《极值点偏移定义及判定定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极值点偏移定义及判定定理（5页珍藏版）》请在装配图网上搜索。1、1极值点偏移定义及判定定理所谓极值点偏移问题， 是指对于单极值函数， 由于函数极值点左右的增减速度不同， 使 得函数图像没有对称性。若函数 f (X)在x = 处取得极值，且函数 y = f(X)与直线y二b 交于A(X1,b) ,B(X2,b)两点，贝U AB的中点为M ( Xg ,b)，而往往x =勺 空如下图2 2所示f（x）=xeZ极值点左偏I|极值点没有偏移、极值点偏移判定方法1、极值点偏移的定义对于函数y = f (x)在区间(a, b)内只有一个极值点Xo，方程f (x)二O的解分别为为、x2，且 a :捲：x2: b , (1 )若Xl X2 =xo，则称函数 y = f (x2、)在区间(,x2)上极值点Xo偏移；(2)若x22X。，则函数y二f (x)在区间(为山2)上极值点Xo左偏，简称极值点Xo左偏；(3 )若X1x22Xo，则函数y二f (x)在区间(洛出)上极值点Xo右偏，简称极值点Xo右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理:对于可导函数y = f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点Xo，方程f (x) =0的解分别为冷X2% + x2，且 a x： X2 b， （ 1 ）若 f （二2） O，贝UX|x22:（）xo，即函数y = f（x）在区间（为図2）上极大（小）值点x0右（左）偏;(2) 0若（生_产）：o,则 乂产（：）xo，即函数y二3、f （x）在区间（Xi,X2）上极大（小）值点xo左（右）偏。极值点左偏：為+是 2兀*巴尹处切线与*轴不平厅；若八斛上凸（八町递减h则广|丑牛*若/（x）-F（ CM递增h则广$尹）仏卜0, 极值点右偏；舟+耳门心，片二玉尹处切线与x轴不半帕若Jx）凸（广婕）谨减,则厂（宁卜广（瑞二山若fx）下凸（广（工）递埔）则”土尹）广（舟）刊二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数f （x）存在两个零点Xi,X2且Xi = X2，求证：Xi x2 2xo（ xo为函数f（x）的极值点）；2若函数f （X）中存在xi ,x2且XJ x2满足fdJrfa?），求证：xi x2 2x0 （ x0为函f4、 （x）的极值点）；3.4.Xd 十 x2若函数f （x）存在两个零点Xi,X2且Xi式X2，令Xo = 2，求证：化）0 ；若函数f （x）中存在Xi,X2且Xi = X2满足f （Xi） = f （X2），令Xo二Xi ?X2，求证:f(Xo) 0、运用判定定理判定极值点偏移的方法 i、方法概述:(1 )求出函数f (x)的极值点x0 ；(2)构造一元差函数 F(X)= f(Xo X)- f (x0 - x)；(3 )确定函数F(x)的单调性；(4)结合F(0) =0,判断F (x)的符号，从而确定 f (xo x)、f(xox)的大小关系口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相5、扣，两次单调紧跟随2、抽化模型答题模板：若已知函数f (x)满足f(Xi) = f(X2)， xo为函数f (x)的极值点，求证：片 x2 : 2x0.(1 )讨论函数f (x)的单调性并求出f(X)的极值点x0 ；假设此处f (x)在(-怡)上单调递减，在(x0：)上单调递增(2 )构造 F(X)二 f(X。X)- f(X。- X)；注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)二f(x) - f(2x。-x)的形式(3 )通过求导 F(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出f(X0 X)与f(X。-x)的大小关系；假设此处F(x)在(0,=)上单调递增，那么我们便可得6、出F(x) F(X0)= f(X) - f (x)=0，从而得到：x X0时，f (X0 x)f (X -x).(4 )不妨设 Xi X ： X2，通过f (X)的单调性，f (Xi) = f (X2)， f(X0X)与 f(X0- X)的大小关系得出结论；接上述情况，由于 X - X0 时，f (X0 X) f(X - X)且 Xi X0 ： X2， f (Xj = f (X2)，故 f (Xi) = f(X2) = f X0 (X2 -X0) f X0 -(X2 -X0) = f (2X0 - X2)，又因为 Xi ： X0，2X0 -X2: Xo且 f (x)在(-：，Xo)上单调递减，7、从而得到 2X0- X2，从而Xi-X2:： 2x0得证.八，X_! +x2Xp + X2X +x2(5 )若要证明f( 12) 0 ,还需进一步讨论 -2与Xo的大小，得出-2所在的2 2 2单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.21世纪教育网版权所有此处只需继续证明：因为为 x2 ： 2x0，故Xi X2 : x0，由于f (x)在(-：,xj上单调递减，故f(Xi X2) 0 .2 )【说明】(1 )此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点,证明f (Xo x)与f (Xo -x)(或f (x)与f(2Xo - X)的大小关系；若试题难度较大，则直 接给出形如Xp x2 : 2x0或f(Xi 2X2) 0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该 小问分解为三问逐步解题.2}

