数值分析方法在期权定价中的应用　　　　
东北大学学报(自然科学版)　　孙良,潘德惠　　　　
论文摘要:　　　　　　
当金融衍生证券的典型期权的估值没有确切的解析公式时，可用数值分析方法来估算其值，这样可以弥补Ｂｌａｃｋ?Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式在某些条件得不到满足而不能使用的局限性，更合理、准确地为期权定价提供参考．　　　　　　
论文内容:　　　　
现代金融衍生证券诞生于70年代,随着金融衍生证券市场的蓬勃发展,衍生证券给现代金融学提出了极其复杂的数学问题,包括金融变量的数学描述,各种金融变量之间的关系分析、市场风险的计算与控制问题等等.期权合同是金融衍生证券的典型代表,在金融创新结构中占有重要的地位.　　　　　
改革开放十多年以来,中国同国际金融界的联系越来越密切,如何防范和化解金融风险已引起有关方面的高度重视.我国加入世界贸易组织指日可待,对金融衍生证券的理论与方法及其实证研究已是实践上的迫切需要,同时也是现代金融理论发展的需要.特别是金融衍生证券的定价问题研究,给我国金融界提出了一个全新的课题. 前不久,东南亚国家的金融危机及香港股市的大幅波动,无不与金融衍生证券的交易有关.本文在Ｂｌａｃｋ- Ｓｃｈｏｌｅｓ股票期权定价模型的基础上,研究了期权估值的数值分析方法,为期权的定价提供了较为精确的估值方法.　　　　
1　期权定价问题　　　　
所谓期权是赋予其持有者买卖标的资产的权利.期权的标的资产包括股票、股票指数、外汇、商品和期货合约等等.期权有两种基本类型,看涨期权和看跌期权.看涨期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格购买标的资产.看跌期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产.本文中所指的期权为股票期权.当股票价格变化时,期权将变成盈利或亏损,当股票价格高于结算价格时,看涨期权是盈利的;当股票价格低于结算价格时,看涨期权是亏损的.看跌期权正好与此相反.以上所述的期权是美式期权,它们可以在到期日或到期日之前的任何时候执行.期权只能在到期日执行的称为欧式期权.由于买卖双方在二级市场上总是可以协商的,期权的定价问题不仅在开始时很重要,而且在整个到期时间内决定是否提前执行期权,也是相当重要的.　　　　　
1973年Ｂｌａｃｋ和Ｓｈｏｌｅｓ两位教授设计出一种欧式股票看涨期权的定价模型,其基本思想为股票期权价格依赖于股票的价格、时间和已知恒量的变化,并且由此可以产生一种套期保值头寸,包括股票的长期头寸和期权的短期头寸,其价值以时间和已知恒量为基础,并不依赖于股票的价格.只要连续地调整期权的短期头寸,套期保值头寸的风险便为零.为此Ｂｌａｃｋ和Ｓｃｈｏｌｅｓ在一系列假设条件下推导出如下偏微分方程:　　　　　
Ｃ　ｔ+ｒＳＣ　Ｓ+1 2σ2Ｓ2 2Ｃ　Ｓ2-ｒＣ=0(1)　　　　
初始边界条件为　　　　　
Ｃ(0,ｔ)=0,ＣＴ=ｍａｘ(ＳＴ-Ｋ,0), 0≤ｔ≤Ｔ,0≤Ｓｔ&∞(2)　　　　　
式中,Ｔ为执行期权的时间,ＳＴ为在Ｔ时刻股票的价格,Ｋ为期权合约中的执行价格,ｒ为无风险利率,σ2瞬时收益率的方差,ＣＴ为看涨期权的价值,有时使用Ｃ(Ｓ,ｔ)表示其依赖于时刻ｔ的股票价格.　　　　　
方程(1)的解析解为Ｃ=ＳＮ(ｄ1)-Ｋｅ-ｒ(Ｔ-ｔ)Ｎ(ｄ2) (3) 其中, ｄ1=ｌｎ(Ｓ/Ｋ)+(ｒ+σ2/2)(Ｔ-ｔ) σＴ-ｔｄ2=ｌｎ(Ｓ/Ｋ)+(ｒ-σ2/2)(Ｔ-ｔ) σＴ-ｔＮ( )为标准正态分布变量的累计概率分布函数.　　　　　
2　蒙特卡罗模拟　　　　
期权定价的最常用方法是ＢｌａｃｋＳｃｈｏｌｅｓ期权定价公式[1].这个方法是使用一个随机模型来描述构成期权的股票价格的动态过程,它是建立在关于此过程概率结构的某些假设基础上,当这些假设无效时(如考虑到股票价格的最后的概率分布),模型无解析解,因此有必要运用数值分析方法来求出其近似解.　　　　　
这种数值分析方法可分成两大类:一种是描述股票价格演变的随机过程:另一种是控制股票期权价格演变的偏微分方程.前者用蒙特卡罗模　　
拟的方法;后者采用有限差分方法来求解.　　　　　
