设 S_n=\sum_{k=1}^n a_k^2, 则 \lim_{n\to \infty} a_n S_n=1. 由 \{S_n\} 递增知，若 \lim S_n 有限， \lim a_n=0, 所以1=\lim_{n\to \infty} a_n\sum_{k=1}^n a_k^2=\lim_{n\to \infty} a_n S_n=0\cdot \lim_{n\to \infty} S_n=0. 因此只能有 \lim_{n\to \infty} S_n=+\infty, 且\lim_{n\to \infty} a_n=\Big(\lim_{n\to \infty} a_n\sum_{k=1}^n a_k^2\Big)\cdot \lim_{n\to \infty}\frac{1}{S_n}=0.
若对 \big\{na_n^3\big\} 使用 \text{Stolz} 定理，会有\lim_{n\to \infty}na_n^3=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}^3-a_n^3}{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty}n(n+1)\Big(a_n^3-a_{n+1}^3\Big). 接下来将无法利用 S_n 处理上式，这是因为\lim_{n\to \infty} a_n\sum_{k=1}^n a_k^2=1\Longrightarrow \exists N\in \mathbb{N},\forall n\geqslant N,a_n>0; a_n^3=\left(a_n^2\right)^{\frac{3}{2}}=\left(S_n-S_{n-1}\right)^{\frac{3}{2}},\ \forall n\geqslant N. 处理过程会无比艰难！既如此，不妨将 a_n S_n 整体代入，则\lim_{n\to \infty}na_n^3=\lim_{n\to \infty}\left(a_n S_n\right)^3\cdot \frac{n}{S_n^3}\overset{\text{Stolz}}{=}\lim_{n\to \infty}\frac{1}{S_n^3-S_{n-1}^3}. 注意到\begin{align*} S_n^3-S_{n-1}^3& =(S_n-S_{n-1})\left(S_n^2+S_n S_{n-1}+S_{n-1}^2\right)\\ & =a_n^2\left[S_n^2+S_n\left(S_n-a_n^2\right)+\left(S_n-a_n^2\right)^2\right]\\ & =3\left(a_n S_n\right)^2-3a_n^3\cdot a_n S_n+a_n^6\\ & \to 3\times 1^2-3\times 0^3\times 1+0^6=3. \end{align*} 由是\lim_{n\to \infty}\sqrt[\uproot{4}3]{3na_n^3}=\sqrt[\uproot{12}3]{\lim_{n\to \infty}\frac{3}{S_n^3-S_{n-1}^3}}=\sqrt[\uproot{8}3]{\frac{3}{3}}=1. S_n:=\sum_{k=1}^na_k^2 \\
{\ }\\ {\ }\\ \lim_{n\rightarrow\infty}a_nS_n=1\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\\
{\ }\\{\ }\\
S_n^3-S_{n-1}^3 \xlongequal{{\rm Lagrange}}3\xi^2(S_n-S_{n-1})=3\xi^2a_n^2\ \ \ \
(S_{n-1}<\xi<S_n)\\{\ }\\ {\ }\\
3a_n^2S_{n-1}^2<3\xi^2a_n^2<3a_n^2S_n^2\\ {\ }\\{\ }\\
\lim_{n\rightarrow\infty}3a_n^2S_{n-1}^2=\lim_{n\rightarrow\infty}3(a_nS_n-a_n^3)^2=3;\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}3a_n^2S_{n}^2=3\\{\ }\\ \Downarrow\\ {\ }\\ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n^3-S_{n-1}^3=\lim_{n\rightarrow\infty}3\xi^2a_n^2=3\\ {\ }\\ {\ }\\ \lim_{n\rightarrow\infty}{3na_n^3}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n}{S_n^3}
\xlongequal[]{{\rm Stolz}}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n-3(n-1)}{S_n^3-S_{n-1}^3}
=1 \\ \Downarrow\\{\ }\\
\lim_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[3]{3n}a_n}=1\\ }

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