来源： 作者：黄嘉威;
多项式除法解高次同余
1.引言由费马小定理开始高次同余有了计算方法,欧拉定理把它推广到合数情况,Carmichael函数更使同余运算更进一步.本文将透过多项式除法让高次同余运算得到更大的发展.2.费马小定理的推广费马小定理,即当a与p互素,且p为素数时,有ap-1≡1(mod p).这意味着多项式xp-x整除p[1],也意味着x(p)-xm整除pm.展开即:定理2.1 xmp≡∑mi=1-()1i-1Cimxmp-(p-1)imod p(m)用一个例子比较一下这个递推式与欧拉定理aφ(n)≡1(mod n).x14≡2x8-x2mod 7(2)x44≡x2mod 7(2)前者能在更小次方的情况下递推,更多的情况下mp小于(p-1)pm-1+m.要是用前者递推高次同余,没能一步过的话会很麻烦,欧拉定理却能一步过.x-x988≡3x988-2x982≡…(mod 7)2x1000≡x34mod 7(2)定理2.2xmp+(p-1)n≡∑mi=1-()1i-1Ci-1n+i-1Cm-in+mxmp-(p-1)imod p(m)x14+6n≡C1n+2x8-C1n+......(本文共计2页)
　　　　　　　
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郭敦顒回答：除x=1的特殊情况下，一般地说，-2/5(x^2-6x+5)mod17≡6x^2-2x-4(mod17)是个伪命题，如当x=2时，-2/5(x^2-6x+5)=1.2，6x^2-2x-4=16∴1.2 mod17不≡16mod17，∴-2/5(x^2-6x+5)mod17不≡ 6x^2-2x-4(mod17)，∴-2...2141人阅读
数论（68）
若是k个两两互质的正整数，，则同余式
& & & & &&
& & & & & & & & & & & & &(1)
与同余式组
& & & & &&
(i=1,2,3,...,k) & & & & &(2)
等价，并且若用表示对模的解数，T表示(1)式对模m的解数，
所以求多项式的解可以用上述方法，先分解分别求出各个解再合并。
定理二：p是素数，r&=2是整数，是整系数多项式，设是同余方程
的一个解，以表示的导数。
(1)若，则存在整数t，使是同于方程的解。
(2)若，并且，则对于t=0,1,2,3,...,p-1，中的
x都是方程的解。
2013年全国邀请赛长沙赛区的E题就是利用上述的定理。
给定函数&, pri为质数，求一个x使得，,
如果没有，输出No Solution.
首先求得所有的i,使得&
然后分别验证所有的&,
由于在第一次枚举的时候保留下来的i不会很多，第二次暴力枚举的时候复杂度不会很大。
#include &iostream&
#include &string.h&
#include &stdio.h&
typedef long long LL;
const int N=105;
LL temp[N];
LL Equ(LL n,LL x)
return a[1]*x+a[0];
else if(n==2) return a[2]*x*x+a[1]*x+a[0];
else if(n==3) return a[3]*x*x*x+a[2]*x*x+a[1]*x+a[0];
else if(n==4) return a[4]*x*x*x*x+a[3]*x*x*x+a[2]*x*x+a[1]*x+a[0];
int main()
LL T,n,i,j,p,k,tt=1;
while(T--)
for(i=n;i&=0;i--)
cin&&a[i];
for(i=0;i&p;i++)
if(Equ(n,i)%p==0)
temp[k++]=i;
printf(&Case #%I64d: No solution!\n&,tt++);
LL ret=-1;
for(i=0;i&k;i++)
bool flag=0;
for(j=0;j&p;j++)
LL x=(temp[i]+j*p);
if(Equ(n,x)%(p*p)==0)
if(ret==-1)
printf(&Case #%I64d: No solution!\n&,tt++);
printf(&Case #%I64d: %I64d\n&,tt++,ret);
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