静电学和静磁学是电动力学的基础。在学习静电学和静磁学时，遇到的第一个公式分别是库仑定律（Coulomb's law）和毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart Law）。如果你在学习时足够细致，那一定会发现，在静电学中，库仑定律是唯一一个定律，其余的都是定理；而在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律是唯一一个定律，其余的也都是定理。换言之，库仑定律和毕奥-萨伐尔定律分别是静电学和静磁学的根基。他们就像两颗神奇种子，辅以数学的浇灌，便会生长成静电学和静磁学这两片广袤的森林。本文的目的之一就是近距离观察一下，这两颗神奇种子是如何在数学的浇灌下萌芽、生长的。而在此过程中，我们还能获得一个bonus，就是极其自然地获得矢量分析中亥姆霍兹定理（Helmholtz Theorem）的证明思路。在撰写本文时，我自己的心情是非常愉悦和激动的，愉悦源自欣赏数学用其简练优美的语言吟唱出物理纷繁复杂的图景；激动源自物理以其感性直观的现实意义启发了数学定理的证明灵感。希望你在阅读完本文后，能和我有同样的美妙感受。一、库仑定律（Coulomb's law）点电荷的库仑定律为：\bold{E}(\bold{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q(\bold{r}-\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} \\
其中， \bold{r} 为空间中任意一点的位置矢量， \bold{r}' 为点电荷的位置矢量。则对于以密度 \rho(\bold{r}) 分布于空间中的电荷，库仑定律表述为：\bold{E}(\bold{r})=\int\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
\rho(\bold{r}') dV'\\
这里要求电荷分布在有限的空间中（这和实际问题是相一致的）。从而在无穷远处，电荷密度为 0 ，电场强度为 \bold{0} 。则\nabla\cdot\bold{E}(\bold{r}) =\nabla\cdot\int\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
\rho(\bold{r}') dV'
\\=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\nabla\cdot\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
\rho(\bold{r}') dV'
\\
=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int4\pi\delta(\bold{r}-\bold{r}')
\rho(\bold{r}') dV' \\ =\frac{\rho(\bold{r})}{\epsilon_0}
\\
\nabla\times \bold{E}(\bold{r}) =\nabla\times\int\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
\rho(\bold{r}') dV'
\\=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\nabla\times\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
\rho(\bold{r}') dV'
\\=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\bold{0}\rho(\bold{r}') dV'
\\=\bold{0}
\\
第一个式子说对静电场 \bold{E}(\bold{r}) 求散度即可找到场源 \rho(\bold{r}) 。第二个式子说静电场一定是无旋场。两个式子都有深刻的含义，这里要着重说一说第一个式子。第一个式子告诉我们，任意一个标量场都可以是某个静电场的场源，因为我们可以以这个标量场作为空间电荷密度，从而构造出一个满足要求的静电场。进一步地，如果我们将物理意义剥离，抽象出纯粹的数学模型，那么就可以得到这样一个结论（定理）：\forall f(\bold{r}), \exists \bold{V}(\bold{r}), \nabla \cdot \bold{V}(\bold{r})=f(\bold{r}) \\ 这里，受库伦定律的启发，
\bold{V}(\bold{r}) 构造如下： \bold{V}(\bold{r}) =\int\frac{1}{4\pi}\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
f(\bold{r}') dV'\\
=-\frac{1}{4\pi}\int \nabla \frac{1}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|}
f(\bold{r}') dV'\\
=-\nabla ( \frac{1}{4\pi} \int \frac{f(\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|}
dV' )\\ 注意，这里不仅构造了
\bold{V}(\bold{r}) ，而且构造出的
\bold{V}(\bold{r}) 还是个梯度场！由于 \nabla \cdot 可以看作一种微分操作，所以上述过程是一个已知微分函数求原函数的过程。二、毕奥-萨伐尔定律（Biot-Savart Law）电流元 Id\bold{l} 的毕奥-萨伐尔定律为：\bold{B}(\bold{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bold{l}\times(\bold{r}-\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} \\
其中， \bold{r} 为空间中任意一点的位置矢量， \bold{r}' 为电流元 Id\bold{l}的位置矢量。则对于以电流密度矢量 \bold{J}(\bold{r}) 分布于空间中的电流，库仑定律表述为：\bold{B}(\bold{r})=\int\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{(\bold{J}(\bold{r}')ds)dl\times(\bold{r}-\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} \\ =\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\bold{J}(\bold{r}')\times(\bold{r}-\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} dV'\\ \\
