1、第三章第三章 时时 频频 分分 析析 v 3.1 引言引言 v 3.2 短时傅里叶变换短时傅里叶变换v 3.3 Gabor变换变换v 3.4 小波变换小波变换v 3.5 Wigner-Ville分布分布v 3.6 Cohen类时频分布类时频分布v 3.7 HHT变换技术变换技术3.1 引言Fourier变换和反变换对信号或频谱的全局变换。对时变信号，由傅立叶变换求出的频率将不能反映出信号频率随时间变化的特性。 *22,( ),( ),defjftjftf xg xf x gx dxS fs tes tS fe-101Real partSignal in time0797515951Linear2、 scaleEnergy spectral density5010015020025030035000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=48, Nf=192, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz1121232sin(), 01( )sin(),1sin(),1nnNx nn NnNnNnN ( )( ,)s tS t fs ts ts ts t如何建立起和之间的变换关系？采用信号的局部变换方法：信号的局部变换取信号的局部，核函数无穷长或信号的局部变换取信号的全部，核函数局域化3.2 短时傅里叶变换STFT的定义STFT的时间3、、频率分辨率STFT的性质STFT反变换离散STFT1 1、连续短时傅里叶变换的定义、连续短时傅里叶变换的定义 *-j2*j2j2,STFT ( ,)( )() e(),e, ()e,( )fuzfufut ft fz u g utduz u g utz ug utz ugu tg ut不断地移动 ，即不断地移动窗函数的中心位置，取出信号在分析时间点 附近的傅立叶变换（称之为“局部频谱”）。 2j2j2,-j2*j2ee1STFT ( ,)ee2jvf tfuvut fftvtzGvg utduG vf eG vft fZf Gvfdv频域加窗：2 2、 STFTSTFT的时间、频率分辨率的时4、间、频率分辨率 由定义可知，STFT实际分析的是信号的局部谱，局部谱的特性决定于该局部内的信号，也决定于窗函数的形状和长度。 ,022222,022222,()
( )|( )|,11()
( )|( )|22t fut ft ft fguututguduug uduGvvffGdGd 基函数的时间中心为时宽为基函数的频率中心为带宽为时宽和带宽与时间中心和频率中心无关，不管移到何处，时频平面的分辨率不变。 00000-j2-j200j2-j2j2-j201( )STFT ( ,)()ee( )2( )eSTFT ( ,)e()ee( )fufuzf ufftf ufuzz uuut fuu5、g utdug utSTFTg uz ut fg utduG ffSTFTg uG f、令，则的时间分辨率由窗函数的宽度决定。、令，则的频率分辨率由的频谱的宽度决定。 1( )1,STFT ( ,)zg uuG fft fZfSTFTFT例 、若,则，则即减为简单的，不能给出任何时间定位信息。-0.500.5Real partSignal in time084168Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Tim6、e sFrequency Hz图2.1.3 窗函数无限宽时STFT缺少时域定位功能注：见胡广书现代信号处理教程图2.1.3 -j22( )STFT ( ,)( )eSTFT ( ,)( )ftzzg uut fz tSTFTt fz tSTFT例 、令，则可实现时域的准确定位，即的时间中心就是的时间中心，但无法实现频域的定位。-0.500.5Real partSignal in time084167Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=0, Nf=64, lin. scale, con7、tour, Thld=5%Time sFrequency Hz图2.1.4窗函数无限窄时STFT缺少频域定位功能 注：见胡广书现代信号处理教程图2.1.4-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear sca8、leEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz图2.1.5窗函数宽度对时频分辨率的影响 注：见胡广书现代信号处理教程图2.1.5（a）窗函数宽度为55 （b）窗函数宽度为13 v 由于受不定原理的制约，窗函数的有效时宽和带宽不可能同时任意小，窗宽应该与信号的局域平稳长度相适应。v 对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。 *z t g tZfG f3 3、 短时9、傅里叶变换的性质短时傅里叶变换的性质（1）. 线性性质 设 z(n)=cx(n)+dy(n), c,d 为常数, 则 STFT ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)zxyt fct fdt f（2）. 