最近几天收到好几位粉丝催更新的数学知识点，因此今天着手开始更新新的知识点，今天换个科目，说说线性代数吧，关于高数与概率论，有需要的话自行查看码字不易，看完后记得点个赞加关注哈高数部分：10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）概率论与数理统计部分：10分钟掌握概率论一维随机变量及其分布问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握概率论多维随机变量及其分布问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握随机变量数字特征问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握概率论“无厘头”中心极限定理相关问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握数理统计基本概念问题（考研、期末复习均可以用）---------------分割线--------------言归正传，回到线性代数正式开始讲解之前先介绍下行列式与矩阵的区别一、行列式与矩阵的区别行列式：是一个数值，通过对 n\times n 的矩阵进行计算而得到的一个数值，行和列不相等的矩阵是无法计算出行列式的矩阵，是一个表格，一个由 n 行 m 列的数字组成的一个大表，矩阵的行和列是可以相等也可以不等的二、行列式的计算方法1、逆序数法：1）逆序：设 i,j 是一对不相等的正整数，若 i>j ，则称 (i,j) 是一对逆序2）逆序数：设 i_{1}i_{2}...i_{n} 是一组排列，该排列所含有逆序的总数称之为该排列的逆序数，记为 \tau (i_{1}i_{2}...i_{n}) 【例题】3142，45213这两个数的逆序数分别是多少？分析计算逆序数时从左往右依次取数进行逆序的判断（判断逆序时不能改变原数字的位置），最后再把总数相加即可解答3142，从左往右依次取数，首先是3，与3组成排列的有 (3,1)(3,4)(3,2) 三组数，由逆序的定义可知 (3,1)(3,2) 是逆序；其次看数字1，与1组成排列的有 (1,4)(1,2) ，无逆序，最后看数字4，与4组成的排列有 (4,2) ，该排列是逆序，故3142的逆序数为 ：2+1=3 45213，从左往右取数，4含有排列 (4,5)(4,2)(4,1)(4,3) ，5含有排列 (5,2)(5,1)(5,3) ，2含有排列 (2,1)(2,3) ，1含有排列 (1,3) ，根据逆序的定义可知45213的逆序数为： 3+3+1=7 3）逆序数计算行列式：D=\sum_{j_{1}j_{2}...j_{n}}^{}{(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}...j_{n})}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}} ，其中 a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}} 为每行每列的数字，如下：由上式可以看出，利用逆序数计算时，计算量较大， n 阶行列式计算时需要涉及到 n! 个式子，因此在实际计算过程中，仅针对三阶及三阶以下的行列式才会利用该方法进行计算，具体公式如下：一阶行列式： D_{1}=\left
a_{11} \right|=a_{11} ，如 \left
5 \right|=5 二阶行列式： D_{2}=\left
\frac{a_{11}}{a_{21}}\frac{a_{12}}{a_{22}} \right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} ，即交叉相减，如 \left
\frac{1}{2}\frac{3}{4} \right|=1\times4-2\times3=-2 三阶行列式： D_{3} 三阶公式看起来比较复杂，记得时候可以这样记，首先将行列式写两遍，再用斜对角线将数字框起来，则框起来后的式子相乘后即为上式中的每一项三阶计算方法例题如：2、代数余子式法1）余子式：将行列式 D 中元素 a_{ij} 所在的 i 行元素与 j 列元素去掉，剩下的 n-1 行和 n-1 列元素按照原来的排列次序构成了 n-1 阶行列式，称为元素 a_{ij} 的余子式，记为 M_{ij} 【例题】行列式如下，求 M_{11},M_{23} 解答：M_{11}为去掉第1行第1列元素后的2阶行列式 \left
\frac{-2}{4}\frac{3}{8} \right|=-16-12 =-28 M_{23}为去掉第2行第3列元素后的2阶行列式 \left
