置 f(x):=(1+x)^{\frac{1}{x}}, 则所求极限为 L:=\lim_{x \to 0}\frac{f(\sin x)-f(\tan x)}{x^3}.\\ 依 \text{Lagrange} 中值定理，有 f(\sin x)-f(\tan x)=f'(\xi)(\sin x-\tan x), ~~~\sin x\gtrless\xi\gtrless \tan x,\\ 于是 L:=\lim_{x \to 0}\frac{f'(\xi)(\sin x-\tan x)}{x^3}=-\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}f'(\xi).\\ 当 x\to 0 时， \sin x,\tan x\to0, 于是 \xi\to 0. 同时注意到 \begin{align*} \lim_{x \to 0}f'(x)&=\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}(x-\ln(1+x)-x\ln(1+x))}{x^2(1+x)}=-\frac{{\rm e}}{2}, \end{align*}\\ 于是 \lim_{x \to 0}f'(\xi)=\lim_{\xi\to 0} f'(\xi)=\lim_{x \to 0}f'(x)=-\frac{\rm e}{2}.\\ 所以 L=\frac{\rm e}{4}.\\ }

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