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普通年金现值计算公式和普通年金终值计算公式怎么理解?
[导读]：普通年金终值的定义是将每期期末等额收付的年金折算到最后一期，然后相加汇总。
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　　问：普通年金现值计算公式和普通年金终值计算公式怎么理解?
　　答：普通年金终值的定义是将每期期末等额收付的年金折算到最后一期，然后相加汇总。
　　假定期限为5年，那么，第一年年末的年金折算到第五年年末的复利终值就是A(1+10%)的4次方
　　第二年年末的年金折算到第五年年末的复利终值是A(1+10%)的3次方
　　......
　　第五年年末的年金折算到第五年年末的复利终值是A(1+10%)的0次方，即A
　　无论是普通年金终值还是预付年金终值，他们折算的最终时点都是从第一期期末或起初折算到最后一期期末。当然，预付年金终值与普通年金终值相比，他们发生的年金A的次数是一样的，但是，A出现的时点一个是期末一个是起初，因此在货币时间方面存在一年的误差。
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财务管理基础综合班&&　 第一章 财务管理总论第二章
风险与收益分析第三章
资金时间价值与证券评价第四章
项目投资第五章
证券投资第六章
营运资金第七章
筹资方式第八章
综合资金成本和资本结构第九章
收益分配第十章
财务预算第十一章
财务成本控制第十二章
财务分析与业绩评价
3.1.2 终值与现值的计算&
&&&&&&I．历年考题
&&&&&&1．[2000年单选题]一定时期内每期期初等额收付的系列款项是（&& ）。& &&&&&& A．即付年金&&&& B．永续年金&&& C．递延年金&&&& D．普通年金&&&&&
&&&&& 【解析】参见教材即付年金含义。
&&&&&& 2．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #01年单选题]甲某拟存入一笔资金以备三年后使用。假定银行三年期存款年利率为5%，甲某三年后需用的资金总额为34 500元，则在单利计息情况下，目前需存入的资金为（　 ）元。&&&&& &A.30 000&&&&&&&& B.29 803.04&&&&&&&& C.32 857.14&&&&&&& D.31 500&&&&&
&&&&& 【解析】目前需存入的资金=34500/（1+3×5%）=30000。
　　3．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #02年单选题]下列各项中，代表即付年金现值系数的是（&& ）。
　　A.［（P／A，i，n＋1）＋1］
　　B.［（P／A，i，n＋1）－1］
　　C.［（P／A，i，n－1）－1］
　　D.［（P／A，i，n－1）＋1］　　
　　【解析】即付年金现值是在普通年金系数的基础上，期数减1，系数加1得到的结果，故选项D正确。
　　4．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #03年单选题]已知（F/A，10%，9）=13.579，（F/A，10%，11）=18.531。则10年、10%的即付年金终值系数为（&& ）。
　　A．17.531&&&&& B．15.937&&&&&&& C．14.579&&&&&& D．12.579　　
　　【解析】即付年金终值系数＝普通年金终值系数×（1＋i）。所以，10年、10%的即付年金终值系数＝（F/A，10%，10）×（1＋10%）。
　　（1＋10％）10＝2.3579×（1＋10％）＝2.5937
　　（F/A，10%，10）＝（2.5937－1）／10％＝15.937
　　（F/A，10%，10）×（1＋10%）=15.937×（1＋10％）＝17.531&&&&&& 这里需要说明的是，考试时遇到此类题目可以用计算器直接求出，没有必要那样繁琐。
　　5．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #03年多选题]下列各项中，属于普通年金形式的项目有（&& ）。
　　A．零存整取储蓄存款的整取额&&&& B．定期定额支付的养老金
　　C．年资本回收额&&&&&&&&&&&&&&&& D．偿债基金　　
【答案】B、C、D
　　【解析】根据普通年金的定义可以得到答案。
　　6．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #04年单选题]根据资金时间价值理论，在普通年金现值系数的基础上，期数减1、系数加1的计算结果，应当等于（&& ）。
　　A．递延年金现值系数&& &&&&&B．后付年金现值系数
　　C．即付年金现值系数&&&&&&& D．永续年金现值系数　　
　　【解析】在普通年金现值系数的基础上，期数减1、系数加1的计算结果，等于即付年金的现值系数；在普通年金现值系数的基础上，期数加1、系数减1的计算结果，等于即付年金的终值系数。这两个问题容易混淆，建议考生要引起注意。