频移性质调制特性（频移不变性）设 , 则 0j2( )( )ef tz tz t0STFT ( ,)STFT ( ,)zzt ft ff（3）. 时移特性（时移无不变性）00-j20( )()STFT ( ,)eSTFT (,)t fzzz tz ttt fttf设证明 0000*-j20-j2()-j2*000-j2*-j20-j20STFT ( ,)z()()ez()()-)ee( 10、-)eeeSTFT (,)fuzf u tftftfuftzt fu-t g utduu-t gutt -tduz ug ut -tduttf4 4、短时傅里叶反变换、短时傅里叶反变换 j2-j2*( )( ,)edtdeddtdtdtdtdtdtfuzf tup uSTFT t futffz tgttutz tgttuttuz ugututz ugttp uz u 设重构公式为当时，称这样的重构为“完全重构”。 *2j2 dt 1,dt 1( ,) edtd f tzSTFTgttttg tg tSTFTz tSTFT tfg ttf 的完全重构条件：满足上述条件的综合窗函数可以选择为则广义11、反变换为：5 5、离散短时傅里叶变换、离散短时傅里叶变换 *-j2j2( ,),0,0( , )(,),( , )e( , )e,znFkknFkmnSTFT t fmT nFTFSTFT m nSTFT mT nFSTFTSTFT m nz k gkTmTSTFTz kSTFT m nkTmTkg kSTFT 将在等间隔时频网格点处采样，其中分别是时间变量和频率变量的采样周期，引入符号可以得到离散化形式：广义反变换离散化形式为：若选择则离散反变 j2( , )enFkmnz kSTFT m n g kTmT 换为：谱图：一般把短时傅里叶变换模的平方称为谱图，它是一种能量分布函数，不服从线性叠12、加原理，两个信号之和的谱图并不等于它们分别的谱图的和，还存在第三项即交叉项。22*-j2SPEC ( ,)
SPEC ( ,)|( )() efuxxttz u g utdu121212121222222STFT ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)SPEC ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)SPEC ( ,)STFT ( ,)STFT ( ,)2STFT ( ,) STFT ( ,) cos( ,)( ,)xxxxxxxxxxxxxtatbttatbttatbtabtttt ),(STFT(Arg),(),(STFT(Arg),(2211ttttxxxx3.3 Gabor13、变换早在1946年，Gabor就提出可以用二维的时频平面上离散栅格处的点来表示一个一维的信号，即 2( )( )()( )( ),( )mnmnmnjnFtmnmnmnmntagtag tmT eTFaGaborg tgtm nGaborg t 时间采样间隔； -频率采样间隔；展开系数；母函数；阶基函数，它是由做移位和调制生成的。222,(),(),.jfmTmjfmTmjmTfnFtmnmnt fA t f G t ft ftmT eG t fg tmT eA t fa e 其中，注：见胡广书现代信号处理教程图2.4.2111GaborTFGaborGabor临界采样展开欠采样展开过采样展开14、 1981mnmnmnmnGaborGaboraBastiansttaGabor有关展开的研究主要围绕在系数求解方向，直到年提出用建立辅助函数或对偶函数求解的方法之后，对展开的研究才引起人们的兴趣。Gabor展开：用展开系数表示出原信号的过程；Gabor变换：由信号求展开系数的过程。Gabor展开的关键是窗函数g(t)和辅助函数(t)的选择。临界采样Gabor展开与变换 2*2*2,()1,jfmTmjnFtmnmnjnFtmnt ftmT et fGt fFTt fA t f G t ftGaborattmT edttt dtttmT e引入辅助函数：使得由得的变换式为其中， Gabor变换15、： g(t)和(t)的关系完全重构公式： *2( )( )( )( )( )( )mnmnmnmnmnmnmnmnmnmnmnjnFttttgt dttgttdtttgttgttttg ttmT edtmn 如果上式对所有时间 恒成立，就称信号是完全重构的。此时要求和满足完全重构公式或双正交关系 g(t)和(t)的关系对偶关系： 2*2*( )( )()mnmnmnjnFtmnmnjnFtmnmnmnmntatatmT eat gtmT edtt gt dttg ttgtGabor 是的对偶函数，是的对偶基函数。Gabor变换与STFT的区别与联系：STFT的窗函数必须是窄窗，而Gabor变换16、的窗函数无此限制，可以将Gabor变换看成是一种加窗的傅立叶变换，它的适用范围比STFT适用范围更广泛；STFT(t,f)是信号的时频二维表示，Gabor变换系数相当于信号的时间移位-频率调制二维表示。3.4 小波变换引言连续小波变换离散小波变换1、 引 言 在80年代后期及90年代初期所发展起来的小波变换理论已形成了信号分析和信号处理的又一强大的工具。 传统的傅里叶变换相比，小波变换是一个时间和尺度上的局域变换；加窗傅立叶变换是以固定的滑动窗对信号进行分析，随着窗函数的滑动，可以表征信号的局域频率特性。 