5．如图，抛物线 y＝ax2+2x+c（a＜0）与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A 在原点的左侧，点 B 在原点的右侧），与 y 轴交于点 C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接 BC，点 D 是直线 BC 上方抛物线上的点，连接 OD，CD，OD 交 BC 于点 F，当S△COF：S△CDF＝3：2 时，求点 D 的坐标．（3）如图2，点 E 的坐标为（0，- 3/2），在抛物线上是否存在点 P，使 ∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）c＝3，点 B（3，0），将点 B 的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3 中，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3 ；（2）如图1，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，交 BC 于点 M，图1∵ S△COF：S△CDF＝3：2，∴ OF：FD＝3：2，∵ DH∥CO，CO = 3 ,∴ CO：DM＝3：2，即 DM＝2/3 CO＝2，由 B、C 两点的坐标得：直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+3，设点 D（x，﹣x2+2x+3），则点 M（x，﹣x+3），DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，解得：x＝1 或 2，故点 D（1，4）或（2，3）；（3）① 当点 P 在 x 轴上方时，如图2 所示，取 OG＝OE，连接 BG，过点 B 作直线 PB 交抛物线于点 P，交 y 轴于点 M，使 ∠GBM＝∠GBO，则 ∠OBP＝2∠OBE，过点 G 作 GH⊥BM 于点 H，图2设 MH＝x，则 MG＝√（x2 + 9/4），在 △OBM 中，OB2 + OM2 ＝ MB2，故 MG＝√（4 + 9/4）＝ 5/2，则点 M（0，4），由 B、M 两点的坐标得：直线 BM 的表达式为：y＝﹣4/3 x + 4，联立 y＝﹣x2+2x+3 与 y＝﹣4/3 x + 4，解得 x = 3（舍去）或 1/3，故点 P（1/3 ，32/9）；②当点 P 在 x 轴下方时，如图3 所示，过点 O 作 OD ⊥ BE 于点 D，延长 OD 使 OD = DF，连接 BF 交 y 轴于点 G，交抛物线于点 P，则有 ∠OBP＝2∠OBE，图3连接 EF，易知 △OBE≌△FBE（SAS），则有 ∠EOB = ∠EFB = 90°，设 GF = x，则 EG = √（x2 + 9/4），在 △BOG 中，BO2 + OG2 = BG2，故 EG = √（4 + 9/4）= 5/2，OG = 4，则点 G（0，-4），由 B、G 两点的坐标得：直线 BG 的表达式为：y＝ 4/3 x - 4，联立 y＝﹣x2+2x+3 与 y＝ 4/3 x - 4，解得 x = 3（舍去）或 -7/3，故点 P（-7/3 ，-64/9）；综上，点 P 的坐标（1/3 ，32/9）或（-7/3 ，-64/9）.【分析】（1）掌握二次函数图像与坐标轴的交点所表示的含义，很容易求出二次函数的解析式。（2）由 S△COF：S△CDF＝3：2，可知两个三角形等高不等底，即转化成底边 OF ：FD = 3:2，OC = 3 已知，∠CFO = ∠DFB（对顶角），OF ：FD = 3:2，想到构造相似三角形，就要作辅助线，从而求出线段 DM = 2。点 D 是抛物线上的点，点 M 是直线 BC 上的点，而且横坐标相等，先把横坐标设出来，利用函数解析式把它们的坐标表示出来，结合 DM = 2，从而可求出点 D 的坐标。（3）在抛物线上是否存在点 P，使 ∠OBP＝2∠OBE？这是一个非常重要的条件，今后如遇此类问题如何分析？是一个难点，考场时间毕竟有限，只要思路清晰、方法恰当就能突破这个难点，这就需要平时做题包括考试一定要总结积累经验。首先 ∠OBE 是个锐角，而且是个小于 45° 的锐角（OB = 3 , OE = 3/2 , tan∠OBE = 1/2 , tan45° = 1），所以 ∠OBP＝2∠OBE 小于 90°，也是个锐角，这样就可以确定 P 点的位置只有两种情况，这时就需要分类讨论了。其次，如何做出这样的角等于已知角的二倍，就要想到 “尺规作图”！情况一：情况二：都是利用 “等腰三角形三线合一的性质”，做出 ∠OBP＝2∠OBE ！最后，如何求出点 P 的坐标，这就需要计算了！大体思路是：点 P 是一次函数图像与二次函数图像的交点，只要把一次函数的解析式求出来，就可以求出点 P 的坐标。如何求一次函数的解析式？两点确定一条直线，可以通过待定系数法来求，点 B 的坐标已知，只要求出一次函数图像与 y 轴交点的坐标来就可以求出一次函数的解析式来了。求与 y 轴交点的坐标情况一、二，都是通过 “勾股定理” 来求的，通过勾股定理建立一个方程，本题解方程比较复杂，通过平方先把 “无理式” 转化成 “有理式”，来解方程。最后，联立一次函数与二次函数解方程求交点坐标，解一元二次方程时，一定要熟练掌握求根公式！
