180度根轨迹的幅值条件_百度作业帮
180度根轨迹的幅值条件
180度根轨迹的幅值条件
系统不稳定会产生震荡的时候,才有幅值裕量!零度根轨迹和一般根轨迹得区别是什么_百度知道
零度根轨迹和一般根轨迹得区别是什么
常规根轨迹和一般根轨迹都是由闭环特征方程得到的.1、对于最小相位系统,如果是负反馈的情况,开环传递函数为GH,则闭环传递函数为G/(1+GH)因此闭环特征方程为1+GH=0,即GH=-1.GH是关于s的函数,换句话说这个方程是一个复变的方程其相角条件是fai(GH)=180°.2、而对于正反馈的情况,闭环特征方程成为1-GH=0,此时为GH=1,相角条件为fai(GH)=0°,因此称为零度根轨迹.180度还是0度,关键就在于相角条件.3、另一方面,当系统中含有非最小相位环节,比如仅含有一个比例环节-K时,首先把它变成我们习惯的方式,即K来标注零极点(这种情况下是一样的),但是事实上已经改变了根轨迹的相角条件,因此此时画出的是零度根轨迹.4、再举一例,比如系统仅含有一个非最小相位环节(-s+1),则可以提出-1变为-1(s-1),这时侯后部分仍然是我们熟悉的零极点(只不过是不稳定的零极点,但是处理方法完全相同).但是-1这个因子改变了相角条件,所以此时画出的也是零度根轨迹.5、总而言之,如果系统含有非最小相位环节(s最高次项系数为负)或反馈为正反馈时,需要考虑是否画零度根轨迹.具体只需将闭环方程写成我们熟悉的零-极点形式,再观察等式另一边到底是1还是-1即可.
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第四章&&&& 根轨迹法&(6课时）
&&从前章得知闭环极点在根平面上的分布，反映着系统的固有性能。故为了获得较好性能，就希望极点在根平面上有较好的分布。亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平面上的分布来进行。
闭环极点是系统特征方程
的根sb。若其特征方程中，各系数变化，则无疑，其根sb也在变化。各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化而形成。在根迹中，一般总是以增益
(当然也可其它参数,如时间常数
)的变化而导致各系数的变化,即sb的变化。如果
连续变化,则sb也连续变化。相应于
由0连续变化到∞时, sb在根平面上的连续变化而形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若干条曲线。这样,相应于各个
值下的闭环极点在根平面上的分布就一目了然了。这对系统的分析、设计带来了极大的方便.。
所谓根轨迹法，就是用图解的方法确定出闭环特征根的一种方法。先在复数平面上画出系统某一参数的全部数值下的特征方程的所有根，即根轨迹。然后用图解的方法确定出该参数某一特定数值时的闭环特征根。从而分析出系统所具有的性能。或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。从而用图解的方法求出相应的系统应具有的参数值。相对时域法，很直观，且避免了求解系统高阶特征方程的困难。现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语言及其相应工具箱，有强大的数值计算和图形绘制功能。所以利用MATLAB语言相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻而易举的事。这就给根迹法的应用开辟了更好的前景。本章在介绍传统的根轨迹法及其示例的同时，有机结合介绍MATLAB语言相关的根轨迹函数及相应示例的解题程序。
4.1 根轨迹的一般概念
4.1.1标准二阶系统的根迹：
1．所谓标准二阶系统:
⑴. 系统方块图：如图4-1所示。
⑵.开环传递函数：
