不用记那么多，记一个就行了。考虑欧拉公式 e^{i\theta}=\cos(\theta) +i\sin(\theta)
,i=\sqrt {-1} 两边平方，虚实对应：\begin{array} {1} (e^{i\theta})^2 =e^{i2\theta} =\color {red}{\cos2\theta} +i\color {blue}{\sin2\theta}\\
=(\cos\theta +i\sin\theta)^2\\
=(\color {red}{\cos^2\theta-\sin^2\theta}) + i\color {blue}{2\sin\theta \cos \theta}\\
\end{array} 这就是倍角公式。更一般地， \color {}{\cos(\phi\theta) +i\sin(\phi\theta) =(\cos\theta + i\sin\theta)^\phi}这就是传说中的 棣莫弗定理。此外，我们可以用旋转矩阵描述n倍角：R=\begin{pmatrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta & \cos \theta \end{pmatrix}
几何意义就是逆时针旋转二维坐标系，转多少次就几次幂，转一圈就是 2\pi ，所以当\theta=2k\pi , k\in \Z
时， R=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} ，此时为单位矩阵（就是把两个坐标基向量拼在一起），互相垂直（专业术语叫正交），这两个基向量的线性组合可以张成整个平面，线性代数会学。那半角怎么算呢?也很简单，用上面二倍角的公式代换一下：\begin{cases}
\cos\theta =
\cos^2\frac {\theta}{2} - \sin^2\frac {\theta}{2} \\ \sin\theta
=
2\sin\frac {\theta}{2} \cos \frac {\theta}{2}
\end{cases}
到这步别急着解，其实还有一个条件： x^2+y^2=1 ，解得： \begin{cases} \sin \frac {\theta}2= \sqrt{ \frac{1+\cos\theta}{2} }
\\ \cos \frac {\theta}2=\sqrt{ \frac{1-\cos\theta}{2} }\\ \end{cases} （感谢评论区提醒，这两个写反了，但我手机没latex改不了，朋友门注意交换一下）倍角你会，但如果要任意缩小一个角呢？还是棣莫弗定理，这里介绍“单位根”：解方程 x^{n}=1 。根据代数基本定理，这东西有n个复根，他们分别是： e^{\frac {2k\pi}{n}i}=\cos(\frac{2k\pi}{n})+i\sin(\frac{2k\pi}{n}),k=0,1,2,...,n-1. 这些根都落在复平面的单位圆上，也就是把一个360度分成了n份。为什么叫单位根，因为这些根离原点的距离都是1不禁让人联想起想起割圆法(其中 x=1 是一个不动的根)。再来看大家最喜闻乐道的和差角公式 \begin{array}{} e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta} \\ =[\cos(\alpha)+ i\sin(\alpha)][\cos(\beta ) + i\sin(\beta)]\\ =[\color {blue}{\cos(\alpha)\cos(\beta)- \sin(\alpha)\sin(\beta)}]+ i[\color {red}{(\sin(\alpha)\cos(\beta)+ \cos(\alpha)\sin(\beta)}] \end{array} 差角公式就直接把 \beta 变成负的，在数学里面只需要加法不用减法。[\color {blue}{\cos(\alpha)\cos(\beta)- \sin(\alpha)\sin(-\beta)}]+ i[\color {red}{(\sin(\alpha)\cos(\beta)+ \cos(\alpha)\sin(-\beta)}]e^{i(\alpha+\beta+\gamma)} ，你初中学三角函数在百度上搜了觉得很高大上的“三角和公式”（好牛逼），现在会随便推了吧？还可以这样 e^{i(x_1+x_2+...+x_n)}=e^{i\vec x}
（后面有机会补充高斯积分）我们再回过头看欧拉公式，两边同时取倒：\begin{array}{} e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) \\ (e^{ix})^{-1}=e^{i(-x)} =\cos(-x)+i\sin(-x)\\ =\cos(x)-i\sin(x)
\end{array} 于是我们得到了一个很漂亮的方程组：\begin{cases} e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) \\ e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)\\ \end{cases}
实部相同，虚部相反——共轭。两边乘起来试试，得到我们最熟悉的东西：\begin{array}{} \color {red} {e^{ix}\cdot e^{-ix}=1}=(\cos(x)+i\sin(x))(\cos(x)-i\sin(x))