小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解，运用小波基，可以提取信号中的“指17、定时间”和“指定频率”的变化 。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”。 短时傅立叶变换在时频平面各处的分辨率都相同，可以用时频平面的相等网格表示。注：见张贤达现代信号处理图6.5.1 小波基函数的包络随尺度参数的变化而变化，可以实现时频平面的多分辨率分析。注：见张贤达现代信号处理图6.5.22、 连续小波变换连续小波变换小波变换的特点连续小波变换的性质小波反变换及小波容许条件v 连续小波变换（CWT） 连续小波变换的定义 设x(t)是平方可积函数，记作 ，则x(t)的连续小波变换可以定义为： )()(2RLtx*1( , )( )d( ),( )0sabtbWT a bs tts ttaaa其中18、，a0 被称为尺度因子，b反映小波函数在变换中的位移，(t)称为基小波或“母小波函数”， 是母小波经移位和伸缩所产生的一组函数，称为小波基函数，或简称小波基。 ( )abt,1( )()a btbtaa 定义式的说明： （1） 基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达式为 tjTtt02ee)(/它是在高斯包络下的负指数函数。 （2）时移b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，即时间中心； （3） 尺度因子a的作用是将基小波作伸缩变换，在不同的尺度因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽。 ( ) t()tbb(),2tbaabttt2a4a3aabab 由此，小波变换可以理解为用一组19、分析宽度不断变化的基函数对信号进行分析，这一变化正好适应了对信号分析时在不同频率范围需不同分辨率这一基本要求。 注：见胡广书现代信号处理教程图9.1.1（4） 在ab前面所加的因子的作用是保证在不同的尺度因子下的小波函数的能量保持一致。 设E=|(t)|2 dt作为基本小波的能量，则对基本小波进行移位和伸缩后得到的ab(t)的能量为 a/1 22211dddtbtbEttttEaaaa 连续小波变换的频率域表达式 在定义了连续小波变换后， 对该表达式进行傅里叶变换, *j,1WT ( , )( ),( )( )()ed22bxa baa bSS a ,1( )()( )()FTj ba ba 20、btbtaaeaa 由Parseval定理 如果()是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信号S()频域上局部性质的能力。 小波变换在对信号分析时有如下特点： 当a变小时，对x(t) 的时域观察范围变窄，但对X () 在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动。 反之，当a 变大时，对x(t) 的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动。注：见胡广书现代信号处理教程图9.2.102004006008001000-202 signal noissin02004006008001000-101 a=202004006008001000-2002021、 a=128n 小波变换的特点小波变换的特点 小波变换的时频关系受不确定原理的制约，在时频平面上的分析窗是可调的，但分析窗的面积保持不变。 采用不同的尺度a作处理时，各个(a)的中心频率和带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率带宽”为常数。00000( ),( ),( ),( )()/ ,/( ),/QtttttttataaaaaaataaQ 若的时间中心是时宽是的频率中心是带宽是那么的时间中心是时宽变为的频谱的频率中心变为带宽变为。的时宽 带宽积仍为与 无关。不确定原理中心频率 带宽。恒 性00/( )/atQaa 对，有 当用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频小22、波对信号作细致观察;当用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。 a取不同值时小波变换对信号分析的时频区间 020202t(1/2)a(1)a(2)a/22/2tt注：见胡广书现代信号处理教程图9.2.2注：见张贤达现代信号处理图6.5.3 傅里叶变换的基函数是复正弦,这一基函数在频域有着最佳的定位功能，但在时域所对应的范围是 ，完全不具备定位功能,这是FT的一个严重的缺点。 短时傅立叶变换中，只有窗函数的位移而无时间的伸缩，未进行分析窗的调整，不具备随分辨率变化而自动调节分析带宽的能力。200/2010t注：见胡广书现代信号处理教程图9.2.3tjtetgtg0)()23、(,tjtetgtg02,)()(221( , )( )()xtbWT a bx tdtaa 信号的“尺度图（scalogram）”定义如下，它也是一种能量分布，但它是随位移b和尺度a的能量分布，不是简单的随的能量分布。由于尺度a间接对应频率，故尺度图实质上也是一种时频分布。),( tv 连续小波变换的性质 1. 