⑶．闭环传递函数:
⑷．特征方程：
(5). 特征根：
为两相异实根。
为两相等实根。
为一对共轭复根。其实部始终为。虚部为
。这意味着这些复根都集中在根平面上离虚轴处的
垂直线上。
⑷．据上分析可画出,如图4-2所示,标准二阶系统之根迹（粗线）。
× ……表示开环极点(0,-p)。
……表示开环零点(本例无)。
……表示闭环极点(sb)。
→……表示K的增长方向。
有了系统的根规迹图，闭环极点在根平面上的分布就一目了然了。系统的性能也就有数了。
4.1.2 讨论：
⒈ 此二阶系统有两条根迹,分别出发自开环极点0及-p。
⒉ 在0≤K＜p2/4即K增加时,根迹向(-p/2,j0)点移动,位于负实轴上。对应于系统过阻尼运动，即两相异负实根。
⒊ 当K=p2/4时为两相等负实根。对应于系统临界阻尼运动。
⒋ 当K＞p2/4时，为一对共轭复根。对应于系统欠阻尼运动，处于衰减振荡。K越大，ωd越高。但由于σd=p/2=Constat，所以ts变化不大。对应于
=p2/2,阻尼系数ξ=0.707, ωn=20.5P/2。
⒌ 由此根迹可看出系统的性能，随K的变化而变化。
4.1.3 结语：
⒈ 根迹，是指系统特征方程D(s)=0的根sb (闭环极点)，随系统参数的变化而变化的过程,在根平面上所形成的轨迹。从根迹图，可以看出系统参量的变化,对系统闭环极点在根平面上分布的影响。以及它们与系统性能的关系。
⒉ 理论上，随便变动某参数，都可得到相应的根迹。但最常用的是变化开环增益k，即K。其相应的根迹谓常规根迹。
⒊ 上述二阶系统的根迹，通过对D(s)=0求解sb ,而作出的。但对高阶系统的求解，是很困难的。实际上，常根据根迹的一些数学性质，用图解的办法，能较快地、大致地画出满足一定要求的根迹。现在,由于计算机的高度发展,有相应的软件,能很方便地、较精确地画出系统的根迹。Matlab就是一个强有力的工具。
绘制根轨迹的数学依据及其性质&
的二种表达式
⒈系统方块图：如图4-3
………开环放大系数,增益,传递系数。
……时间常数。
………开环零极点形式的传递系数。
……开环零点、极点的负值。
(2).与关系：
4.2.2 特征方程D(s)=0
的几种表达形式：
⒈.闭环传递函数的几种形式：
& 的几种形式：
⑸. (k=0,1,2,3,……)
4.2.3绘制根迹的数学依据：
⒈. 幅角条件,幅值条件--幅相条件:
⑴.所谓幅角条件(相角条件):
①. (k=0,1,2,3,……)
②. 幅角条件是绘制根迹的根本依据
--根平面上凡是满足幅角条件的点的全体就是根迹。
③.可利用幅角条件画根迹。
⑵.所谓幅值条件:
②.根迹上凡是满足幅值条件的点,就是相应
值的闭环极点sb,即
③.可利用幅值条件确定相应于sb的
⑶. 幅角条件与幅值条件不同点:
①幅角条件与
②.据幅值条件可知,幅值改变，相应于
仍以图4-1所示的系统为例,用幅角条件来求
由0→+∞变化时根轨迹,并用幅值条件确定使闭环系统的一对共轭复数极点的阻尼比ξ等于0.707时的
对于上述给定系统,其幅角条件为：
(k=0,1,2,3,……)
其幅值条件为：
综上可知,在作根轨迹图时,只需应用幅角条件,即可画出根的轨迹,然后利用幅值条件可求出根轨迹上某一点的相应的值。因为在图纸上绘制根轨迹的过程中,需要对幅角和幅值进行图解测量,故必须将横坐标轴与纵坐标轴按同样的尺度进行等分。
⒉.绘制根轨迹步骤如下:
⑴.在平面上画出开环极点:
有两个开环极点
，以×表示。
⑵.确定实轴上的根轨迹:
如果试验点位于正实轴上，则这表明不满足幅角条件。因此，在正实轴上没有根轨迹。
若将试验点选在负实轴上, 之间。
即满足幅角条件。
因此, 在负实轴上之间这一段是根轨迹一部分。
如果把试验点选在负实轴上之间。这时
此显然不满足幅角条件。故在负实轴上从之间这一段,不是根轨迹一部分。
综上,实轴上的根轨迹，存在于负实轴上
⑶.确定平面上,除了实轴以外的其它根轨迹:
平面上任取一点 (见图4-4),令us =Λ1,
us+p =Λ2 。如果
位于根轨迹上，则应满足幅角条件，即Λ1＋Λ2＝180L。显然，只有位于坐标原点之间线段的垂直平分线上的点,才能满足幅角条件，因此
平面上,该垂直平分线也是根轨迹的一部分。
综上所述，根据幅角条件求得并画出当
由0→+∞变化时根轨迹与图 4-2按公式直接计算根的值所画出的根轨迹是完全一样的，且前者不受系统方程阶次的限制，明显优于后者。
⑷.确定一对阻尼比ξ为0.707的共轭复数闭环极点:
这对闭环极点，位于通过原点且与负实轴夹角为
的直线上.由图可以求出,当ξ=0.707时, 这一对闭环极点为
与这对极点相应的
值,可用幅值条件确定为
4.3 绘制根轨迹的一般规则
仅根据幅角条件用试探法绘制根轨迹是比较麻烦的，但是如果采用下面介绍的作图
规则，就能较方便画出根轨迹．当然作图规则本身也是以幅角条件为基础建立起来的。下面介绍图4-3所示系统的根轨迹作图规则，并设由0变化到∞。
4.3.1. 绘制根迹规则的阐述
⒈. 根轨迹是连续的
当由0连续变化到∞时,
则闭环特征根也一定是相应连续变化的.所以根轨迹也必然是连续变化的。
⒉. 根轨迹对称于根平面的实轴
闭环特征方程为实系数代数方程。故，当出现复根时必共轭成对出现。因此根轨迹一定是对称于实轴的。所以在画根轨迹时,可只先画出一半,
然后利用对称原理画出另一半。
⒊. 根轨迹的起点、终点和条数。
①.根迹的条数为特征方程
中s的最高方次，一般为开环极点数n。
②.根迹的起点(对应
=0)为开环极点，终点为开环零点，包括∞零点。
n条根迹起始于n个开环极点，其中m条终止于m个开环零点，另n-m条终止于s平面∞处,即∞零点。
①.根迹的条数当然等于起点数.
幅值条件 L(s)/J(s)幅值为1/K
（n&m，K=） ，& sjφ
，无穷远处。
⒋. 实轴上的根迹
实轴上的根迹，由位于实轴上的开环零极点来确定，条件是其右边有奇数个开环零极点。
据幅角条件,就很容易说明上述性质.根迹上的某一点sb,对左边零极点所引的矢量的幅角始终为零。对右边零极点所引的矢量的幅角都为180度。故,奇数个零极点其幅角总和为奇数个180度。符合幅角条件。复平面上的开环零极点。因其共轭成对，其矢量幅角之和为零。故不必考虑其对实轴上的根迹的影响。
5.根迹的渐近线─-根迹趋向∞远的渐近线
①.凡是趋向∞零点的根迹,都存在渐近线(直线)。
渐近线从实轴上某点等交角地呈星形,对称于实轴发散出
条半直线。
有了渐近线,在
趋向∞时的根迹的位置就比较明确了。
②. 渐近线的交点的横座标σα及半直线的倾角α:
→∞,可略去一些较小量后,得出下式
上式用分母除以分子,得
系统特征方程:
因此上式可写成
当这时可只取前两项(由牛顿二项式展开)
这就是的近似特征方程,即渐近线方程。
据幅角条件:
由此渐近线倾角:
渐近线倾角公式几何意义：当
很大时，系统各开环零点、极点至无限远
点的向量已趋于相同，其角度为α。
由幅角条件：
→0时,可得渐近线的起点,即与实轴的交点
⒍求出分离点与会合点
①.由于根轨迹的共轭对称性所以分离点和会合点或位于实轴上,或发生于共轭复数对中。
②.如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这两个极点之间，至少存在一个分离点。同样，若根轨迹位于实轴上两个相邻的零点(一个零点可以位于无穷远处)之间，则在这两个相邻的零点之间，至少存在一个会合点．如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点(有限零点或无限零点)之间，则在这两个相邻的极、零点之间，或者是既不存在分离点也不存在会合点，或者是既存在分离点又存在会合点。
③.如果特征方程为
则分离点和会合点可由方程： (4-5)
的根来确定。
分离点和会合点是根迹重根所在点。基于这一点，即可推导出上面方程。因为,对于重根所在点，下列两个方程式成立。即