\color {green}{=\cos^2(x)+\sin^2(x) } \end{array} 当然，我们也可以直接把3个三角函数表示出来： \begin{array}{} \color {red} {\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}} \\ \color {blue} { \sin(x)= \frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}} \\ \color {green}{\tan(x)=\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i(e^{ix}+e^{-ix})}} \end{array}
不急，之后解\cos(x)=2 这种超越方程你就知道怎么用了。很多人高中必修一学函数奇偶性的时候都遇到过类似的形式： f(x)=\frac {e^{x}+e^{-x}}{2} ，只不过当时大家都嫩，只知道 f(x)=f(-x) ，但从没想过把它的奇偶性和 \cos(x) 产生关联：f(\color{green}ix)=\frac {e^{\color{green}ix}+e^{-\color {green}{i}x}}{2}=\color {red} { \cos(x)} OKOK，变来变去有啥用呢？最大的用就是让你不再觉得sin和cos只是两根弯弯曲曲的东西。横看成岭侧成峰，远近高低各不同。——苏轼做道题休息一下吧，算一下 \cos1^{\circ}+\cos2^{\circ}+...+\cos360^{\circ}看起来有点吓人。我们想把 e^{i\theta}=\color{red}{\cos\theta}+i\color{blue}{\sin(\theta)} 的实部和虚部提取出来单独研究，那么引入两个函数他们的作用是取实部和取虚部：\begin{array}{} \Re(e^{i\theta})=\color {red}{\cos(\theta)} , \Im(e^{i\theta})=\color{blue}{\sin(\theta)} \end{array} 看看这个函数有啥性质\begin{array}{} e^{ix}+e^{iy}=\Re(e^{ix})+\Re(e^{iy})+i[\Im(e^{ix})+\Im(e^{iy})]\\ \Re(e^{ix}+e^{iy})=\Re(e^{ix})+\Re(e^{iy})\\ \Im(e^{ix}+e^{iy})=\Im(e^{ix})+\Im(e^{iy}) \end{array} 太棒了，线性！\begin{array}{}
\color {red}{\Re(x)+\Re(y)=\Re(x+y)\\ \Im(x)+\Im(y)=\Im(x+y)\\ }\end{array} 回到题目， \cos k^{\circ}=\Re(e^{i \cdot k\frac {\pi}{180}}) ，那么 \begin{array}{} \cos1^{\circ}+\cos2^{\circ}+...+\cos360^{\circ}
=\sum\limits^{360}_{k=1} \cos k^{\circ} =\Re(\sum\limits^{360}_{k=1}e^{i\cdot k\cdot \frac{\pi}{180} } ) \\ \end{array} 里面是个几何级数，展开：\begin{array}{} e^{i \cdot
\frac{\pi}{180}}+e^{i \cdot
2 \frac{\pi}{180}}+...+e^{i \cdot
360\frac{\pi}{180}}
=e^{i \cdot \frac{\pi}{180}} \cdot \frac {(e^{i \cdot \frac{\pi}{180}})^{360}-1}{e^{i \cdot \frac{\pi}{180}} -1}
\end{array} 高中学了等比数列求和应该看得懂，公式 a_n=a_1 \frac{a^n-1}{a-1} 。 注意， \color{red} {(e^{i \cdot \frac {\pi}{180} } )^{360}=e^{2\pi i}=1} ，所以 \Re 里面一堆直接得0， \Re(0)=\cos(2k\pi)=0 ，实数部分为0（k全部指整数）完全一样的思路：\begin{array}{}
\sin1^{\circ}+\sin2^{\circ}+...+\sin360^{\circ}
\\ =\sum\limits^{360}_{k=1} \sin k^{\circ} \\ =\Im(\sum\limits^{360}_{k=1}e^{i\cdot k\cdot \frac{\pi}{180} } ) \\=\Im(0)=0 \end{array} 这两个函数可以推出各种各样的和差化积之类的东西，你可以自己试试。如果真的吃透了上面的东西，再去审视那些带着各种炫酷名字的奇形怪状的你一辈子用不到一次的“公式”，你甚至会觉得是江湖骗子在故弄玄虚。7.12更新。下面我们要拿欧拉公式搞点事情，从另外一个角度看三角函数：我们一直在用欧拉公式，隐隐约约感觉到 \sin(x),\cos(x) 只不过是提线木偶，背后肯定有一些东西驾驭它们，显然这个幕后boss就是 e^x 。但它到底是啥？或者说怎么理解一个函数“求导之后等于自身”，即 (e^x)^{'}=e^x ？我们规定 \begin{array}{} (c)^{'}=0 ,(x^n)^{'}=nx^{n-1} \\