线性： 一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。即如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,b)，y(t)的连续小波变换是WTy(a,b)，则z(t)=k1x(t)+k2y(t) 的连续小波变换是k1WTx(a,b)+k2WTy(a,b)。 2. 平移不变性 如果x(t)的24、连续小波变换是WTx(a,b)，则y=x(t-t0)的连续小波变换是WTx(a,b-t0)，也就是说，x(t)的时移t0对应于小波变换的b移位t0 。 *00*01WT,1WT,yxtba bx ttdtaatbtx tdtaaa btx ct3. 伸缩共变性 如果x(t)的连续小波变换是WTx(a,b)，则有 的连续小波变换是 1WT,0 xca cbcc *1WT,1/1111WT,yxtba bx ctdttctaat cbx tdtacatcbx tdtcacacca cbc证明：，令 当信号的时间轴按c 作伸缩时，其小波变换在a 和b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不25、变。 4. 自相似性 对应于不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。 由于小波族 是同一基小波 经平移和伸缩获得的，而连续小波又具有不变性和伸缩共变性，故在不同(a,b)点的连续小波变换具有自相似性。,( )a bt( ) t 5. 交叉项的性质 由于连续小波变换是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项，但是由它引申出的能量分布函数|WTx(a,b)|2却有以下交叉项的表现： 设x(t)=x1(t)+x2(t)，则有 121212222
WT ( , )
WT ( , )
WT ( , )|2
WT ( , )
WT ( , )|cosxxxxxxxa ba ba26、 ba ba b其中 和 分别是 和的辐角。 1x2x1WT ( , )xa b2WT ( , )xa b 6. 小波变换的内积定理 以基小波(t)分别对x1(t)和x2(t)作小波变换。设x1(t)的连续小波变换是 11WT ( , )( ),( )xaba bx ttx2(t)的连续小波变换是 22WT ( , )( ),( )xaba bx tt其中 1( )abtbtaa则有 1212WT ( , ),WT ( , )( ),( )xxa ba bcx tx t式中 20( )dc该定理称之为小波变换的内积定理，也可看成是小波变换的Parseval定理。 上式可以写为更加明确的形式， 27、左边的内积是对a和b的双重积分，有 *121220d( ),( )( ),( )d( )( )dababax ttx ttbcx t x tta如果令 )()()(21txtxtx，可得 小波变换的幅平方在尺度位移平面上的加权积分等于信号在时域的总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时频分布的一种表示形式。 22201( )( , )xx tdtaWT a bdadbc v 小波反变换及小波容许条件 1. 容许条件 tcd
)(|)(20 满足上式的容许条件，才能够由函数的小波变换WTx(a,b)反演出原函数x(t)。这时有 20201d( )WT ( , )( )d1d1WT ( 28、, )dxabxax ta btbcaatba bbcaaa 212, ,11,xx tx txttttbtbWTa bttdtaaaa证明：设则由小波变换的内积定理可知：*121220201d( )( )d( ),( )( ),( )d1d( )WT ( , )( )dababxabax t x ttx ttx ttbcaax ta btbca 从上面的容许性条件我们也可以看到： 并不是时域的任一满足平方绝对可积的函数都可以充当小波。其可以作为小波的必要条件是其傅里叶变换满足该容许条件； 能够用来作为基小波(t)的函数，最起码要满足(=0)=0。这说明()必须具有带通性质； (t)必然是具有29、正负幅度交替的振荡波形，这也是“小波”之名的由来。 (0)( )d0 tt作为小波函数所应具有的大致特征：即 是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时频定位的角度，希望 是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet）的原因。)(t)(t基小波函数 应满足一般窗函数的约束条件：要求基小波 的傅立叶变换满足以下稳定性条件：若 满足上述稳定性条件，则存在一个“对偶小波” ，它的傅立叶变换由下式给出：)(tdtt)()(t2(2)jjAB)(t( ) t *2(2)jj 2. 小波变换的重建核（Reproducing Kernel）与重30、建核方程 重建核方程是小波变换的另一个重要性质，它说明小波变换的冗余性。即a-b在半平面上的各个点的小波变换是相关的。 设(a0,b0)是(a,b)平面上的任一点， (a,b)上的二维函数 WTx(a,b)是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程：000020dWT (,)WT ( , )(, , )dxxaa ba b Ka b a bba在(a0,b0)处的小波变换WTx(a0,b0)可以表示成半平面(aR+, bR)上其它各处WT值的总贡献。