式中&′&表示对
而方程(4-5) 和上面方程(4-6)是相同的，故证毕。
值为正值，则
就是实际的分离点或会合点(因为假设 不为负值)。如果求得的 值为负值，则
点就不是分离点或会合点。另请注意，这种方法当然也能用于如存在着复数分离点和会合点的情况。
另在分离点和会合点处根轨迹两两之间夹角符合等角性原则，即等于±180L/υ,
υ为趋向或离开根迹的分支数，证略。
⒎求根轨迹自复数极点(或至复数零点)的出射角(或入射角)
为了充分精确地画出根轨迹，必须找出开环复数极点和复数零点附近的根轨迹方向．如果选定了试验点，并且令该点在十分靠近复数极点(或复数零点)的地方移动，则由所有其它极点和零点产生的角度之和，可以认为是不变的。因此，根轨迹自复数极点(或至复数零点)的出射角(或入射角)，就等于180L减去从所有其它极、零点到被考虑的复数极点(或复数零点)的诸复数向量的幅角(冠以适当符号)之和。其计算公式为：
在图4-7上表示了出射角的方位。
⒏求根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点，可以通过下述三种方法容易地求得,即可以采用或试探法求解，也可以令特征方程中的
,然后再使其实部和虚部分别等于零，求出
来。这时求得的ω值，就是根轨迹与虚轴交点的频率，而
值,则相应于临界稳定增益。
4.3.2 绘制根迹规则的列表
表4-1 绘制根迹的规则
根轨迹连续性、对称性
根轨迹是连续的，并且对称于实轴
根轨迹的起点，终点及条数
根轨迹的n条分支从n个开环极点出发，其中m条最终趋向m个开环零点，另外n-m条趋向∞远处
实轴上有根轨迹的线段
在实轴上的线段上存在根轨迹的条件是，其右边开环零、极点数目之和为奇数
根轨迹渐近线的相角
n-m条渐近线的相角为
根轨迹渐近线的交点
n-m条渐近线交点的坐标为
根轨迹的分离点
根轨迹的分离点必须满足方程式
根轨迹的出射角和入射角
根轨迹与虚轴的交点
以s=jω代入特征方程式求解或利用劳斯判据确定
4.4 绘制根轨迹的MATLAB函数介绍
--控制系统工具箱中，提供了如下函数
⒈.功能：绘制系统的根轨迹。
[r,k]=rlocus(n,d)
[r,k]=rlocus(g)
[r,k]=rlocus(n,d,k)
[r,k]=rlocus(g,k)
rlocus函数可计算出或画出SISO系统的根轨迹，其中g(或n,d)为对象模型，输入变量k为用户自已选择的增益向量，当k缺省时则为系统自动生成增益向量k,返回变量r为根轨迹各个点构成的复数矩阵.如果在函数调用中不返回任何参数，则rlocus函数在当前窗口中画出系统的根轨图。
⒈ 功能：计算给定一组根的根增益。
[k,p]=rlocfind(n,d)
[k,p]=rlocfind(n,d,k)
[k,p]=rlocfind(g)
[k,p]=rlocfind(g,k)
本函数允许用户求取根轨迹上指定点的开环根轨迹增益值，并将该增益下所有的闭环极点显示出来。当这个函数启动起来之后，在图形窗口上出现要求用户使用鼠标定位的提示，这时用户用鼠标点击根轨迹上所要求的点后，将返回一个k值,同时返回该k值下的所有闭环极点p的值，并将此闭环极点直接在根轨道曲线上显示出来。
⒈.功能:在连续系统根轨迹图中绘制出阻尼系数和自然频率栅格。
sgrid('new')
sgrid(z,w)
sgrid(z,w,'new')
本函数允许用户在连续系统根轨迹图中绘制出阻尼系数和自然频率栅格线，栅格线由等阻尼系数和等自然频率线构成，其中输入z,w为绘制指定阻尼系数和自然频率，当缺省时阻尼系数线以步长0.1从ξ=0到ξ=1绘出。Sgrid('new')函数先清除图形屏幕，然后绘制出栅格线，并设置成hold
on，使后续绘图命令能绘制在栅格上。
参数根轨迹