　　7．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #04年单选题]在下列各项资金时间价值系数中，与资本回收系数互为倒数关系的是（&& ）。
　　A．(P/F，i，n)&&&&& B．(P/A，i，n)&&&& C．(F/P，i，n )&&& &&D．(F/A，i，n )　　
　　【解析】资本回收系数的倒数为普通年金现值系数，选项B正确。
　　8．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #06年单选题]在下列各项中，无法计算出确切结果的是（&&& ）。
　　A.后付年金终值&&&&&&& B.即付年金终值
　　C递延年金终值&&&&&&& D.永续年金终值 　　
　　【解析】永续年金持续期无限，没有终止时间，因此没有终值。
　　9．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #06年判断题]在有关资金时间价值指标的计算过程中，普通年金现值与普通年金终值是互为逆运算的关系。&&&&&& （&&& ）　　
【答案】×
　　【解析】普通年金现值和年资本回收额计算互为逆运算；年金终值和年偿债基金计算互为逆运算。　　10．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #07年单选题]某公司从本年度起每年年末存入银行一笔固定金额的款项，若按复利制用最简便算法计算第n年末可以从银行取出的本利和，则应选用的时间价值系数是（　）。&&&&& A.复利终值数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.复利现值系数&&&&& C.普通年金终值系数&&&&&&&&&&&&&& D.普通年金现值系数&&&&
查看答案【答案】C&&&& 【解析】因为本题中是每年年末存入银行一笔固定金额的款项，所以符合普通年金的形式，所以计算第n年末可以从银行取出的本利和，实际上就是计算普通年金的终值，所以答案选择普通年金终值系数。&&&&&& 11．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #07年多选题]在下列各项中，可以直接或间接利用普通年金终值系数计算出确切结果的项目有（　）。&&&&& A.偿债基金&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.先付年金终值&&&&& C.永续年金现值&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.永续年金终值&&&&&
查看答案【答案】A、B&&&&&&【解析】偿债基金＝年金终值×偿债基金系数＝年金终值/年金终值系数，所以A正确；先付年金终值＝普通年金终值×（1＋i）＝年金×普通年金终值系数×（1＋i），所以B正确。选项C的计算与普通年金终值系数无关，永续年金不存在终值。&&&&& 12．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #08年单选题]某公司拟于5年后一次还清所欠债务100 000元，假定银行利息率为10％，5年10％的年金终值系数为6.％的年金现值系数为3.7908，则应从现在起每年末等额存入银行的偿债基金为(&&& )元。
　　A.16 379.75&&&&&&&&&&&& B.26 379.66
　　C.379 080&&&&&&&&&&&&&& D.610 510　　
　　【解析】本题属于已知终值求年金，偿债基金为=..75（元）
　　13．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #08年多选题]下列各项中，其数值等于即付年金终值系数的有(&&& )。
　　A.(P／A，i，n)(1+i)&&& B.[(P／A，i，n-1)+1]
　　C.(F／A，i，n)(1+i)&&& D.[(F／A，i，n+1)-1]　　
【答案】C、D
　　【解析】即付年金终值＝年金×即付年金终值系数＝(F／A，i，n)(1+i)=[(F／A，i，n+1)-1]。
　　14．[<SPAN style="FONT-SIZE: 14 COLOR: #08年判断题]随着折现率的提高，未来某一款项的现值将逐渐增加。&&& (&&& )　　
【答案】×
　　【解析】在折现期间不变的情况下，折现率越高，折现系数则越小，因此，未来某一款项的现值越小。
&&&&&& II．知识点讲解
　　（一）终值、现值的含义及其相互关系
　　1．终值：是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，俗称本利和。
　　2．现值：是指未来某一时点上的一定量现金折合为现在的价值。
　　3．两者关系：终值＝现值＋（时间价值）利息。