\frac{3}{2}\frac{2}{4} \right|=12-4=82）代数余子式： A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} 为元素 a_{ij} 的代数余子式3）代数余子式求行列式：行列式等于行列式某行（某列）元素与其对应的代数余子式乘积的和，即D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} (i=1,2...,n) 或D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}(j=1,2...,n)【例题】求下列行列式分析：利用第一行进行展开，先求出 M_{11},M_{12},M_{13} ，再利用A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}求出 A_{11},A_{12},A_{13} ，再利用公式 D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} 即可求出行列式解答：M_{11}= \left
\frac{-2}{4}\frac{3}{8} \right|=-16-12 =-28 M_{12}= \left
\frac{1}{2}\frac{3}{8} \right|=8-6 =2 M_{13}= \left
\frac{1}{2}\frac{-2}{4} \right|=4+4 =8 A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=-28A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-2 A_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=8 D=3\times(-28)+2\times(-2)+8=-803、化为上下三角法求解行列式1）上下三角行列式该方法是将初始行列式经过一系列变化，变化成上面（或下面）三角都为0的行列式，而后行列式等于对角线数字相乘那么在此之前需要先了解下行列式的基本变化2）行列式计算性质行列式与转置行列式相等（行和列对换），即 D=D^{T} 行列式中对调两行（或两列），行列式改变符号行列式某行（或某列）有公因子的可以提取至行列式外部行列式中某行（或某列）元素全为0，则该行列式为0行列式中某行（或某列）相同或成比例，则该行列式为0行列式的某行（或某列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即行列式的某行（或某列）的倍数加到另一行（或列）时，行列式不变，即【例题】求下列行列式分析：先行将第二行换至第一行，再利用行列式的加减性质进行计算解答：4、分块矩阵求解行列式一个 n 阶行列式内部的数字可以直接进行切块，切成4个方阵，当切成后的方阵含有0矩阵，则可以采用下列计算方法进行计算如下：三、特殊行列式计算1、范德蒙行列式：2、每行（或每列）数字之和相等的行列式该类行列式的解法是先将所有行加到第一行后，这时第一行的数相同，可以提取公因子 k ， k 提取后第一行的数全部变为1，再用每一行减去第一行，这时就会变成上三角的行列式，可以直接利用对角线相乘【例题】3、爪式行列式爪式行列式是仅对角线、第一行及第一列数字为非0数字，其他全为0的行列式【例题】求解下述行列式解答：第一步用第一行分别减去第二行的2倍，第三行的3倍，第四行的4倍...第n行的n倍，依次消去第一行除第一个数外的其余数字，化成下三角形式第二步利用下三角行列式求解法进行求解，结果为 1-2^2-3^3-...-n^2 4、除对角线外均为定值的行列式【例题】求解下述行列式解答：第一步是将所有行减去第一行，形成一个类爪式行列式的形式：第二步将第一列依次加上各列的 \frac{a_{1}}{a_{2}} 倍，\frac{a_{1}}{a_{3}} 倍，\frac{a_{1}}{a_{4}} 倍...，\frac{a_{1}}{a_{n}} 倍，从而消去第一列除第一个数外的其余数字，变成上三角形式第三部利用上三角行列式方法进行解答，结果为 (1+a_{1}+\frac{a_{1}}{a_{2}}+\frac{a_{1}}{a_{3}}+...+\frac{a_{1}}{a_{n}})a_{2}a_{3}...a_{n} 四、行列式的应用—克莱姆法则对方程组其中（Ⅱ）称为非齐方程组，（Ⅰ）称为（Ⅱ）对应的齐次方程组或（Ⅱ）的导出方程组，令其中 D 称为系数行列式，则定理1：（Ⅰ）只有零解的充要条件是 D\ne0 ；（Ⅰ）有非零解（或无数个解）的充要条件是 D=0 定理2：（Ⅱ）有唯一解的充要条件是 D\ne0 ，且 x_{i}=\frac{D_{i}}{D} (i=1,2,3...n) ；当D=0时，（Ⅱ）要么无解，要么有无穷多个解克莱姆法则的应用在这里直接背下就好了，后面讲解方程组的时候会再详细进行重点介绍 码字不易，看完请点个赞~}