(x)dx 收敛时, 无穷积分 \int_a^{+\infty}fdx 也收敛.
当无穷积分 \int_a^{+\infty}fdx 发散时, 无穷积分 \int_a^{+\infty}g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)} 存在, 则(1) 当 0<l<\infty 时, 积分 \int_a^{+\infty}f(x)dx 与 \int_a^{+\infty}g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果 \int_a^{+\infty}g(x)dx 收敛, 则 \int_a^{+\infty}f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+\infty 时, 如果 \int_a^{+\infty}g(x)dx 发散, 则 \int_a^{+\infty}f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分 \int_0^{+\infty}\dfrac{dx}{e^x\sqrt{x}} 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分 \int_0^{1}\dfrac{dx}{\ln x} 是发散的.证明：注意到 \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{\ln x}=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点.
我们只需要考虑 \int_{1/2}^{1}\dfrac{dx}{\ln x}. 由于\int_{1/2}^{1}\dfrac{dx}{\ln x}=\int_0^{1/2}\dfrac{dt}{\ln(1-t)},且 \ln(1-t)\sim -t(t\to 0), 则积分 \int_{1/2}^{1}\dfrac{dx}{\ln x} 与 -\int_0^{1/2}\dfrac{dt}{t} 同敛散.
则原积分是发散的. \QED例2.4 积分 \int_0^{1}\dfrac{\ln x}{1-x}dx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 \ln x, 而在 (1/2,1) 区间内,
出现瑕点的地方是 \dfrac{1}{1-x}, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>\int_0^{1/2}\dfrac{\ln x}{1-x}dx>2\int_0^{1/2}\ln xdx,而 \int_0^{1/2}\ln xdx=x\ln x|_0^{1/2}-\int_0^{1/2}dx
=\dfrac{1}{2}\left(\ln\dfrac{1}{2}-1\right), 则 \int_0^{1/2}\dfrac{\ln x}{1-x}dx 收敛. 另一方面, \int_{1/2}^{1}\dfrac{\ln x}{1-x}dx
=\int_{0}^{1/2}\dfrac{\ln(1-t)}{t}dt,并注意到 \lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{\ln (1-t)}{t}=-1,
则 \int_{1/2}^{1}\dfrac{\ln x}{1-x}dx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+\infty) 上的积分收敛的充分必要条件是: \forall\varepsilon>0,\exists M=M(\varepsilon),当 B>A>M 时,
\left|\int_a^bf(x)dx\right|<\varepsilon. 例3.2 积分 \int_0^{+\infty}\cos x^2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+\infty) 的积分即可.
作变量代换 x=\sqrt{t}, 则\int_1^{+\infty}\cos x^2dx=\dfrac{1}{2}\int_1^{+\infty}\dfrac{\cos t}{\sqrt{t}}dt. 则 \begin{aligned}
\left|\int_A^B\dfrac{\cos t}{\sqrt{t}}dt\right
&=\left|\left.\dfrac{\sin t}{\sqrt{t}}\right|_A^B
+\dfrac{1}{2}\dfrac{\sin t}{t^{3/2}}dt\right
\\
&\leq\dfrac{1}{\sqrt{A}}+\dfrac{1}{\sqrt{B}}+\dfrac{1}{2}\int_A^Bt^{-3/2}dt \\
&=\dfrac{2}{\sqrt{A}}\to 0(B>A\to+\infty).
\end{aligned}因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+\infty) 积分存在不能推出 f(x)\to 0(x\to+\infty). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分 \int_0^{+\infty}|\cos x^2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 \cos t 的一个周期. 由于
\begin{aligned}
\int_{(m\pi)^2}^{(m\pi+\pi)^2}|\cos x^2|dx
&=\dfrac{1}{2}\int_{m\pi}^{(m+1)\pi}\dfrac{|\cos t|}{\sqrt{t}}dt \\
&>\dfrac{1}{2\sqrt{(m+1)\pi}}\int_{m\pi}^{(m+1)\pi}|\cos t|dt
=\dfrac{2}{2\sqrt{(m+1)\pi}} \\
&>\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\dfrac{1}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m+2}} \\
&=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}(\sqrt{m+2}-\sqrt{m+1}).