　　（二）利息的两种计算方式　　1、单利：只对本金计提利息，计息基础就是本金，每期利息相同。　　2、复利：不仅要对本金计息，而且要对前期的利息计提利息，即“利上滚利”，计息基础是前期的本利和，每期利息不相等。现代财务管理均以复利计算利息，在考试不特别说明的情况下，通常以复利方式计息。
　　（三）单利的终值与现值
　　1．单利利息：I＝P×i×n
　　2．单利终值：F＝P×（1＋i×n）　&&& 例1：某人存入银行15万，若银行存款利率为5%， 5年后的本利和？
　　&3．单利现值：P＝F／（1＋i×n）&&&&&&& 例2：某人存入一笔钱，希望5年后得到20万，若银行存款利率为5%，问，现在应存入多少？
　　（四）复利的终值与现值
　　1．复利终值＝现值×复利终值系数& F＝P×（1＋i）n
　　其中，（1＋i）n称为一次性收付款项复利终值系数，记作（F／P，i，n）。
　　例3：复利计息终值& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　　2．复利现值＝终值×复利现值系数& P＝F×（1＋i）?Cn
　　其中，（1＋i）?Cn称为一次性收付款项复利现值系数，记作（P／F，i，n）。&&&&&& 例4：复利计息现值&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&说明：一次性收付款是指在某特定时点上支付（或收取），经过一段时间后再相应地一次性收取（或支付）的款项，整存整取就是典型的一次收付款。一次性收付款的特点是：收和付各只有一次，一次收付款有两种类型：一是先付后收，二是先收后付。
&&&& （五）年金的终值与现值
　　1．含义：年金是指等额、定期的系列收支。它有两个特点：（1）每次发生的金额相等；（2）每次发生的时间间隔相等。要点：等额性、定期性、系列性。
　　说明：年金不一定是每年发生一次，也可能是一个月发生一次；年金既可以是款项的支付，也可以是款项的收入。
　　2．年金的种类
　　（1）普通年金：在每期期末收付的年金。
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&& &例5：某人每年年末存入银行80000元，一共存10年，已知银行利率是2％，求终值？
　&&& 答案：F＝A×（F/A, i，n）＝80000×（F/A,2％,10）＝ 8=876000（元）
　　提示：在考试中，该系数的具体数值通常会在试卷前给出，故需要熟练掌握利用“年金终值系数表”获取相应系数值的方法。
　　（2）偿债基金（终值的逆运算）
　　①含义：偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额积聚的存款准备金。
　　②公式：
　　偿债基金年金＝年金终值×偿债基金系数＝年金终值÷年金终值系数
&&&&&& 例6：假设某企业有一笔五年后到期的借款，金额为25万元，如果存款的年复利率是4％，求建立的偿债基金是多少。
　　答案：　　F＝A×（F/A, i，n）　　25＝A×（F/A,4％,5）　　A＝25÷（F/A,4％,5）＝25÷5.7（万元）&& 说明：实际工作中，往往需要推算年金。即已知年金终值，求年金，此时求出的年金称作偿债基金。偿债基金的计算实质上是年金终值的逆运算，即把年金终值折算成年金。
　　（3）现值：普通年金现值是指为了在每期期末取得相等金额的款项，现在需要一次投入的金额。它也可以理解为，在未来每期期末取得的相等金额的款项折算为现在的总价值。
　　公式如下：
&&&&& 答案：P＝A×（P/A, i，n）＝5×（P/A,10％,10）＝5 ×6.（万元）
　　（4）年资本回收额（现值的逆运算）
　　①含义：资本回收是指在给定的年限内等额回收或清偿初始投入的资本或所欠的债务。其中未收回部分要按复利计息，并构成偿债的内容。
　　②公式：
　　资本回收额＝年金现值×资本回收系数＝年金现值÷年金现值系数
　　说明：如果已知年金现值求年金额，就是求年资本回收额。计算资本回收额实际上就是将年金现值折算成年金，是年金现值的逆运算。
　　小结：复利终值、复利现值、普通年金终值与普通年金现值的计算公式，以及有关系数之间的相互关系十分重要，考生务必熟练掌握。有关公式如下表：&&&&& 方法一、在0时点之前虚设一期，假设其起点为0′，于是可以将这一系列收付款项看成是0′～2之间的普通年金，将年金折现到第二年年末，然后再将第二年末的终值折到第三年年末。　　F＝A×（F/A, i，n）×（1+ i）　 　＝10000×（F/A,6%,3）×（1+6%）　 　＝16×1.06　 　＝33746（元）　　方法二、在第三年末虚设一期存款，使其满足普通年金的概念，然后将这期存款扣除。&&&&&&
　　F＝A×[（F/A, i，n +1）]-A　 　＝ A×[（F/A, i，n +1）-1]　 　＝ 10000×[（F/A,6％,3+1）-1]　 　＝10000×（4.3746-1）　 　＝33746（元）
　　（2）现值
　　即付年金现值＝年金×即付年金现值系数＝年金×普通年金现值系数×（1＋i）
