立体几何解答题是每年高考中必考的一道解答题，其第二问我们常用空间向量法来解决线面角二面角及距离问题，所以建立空间直角坐标系是必不可少的步骤。利用空间向量解决立体几何问题，在掌握了相应的概念和计算公式的基础上，主要突破四个大关即建系关、求坐标关、求法向量关、应用公式关。而在四关中建系是入门关，这个入门关入得好，则接下来的解答才能顺利地开展，因此，如何建立恰当的空间直角坐标系是解决立体几何问题的关键。下面就用向量法解决立体几何问题时的建系策略做一些探究。}

原题原题：如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90度，∠BCD=45度，BC=2AD。⑴求证：BD⊥PC；⑵若PC=BC，求平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦值。图一这是一个四棱锥的题，该题的第二问是让求该四棱锥两个侧面的夹角的余弦值，那该四棱锥这两个侧面所成的角怎么才能做出来呢？这两个侧面——面PAD和面PBC，它们的公共边在图中并没有展示出来，存在的只有一个交点，要知道做出两个面所成的角，是需要向两个面的公共边做垂线的，那该如何找到这两个面的公共边呢？又以什么样的原则去找呢？其实这两个面的公共边就是过点P平行边AD和BC的直线。那是不是所有的四棱锥两个侧面的公共边都是过四棱锥顶点且平行底边的直线呢？答案是否定的。那四棱锥两个侧面的交线到底满足什么条件呢？下面我们就在讲解题的过程中来详细说明。第一问第一问是要证明BD⊥PC。要想证明BD⊥PC，只需要在证明BD⊥面PDC——存在一定的转化思想，将线线垂直转化成线面垂直，再由线面垂直转化线线垂直。因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BD；图二过点D做DE∥AB，因为∠ABC=90度，所以∠DEC=90度，所以DE⊥BC。因为∠BCD=45度，在直角三角形DEC中，则有∠EDC=∠BCD=45度，所以DE=EC。因为AD=BC/2，且AD∥BC，∠ABC=90度，所以四边形ABED是矩形，所以AD=BE，所以E为BC的中点，所以BE=EC=DE=AB。在直角三角形BED中，因为DE=BE，所以∠DBE=∠BDE=45度。则在三角形BDC中，∠BDC=90度，所以BD⊥DC。因为PD和DC是面PDC中的两条相交直线，所以PD⊥面PDC，所以PD⊥PC。第二问第二问是要求四棱锥两个侧面所成的角的余弦值。这里我们需要知道这样的一个知识点：当四棱锥的底面ABCD中，有AD∥BC，则该四棱锥以这两个平行直线为侧面的两个面的公共边平行底面直线AD和BC。因为对于任意四边形ABCD中，如果AD∥BC，则都可以在这个四边形ABCD中截得一个平行四边形。这个时候，只要以该平行四边形为底，以四棱锥的顶点到底面的距离为侧棱，建立直四棱柱，则该四棱锥的顶点就是在该四棱柱上底 面上的任意一点。具体如图：图三如图三所示，无论该点P在直四棱柱的上底面上怎么移动，都可以通过P点找到一条直线和底面ABCD上的直线AD和BC平行。过P点作MN∥AD∥BC，则MN与BC共面，又因为P点在MN上，所以面MNCB就是面PBC的扩展面；同理，面MNDA就是面PAD的扩展，所以直线MN就是四棱锥P-ABCD中侧面PBC和面PAD的公共边，即交线。如果四棱锥的底面ABCD中AD和BC不平行，过点P作MN∥底面上直线BC，则该直线MN也不与AD平行，此时MN和AD是异面直线。因为MN∥BC，MN在面ABCD外，BC在面ABCD内，所以MN∥面ABCD的，且MN不平行AD，所以MN与AD是异面直线。所以四棱锥的底面ABCD中AD和BC不平行，则过AD和BC的两个侧面的交线是不能证明与底面平行的。知道这个知识点后，该第二问就可以快速解决。因为AD∥BC，且直线AD在侧面PAD中，直线BC在侧面PBC中，且面PAD和面PBC是四棱锥的两个侧面，所以面PAD和面PBC的交线平行AD和BC。所以原题过P点做MN平行AD，则MN为面PAD和面PBC的交线。因为底面ABED是矩形，所以AB⊥AD；因为PD⊥面ABCD，所以AB⊥PD；因为PD和AD是两条相交直线，所以AB⊥面PAD，且B点在面PBC上，所以A点就是面PBC上的点在面PAD上的投影，所以过点A作MN的垂线与点F，则∠AFB就是面PAD和面PBC所成的角的大小。图四设AD=1，则AD=BE=DE=EC=1，BC=2；在直角三角形DEC中，根据勾股定理有DC=√2。因为PC=BC，所以PC=2，在直角三角形PDC中，根据勾股定理有PD=√2.因为MN∥AD，所以AF⊥MN，PD⊥MN，所以四边形AFPD是矩形，所以AF平行且等于PD，AF=PD=√2.在直角三角形BAF中，根据勾股定理有BF=√3.所以cos∠AFB=AF/BF=√2/√3=√6/3.所以面PAD和面PBC所成角的余弦值为√6/3.方法二：该题也可以扩建，将四棱锥扩建成长方体的形式。以ABED为底面，以PD为侧棱建立长方体，如图所示：图五如图五所示，面PBC实际就是面A1BEP，而面PAD就是面A1ADP，所以这两个侧面PBC和面PAD的交线就是A1P，∠BA1A就是这两个侧面的夹角——也进一步的验证了我们上一步的结论。总结这道题是属于立体几何的题型，该题也可以使用向量的方法来解决。如果该题属于选择题，我们就可以直接根据上述的结论快速得出结果，节省了考试的时间，考场如战场，能用一分钟解决的题，绝不用两分钟。立体几何不会高考数学就危险，抽象线面角这样找，这类题都适用数学，立体几何高考必出题型，学会它——必杀技，再难也变简单题高中数学，知面的拓展还需知这些，万变不离其中的立体几何知识点高中数学，F点未知，如何求AF与面PAB的线面角？法向量的双重使用高中数学，给出线面角的正弦值，实则给它，向量进一步的运用}