\end{aligned}
固定m, 取 n>m, 则
\begin{aligned}
\int_{(m\pi)^2}^{(n\pi)^2}|\cos x^2|dx
>\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}(\sqrt{n+1}-\sqrt{m+1})\to\infty(n\to\infty).
\end{aligned}
因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于
\cos x^2|\geq \cos^2x^2=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x^2),
由例3.2, 积分 \int_1^{+\infty}\cos (2x^2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当
x|\leq 1 时, 根据幂函数 y=x^{\alpha} 的性质,
必有 x^2\leq
x|\leq 1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.4 Dirichlet判别法定理4.1 [Dirichlet判别法]设 F(A)=\int_a^Af(x)dx 在 [a,+\infty) 有界,
函数 g(x) 在 [a,+\infty) 中单调, 且 \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0, 则积分 \int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx 收敛.证明：设|F(A)|\leq C, 则\left|\int_A^Bf(x)dx\right|=|F(A)-F(B)|\leq 2C, \forall A,B\geq a.又 \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0, 则 \forall\varepsilon>0,\exists M>0,
当 x>M 时,
g(x)|\leq\dfrac{\varepsilon}{4C}.
由积分第二中值定理, 当 A,B>M 时,
\begin{aligned}
\left|\int_A^Bf(x)g(x)dx\right
&=\left|g(A)\int_A^{\xi}f(x)dx+g(B)\int_{\xi}^Bf(x)dx\right
\\
&\leq\dfrac{\varepsilon}{4C}\left|\int_A^{\xi}f(x)dx\right
+\dfrac{\varepsilon}{4C}\left|\int_{\xi}^Bf(x)dx\right
\\
&\leq\dfrac{\varepsilon}{4C}2C+\dfrac{\varepsilon}{4C}2C=\varepsilon.
\end{aligned}
由Cauchy准则, 积分 \int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx 收敛. \QED例4.2 积分 \int_0^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p}dx(0<p<2) 是收敛的.证明：0,+\infty 都是瑕点. 在0处可以用等价无穷小来处理:
\lim\limits_{x\to 0^+}x^{p-1}\dfrac{\sin x}{x^p}=1, 则积分 \int_0^1\dfrac{\sin x}{x^p}dx 与 \int_0^1 \dfrac{1}{x^{p-1}}dx 敛散性相同,
由 p<2 可知 \int_0^1 \dfrac{1}{x^{p-1}}dx 收敛.在 +\infty 处, 可以用Dirichlet判别法.
由于积分 \int_1^A\sin xdx 有界(不超过2), 而 \dfrac{1}{x^p}(p>0) 单调递减趋于0, 则由Dirichlet判别法可知积分收敛. \QED注：当 0<p\leq 1 时该积分条件收敛(取 [n\pi,2n\pi] 验证, 仿照例3.3),
当 1<p<2 时该积分绝对收敛(直接放缩
\sin x|\leq 1 用比较判别法即可). 例4.3 \int_e^{+\infty}\dfrac{\ln(\ln x)}{\ln x}\sin xdx 是条件收敛的.证明：收敛性: 对 f(x)=\sin x, g(x)=\dfrac{\ln(\ln x)}{\ln x} 用Dirichlet判别法.不绝对收敛: 注意到