首先采用蒙特卡罗模拟方法.考虑到股票价格的一个随机样本在Ｔ时刻定价此时的看涨期权和看跌期权,可用以下公式:　　　　　
Ｃ(Ｓ,Ｔ)=ｍａｘ(ＳＴ-Ｋ,0) 看涨期权　　　　　
Ｃ(Ｓ,Ｔ)=ｍａｘ(Ｋ-ＳＴ,0) 看跌期权　　　　
因此得到在时间Ｔ的期权价值的一个样本, 若样本数足够多,根据大数定理,这些期权价值的平均值Ｃμ被近似看做是期望值Ｅ(ＣＴ):　　　　　
Ｅ(ＣＴ)=∫∞Ｋ(ＳＴ-Ｋ)ｆ(ＳＴ)ｄＳＴ　看涨期权　　　　　
Ｅ(ＣＴ)=∫∞Ｋ(Ｋ-ＳＴ)ｆ(ＳＴ)ｄＳＴ　看跌期权　　　　
其中,ｆ(ＳＴ)为股票价格ＳＴ的概率密度函数. 若假设金融市场处于风险中性的,以一个合适的利率通过贴现Ｃμ,得到:　　　　　
Ｃｔ=Ｃμ/(1+ｉ)Ｔ-ｔ(4)　　　　　
模拟股票价格的方法可以模拟风险中性市场中该变量的一种可能途径.这样就可以计算出期权的最终价值.这一最终价值可被看作是全部可能终值集合中的一个随机样本.用该变量的另一条路径可以获得另一个样本终值.更多的样本路径可以得出更多的样本终值.计算出大量终值后,Ｅ(ＣＴ)用它们的算术平均来估计,然后用计算Ｃｔ的公式就可以计算出期权的现值.单个终值的计算或单个终值的贴现计算将被称作一次模拟运算.这种方法允许此过程在不同的假设下,以不同的概率分布重复进行多次计算.　　　　　
3　有限差分方法　　　　
ＢｌａｃｋＳｃｈｏｌｅｓ模型的推导是建立在6个假设基础上:　　　　
①没有交易成本、税或卖空限制;　　　　
②无风险收益率是常量;　　　　
③股票不付股息;　　　　
④股票价格公式的展开是几何布朗运动;　　　　
⑤对于贸易市场是连续开放的;　　　　
⑥期权是欧式的.　　　　　
而美式的看跌期权的定价具有这样的特征: 这种期权执行所得的支付Ｋ-ＳＴ是已知的(依当时的股票价格条件),而期限是未知的,执行时　　
间并非合同规定,而是由卖方期权所有者选择.美式看跌期权问题的解析解还没有推出来.这就使得方程数值解的研究显得尤其重要.而有限差分方法通过数值方法求解期权所满足的偏微分方程来为期权估值.将偏微分方程转化为一系列的差分方程后,再用迭代法求解这些差分方程.　　　　　
考虑一个股票的美式看跌期权,该期权必须满足的微分方程是　　　　
Ｃ　ｔ+(ｒ-Ｄ)ＳＣ　Ｓ+1 2σ2Ｓ2 2Ｃ　Ｓ2-ｒＣ=0 (5)　　　　　
其中,Ｄ为在期权期限内股票派发的红利率,初始边界条件为　　　　　
Ｃ(0,ｔ)=0,ＣＴ=ｍａｘ(Ｋ-ＳＴ,0) 0≤ｔ≤Ｔ,0≤Ｓｔ&∞　　　　　
将上述方程转化为常系数方程,设ｓ=ｌｎＳ,ｃ(ｔ, ｓ)=Ｃ(ｔ,Ｓ),则　　　　　
ｃ　ｔ+ ｒ-1 2σ2-Ｄｎ　ｃ　ｓ+1 2σ2 2ｃ　ｓ2-ｒｃ=0 (6)　　　　　
利用有限差分方法将微分方程(6)化为差分方程,这里,ｎ代表变量ｔ的增量ｇ的步数;ｍ代表变量Ｓ的增量ｈ的步数,ｃｉｊ代表在节点(ｉｇ,ｊｈ)上的衍生证券Ｃ(ｉｇ,ｊｈ)值,ｉ=0,…,ｎ,ｊ=0, …,ｍ.对于节点有:　　　　　
ｃｔ(ｉ,ｊ)=ｃｉ+1,ｊ-ｃｉ,ｊｇ+Ｏ(ｇ) (7)　ｃ　ｓ(ｉ,ｊ)=ｃｉ,ｊ+1-ｃｉ,ｊ-12ｈ+Ｏ(ｈ2) (8)　　　　　
2ｃ　ｓ2(ｉ,ｊ)=ｃｉ,ｊ+1+ｃｉ,ｊ-1-2ｃｉ,ｊｈ2 +Ｏ(ｈ2)(9)　　　　
将式(7)～式(9)代入式(6)中得　　　　
αｃｉ,ｊ-1+βｃｉ,ｊ+γｃｉ,ｊ+1=ｃｉ+1,ｊ(10) 其中, α=-ｇσ2/2ｈ2- ｒ-1 2σ2-Ｄ)　　　　　
其中, 2ｈｌｎＳ/ β=1+ｇσ2/ｈ2-ｒｇγ=-ｇσ2/2ｈ2+ ｒ-1 2σ2-ＤＴｔ2ｈ)为现在可以运用美式看跌期权的边界条件,Ｔ时刻看跌期权的价值为ｃｎｊ=ｍａｘ(Ｋ-ｊｈ,0)
(11)　　　　　
当股票价格为零时,看跌期权的价值为Ｋ.因此, ｃｉ0=Ｋ(12) 当股票价格趋于无穷大时,看跌期权的价值趋于零.因此用近似值, ｃｉｍ=0 (13) 这样利用式(10)可计算出期权的价值. 美式期权与欧式期权的区别在于欧式期权只能在到期日执行,而美式期权可在期权有效期内任何时候执行,采用上述有限差分方法处理提前执行期权问题并不是很困难,只要每步采取用ｍａｘ[ｃ(ｓ,ｔ),λ(ｓ)]来代替计算出的ｃ(ｓ,ｔ)的　　
值,其中λ(ｓ)是执行期权所获收益,由式(11)给出,如ｃ(ｓ,ｔ)&λ(ｓ),则立即执行期权.考虑一个有效期为5个月的股票看跌期权,在期权期限内股票派发的红利率为0 04,初始价格为40,执行价格40,无风险利率为每年12%,股票收益的波动率为每年0 3,则通过上述方法计算得该股票期权价值为3 31.　　　　