在上面的表达式中， 0 00 0*00*0001(, , )( )( )d111d1( ),( )aba baba bKa b a31、 btttctbtbtcaaaattc可以看出,K是小波函数ab(t)与 的内积，它反映的是两者的相关程度，称为重建核。 由此，可以采用(a, b)平面上离散栅格上的 来重建信号x(t)，以消除重建过程中的信息冗余。0 0( )a bt( , )xWT a b3、 离散小波变换（DWT）n 存在问题：存在问题： 从连续小波变换的重建核方程的讨论中可以看到， 对一维信号x(t)作小波变换的结果为二维的WTx(a,b)，其信息是有冗余的。n 解决方法：解决方法：离散化尺度参数和平移参数，计算离散的位移和尺度下的小波变换值。 变换尺度的离散化：变换尺度的离散化：对尺度按照幂级数作离散化。即取a0 ,32、令尺度因子a只取a0 的整数幂，例如a 仅取, 此时对应的小波函数为 jaaa01000,j200(),0,1,2,jaatbj220000000()jjjjjaatka baa tkb 位移的离散化：位移的离散化： 当j=0时，则 。 对 b 的离散化，最简单方法是对其进行均匀采样，如 。 当 时，将a由 变成 时，即是将a扩大了 倍，这时小波 的中心频率比 的中心频率下降了 倍，带宽也下降了 倍。 由此，对 b 的抽样间隔可以扩大 倍，即当尺度a取值 时，对b的取样间隔可以为 。由此可以得到0bkb0j,( )()a bttb10jaja00a)(,tkj)(, 1tkj0a0a0a12033、0,a a 12000000,ja b a ba b记为 。,( )j kt 由此，可以得到离散化小波变换 def*,= WT,( )( )dj kxj kcj kx tttj=0,1,2,; kZ Z称cj,k为离散小波变换系数，简称为小波系数。 在实际的工作中，最常见的情况是取a0=2，b0=1，此时a取值为 20,21,2j。此时，连续小波变换中的基函数ab(t)记为jk(t), )2(2)(2kttjjjk相应地，离散小波变换可表示为 tttxkjjkxd)()(),(WT*000WT (,),WT,jjxxaka bj k简记为 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用小波分析： 22234、0,2*,( )( )12( )( )( )( )d( )( )jk tkkjk tkkkj kj kjkj kj kj kjkj kj kjf tLRFourierf tc ecf t edtcf tctcx tttctt 对平方可积分的实函数级数：其中，展开系数且小波级数：其中，展开系数且小波基函数的对偶基，定义为：2( )2(2),( )( )jjkttktt是小波的对偶小波v标架理论非正交展开：利用单个非正交函数的平移与调制等基本运算构造非正交基函数，再用这些基函数对信号作级数展开。小波分析中使用非正交展开的优点：正交小波是相当复杂的函数；某些情况下适合相干态的正交基不存在；非正交展开35、可以得到高的数值稳定性。设 是Hilbert空间H中的一组向量，如果存在常数A0和B，对任一信号 ，若使得 成立，则称 构成空间H中的一个标架。式中A，B称为标架界。nHx222|,|xBxxAnnn如果A=B，则B/A=1，称 构成了一个紧标架，此时若标架界 则 构成一正交基。,nnZ22|,|nnxA x1,ABn标架算子： 设 是Hilbert空间H中的一个标架，定义标架算子S为 即标架算子S将信号x映射为g。n,defnnnSxxg111112212,|,|nnnnnnnnnnnnnnnxS gx SxSxSBxxAx 则记=为的对偶函数族，则也构成一个标架，标架算子的性质：S是有界的36、，即AISBI，其中I是Hilbert空间中的恒等算子，对任一 ，总有Ix=x。xH22422222222,nnnnnnngSxgSx gxgxgB xB ggSxBx证明：定义，则S是自伴随的，即=对所有函数x和g成立。,nnnnnnnnnnnnx SgxggxSx gxgxgx SgSx gS是正性算子，即2,nnnnnnnnx Sxxxxxx S是可逆的，记其逆算子为S-1, S-1也是有界的，且 B-1IS-1A-1I。 也构成一个标架，标架界分别为B-1，A-1，且 ，称其为 的对偶标架，记1nS110ABn12212|,|nnBxxAx 冗余比：标架边界A和B之比值，即B/A称为冗37、余比。当A=B时，有1,nnnZAv Riesz基基： 设有j|jZ，满足如下要求： （1） （2） 当 0jzjjc时, 便有cj=0，也就是要求j|jZ 是一组线性独立的基。此时称j|jZ为一组Riesz基。 222|,|xBxxAnnv 通过标架对原函数进行重构通过标架对原函数进行重构 A =B =1情况下，n是一组正交基， 因此重建公式是 ,nnnxx 紧标架的情况下，重建表达式为 1,nnnxxA AB情况下，重建表达式为 ： ,nnnxxv 小波标架 (1) 小波标架的定义： 当由基小波(t)经过伸缩与位移而引出的函数族，具有满足下式的要求时，便称jk(t)|jZ+,kZ构成一个标38、架： ZkZjkttjjjk,