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专栏/初三数学|二次函数的图像专题讲解，分知识考点解析与例题讲解2022年12月28日 09:39--浏览 ·
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--评论初三数学|二次函数的图像专题讲解，分知识考点解析与例题讲解二次函数是初三上学期学习的重点内容也是中考函数中的重点和难点，在学习过程当中，二次图像的应用则是能够解决实际问题的关键因素。同时在中考当中二次函数所占的比重也是比较大的，而且二次函数的综合题型当中通常作为压轴题型出现。对于二次函数图形的应用，我们都要学习哪些重点的内容呢？第一、利用描点法作出二次函数的图像，并根据图像认识和理解二次函数的性质，建立二次函数表达式与图像之间的联系；第二、经历探索二次函数图像的过程，进一步培养数形结合的数学思想与学习方法；这也是二次函数图像学习中的核心思想方法。第三、通过探讨作图，激发同学们学习数学的兴趣，通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。在二次函数图像的学习过程当中，有三个重要的知识考点，需要同学们认真地对待其关键的知识考点能够帮助大家建立对二次函数图像的综合认识以及解决二次函数图像题型当中的重要方法。2．二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的______和_______．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大，开口就越___．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式。通过以上对二次函数图像的知识考点的重要总结与归纳，那么接下来唐老师将通过对二次函数图像应用的五种常考题型进行分别的讲解以及通过经典例题的解析来帮助大家掌握二次函数图像的考点。1. 动点的二次函数图像二次函数图像中的动点问题是比较难的一个考点，其在通常的考试当中作为压轴题和大体出现考验大家对图像中的动点问题进行合理的解决方法面对动点问题，我们需要根据不同状态下点的位置来确定其运动的轨迹，然后根据此来解决实际的问题。2.二次函数图像的象限分布我们都知道二次函数的图像。的分布主要跟二次函数的各个系数字母有关a字母，b字母和c字母的关系都能够决定二次函数图像的位置，所以在进行函数间的相互比对，确定函数图像的位置是我们要对字母进行分类讨论，以此来进行判断所给的图像是否符合要求，这也是初中数学函数考察的一种重要方式，而且通常情况下与一次函数，反比例函数等综合进行考察。3. 二次函数的图像二次函数的图像。与实际情况的比对过程当中也是二次函数图像的另一种考察方式，不仅要确定函数的大致位置，可能给题目所给的一些关键信息都能够给判断函数的图像带来了决定性的因素，所以做这类题型时，同学们一定要细致观察，从题目当中的图像发现一些关键的信息，对于解决这类题形式非常有帮助的。4．二次函数图象与系数的关系．二次函数的图象与系数的关系涉及二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点等等。这些重要的关系主要是根据二次函数图像的特点来进行确定的，另外对于二次函数图象与系数的关系还涉及其对应的一元二次方程的真的关系，所以在解决实际问题时，我们要结合这些综合的信息来进行综合考虑。5．二次函数自变量的取值范围；通过以上对二次函数图像这部分内容的综合了解以及对应的常考题型的解析，相信同学们对二次函数图像的考点，考法以及考察的难度都有一定的了解，那么在解决实际的问题当中，只有提高熟练度，才能在不断地学习当中提高对二次函数图像的掌握情况，接下来是唐老师为大家准备有关二次函数图像的专项练习题，能够帮助大家进行综合训练，以达到提高熟练度的目的。写在最后，二次函数图像的性质，应用在中考当中所占的比重和考试常考的方法，以及对应的题型都是学学们在学习过程当中要充分了解并且掌握其解题技巧的重要途径，所以大家在学习时除了对基础的知识有全面的认知以外，各类题型，解题的突破口以及分析的技巧都是我们应当掌握的核心思想，这对于解决二次函数其他问题以及综合的题型来说都是至关重要的。本文为我原创本文禁止转载或摘编------0}