4　结　　论　　　　
对于金融衍生证券的定价公式因种类不同而有许多,一旦某些假设得不到满足,使得公式的运用存在某些误差. 本文从金融衍生证券的典型代表期权所具有的普遍性出发,在Ｂｌａｃｋ　Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型的基础上,运用数值分析方法,给出股票期权估值的数值解,为股票衍生证券定价提供了一个较为合理、准确的估值方法.　　　　　
参考文献　　　　　
1 ＴｕｃｋｅｒＡＬ.Ｆｉｎａｎｃｉａｌｆｕｔｕｒｅｓ,ｏｐｔｉｏｎａｎｄｓｗａｐｓ.ＳｔＰａｕｌ:　　
ＷｅｓｔＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＣｏｍｐａｎｙ,1991　　　　　
2 ＧｅｓｋｅＲ,ＳｈａｓｔｒｉＫ.Ｖａｌｕａｔｉｏｎｂｙａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ:Ａ　　
ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｏｐｔｉｏｎｖａｌｕａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ.ＪＦｉｎ　　
ＱｕａｎｔＡｎａｌ,):45～71　　　　　
3 ＢｅｒｔｏｎｃｃｎｉＭ.Ｏｐｔｉｏｎｅｖａｌｕａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ.ＯＭＥＧＡ,):317～323　　　　
4 ＭｏｒｔｏｎＲ.Ｔｈｅｏｒｙｏｆｒａｔｉｏｎａｌｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇ.ＢｅｌｌＪｏｕｒｎａｌｏｆ　　
ＥｃｏｎｏｍｉｃａｎｄＭａｎａｇｅｍｅｎｔＳｃｉｅｎｃｅ,1973,4(Ｓｐｒｉｎｇ):141～183　　　　
5 复旦大学.随机过程.北京:高等教育出版社,0　　　　　
6 约翰·赫尔著.期权、期货和衍生证券.张陶伟译.北京:华夏出版社,5　　　　　
7 周立.金融衍生工具发展与监管.北京:中国发展出版社, 　　　　　
8 张屹山.期货与期权交易.长春:吉林大学出版社,～269　　
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　　外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义　　　　　　　　
清华大学经济管理学院　张陶伟　　　　
　　期权交易是八十年代以来国际金融市场颇具特色的合同交易,其最基本用途是为了转移利率和汇率变动风险,最大特点是在保留从有利价格变动中获取收益可能性的同时,也防止了不利价格变动可能带来的更大损失。另外,期权是许许多多有价证券、金融工具的建筑砌块,因此无论怎样强调期权定价的重要性都不过分。　　　　
　　Black─Scholes(1973)假设股票价格的对数变化遵循Wiener-Levy过程,建立一个使用期权、股票的无风险套期保值资产组合,导致一个偏微分方程式,解一个热力学扩散方程,得到期权价格解析解,即著名的不支付红利的欧式股票Call期权定价公式;Garman与Kohlhagen(1983)及Grabbe(1983)等人基于同样思路,建立一个使用期权、国内货币债券和国外货币债券的无风险套期保值资产组合,得到欧式外汇Call期权定价公式,以上计算都要使用较多的随机过程及解偏微分方程的知识。期权定价的另一思路是Cox、Ross和Rubinstein(1979)使用二项式分布得出的变动概率代替价格对数变化遵循Wiener-Levy过程的假设,利用代数知识得出一般的欧式和美式期权定价公式,随后Geske和Johnson(1984)推导出美式期权定价精确解析式。本文目的一是通过二项式定价公式推导过程,进一步解释推导中假设条件的经济涵义;二是给出可适用于各类期权计算思路及结论。　　　　
　　首先,利用期权抛补的利率平价关系得到单周期外汇Call期权二项式定价公式;其次,给出一般表达式。　　　　
一、期权抛补的利率平价关系　　
　　由于国际外汇市场与国际货币市场通过广义利率平价关系联系在一起,与远期抛补利率平价(forward-cover　　
IRP)类似,货币期权市场也给出另一种期权抛补利率平价(option-cover　　
IRP)关系,以下就根据无风险资产组合(即套利)过程,不考虑佣金因素影响,应用单周期二项式即期价格分布推导Call期权价格计算公式。设　　
　　S＝周期初即期汇率,以每一个外币相当于若干本币来表示　　
　　Co＝周期初外币Call期权价格　　
　　X＝执行价格,以每一个外币相当于若干本币来表示　　
　　t＝单周期Call期权有效期,单位:年　　
　　r＝本币无风险利率,单位:％p.a.　　
　　f＝外币无风险利率,单位:％p.a.　　