前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，都是以开环增益K为可变参数，这是在实际上最常见的情况。上述以开环增益K
为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。从理论上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等，这种以K以外的系统其他参量作为可变参量绘制的根轨迹，称作参数根轨迹，又称广义根轨迹。用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等对于系统性能的影响。
G(s)=5/s(s+a)
⒉思路和方法
如果选择系统其他参量为可变参量时，引入等效传递函数的概念，即作一个变换，使得此可变参量在等效传递函数中相当于开环增益K的位置，则上面介绍的幅角、幅值条件和绘制根轨迹的各种规则都依然有效。
上述变换的方法是对系统的特征方程作一个除法，即以特征方程中不含有该参数项的各项去除该方程，便可得到
的形式，其中就是要引入的等效传递函数。
+as+5=0&&&
4.6.2 多回路系统的根轨迹
前面介绍单环系统根迹，不仅适合单环，而且也适合多环系统。
2.思路和方法
先作内环根迹，再用幅值条件试探求出内环的闭环极点，进而作为外环的一部分开环极点，再画出外环的根迹。
4.7 正反馈回路和非最小相位系统根轨迹&
――零度根轨迹
正反馈回路根轨迹
前面介绍的绘制根迹的依据、法则，都是针对负反馈系统的。对于正反馈，前面的依据、规则，需要作些修改，修改以后的规则，可被用来画正反馈回路的根迹。
⒉修改内容：
⑴.作图依据：
①.特征方程：
②.幅角条件：
故称零度根轨迹。
③.幅值条件：
和前面一样。
⑵.作图规则：
①.实轴上根迹：为所在线段的右面有偶数个开环零、极点。
②.(n-m)条渐近线倾角：
③.根迹的出射角、入射角：
按零度根轨迹规则，绘制正反馈回路根轨迹，其步骤同负反馈。下面举例说明。
4.7.2 非最小相位系统之根迹
所谓非最小相位系统:
如果系统的所有极点和零点均位于s左半平面，则系统称为最小相位系统。如果系统至少有一个极点或零点位于s右半平面，则系统称为非最小相位系统。对于非最小相位系统之根迹绘制，要注意其幅角条件的变化。
控制系统的动态性能与系统的闭环传递函数的极点在s平面上的分布位置有密切关系。本章介绍了当系统开环传递函数的极点、零点己知的条件下，确定闭环传递函数极点的根轨迹法。其主要内容是：
⒈ 当系统参数变化时，闭环极点在s平面上变动的轨迹称为根轨迹。当可变参数为系统开环增益时，称为常规根轨迹。以其它参数为可变参数绘制的根轨迹，称为参数根轨迹。
⒉ 当系统开环传递函数极点、零点已知。根据由闭环特征方程得到幅角条件和由此条件推导出的表4-1所列出的绘制常规根轨迹的基本规则可简便地绘制出根轨迹的大致形状。
⒊ 在绘制参数根轨迹时，主要思路是作一个变换，将特征方程化为与常规根轨迹特征方程类似的形式。即变换后，使所选可变参数处于开环增益位置上。这样，依据常规根轨迹绘制方法，即可绘制出参数根轨迹了。
⒋ 当系统中存在局部正反馈回路，或非最小相位环节时，特征方程和幅角条件都有所改变。此与幅角条件有关的规则,须进行相应的修改。按照零度根轨迹的规则绘制零度根轨迹。
⒌ 据幅值条件，可求出可变参数为某特定值时，相应的一组特定闭环极点，或反之。
由Matlab提供的有关根轨迹函数，可方便地绘制出根轨迹，以及确定根轨迹某一特定点时，对应的某一特定参数值和相应一组闭环极点。
作业：4-6题如何确定实轴上的根轨迹_百度作业帮
如何确定实轴上的根轨迹
如何确定实轴上的根轨迹
一般情况下遇到的都是负反馈,相应的为180°根轨迹.这种情况若实轴某一区域右边开环实数零、极点之和为奇数,则该区域是根轨迹.若为正反馈,则是零度根轨迹.这种情况若实轴某一区域右边开环实数零、极点之和为实数,则该区域是根轨迹.}