这里要求电流分布在有限的空间中（这和实际问题是相一致的）。从而在无穷远处，电流密度为\bold{0}，磁感应强度为 \bold{0} 。则\nabla\cdot\bold{B}(\bold{r}) =\nabla\cdot\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\bold{J}(\bold{r}')\times(\bold{r}-\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} dV'\\ =\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla\cdot(\bold{J}(\bold{r}')\times\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} )dV'\\ =\frac{\mu_0}{4\pi}\int((\nabla\times\bold{J}(\bold{r}'))\cdot\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} -(\nabla\times\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} )\cdot\bold{J}(\bold{r}'))dV'\\ =\frac{\mu_0}{4\pi}\int(0-0)dV'\\ =0
\nabla\times\bold{B}(\bold{r})
=\nabla\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\bold{J}(\bold{r}')\times(\bold{r}-\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} dV'\\
=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla\times(\bold{J}(\bold{r}')\times\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} )dV'\\
=\frac{\mu_0}{4\pi}\int(
(\nabla\cdot\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} )\bold{J}(\bold{r}') -(\nabla\cdot\bold{J}(\bold{r}'))\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
+(\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
\cdot\nabla)\bold{J}(\bold{r}') -(\bold{J}(\bold{r}')\cdot\nabla)\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
)dV'\\
=\frac{\mu_0}{4\pi}\int( 4\pi\delta(\bold{r}-\bold{r}')\bold{J}(\bold{r}') -0 +0 -(\bold{J}(\bold{r}')\cdot\nabla)\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} )dV'\\
=\mu_0\bold{J}(\bold{r})
-\frac{\mu_0}{4\pi}\int(\bold{J}(\bold{r}')\cdot\nabla)\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}dV'
\ \ \ (1) \\
=\mu_0\bold{J}(\bold{r})-\frac{\mu_0}{4\pi}\int\nabla(\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} \cdot\bold{J}(\bold{r}'))dV'
\ \ \ (2) \\ =\mu_0\bold{J}(\bold{r})-\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla\int\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} \cdot\bold{J}(\bold{r}')dV'
\ \ \ (3) \\ =\mu_0\bold{J}(\bold{r})-\bold{0}
\ \ \ (4) \\ =\mu_0\bold{J}(\bold{r})
从(1)到(2)的推导使用了矢量恒等式：\nabla(\bold{A}\cdot\bold{B})=\bold{A}\times(\nabla\times\bold{B})+\bold{B}\times(\nabla\times\bold{A})+(\bold{A}\cdot\nabla)\bold{B}+(\bold{B}\cdot\nabla)\bold{A} \\ 从(3)到(4)的推导过程为：\int\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3} \cdot\bold{J}(\bold{r}')dV' \\ =\int-\nabla\frac{1}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|} \cdot\bold{J}(\bold{r}')dV' \\ =\int\nabla'\frac{1}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|} \cdot\bold{J}(\bold{r}')dV' \\ =\int\nabla'\cdot\frac{\bold{J}(\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|}dV' \\ =\oint_{S'}\frac{\bold{J}(\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|}d\bold{s}'\\ =0 第一个式子说静磁场一定是无源场。第二个式子说对静磁场 \bold{B}(\bold{r}) 求旋度即可找到场源 \bold{J}(\bold{r})
。两个式子都有深刻的含义，这里要着重说一说第二个式子。第二个式子告诉我们，任意一个矢量场都可以是某个静磁场的场源，因为我们可以以这个矢量场作为空间电流密度，从而构造出一个满足要求的静磁场。进一步地，如果我们将物理意义剥离，抽象出纯粹的数学模型，那么就可以得到这样一个结论（定理）：\forall \bold{f}(\bold{r}), \exists \bold{V}(\bold{r}), \nabla \times \bold{V}(\bold{r})=\bold{f}(\bold{r}) \\ 这里，受毕奥-萨伐尔定律的启发，