1．极值的定义定义设n元函数f(X)在X0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于X0的点X，都有　f(X)<f(X0)，则称函数f(X)在点X0处取得极大值f(X0)，称点X0为f(X)的极大值点；如果对于该邻域内任何异于X0的点X，都有f(X)>f(X0)，则称函数f(X)在X0处取得极小值f(X0)，称点X0为f(X)的极小值点．2．可微函数取极值的必要条件定理设n元函数f(X)在点X0处对各个自变量的一阶偏导数都存在，且在点X0处取极值，则有(1) 点X0称为函数f(X)的驻点或稳定点，所以具有一阶偏导数的n元函数，其极值点必定是驻点．(2) 假设函数f(X)在X0处可微，X0为f(X)的驻点，如果在X0的任何邻域内既存在函数值大于f(X0)的点也存在函数值小于f(X0)的点，即X0不为极值点，则称X0为函数f(X)的鞍点。(3) 可微函数z=f(x,y)在极值点(x0,y0)处有水平切平面，且切平面方程为z=f(x0,y0).3．可微函数取极值的充分条件定理设n元函数f(X)在点X0处具有二阶连续偏导数，且记H(X0)为f(X)在点X0处的黑塞矩阵．(1) 如果H(X0)正定，则X0为f(X)的极小值点；(2) 如果H(X0)负定，则X0为f(X)的极大值点；(3) 如果H(X0)不定，则X0为f(X)的鞍点；(4) 其他情况需要另行判定(半正定，半负定)．4．二元函数极值判定的充分条件定理设二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处具有二阶连续的偏导数，且并记则有(1) 如果A>0，且AC-B2>0，则f(x,y)在(x0,y0)处取极小值；(2) 如果A<0，且AC-B2>0，则f(x,y)在(x0,y0)处取极大值；(3) 如果AC-B2<0，则f(x,y)在(x0,y0)处不取极值．(4) 其他情况需要另行判定。5．实对称矩阵的正定性相关定义及判定(1) 实对称矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零；即(2) 实对称矩阵负定的充要条件是它的奇数阶主子式小于零，偶数阶主子式大于零，即(3) 实对称矩阵正定：所有特征根大于零。(4) 实对称是半正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于等于0。(5) 实对称是半负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于等于0，并且它的所有偶数阶主子式都大于等于0；(6) 如果实对称A既不是半正定的，也不是半负定的，就称A为不定矩阵。6．条件极值相关的概念在实际中会遇到求一个函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，我们称之为条件极值问题．通常，称函数f(x,y)为目标函数，方程g(x,y)=0为约束条件，变量x,y为决策变量．相应地，把求一个函数的，只有定义域限制的（不带条件的）极值问题为无条件极值问题．7．条件极值的求解方法条件的极值问题的求解方法为无条件化的方法：(1) 一种是通过约束条件降元转换为无条件极值，也称为代入法：如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，如果由g(x,y)=0可以解出y=y(x)，则可以将条件极值问题求解转换为一元函数的无条件极值问题，即求f(x,y(x))的极值。(2) 一种方法是增元的方法，即拉格朗日乘子法：如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，可以通过令拉格朗日辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，转换为求L(x,y,λ)的无条件极值问题的必要条件得到，其中参数λ称为拉格朗日乘子．并这种将求条件极值问题转化为求拉格朗日函数的无条件极值问题的方法称为拉格朗日乘子法．(3) 二元函数的条件极值的图形化方法:即借助二元函数的等值线，考察当变量(x,y)在条件方程对应的曲线上移动时，等值线对应的函数值的变化来获取极值点位置和极值，如下图。其依据是在极值点等值线与条件方程对应的曲线相切；从而有相同的切线与法线。依据两法向量平行，对应坐标成比例，并且切点坐标满足条件方程，可以得到极值点位置与极值；并且推导得到拉格朗日乘子法。(4) 多自变量多条件的拉格朗日乘子法对于求函数f(x,y,z)在条件g(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数．L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)，将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为梯度为0，即对于求函数f(x,y,z)在条件g1(x,y,z)=0与g2(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为8．闭区域上连续多元函数最值的求解步骤第一步：找目标函数，确定定义域及约束条件；第二步：找出所有可能的驻点，驻点包括由区域内部利用无条件极值得到的驻点和边界上由条件极值得到的驻点；第三步：比较所有驻点的函数值，同时还需要考虑边界曲线的端点或者说尖点位置的函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值；另外也根据问题的实际意义来确定最值。例题与题型解析参考下面列出的课件：多元函数的极值与条件极值参考课件节选：}