　　St＝期末的即期汇率　　
　　第一步：根据二项式价格分布涵义,设将来(单周期末的)即期汇率只有uS和dS两个值,看一看周期末即期汇率分布和外币Call价值分布：　　
　　不失一般性,可假设　　
　　u＞d＞0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)　　
　　当即期汇率从期初S升值到期末St＝uS,则此时外币Call价值　　　　　　
　　Cu＝max{0,uS－X}≥0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)　　
　　当即期汇率从期初S贬值到期末St＝dS,则此时外币Call价值　　　　　　
　　Cd＝max{0,dS－X}≥0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)　　
　　根据期权性质,Co≥0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4)　　
　　以上条件也就是推导期初Call价值计算公式时所依据的边界条件。从期初到期末汇率分支如图1,外币Call价值分支如图2。　　　　
　期初即期汇率　　期末即期汇率　　　期初Call权　　期末Call权　　
　　　│　　　　　　　│　　　　　　　价值　　　　　价值　　
　　　│　　　　　　　↓　　　　　　　　│　　　　　　↓　　
　　　↓　　φ　　　　uS　　　　　　　　↓　　　　　　Cu＝max{0,uS－X}　　　　
　　　S　　　　　　　　　　　　　　　　　Co　　　　
　　　　　1－φ　　　dS　　　　　　　　　　　　　　　Cd＝max{0,dS－X}　　　　
　图1　单周期即期汇率二项式分支图　　图2　外币Call价值二项式分支图　　　　
　　第二步：利用Call期权与其它金融工具构造无风险套期保值资产组合(即该期权组合保持δ中性)。构造该无风险资产组合的关键是推导出该组合中现货市场金融工具(如外币债券)数量与该周期内期权数量的套期比率H(Hedging　　
Ratio)。　　
　　假设某投资者周期末持有一单位外币债券多头和H个外币Call期权空头,那么,首先要求出以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt,其结果参见表1。　　　　
　　表1　套期保值组合的总期末价值(以本币衡量)　　
　　　─────┬───────┬───────┬──────　　
　　　　　　　　│期末一单位外币│外币Call期权│套期保值组合　　
　　　　　　　　│债券多头的价值│空头期末价值│期末总价值Vt　　
　　　─────┼───────┼───────┼──────　　
　　　当St＝u×S│　1×u×S　　│　－H×Cu　　│u×S－H×Cu　　
　　　当St＝d×S│　1×d×S　　│　－H×Cd　　│d×S－H×Cd　　
　　　─────┴───────┴───────┴──────　　　　
　　为了使套期保值组合的期末总价值Vt不随St变化而变化,即保持期权组合δ中性,则必须要求　　
　　Vt＝uS－H×Cu＝dS－H×Cd　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)　　
　　解以上方程即得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　uS－dS　　u－d　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　H＝────＝───×S　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)　　
　　　　Cu－Cd　　Cu－Cd　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　dCu－uCd　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　Vt＝─────×S　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)　　
　　　　　Cu－Cd　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　其次,计算一下该投资者期初总支出Vo。期末一单位外币债券多头贴现回期初,以外币计价的债券期初价格为1×e-ft,投资者当时所支出本币则为1×e-ft×S；投资者期初同时卖出H个外币Call期权,每个Call期权价格为Co(以本币计价),所收取的本币为H×Co,这样就减少了期初的本币支出,则以本币衡量的套期保值组合期初总支出Vo为　　　　
　　Vo＝Se-ft－H×Co　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)　　
　　再次,通过构造无风险投资组合,求出外币Call期权价值。显然,只有当以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt与期初价值Vo之比等于本币资金市场上无风险收益率时,这种组合就不存在超额无风险利润(若期末价值与期初价值之比不等于本币无风险收益率,就会有获取超额无风险利润的套利机会),即　　　　
　　Vt　(dCu－uCd)/(Cu－Cd)×S　　
　　─＝────────────＝ert　　　　　　　　　　　　(9)　　
　　Vo　　　Se-ft－H×Co　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　最后解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　Co＝(φ×Cu＋(1－φ)×Cd)e-rt　　　　　　　　　　　　　　(10)　　
　　其中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　e(r-f)t－d　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　φ＝──────　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(11)　　
　　　　　u－d　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　那么,在(10)式中,φ的经济涵义到底是什么呢?　　