)2(2)(2222|,|xBxxAkjkj0AB (2) jk(t)的对偶函数也构成一个标架。其标架的上、下界为jk(t)标架上、下界的倒数： )2(2)(2kttjjjk21221|,|xAxxBkjkj(3) 对信号进行重建。 对于紧标架, 有 22|,|jkjkxA x 所以有 11,( )WT ( , )( )jkjkxjkjkjkxxtj ktAA 对于一般的情况，当A、B比较接近时，作为一阶逼近，可以取： 2( ),( ),( )jkjkjkjkjkjkx txtxtAB 所以 1,nnnZAB (4) 在一般紧标架的情况下，标架中的各个jk(t39、)并不正交，甚至还有可能线性相关， 因此经过标架处理后所含的信息是有冗余的。)(),(WT1)(tkjAtxjkkxj在(j0,k0)处的WT为 0 00 00 0*00*00WT (,)( )( )d1WT ( , )( )( )d1WT ( , )( )( )d1(,; , )WT ( , )xj kxjkj kjkxjkj kjkxjkj kx tttj ktttAj ktttAKj kj kj kA 式中 )(),(d)()(),;,(0000*00tttttkjkjKkjjkkjjk0 00000( )( ),; ,(,).jkj kttkj kj kjj kk当与相互正交时 即离散40、尺度和位移下的小波变换没有冗余根据是否正交，小波可分为正交小波、半正交小波、非正交小波和双正交小波。,( ), ,() (), , , ( ), ,0, , ,( )( ), ,( ), ,j kj kj kj kj kj kj kj kjRiesztj kZjjkkj k j kZtj kZjjj k j kZttj kZtj kZ 正交小波：若基满足半正交小波：若满足，对非正交小波：如果不是半正交小波，则称为非正交小波。双正交小波：若和其对偶小波之间满足,() ()kj kjjkk 3.5 Wigner-Ville分布(WVD)时频分布的一般理论WVD的定义WVD的性质常用信号的WVD1、41、时频分布的一般理论引言时频分布的定义时频分布的基本性质要求二次叠加原理引言线性时频分析方法（STFT,Gabor变换,WT）使用时间和频率的联合函数描述信号的频谱随时间的变化情况；非线性时频分析方法（时频分布）使用时间和频率的联合函数描述信号的能量密度随时间变化的情况。时频分布的定义 22,22,jjRz t ztdtPRedRz tztdtR tutz uzuduP tR ted*相关函数：功率谱：对非平稳信号，加窗后得局部相关函数：时变功率谱（信号能量的时频分布）：时频分布的基本性质要求时频分布必须是实的（且希望是非负的）；时频分布关于时间t和频率w的积分应给出信号的总能量E，即边缘特性，42、即时频分布关于时间t和频率w的积分分别给出信号在频率w的谱密度和信号在t时刻的瞬时功率1,()2P tdtdE 信号总能量 22,P tdtZP tdz t1和2时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和群延迟，即有限时间支撑和有限频率支撑分别为 ,igP tdtP tdttP tdP tdt和 00000,00,0z tttP tttZP t二次叠加原理设 1 122( )( )( )z tc z tc z t则 12122122*121 2,12,( ,)
( ,)
( ,)( ,)( ,)zzzz zzzP tcP tcPtc c Ptc c Pt式中： 和 分别称为z1(t)和z2(t)43、的自时频分布; 和 分别称为z1(t)对z2(t)和z2(t)对z1(t)的互时频分布。这种互时谱形成了二次时频分布的交叉项。 1zP2zP12,z zP21,zzP 对于有p个分量的信号， 二次叠加原理用下式表示： 设 1( )( )pkkkz tc z t, 则 2*,111( ,)|( ,)( ,)kklpppzkzklzzkklP tcPtc c Ptkl 共有p个自分量， p(p-1)/2个互分量，且交叉项随p的增加按二次函数增加。 信号分量越多，交叉项就越严重。2、Wigner-Ville分布的定义 *-j,2222W ( ,)ed22zzututz tR tktut z uzud44、uz tzttz tzt*取时间冲激函数作窗函数，即则的瞬时相关函数 将kz(t,)称为瞬时自相关函数，那么WVD就是信号瞬时自相关函数的傅里叶变换。n z(t)在频率域的WVD分布定义如下: *j t1W ( , )e222vZvvtZZdvn 对于两个连续时间信号x(t)与y(t), 互WVD定义为 *-j,W( ,)e22vx ytx tytdn 同样, 它们在频率域的互WVD定义如下: *j,1W( , )e222vtX YvvtXYdv3、WVD的性质1. WVD的实数性和对称性 (1) WVD 是t和w的实函数。 证明证明 对定义式的两边取共轭, 得到 *jW ( ,)ed22zt45、ztz t 令=-, 则 *-jW ( ,)ed 22ztztz t 因此 *W ( ,)W ( ,)zztt(2) 如果z(t)是实信号，则WVD是频率的偶函数。 即 W ( ,)W ( ,)zztt证明证明 将定义中的w换成-w, 得到 j-jW ( ,)ed22W ( ,)ed22W ( ,)W ( ,)z*z*zztz tz ttz tz ttt 因此 ( ,)W ( ,)zzW tt(3) 对于互WVD, 则具有如下性质: *,W ( ,)( ,)xyy xtWt2. 边缘积分特性 (1) 在固定时刻t，WVD沿全频率轴的积分等于在t时刻信号的瞬时功率Px(t)(也称时间边缘特性)，46、即 21( )W ( ,)d