\end{array} ,用多项式来表示e^x：如果函数是有限次（比如100次），在101次求导后就会变成0，所以这个函数必须是无限次.第二，每次求导会产生一个系数（100次求导）：f(x)=x^{100} \\ f^{(100)}(x)=100 \cdot99\cdot98...\cdot2\cdot1=100! 要想保持不变，那必须能把降下来的系数给抵消:f^{(100)}(x)=\frac {x}{100!} 最后,被降阶的项总能被替补掉，于是我们构造了唯一符合条件的多项式和：\color{green}{e^x=\frac{x^0}{0!}+\frac {x^1}{1!}+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!}+...} \\
这就是 e^x 的泰勒级数展开。若 x=1 则为 e 本身：\\ e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+... 再看欧拉公式：e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta 代入 i ， i^4=1 ，四次一个周期：\begin{array}{} e^{ix}=\frac{(ix)^0}{0!}+\frac {(ix)^1}{1!}+\frac {(ix)^2}{2!}+\frac {(ix)^3}{3!}+\frac {(ix)^4}{4!}+\frac {(ix)^5}{5!}+\frac {(ix)^6}{6!}... \\
=\color{red}{{}\frac{x^0}{0!}}\color{blue}{+i\frac {x^1}{1!}}\color{red}{-\frac {x^2}{2!}}\color{blue}{-i\frac {x^3}{3!}}+\color {red}{\frac {x^4}{4!}}+\color{blue}{i\frac {x^5}{5!}}\color{red}{-\frac {x^6}{6!}}... \end{array} \color{red}{\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}...} \color{blue}{\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}...} 这就是 \sin(x),\cos(x) 的泰勒展开。我们知道x=k\pi,k=0,\pm1,\pm2... 时， \sin(x)=0 所以它可以被因式分解成无限项相乘：\sin(x)=x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)... 但只能这样分吗？\begin{array}{} \sin(x)&=x(1+\frac {x}{\pi})(1-\frac {x}{\pi})(1+\frac {x}{2\pi})(1-\frac {x}{2\pi})(1+\frac {x}{3\pi})...
\\& \end{array} 它们完全等价的。刚才得到 \sin(x) 的泰勒展开：\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}... 假设 x\ne0 ,同时把 x 除到左边去，最终得： \color{red}{\\1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}...=(1-\frac {x^2}{\pi^{2}})(1-\frac {x^2}{2^2\pi^{2}})(1-\frac {x^2}{3^2\pi^{2}})... } 接下来要进行一个很妙的操作：右边展开，但不完全展开.先定义一下看着头晕的的系数：a=-\frac {1}{\pi^2},b=-\frac {1}{2^2\pi^2},c=-\frac {1}{3^2\pi^2},d=-\frac {1}{4^2\pi^2}...
现在展开！\begin{array}{1} \frac{\sin(x)}{x} &=&(1+\color{}ax^2)(1+bx^2)(1+cx^2)(1+dx^2)...\\ &=&(1+\color{}{(a+b)}x^2+\color{}{ab}x^4)(1+cx^2)(1+dx^2)...\\ &=&(1+\color{}{(a+b+c)}x^2+\color{}{(ab+ac+bc)}x^4+\color{}{abc}x^6)(1+dx^2)...\\
\end{array}
找到什么规律没？屏住呼吸，前方高能：\begin{array}{1} 1\color{red}-\frac{x^2}{\color{red}{3!}}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}... &=&(1+\color{red}ax^2)...\\ &=&(1+\color{red}{(a+b)}x^2+\color{}{ab}x^4)...\\ &=&(1+\color{red}{(a+b+c)}x^2+\color{}{(ab+ac+bc)}x^4+\color{}{abc}x^6)...\\
\end{array}
比较二次项系数，发现了神奇的事情。\\ -\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{2^2\pi^2}-\frac{1}{3^2\pi^2}...