　　　方法1：看出是一个期数为3的普通年金，然后乘以（1+ i）。　　P＝A×（P/A, i，n）×（1+ i）　 　＝10000×（P/A,6％,3）×（1+6％）　 　＝10×1.06　 　＝28334（元）　　方法2：首先将第一期支付扣除，看成是2期的普通年金，然后再加上第一期支付。　　P＝A×（P/A, i，n -1）+A　 　＝A×[（P/A, i，n -1）+1]　 　＝A×[（P/A,6％,2）+1]　 　＝10000×（1.8334+1）　 　＝28334（元）&&& 提示：（1）即付年金与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。（2）即付年金的终值（或现值）实际上都是在普通年金终值（或现值）的基础上乘以（1＋i），这是一个规律。
　　5.递延年金
　　（1）含义：递延年金是指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金。见下图：
　　（2）现值
　　第一种方法：先求出递延期末的现值，然后再将此现值调整到第一期期初。递延期末指上图中的m点。公式如下：
　　Pm＝A×（P／A，i，n）
　　P＝Pm×（1＋i）?Cm
　　第二种方法：先求出（m＋n）期的年金现值，再扣除递延期（m）的年金现值。公式如下：
　　P＝P（m＋n）－Pm= A×（P／A，i，m+n）- A×（P／A，i，m）
　　第三种方法：先求出递延年金的终值，再将其折算为现值，公式如下：
　　F?@＝A×（F／A，i，n）
　　P＝F?@×（1＋i）-(n+m)
　　说明：（1）递延年金现值的计算方法有许多种，只要搞清了递延年金的发生时点，用什么方法计算，其结果都是一样的。（2）递延年金的终值为F＝A×（F／A，i，n）和普通年金终值公式类似。
　　6.永续年金
　　（1）含义：永续年金是无限期定额支付的年金。由于永续年金没有终止时间，故没有终值。
　　（2）现值公式：
　例9：某公司想使用一办公楼，现有两种方案可供选择。　　方案一、永久租用办公楼一栋，每年年初支付租金78万元，一直到无穷。　　方案二、一次性购买，支付2500万元。　　目前存款利率为3％，问从年金角度考虑，哪一种方案更优？　　答案：　　方案一：P＝78×（1+3％）÷3％＝2678（万元）　　方案二：P＝2500（万元）　　所以方案二更优。
&&&&&& III．知识点练习
　　1．[单选题]如果某人五年后想拥有50000元，在利率为5%，单利计息的情况下，他现在必须存入银行的款项是（ &&）元。
　　A．50000&&&&& B．40000&&&& C．39176.31&&&&& D．47500　　
　　【解析】现在存入的款项=50000/（1+5×5%）=40000（元）。
　　2. [单选题] 某人存款100元，存期10年，存款复利率为10%，计算第6年利息的计息基数为（&& ）元。
　　A.100&&&&&&& B.161.05&&&&&& C.177.16&&&&&&& D.259.37　　
　　【解析】 第6年利息的计息基数实质上就是第5年末的终值F=100(1+10%)5=161.05元。
　　3．[单选题]如果某人现有退休金100000元，准备存入银行。如果银行的复利率为4%，则其10年后可以从银行取得（& ）元。
　　A．140000&&&&&& B．&&&&&& C．120000&&&&& D．150000　　
　　【解析】存入的款项=+4%）10=（元）
　　4. [单选题] 某人将6000元存入银行，银行的年利率为10%，按复利计算，则5年后此人可从银行取出( &&)元。
　　A．9220&&&&&&& B．9000&&&&&& C．9950&&&&&& D．9663　　
　　【解析】 该题已知复利现值和利率求复利终值，需使用复利终值系数进行计算。可从银行取出的金额=%）5=9663（元）。
　　5．[单选题]有一项年金，前3年无流入，后5年每年年初流入500万元，假设年利率为10%，其现值为（&& ）万元。
　　A．1994.59&&&&&& B．1565.68&&&&& C．1813.48&&&&&&& D．1423.21　　
　　【解析】 按递延年金求现值公式：递延年金现值＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i， m）＝500×（P/A，10%，5）×（P/ F，10%，2）=500×3.791×0.826=1565.68。
　　6. [单选题] 某大学决定建立科研奖金，现准备存入一笔现金，预计以后无限期地在每年年末支取利息20000元用来发放奖金。在存款年利率为10%的条件下，现在应存入( &&)元。
　　A．250000&&&&&& B．200000&&&&& C．215000& &&&&&D．16000　　
　　【解析】本题实质上是一个求永续年金的问题，应存入的款项=0000（元）。
　　7．[单选题]下列各项中，代表即付年金终值系数的是（&& ）。
　　A．[（F/A，i,n+1）+1]&&& B．[(F/A,i,n+1)-1]
　　C．[ (F/A,i,n-1)-1]&&&&& D．[ (F/A,i,n-1)+1]　　