\sin x|\geq \sin ^2 x, 则\int_e^{+\infty}\left|\dfrac{\ln(\ln x)}{\ln x}\sin x\right|dx
\geq \int_e^{+\infty}\dfrac{\ln(\ln x)}{\ln x}\sin^2 xdx
=\int_1^{+\infty}\dfrac{e^t\ln t}{t}\sin^2(e^t)dt, 取 e^t\in\left[2n\pi+\dfrac{\pi}{6},2n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right], 则 \sin^2(e^t)\geq\dfrac{1}{4} . 于是(利用不等式 e^t\geq et )\int_{\ln(2n\pi+\frac{\pi}{6})}^{\ln(2n\pi+\frac{\pi}{2})}
\dfrac{e^t\ln t}{t}\sin^2(e^t)dt
\geq \dfrac{e}{4}\int_{\ln(2n\pi+\frac{\pi}{6})}^{\ln(2n\pi+\frac{\pi}{2})}
\ln tdt\to+\infty(n\to\infty). 由Cauchy准则, 原积分不是绝对收敛. \QED例4.4 [裴礼文, 4.5.8题]设 f(x) 在 [a,+\infty) 上可微, 且 x\to\infty 时,
f'(x)单调递增趋于 +\infty, 则 \int_a^{+\infty}\sin(f(x))dx 与 \int_a^{+\infty}\cos(f(x))dx 均收敛.证明：以第一个为例, 注意到\int_a^{+\infty}\sin(f(x))dx
=\int_a^{+\infty}f'(x)\sin(f(x))\dfrac{1}{f'(x)}dx
=-\int_a^{+\infty}\left(\cos(f(x))\right)'\dfrac{1}{f'(x)}dx.由于 \dfrac{1}{f'(x)} 单调递减趋于0, 且\left|\int_a^{A}\left(\cos(f(x))\right)'dx\right
=|\cos f(A)-\cos f(a)|\leq 2有界, 由Dirichlet判别法可知积分收敛. \QED5 Abel判别法定理5.1 [Abel判别法]如果广义积分 \int_a^{+\infty}f(x)dx 收敛,
函数 g(x) 在 [a,+\infty) 中单调有界, 则积分 \int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx 收敛.证明：设
g(x)|\leq C, 由f积分收敛,
则 \forall\varepsilon>0,\exists M>0, 当 A,B>M 时\left|\int_A^Bf(x)dx\right|\leq\dfrac{\varepsilon}{2C}. 由积分第二中值定理,
\begin{aligned}
\left|\int_A^Bf(x)g(x)dx\right
&=\left|g(A)\int_A^{\xi}f(x)dx+g(B)\int_{\xi}^Bf(x)dx\right
\\
&\leq C\left|\int_A^{\xi}f(x)dx\right
+C\left|\int_{\xi}^Bf(x)dx\right
\\
&\leq C\dfrac{\varepsilon}{2C}+C\dfrac{\varepsilon}{2C}=\varepsilon.
\end{aligned}
由Cauchy准则, 积分 \int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx 收敛. \QED注：上面证明步骤与Dirichlet判别法相似. 事实上可以直接用Dirichlet判别法推导Abel判别法:不妨设 g(x) 单调且收敛于C, 则 g(x)-C 单调趋于0. 由于广义积分 \int_a^{+\infty}f(x)dx 收敛,
则必然 \int_a^{A}f(x)dx 关于 A\in[a,+\infty) 有界, 由Dirichlet判别法可知积分 \int_a^{+\infty}f(x)[g(x)-C]dx 收敛. 因此\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx=\int_a^{+\infty}f(x)[g(x)-C]dx+C\int_a^{+\infty}f(x)dx
收敛. \QED例5.2 设 a\geq 0, 则积分 \int_0^{+\infty}e^{-ax}\dfrac{\sin x}{x}dx 收敛.证明：对 g(x)=e^{-ax}, f(x)=\dfrac{\sin x}{x} 用Abel判别法.