\bold{V}(\bold{r}) 构造如下： \bold{V}(\bold{r}) =\int\frac{1}{4\pi}\bold{f}(\bold{r}')\times\frac{\bold{r}-\bold{r}'}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|^3}
dV'\\
=-\frac{1}{4\pi}\int\bold{f}(\bold{r}')\times\nabla \frac{1}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|}
dV'\\ =-\frac{1}{4\pi}\int (\frac{1}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|} \nabla\times\bold{f}(\bold{r}')-\nabla\times\frac{\bold{f}(\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|})
dV'\\ =\nabla\times ( \frac{1}{4\pi} \int \frac{\bold{f}(\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|}
dV' )\\ 注意，这里不仅构造了
\bold{V}(\bold{r}) ，而且构造出的
\bold{V}(\bold{r}) 还是个旋度场！由于 \nabla \times 可以看作一种微分操作，所以上述过程也是一个已知微分函数求原函数的过程。三、亥姆霍兹定理（Helmholtz Theorem）亥姆霍兹定理用于回答下面这个问题：对于任意的标量场 C(\bold{r}) 和矢量场 \bold{D}(\bold{r}) ，是否存在矢量场 \bold{F}(\bold{r}) ，满足\nabla\cdot\bold{F}(\bold{r})=C(\bold{r})\\ \nabla\times\bold{F}(\bold{r})=\bold{D}(\bold{r})\\ 如果存在， \bold{F}(\bold{r}) 是否唯一呢？首先看存在性。受库仑定律的启发，我们把 C(\bold{r}) 看作空间电荷密度，那么可以构造\bold{F}_1(\bold{r})=-\nabla ( \frac{1}{4\pi} \int \frac{C(\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|}
dV' )\\ 这个 \bold{F}_1(\bold{r})
满足\nabla\cdot\bold{F}_1(\bold{r})=C(\bold{r})\\ \nabla\times\bold{F}_1(\bold{r})=\bold{0}\\ 受毕奥-萨伐尔定律的启发，我们把 \bold{D}(\bold{r}) 看作空间电流密度，那么可以构造 \bold{F}_2(\bold{r}) =\nabla\times ( \frac{1}{4\pi} \int \frac{\bold{D}(\bold{r}')}{\left|\bold{r}-\bold{r}'\right|}
dV' )\\ 这个
\bold{F}_2(\bold{r})
满足\nabla\cdot\bold{F}_2(\bold{r})=0\\ \nabla\times\bold{F}_2(\bold{r})=\bold{D}(\bold{r})\\ 考虑到 \nabla\cdot 和 \nabla\times 的线性性质，构造 \bold{F}(\bold{r})= \bold{F}_1(\bold{r})+ \bold{F}_2(\bold{r})\\ 满足\nabla\cdot\bold{F}(\bold{r})=\nabla\cdot\bold{F}_1(\bold{r})+\nabla\cdot\bold{F}_2(\bold{r})=C(\bold{r})+0=C(\bold{r})\\ \nabla\times\bold{F}(\bold{r})=\nabla\times\bold{F} _1(\bold{r})+\nabla\times\bold{F}_2(\bold{r})=\bold{0}+\bold{D}(\bold{r})=\bold{D}(\bold{r})\\ 于是存在性通过构造法得到证明。当然要注意的是，构造
\bold{F}_1(\bold{r})
和 \bold{F}_2(\bold{r})
时涉及广义积分。为了保证广义积分收敛，当 r\rightarrow+\infty 时， C(\bold{r}) 和 \bold{D}(\bold{r}) 必须足够快地趋于零（比 \frac{1}{r^2} 更快）。那么 \nabla\cdot\bold{F} 是否唯一呢？假设存在 \bold{G}(\bold{r})\ne\bold{F}(\bold{r}) 亦满足\nabla\cdot\bold{G}(\bold{r})=C(\bold{r})\\ \nabla\times\bold{G}(\bold{r})=\bold{D}(\bold{r})\\ 则对于 \bold{H}(\bold{r})=\bold{G}(\bold{r})-\bold{F}(\bold{r}) ，有\nabla\cdot\bold{H}(\bold{r})=0\\ \nabla\times\bold{H}(\bold{r})=\bold{0}\\ 因为无旋，所以 \bold{H}(\bold{r}) 必定是势函数 \phi(r) 的梯度场，即\bold{H}(\bold{r})=\nabla\phi(r)\\ 又因为 \bold{H}(\bold{r}) 的散度为零，则\nabla\cdot\bold{H}(\bold{r})=\nabla\cdot\nabla\phi(r)=\nabla^2\phi(r)=0\\ 换言之， \bold{F}(\bold{r})+\bold{H}(\bold{r}) 均满足\nabla\cdot(\bold{F}(\bold{r})+\bold{H}(\bold{r}))=C(\bold{r})\\ \nabla\times(\bold{F}(\bold{r})+\bold{H}(\bold{r}))=\bold{D}(\bold{r})\\ 其中， \bold{H}(\bold{r}) 是任意调和函数的梯度场。然而，在实际问题中，确定的边界条件限定了解的可能性。一般地，要求 \bold{F}(\bold{r}) 在无穷远处的值为零。此时，调和函数 \phi(r) 在无穷远处等势，则 \phi(r) 为常数，其梯度 \bold{H}(\bold{r}) 为零。解存在且唯一。}