嗯嗯嗯？\\ \color{blue}{\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}...}
\\\zeta(2)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}=\frac{\pi^2}{6} 这就是欧拉在1735年对巴塞尔问题的证明全过程。这个弯弯是黎曼无限级数，里面是什么数字就是几次，比如再来个好玩的 \zeta(-1) \begin{array}{} \\ \zeta(-1)&=&1+\frac{1}{2^{-1}}+\frac{1}{3^{-1}}+\frac{1}{4^{-1}}+\frac{1}{5^{-1}}... \\&=&1+2+3+4+5... \end{array} 嘿嘿，全体自然数之和～——————————————————————7.14更新。接下来我们回到三角函数。但稍微复杂一些，考虑两个余弦波的叠加：f(t)=A\cos \left( \omega t+\phi _{1}\right) +B\cos \left( \omega t+\phi _{2}\right) . 相同频率，不同振幅、不同相位，请问他们叠加之后还是一个三角波吗？是！前面我们定义的函数武器就要发挥作用了。用欧拉公式进行复形式变换：\begin{aligned}f(t)=A\cos \left( \omega t+\phi _{1}\right) +B\cos \left( \omega t+\phi _{2}\right) .\\ =\Re \left( Ae^{i\left( \omega t
+\phi _{1}\right) }\right) +\Re\left( Be^{i\left( \omega t+\phi _{2}\right) }\right) \\ =\Re \left( Ae^{i\omega t}e^{i\phi _{1}}+Be^{i\omega _{\cdot }t}e^{i\phi _{2}}\right) \\ =\Re ( e^{i\omega t }\cdot \left( Ae^{i\phi _{1}}+Be^{i\phi _{2}}\right) \end{aligned} 这一步很了不起，我们把不受影响的 \omega t 独立了！接着全部展开：\Re\left[ \left( \cos \left( \omega t\right) +i\sin \left( \omega t\right) \right) ( A\cos \phi _1+B\cos \phi _{2}+i\left( A\sin \phi _{1}+B\sin \phi _{2}\right) \right] \ 只取实部， \cos \left( \omega t\right) \left( A\cos \phi _1+B\cos \phi _{2}\right) -\sin \left( \omega t\right) \begin{pmatrix} A\sin \phi _{1}+B\sin \phi _2 \end{pmatrix} 这个式子眼熟吗？\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta 考虑构造它。先令x=A\cos \phi_1+B \cos \phi_2\\ y=A\sin \phi_1+B\sin \phi_2 我们发现 x^2+y^2=A^2+B^2 ，为了满足cos和sin平方和为1，则令：\begin{cases}\cos \varphi =\dfrac{A\cos \phi _{1}+B\cos \phi _{2}}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\ \sin \varphi =\dfrac{A\sin \phi _1+B\sin \phi _{2}}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\end{cases} 这个角 \color {red}\varphi
就是我们构造出来为了合并的辅助角。把除下来的 \sqrt {A^2+B^2} 给人家还回去：\begin{array}{}f\left( t\right) =\sqrt{A^{2}+B^{2}}\left( \cos \left( \omega t\right) \cos \varphi -\sin \left( \omega t\right) \sin \varphi \right) \\ =\sqrt{A^{2}+B^{2}}\cos \left( \omega t+\varphi \right) \end{array} 其中新相位 \begin{aligned}\varphi =\tan ^{-1}\left( \dfrac{\sin \varphi }{\cos \varphi }\right)
=\tan ^{-1}\begin{pmatrix} \frac{A\sin \phi _{1}+B\sin \phi _{2}}{A\cos \phi _{1}+B\cos \phi 2}
\end{pmatrix}\end{aligned} 新振幅 A_{new}=\sqrt{(A\cos\phi_1+B \cos \phi_2)^2+(A\sin\phi_1+B \sin \phi_2)^2} 你可以自己试试推倒正弦波叠加？记住： \sin ^2x+\cos^2x=1 的本质是由欧拉公式得到的共轭乘积：\begin{array}{} e^{-ix} \cdot e^{ix} \\=(\cos x+i\sin x)(\cos x-i\sin x) \\=\cos^2x+\sin^2x \\=1 \end{array} 有个非常妙结论，任何周期函数都能拆成三角波；但更夸张的是，即便不是周期函数也行。抱歉呀，本来打算一直更的，但最近在备考就没时间。考完以后继续哦～}