( )|2zzP ttz t 时间边缘特性为信号的瞬时功率证明证明 由定义式, 得到 *-*-2*11W ( ,)ded222222jztz tztdz tztdz t ztz t (2) 在固定频率w, WVD沿全时间轴的积分等于该频率的能量密度Pz(w)(也称频率边缘特性)，即 2( )W ( ,)d|( )|zzPttZ 频率边缘特性为信号的能谱密度令w1=w2=w, 因此 2W ( , )d|( )|ztttZ证明证明 由定义式，得到 *W ( , )d22jvtztvvZZt et令 12,22vv, 那么 12121,()2v 代入上式， 得到 1247、j()*1212()W,ed2tztZZtt（3） WVD分布在整个（t，w）平面上, 对t，w的双重积分等于信号的总能量E，即 1W ( ,)d d2ztEtt可以推出 221
( )
d|( )
d2tEz ttZ 总能量E将Pz(t)和Pz(w)联系起来, WVD是一种能量化的时频表示3. WVD的运算性质 (1) 时移与频移的不变性。 移位：如果x(t)=y(t-)，那么 W ( ,)W (,)xytt 调制：如果 , 那么 0j( )( )etx ty t0W ( ,)W ( ,)xytt 移位加调制：如果 , 那么 0j( )()etx ty t0W ( ,)W (,)xyt48、t (2)信号的滤波：两信号的时域卷积等于两信号分别的WVD在时间轴上的卷积，即: 如果y(t)=x(t)*h(t), 则 W ( , )W ( , )*W ( , )W (, )W ( , )d yxhxhttttttt1W ( ,)W ( ,)*W ( ,)W ( ,)W ( ,)d2yxhxhttttt (3) 如果两信号相乘，它们的傅里叶变换服从卷积关系， 则和它们对应的WVD在频率轴上也服从卷积关系，即: 如果y(t)=x(t)h(t), 则 ,2222,1,21W ( ,)W ( ,)d2jyjxhxhxhWtx th txthtedr tr tedWtWttt = 如果x(t)表49、示信号，h(t)表示窗函数，此性质表明信号加窗处理时，只影响频率分辨率， 不影响时间分辨率。 (4) 两信号相加, 设z(t)=x(t)+y(t), 则 ,W ( ,),2222,2Re,zxjxyx ytWtx ty txtytedWtWtWt式中第三项称为交叉(干扰)项。 4. WVD的时限性和带限性区域性 信号的维格纳分布的时宽与频宽，与信号本身的时宽与频宽相同，即:如果 12( )( )0z ttttz t 其它则 12W ( ,)W ( ,)0zzttttt 其它如果 12(j )(j )0ZZ其它则 12W ( ,)W ( ,)0zztt其它利用该性质，又可以得到下面结论： （1）50、 因果信号z(t)的WVD也是因果的，即: 若 ( )( )0z tz tt0t0则 W ( ,)0W ( ,)00zztttt（2） 解析信号z(t)的傅里叶变换限制在频率的正半轴， 解析信号z(t)的WVD也限制在w0 的上半平面， 即 W ( ,)0W ( ,)00zztt5. 由WVD重建信号z(t)：由定义得到 *j1W ( ,)ed222zz tztt令 ,2,221tttt则 ,2,2121ttttt 代入上式， 得到 12j()*12121( )( )W,ed22ttzttz t z t令t2=0, 再将t1 用t代替，得到 j*1W,ed22( )(0)tztz tz4、常用51、信号的WVD举例例 1 ,|0|1)(TtTttx求其WVD。 解解 *-jW ( ,)ed22xtx txt下面确定对的积分限： TtTt22tTtTtTtT22222222因此 22-j222sin(2 (
)W ( ,)ed0TttxTtTtt|t|T 上式表明WVD在时间轴上限制在-TT之间，在频率轴上是sinx/x形式，最大值在（t,0）处，最大值为4T。注：见胡广书现代信号处理教程图3.3.1例例 2 2 , 求其WVD。解解 0j( )etx tA2002020W ( ,)
exp jexpjexp()d22|exp -j()d2|()xtAttjAA 该例题的信号是一个复52、正弦信号，可以看作平稳随机信号， 其WVD分布与时间无关，对任意时间都是一个在w=w0处的函数。 注：见胡广书现代信号处理教程图3.3.2例例 3 3 已知, 求互WVD。 121122( )e,( )ejtjtx tAx tA解解 121 212j(/2)-j(/2)*-j12j()*1212W( ,)eeede22ttx xttAAA A 例例 4 4 已知 , 求其WVD。解解 2021je)(mtttx)(2dee),(WDe220j -)j()j(*00mtttxtxmtxmt x(t)是一个线性调频信号，其WVD清楚地表示出功率谱随时间线性变化的性质。注：见胡广书现代信号处理教程图53、3.3.6例例 5 已知高斯信号 , 求其WVD。解解 2-e)(attx2222(/2)(/2)2/22( ,)eeedeea ta tjataxW ta上式表明， 高斯信号的WVD在时间上和频率上有相同的波形。 