(Dirichlet判别法也行, 因为 g(x) 单调递减趋于0). \QED例5.3 积分 \int_1^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x^p}\arctan xdx(p>0) 收敛.证明：对 g(x)=\arctan x, f(x)=\dfrac{\sin x}{x^p} 用Abel判别法. \QED注：由这些例子可以知道, Abel判别法与Dirichlet判别法没什么很大的不同, 所以只需要牢记Dirichlet判别法即可.6 综合问题例6.1 设 f(x) 在 [a,+\infty) 上广义可积, 若 f(x) 在 [a,+\infty) 中一致连续, 则\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0. 证明：（感谢某学弟）【不正确的证明 ，并没有给出f(x)极限存在】：(反证)若 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\neq 0,
则 \exists \varepsilon_0>0,\forall M>0,\exists x_0>M (其中可以让 x_0 充分大),
使得
f(x_0)|\geq\varepsilon_0.. 不妨设 f(x_0)>0. 由一致连续性, 对于 \dfrac{\varepsilon_0}{4}, \exists\delta>0,
当
x_1-x_2|<\delta 时,
f(x_1)-f(x_2)|<\dfrac{\varepsilon_0}{4}. 因此当 x\in(x_0-\delta,x_0+\delta) 时, 有:f(x)\geq f(x_0)-|f(x_0)-f(x)|>\dfrac{3\varepsilon_0}{4}.因此 \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)dx\geq\dfrac{3\delta\varepsilon_0}{2}. 由Cauchy准则, f(x) 在 [a,+\infty) 上的广义积分发散, 矛盾. \QED例6.2 设 f(x) 在 [a,+\infty) 中连续可导,
若 \int_a^{+\infty}f(x)dx 与 \int_a^{+\infty}f'(x)dx 都收敛,
则 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0. 证明：(反证)若 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\neq 0,
则 \exists \varepsilon_0>0,\forall M>0, 当 x_1>M 时,
f(x_1)|>\varepsilon_0. 由于 \int_a^{+\infty}f(x)dx 收敛,
则对 \dfrac{\varepsilon_0}{2}, 存在充分大的 x_2, 使得
f(x_2)|<\dfrac{\varepsilon_0}{2}.
则\left|\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx\right
=|f(x_2)-f(x_1)|\geq
f(x_1)|-|f(x_2)|=\dfrac{\varepsilon_0}{2}.由Cauchy准则, \int_a^{+\infty}f'(x)dx 发散, 矛盾. \QED例6.3 设 f(x) 在 [a,+\infty) 中单调递减, 且 \int_a^{+\infty}f(x)dx 收敛. 则 \lim\limits_{x\to+\infty}xf(x)=0. 证明： f(x) 单调递减趋于0, 则 f(x)>0. 由Cauchy准则,
\forall\varepsilon>0,\exists M, 当 A>M 时有\varepsilon>\int_A^{2A}f(x)dx>f(2A)\int_A^{2A}dx=Af(2A).因此 \lim\limits_{x\to+\infty}xf(x)dx=0. \QED例6.4 设 xf(x) 当 x\to+\infty 时单调递减趋于0, 且 \int_a^{+\infty}f(x)dx 收敛. 则 \lim\limits_{x\to+\infty}xf(x)\ln x=0. 证明：和例6.3差不多, so easy.例6.5 设 f(x) 在 [a,A](A<\infty) 上均可积,
若 \int_a^{+\infty}|f(x)|dx 收敛, 且 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=L, 证明 L=0 且 \int_a^{+\infty}f^2(x)dx 收敛.证明：(1)(反证)若 L\neq 0, 不妨设 L>0. 则 \forall\varepsilon\in(0,L/2),\exists M, 当 x>M 时,
f(x)-L|<\varepsilon.
从而 f(x)>L-\varepsilon>\dfrac{L}{2}.
这会导致 \int_M^{+\infty}f(x)dx=\infty, 与 \int_a^{+\infty}|f(x)|dx 收敛矛盾. 因此只能 L=0. (2) \forall\varepsilon\in(0,1),\exists M, 当 x>M 时,
f(x)|<\varepsilon. 从而 f^2(x)<|f(x)|(<\varepsilon<1), \int_M^{+\infty}f^2(x)dx<\int_M^{+\infty}|f(x)|dx.
由Cauchy准则, \int_a^{+\infty}f^2(x)dx 收敛. \QED例6.6 [裴礼文, 4.5.9题]设 f(x) 为连续实值函数, 对所有 x, , 有 f(x)\geq 0,
且 \int_0^{+\infty}f(x)dx<+\infty. 证明: \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\int_0^nxf(x)dx=0. 提示：把积分区间拆成 [0,A],[A,n]. 例6.7 [北大, 10.1.7题]若 f(x) 为周期函数, \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx 收敛,
则 F(x)\triangleq \int_0^xf(t)dt\equiv 0, x\in(-\infty,+\infty). 提示：无.}

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展开全部答案为兀，过程如图请参考一般的广义积分都是先按照正常的积分求出原函数，然后在定义不存在的点求极限即可。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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