　　利用反证法,可以证明:　　
　　1≥φ≥0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12)　　
　　已知在利率平价状态下,该周期末的远期汇率　　　　　　　　　　　　　
　　F＝Se(r-f)t　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)　　
　　(13)式代入(11)式得　　
　　φ＝(F/S－d)/(u－d)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(14)　　
　　若φ＜0,由(14)式可知F＜dS,则套利者可通过借外币,买本币,投资本币,买入远期外币的抛补套利,获得额外无风险利润;　　
　　同样,若φ＞1,即F＞uS,则套利者可通过借本币,买外币,投资外币,卖出远期外币的抛补套利,获得额外无风险利润。由于市场套利的力量,将使φ维持在0和1之间。　　　　
　　如果将图1二项式分支过程理解为一个伯努利概型的过程,这个φ值可理解为期初即期汇率S上升到期末即期汇率uS的概率;当然从S下降到dS的概率为(1－φ)。特别要指出的是,只有当这个φ值与u,d的关系满足(11)式时,才有可能构造无风险投资组合,该组合既不存在汇率变动风险,也不存在获取超额无风险利润的套利机会;并且,当(11)式满足时,则在φ、u和d三个变量中,一个变量可由另外两个变量所确定。　　　　
　　当然,当即期汇率随时间变化时,套期比率H也随时间变化,应及时调整组合中各资产头寸量,保持期权组合δ中性。　　　　
二、Call期权定价的一般表达式　　
　　以上推导出的单周期Call期权定价式可推广到n周期的情形,期权有效期t按n周期平分后每个周期的时间间隔为t/n,按复利计算一个周期远期汇率为　　　
　　F＝Se(r-f)t/n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15)　　
　　每个周期对应的上升概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　e(r-f)t/n－d　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　q＝───────　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(16)　　
　　　　　　u－d　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　n周期即期汇率二项式分支如图3所示,n周期外币Call价值二项式分支如图4所示。　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　unS　　　　　j＝n　　
　　　　　　　　　　　　q　　　uuS　　　　　　　　　　　　
　　　　q　　　　uS　　　　　　　　　　　un-1dS　　　　j＝n-1　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ujdn-jS　　　j　　
　S　　　　　　　　　　1－q　　　udS　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　q　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　udn-1S　　　　j＝　　
　　　1－q　　　　dS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　1－q　　　ddS　　　dnS　　　　　j＝0　　　　
0└──周期1 ──┴──周期2 ─┴─　周期n─┘t　　　　
　　　　　　图3　n周期即期汇率二项式分支图　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　Cun＝max{0,unS－X}　　　　　j＝n　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　q　　　Cuu　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　q　　　Cu　　　　　　　　　Cudn-1＝max{0,udn-1S－X}　　j＝n-1　　
　　　　　　　　　1-q　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　C　　　　　　　　q　　　Cud　　Cujdn-j＝max{0,ujdn-jS－X}　j　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　1-q　　Cd　　　　　　　　　Cudn-1＝max{0,udn-1S－X}　　j＝1　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　1-q　　Cdd　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　Cdn＝max{0,dnS－X}　　　　　j＝0　　　　
0└─周期1 ─┴─周期2 ┴　周期n─┘t　　　　　　　　　　　　
　　　　　　图4　n周期外币Call价值二项式分支图　　　　
　　由图3可知,从期初价格为S经过n周期后价格达到ujdn-jS点的概率为qj(1-q)n-j,n周期后出现这个价格点总次数为n!/(j!(n-j)!)次。　　　　
　　　　n　　n!　　
　　C＝∑─────qj(1-q)n-j×max{0,ujdn-jS－X}e-rt/n×n　　　(17)　　
　　　j＝0 j!(n-j)!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　设a是满足uadn-aS＞X的最小非负整数,　　　　　　　　　　　　　　　
　　即a是大于(ln(X/S))/(ln(u/d))最小非负整数。　　　　　　　　　　　
　　当a＞n,C＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(18)　　
　　当a＜n,有如下两种情形:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　对j＜a,max{0,ujdn-jS－X}＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　对j＞a,max{0,ujdn-jS－X}＝ujdn-jS－X　　　　　　　　　　　　　
　　　　n　n!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　C＝∑─────qj(1-q)n-j×(ujdn-jS－X)e-rt　　　　　　　　(19)　　
　　　j＝a j!(n-j)!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　令　q\'＝ue-(r-f)t/n×q　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(20)　　
　　　　　q\'e(r-f)t/n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　得　q＝──────　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(21)　　
　　　　　　　　u　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　代入上式得到　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　n　　n!　　　　　　　　　　　　n　　n!　　　　　　　　
　　C＝Se-ft∑─────q\'j(1-q\')n-j－Xe-rt∑────qj(1-q)n-j　(22)　　
　　　　　　j＝a j!(n-j)!　　　　　　　　　　j＝a j!(n-j)!　　　　　　
　　令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　n　　n!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　B\'(a,n,q\')＝∑─────q\'j(1-q\')n-j　　　　　　　　　　　(23)　　
　　　　　　　j＝a j!(n-j)!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　n　　n!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　B(a,n,q)＝∑─────qj(1-q)n-j　　　　　　　　　　　　　　(24)　　
　　　　　　j＝a j!(n-j)!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　得到:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　C＝Se-ftB\'(a,n,q\')－Xe-rtB(a,n,q)　　　　　　　　　　　　　　(25)　　
　　B(a,n,q)的涵义是什么呢?实际上B(a,n,q)是经过n次伯努利试验后,上升u倍事件落在a和n之间的累积的概率,q是一次伯努利试验后,价格上升u倍事件的概率。　　　　
　　(25)式就是一般期权定价公式,有较大的适用范围。当我们把时间轴做无穷细分(无穷周期,即n→∞)时,若将来即期汇率服从一定分布(例如即期汇价的对数变化遵循Wiener-Levy过程),则欧式Call期权价格二项式定价公式的极限形式就是Black─Scholes的外币期权定价式。因篇幅所限,证明从略。　　　　　　
参考文献:　　
　　1.　Black.F,and M.Scholes,The Pricing of Options and Corporate　　
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　　2.　Cox,John.Stephen A.Ross,and Mark Rubinstein,Option　　
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　　3.　Garman,Mark B., and Steven W. Kohlhagen,Foreign Currency　　
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　　4.　Geske,R.,and H. Johnson,The American Put Value Analytically,Journal　　
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　　5.　张陶伟,国际金融原理,1995年,清华大学出版社.