注：见胡广书现代信号处理教程图3.3.5n WVD中的交叉项222222|22|22222222222222*12*21*222*112*12*21*12*11*2*1*21*txtxatxtxabtxtxbtxtxatxtbxatxtxabtxtxbbtxtxaatxbtxatbxtaxtxtx WVD服从二次叠加原理。-0.500.51Real partSignal in ti54、me2040608010012000.10.20.30.4WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz二者具有相同的频率中心注：见胡广书现代信号处理教程图3.5.1二者具有相同的时间中心注：见胡广书现代信号处理教程图3.5.1-1012Real partSignal in time2040608010012000.10.20.30.4WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hzn 干扰项的消除：解析信号没有负频率分量，可以先将实信号转变成解析信号，再进行WVD分析55、，可消除这种频谱正负部分之间的交叉干扰项。 假设x(t)是实的连续时间信号，用z(t)表示对应的解析信号。 z(t)定义为 1( )( )( )z tx tjx tt2(j )0(j )(j)000XzXz(t)的傅里叶变换为维格纳变换的特点：因为信号的二次型是信号的能量表示，所以这种分布表示了信号的能量分布；WVD可理解为信号在 这一窗口内能量的测量，即；两个信号和的WVD有交叉项存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和。 22,221,2tttxttEWtdtd2,22,2tttt及3.6 Cohen类时频分布模糊函数Cohen类时频分布时频分布的性能评价与改进1、 模糊函数56、模糊函数 对瞬时相关函数kz(t,)=z(t+/2)z*(t-/2) 关于时间t作傅里叶反变换，则得到模糊函数的时域定义为 *jj( , )e d22t,e dvtzvtzAvz tzttkt模糊函数在频率域的定义是 *j1( , )ed222zvvA vZZ n 模糊函数性质: （1）时移性。令x(t)=y(t-t0), 则 0j2( , )( , )evtxyAvAv(2) 频移性。令 tftytx0j2e)()(, 则 0j2( , )( , )efxyAvAv(3) 滤波。令 uuthuxthtxtyd)()()()()(则 ( , )( , )(, )d yxhAvAv Av (4)57、 调制。令z(t)=x(t)h(t), 则 ( , )( , )( ,)dzxhAvAAv *j*-jj*-j-j*jW ( ,)ed22ed d221eed d2221ee222zv u tvtvutz tztz uzuutuz uzuudvz uzudu -jd1( , )ed d2vtzdvAvv n 模糊函数和WVD之间的关系：WVD与模糊函数的二维Fourier变换等价，只是相差一个常数因子。xyyxxyyxWtWtAvAv，, 不论x(t)是实信号还是复信号，其WVD始终是实信号，但其模糊函数一般为复函数。两个信号x(t)和y(t)的互WVD和互AF分别满足： WVD和AF分别处在58、不同的域。 时间变量t、时间延迟、 频率w、频偏v，共形成了四个域，即： （1） 时频域(t,w)，对应Wz(t,w); （2） 瞬时相关域（t,），对应rz(t,); （3） 瞬时谱相关域（v,w），对应Rz(w,v); （4） 模糊函数域（,v）， 对应Az(,v)。 WVD是能量化的时频表示，存在时间边缘特性Pz(t)和频率边缘特性Pz(w)，公式重写如下: 22( )W ( ,)d
( )|( )W ( ,)d|( )|zzfzztP ttz tPttZ信号的总能量为 22
( )
d|( )
dtEz ttZ 模糊函数是相关化的时频表示，将模糊函数的定义重写如下: *j*j(59、 , )e d221( , )ed222vtzzAvz tzttvvA vZZ 频偏边缘特性*( ,0)d22zAz tztt时延边缘特性*(0, )d22zvvAvZZ最大值始终在 ,v平面的原点，且该最大值即是信号的能量，221max,0 0
( )
d|( )
d2zzztAvAz ttZE， WVD满足时频移不变性质， 如果 , 则 tfttytx0j20e )()(00W ( ,)W (,)xyt fttff而模糊函数满足相关化移不变性质, 用公式表示如下:00j2 ()( , )( , )ftxyAvAv e例1 考虑单个高斯信号 14200exp2 expx tttjtWV60、D是 22002exp/xW ttt ，模糊函数是 22001,expexp44xAjt 00001,2,0 0 xxxxWtAWttAt （）、，是实函数，是复函数；（ ）、，的中心在，处，是一高斯型函数；的中心在， 处，幅值也是一高斯型函数，且受一复正弦调制，是一振荡波形，其相位与信号的时间移位和频率调制有关。例2 一非平稳信号由两个高斯函数叠加而成： 12421exp2iiix tttjt222122121212121,12,2,12exp14expcos()() 2iiimmmddmmddmWVDW tttttttttttttWVDttWVDt 为：，其中，2,;，的两个信号项即自项是}