　　【解析】解答本题需要明确即付年金终值系数与普通年金终值系数之间的关系，即付年金终值系数与普通年金终值系数相比期数加1，而系数减1。
　　8. [单选题] 如果（F/P，10%，10）＝2.5937，则（F/A，10%，10）的值为（　）。
　　A.0.3855　　&& 　B.6.1446&&&&&&&&& C.12.276　　　　　D.15.937　　
　　【解析】如果（F/P，10%，10）＝2.5937，则知（1＋10%）10＝2.5937，代入年金终值系数公式即可求得。
　　9. [单选题] 计算预付年金终值时，应用下列公式（　）。
　　A.A（P/A，i，n）（1＋i）&&&&&&&&&&&&&& &B.A（F/A，i，n）（1＋i）
　　C.A（P/F，i，n）（1＋i）　　　　　　　　D.A（F/P，i，n）（1＋i）　　
　　【解析】预付年金终值＝年金额×预付年金终值系数（普通年金终值系数表期数加1系数减1）或（1＋i）普通年金的终值。
　　10．[单选题]凡不是从第一期开始的系列等额收付款项称作（&& ）。
　　A．先付年金&&&& B．递延年金&&&&&& C．预付年金&&&&& D．普通年金　　
　　【解析】根据递延年金定义。
　　11．[多选题]递延年金的特点有（&& ）。
　　A．年金的第一次支付发生在若干期以后
　　B．没有终值
　　C．年金的现值与递延期无关
　　D．年金的终值与递延期无关　　
【答案】A、D
　　【解析】递延年金是指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金，其终值的大小与递延期无关，但其现值的大小与递延期有关。递延期越长，现值越小。
　　12. [多选题] 下列属于年金形式的有（&& ）。
　　A.零存零取&&&&& B.零存整取&&&&&& C.整存整取&&&&& D.整存零取　　
【答案】B、D
　　【解析】整存整取是一次收付款项。
　　13．[判断题]在现值及期限一定的情况下，利率越高，终值越大；在终值及期限一定的情况下，利率越高，现值越小。（&& ）　　
【答案】√
　　【解析】 终值与利率呈正向变化，现值与利率呈反向变化。
　　14. [判断题] 在利率和计息期相同的条件下.复利现值系数与复利终值系数互为倒数。 (&&& )　　
查看答案【答案】√&&&&&& 【解析】复利现值系数计算公式为(1+ i)-n,复利终值系数计算公式为(1+i)n,在利率和期数相同的情况下,它们互为倒数。
　　15．[判断题]由于利息的存在，终值一定大于现值。（&& ）　　
【答案】×
　　【解析】 终值必然与现值相对应，现值也必然与终值相对应。如果一个现值并不是终值相对应的现值，就很难判断这个终值是否大于现值。
　　16．[判断题] 年金终值系数的倒数等于年金现值系数。（&& ）　　
【答案】×
　　【解析】年金终值系数的倒数等于偿债基金系数。
　　17．[判断题]预付年金与普通年金的区别仅在于计息时间的不同。（& &）　　
【答案】×
　　【解析】即付年金与普通年金的区别在于每次款项收付的时点不同。
　　18．[判断题]若已知复利终值系数，不用查表，即可推算出同利率、同期限的复利现值系数、年金终值系数和年金现值系数。（&& ）　　
【答案】√
&&&&&& 【解析】根据各系数之间的关系，可以很容易地推导出上述四个系数之间的关系。
　　19．[判断题]利率为i、期限为n的即付年金现值，等于利率为i、期限为n-1的普通年金现值加一笔年金。（&& ）　　
【答案】√
　　【解析】根据即付年金的现值，不难得出上面的结论。
　　20．[判断题]即付年金现值系数等于即付年金终值系数的倒数。（&& ）　　
【答案】×&&&&& 【解析】根据即付年金终值系数和现值系数的公式，上述结论显然错误。
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年金现值的含义是什么？
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概念　　年金是指等额、定期的系列支出。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款等。
　　年金有普通年金、预付年金、递延年金和永续年金。
　　普通年金又称后付年金，是指各期期末收付的年金。普通年金现值，是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。
　　预付年金是值在每期期初支付的年金。
　　递延年金是指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金。
　　无限期定额支付的年金，称为永续年金。现实中的存本取息，可视为永续年金的一个例子。
　　年金现值是指将在一定时期内按相同时间间隔在每期期末收入或支付的相等金额折算到第一期初的现值之和 [编辑本段]计算　　年金现值是年金终值的逆计算。
　　计算公式：
　　P=[1-(1+i)的-n次方]/i，P是年金现值因子，设普通年金1元、...
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