　　 1997年度诺贝尔经济学奖与期权定价理论　　　　
经济评论　　王忠玉，冯英俊　　　　
论文摘要：　　　　
本文介绍了布莱克- 斯科尔斯的文章（主要是关于B-S 模型的），考察了欧式期权，并　　且是沿着“复制”的线索来展开期权定价问题讨论，同时研究了该模型在期权市场和证券保　　险市场的应用。　　　　
论文内容：　　　　
一、引言　　　　
随着布莱克和斯科尔斯合著的一篇载于《政治经济学杂志》1973年5 月号的《期权定价　　与公司债务》的发表，期权定价这个神秘的问题被认为在金融经济学上有了新的重要意义。　　此期权定价模型公式的诞生是1973年金融界出现的两个重大事件之一[ 另一个是1973年4 月，　　第一家现代期权交易市场，即芝加哥期权交易所（CBOE）正式开张营业，挂牌推出12种期权　　交易].从此，股票期权交易进入官方金融产品交易项目。一个月之后，芝加哥的期权交易者　　们就开始利用布莱克- 斯科尔斯公式测算期权的价值。几年的时间内，这个基本的模型公式　　被推广应用到认股证书、可兑现债券、可赎回债券和许多其它的金融工具上。耶鲁大学著名　　的金融学教授斯蒂芬。罗斯（StephenRoss ）曾把布莱克- 斯科尔斯模型描述为：“不仅在　　金融领域，而且在整个经济学中最为成功的理论。”　　　　
布莱克- 斯科尔斯模型的影响已远远超出期权交易领域。公司战略家运用这一理论评价　　经营决策；债券分析家利用这一理论估价风险债务；管理者应用这一理论对存款保险进行估　　值；冒险性的油井开掘者采用这一理论估价勘探租约。经济学家们则把这一理论扩大应用到　　从工资谈判到分析币值波动的各个方面。事实上，这一模型可以用来检查价值取决于不确定　　的未来资产价值的任何合约。　　　　
二、期权与期权定价问题期权有两种类型。　　　　
一种是买进期权，亦称看涨期权，是指其持有者在规定的时间以确定的价格买进资产　　（比如股票、利率等）的权利。另一种是卖出期权，亦称看跌期权，是指其持有者在规定的　　时间以确定的价格卖出资产的权利。期权是所谓衍生证券的一种，它是由股票等“原生资产”　　或称为“标的资产”所衍生出来的。实际上，衍生证券在理论上有一个同义词称为未定权益。　　　　
在布莱克和斯科尔斯两位先生写作《期权定价与公司债务》一文时，期权交易主要发生　　在伦敦和芝加哥。这两个市场在一个重要方面即交易形式上存在着差异：以伦敦为基地的投　　机者经营的期权是欧式期权，而芝加哥的投机者经营的期权是美式期权。欧式期权是在到期　　日履行，而美式期权是既可在到期日履行，又可在到期日之前的任何时期履行。因此，美式　　期权定价比欧式期权定价更复杂更困难。本文这里介绍的和布莱克- 斯科尔斯的文章一样，　　考察的仅限于欧式期权，并且本文是沿着“复制”的线索来展开期权定价问题讨论的。实际　　上，布莱克- 斯科尔斯模型很快被应用于美式买进期权的定价研究上。　　　　
自从布莱克- 斯科尔斯公式在1973年发表以来，期权定价就成为金融数学研究的中心点。　　布莱克和斯科尔斯的文章，在一定的假设条件下，运用一些高深的数学知识（比如布朗运动、　　偏微分方程等理论），给出了欧式买进期权的估值。实际上，隐藏在这种理论背后的思想很　　简单。下面，我们沿着“复制”的线索来详细地探讨期权定价问题。　　　　
这里的期权合约是指给予持有者在实行T 时间有权以协商的价格E （通称为执行价格）　　去买进一股指定的股票。设S （t ）记为股票在t 时间时的股票价格。显然，如果S （T ）　　≤E ，那么期权是不值钱的，然而如果S （T ）&E，期权对持有者而言有正的（赢利）价值　　存在，那么就要执行它。于是，如果S （T ）&E，那么期权的卖方有责任在T 时间以现金E　　去支付每股的价值。定价问题就是确定买入者在较早的某一t 时间为获得这样的期权应该支　　付多少去买进期权，同时确定卖方发行期权应报价多少。由于持有期权就等同于有一个投机　　的机会，所以这一问题的答案首先看起来必须依赖于买入者或卖方对风险的态度，因而不存　　在一种“普适”的定价公式。然而，布莱克和斯科尔斯证明，在某种情况下，实际上这样的　　一种普通公式存在是可能的。特别地，他们假设股票价格过程S （t ）是服从于几何布朗运　　动（即股价相对变动服从于几何布朗运动）；假设有一个银行帐户，即无风险投资以常值利　　率r 来获得支付利息是可行的；同时假设基金可以从银行转移到股票，反之亦然，但要受到　　限制或需支付费用。那么，可以证明完全的套期保值是可能的：我们能够以银行和股票在T　　时间具有概率1 的价值是（S （T ）-E）形成一个时间变化的或者动态的自筹资的套期保值　　的证券投资组合。（这是无任何交易费用时期权在T 时间的价值，如果S （T ）&E时，由于　　期权被执行，而股票立刻转售，那么获得S （T ）-E的利润，参看如图1 ）。期权在t 时间　　&T时的价值是在那时的套期保值证券投资组合的现金价值。假设期权报价的确是Z&W （t ），　　那么投资者能够采取如下行动。他在套期保值投资组合中执行一个空头头寸，这样在t 时间　　时获得W （t ），而Z 是用于购买期权的，那么余下的部分（W （t ）-z）投资于银行。在　　T 时间在银行的投资价值为（W （t ）-Z）exp （r （T-t ）），并且如果S （T ）&E，投　　资者借助于执行期权并立刻转售股票，那么将获（S （T ）-E）+ 利润。由于后者完全取决　　于需要结束空头头寸的数量，所以确定的x 利润可以获得类似的套利机会对卖方而言是同时　　可获得的，如果他能够制定比W （t ）高的价格。套利机会不能够存在，这是一个公理。因　　此，从买入者或者卖方的观点看，W （t ）对期权而言是唯一的公正价格。　　　　
实际上，非常一般的欧式未定权益的完全套期保值在布莱克- 斯科尔斯模型所假设的情　　况中是可行的：如果ψ是股票价格轨迹{S（u ）：t ≤u ≤T}的任一个函数，其期望值存在，　　那么存在一个动态的投资组合，其价值在T 时间时完全是ψ；这就是复制投资组合。复制反　　复无常的未定权益的能力被描述成市场的完全性。在布莱克- 斯科尔斯模型所假设的情况中，　　完全性最终依靠布朗运动的鞅表示性质而表示出来。利用如上相同的讨论，对具有损益（payoff，　　也称为收益）ψ的欧式未定权益而言，公正价格就是复制投资组合的初始资产价值。　　　　
上述思想看似简单，但是却有极为深远的含义。买进期权的价格不能由投资者所认为的　　影响原生资产价格的因素决定，除非投资者的预期改变了原生资产的价格。换句话说，买入　　资产的期权并不因为你预期该项资产价格上升而变得更有吸引力。在任何时候，认为原生资　　产价格将上升的投资者与认为它将下降的投资者对那项资产的买进期权应是多少的看法是一　　致的。　　　　
在1973年，这一思想显得与传统观念相违背，但是作为一种被正式接受的观念，它仍显　　得有些古怪。事实上，这一思想的产生有其深刻的历史背景。金融理论的核心是研究在不确　　定环境下，经济行为人在配置和利用其资源方面的行为，这里既包括跨越空间的情况又包括　　跨越时间的情况。时间和不确定性是影响金融行为的中心因素。这两者相互作用的复杂性导　　致了金融研究的内在刺激，结果其相互作用的复杂性需要复杂的分析工具来捕获相互作用的　　影响。　　　　
三、“期权价格理论的牛顿”——默顿　　　　
金融经济学本质上是研究在不确定的和动态的框架下关于稀缺资源最优跨时配置的一门　　学科。连续时间金融学是对允许连续不断产生制定决策的金融问题的分析，这一假设蕴含着　　连续交易的情形是促使其理论能够模拟在资产价格比如布朗运动下不确定性方面基本的出发　　点。表面上运用着的简直就是深奥难懂的数学函数（它们是连续的，但是不可微的），这种　　运用能够促使金融经济学家充分利用Ito （伊藤）随机微分方程，以及最近的建立在半鞅之　　上更一般随机微分方程的理论和效力。　　　　
默顿主要通过他在1971年到1977年之间发表的论文把这些思想引入到金融和经济学中。　　今天，他的许多想法和结果的影响在每一个衍生证券市场以及证券交易所中都能够见到。默　　顿的两个最重要的论文是《在连续时间模型里的最优消费和证券投资组合规则》和《理性期　　权定价理论》。此外，默顿的《跨时资本资产定价模型》也是他的力作之一。金融理论和实　　践的发展已经证明，他的许多论文成果是奠基性的研究，例如，Breeden 的研究工作以及Cox　　，Ingersoll和Ross的研究工作直接萌芽于默顿的1971年文章。类似地，在期权文献中已发表　　的众多文章，例如，布莱克- 斯科尔斯期权公式，用一种风险资产来交换另一种资产的Margrabe　　期权，还有各种外汇期权公式，简直都是默顿的1971年公式的特殊情况。另外，默顿对美式　　期权所做永久性的分析研究工作，是对许多种仍在生存的美式估值问题许多逼近的基础。1990　　年，默顿所著的《连续时间金融学》就是他许多研究工作成果的汇总（1992年，此书又再次　　出版了修订本）。此书分成六个主要部分，其分别是：（一）金融和连续时间数学引论；　　（二）在连续时间模型中的最优消费和证券投资组合选择；（三）认股证书和期权的定价理　　论；（四）公司金融理论中的未定权益分析和金融中介；（五）金融的跨时均衡理论；（六）　　连续时间模型应用于政府财政金融中的部分问题：长期经济增长，政府恤养金计划、存款保　　险、贷款担保。这些内容反应了默顿的研究成果，如果说不是根本性的也是非常重要的贡献。　　　　
曾荣获1970年诺贝尔经济学奖的著名经济学家萨缪尔森，他做过默顿的学术指导教师和　　多年的提携者，在谈及1997年诺贝尔经济学获奖者的理论贡献时，曾说“默顿至少同斯科尔　　斯的贡献一样重要。当年，布莱克和斯科尔斯在芝加哥大学研究了这个天才的公式。我一直　　把他们比作首先断定行星不是按圆形，而是按椭圆形运动的开普勒。默顿可以说是期权价格　　理论的牛顿。他研究出完整的数学理论，并且说明了公式如何运算”。　　　　
实际上，从70年代末期和80年代初期开始，外国金融研究者们就运用随机分析（概率论　　中的一个大分支）和最优化等数学工具分析和讨论金融市场的数学模型，以致现今形成了称　　之为数理金融学或者称为金融数学的这种现代金融学与数学交融的新学科。目前，这一学科　　正在蓬勃发展之中，它已是国外许多著名大学金融系博士生和MBA 的重要课程。　　　　
四、期权定价理论的新突破——从将来推算到现在　　　　
在布莱克- 斯科尔斯公式发表之前，除了默顿对期权应如何定价研究取得重要成果之外，　　许多经济学家为此也做过长期的努力，但却没能导出一个用其他已知变量表示的期权定价公　　式。布莱克和斯科尔斯借助复杂的数学工具做到了这一点。为了简明清楚地阐述布莱克和斯　　科尔斯最初的推导期权定价公式的思想，我们这里不采用他们最初的推导方式，而是采用抓　　住布莱克- 斯科尔斯原始公式的内在逻辑而推导出来的一个更为简单的公式。　　　　
下面，就以一个具体的事例来说明这一思想。首先假设股票价格在一段确定的时间内以　　一固定的幅度上下波动。假定股票的原始价格为17美元，到年末既可能降到11美元，又可能　　上升到23美元；再假定银行利率为10%.投资者能以17美元的执行价格购买到一年期的买进期　　权，那么，这个期权值多少呢？　　　　
如果股票价格降到11美元，买进期权就毫无价值；如果股票价格上升到23美元，买进期　　权的价格即为6 美元：即期权价格=23-17=6. 但是，投资者在价格变动之前愿为期权付出多　　高的价格呢？　　　　
假定投资者以17美元的价格买进一股票，并向银行借钱10美元。到年末，无论发生什么　　情况，这位投资者都得偿还10美元的借款和1 美元的利息，共计11美元。如果这时股票价格　　恰好是11美元，那么，这位投资者除有能力支付贷款外，一无所得。在另一种情况下，如果　　股票价格达到23美元，这位投资者就可得12美元，即23-11=12.　　　　
这笔交易中的有利方面是：从借款和股票的组合中获得的利益恰好与购买两笔买进期权　　所获得的利益相等。因此，在均衡时这样两笔期权的价格一定等于制造另一可供选择的合成　　期权（即一种复制投资组合的方式）的成本，并且可以测算出来。合成期权需要17美元的支　　出，减去投资者借入的10美元，等于7 美元。这样，单个买进期权一定为7 美元成本除以2 ，　　即3 5 美元。无论投资者是否认为股票价格达到23美元，上述推算一定成立。　　　　
这个事例看起来似乎有些脱离实际。股票价格一般说来是天天变动的，并不是以一固定　　的幅度升降。但是，此方法允许股票价格的任意小的幅度波动，这就意味着此模型实际上可　　以容许股票价格连续变动。　　　　
假定确如此模型所假设的那样，投资者总是能在期权到期前的一段时间里通过制造合成　　期权计算出买进期权的价格，那么，投资者也就能运用同一方法准确地计算出更前一段时间　　里的期权价格——亦即计算出期权到期前两段时间的价格。依此类推，一直倒推算到现在。　　尽管在实际中计算期权价格的工作主要由计算机来完成，但是这种倒向型的计算方法还是相　　当迂回复杂的。实际上，这种期权定价的思想刺激并推动了一大类倒向随机微分方程的求解　　研究。中国学者彭实戈教授和法国数学家巴赫杜（EtiennePardoux）在1990年证明了满足一　　定条件的一大类倒向随机微分方程有解的存在唯一性定理，此事确实在随机分析界，继而在　　数理金融学界引起了很大的轰动和反响。可以说，此研究成果是进入90年代以来在期权定价　　理论方面取得的一个新的重大突破，它是期权定价理论和数值计算的基石。目前倒向随机微　　分方程的理论研究和数值计算方法尚有许多问题需要研究和解决，它是数理金融学和随机分　　析理论研究前沿之一。　　　　
上述所列举的事例解释了这样一个惊人的事实，即期权价格不依赖于原生资产的预期未　　来价格，所有投资者都能以同样的价格建立合成期权，无论他对未来的信心如何。这使他们　　对真实期权价值的看法不存在分歧，套利使期权价格和原生资产的现行价格连接起来。布莱　　克- 斯科尔公式提供了一个更为精巧的分析方法：如果你知道期权的执行价格、到期日、股　　票的现行价格、利率以及（具有决定性的）股票的预期变幅，那么你就能推导出买进期权的　　价格。　　　　
目前，期权家族已经发展成为拥有数千种不同形式的衍生证券，而设计各种衍生证券的　　技术已经在数理金融学的基础上发展成为一个崭新的学科——金融工程。值得一提的是，中　　国国家自然科学基金委员会的重大项目《金融数学、金融工程和金融管理》于1997年正式开　　始实施。　　　　
五、问题与前景　　　　
由于我们没有真的生活在布莱克- 斯科尔斯模型所假设的情况中，所以对现实金融市场　　中的衍生证券交易而言，布莱克- 斯科尔斯模型也存在着一些不严谨的地方。期权价值经常　　随着原生资产价格比如股票价格的变化而变化。当股票价格上升时，买进期权的价值也上升。　　因此，投资者就必须改变假设的合成期权的构成，以保持与变动中的真实期权的价格相一致。　　特别地，在现实衍生证券市场上，这种复制投资组合工作不能够准确地实施，因为它涉及到　　增加部分的再平衡，而且这种情况面对着任何形式的市场摩擦，例如交易费用等，这些因素　　是不能不考虑进去的。从而，这促使带交易费用的证券投资理论的研究和发展。现今，带交　　易费用的期权定价理论研究正方兴未艾。　　　　
在运用布莱克- 斯科尔斯模型公式时，另一个困难是预测股票的变幅。变幅大的股票的　　期权比稳定股票的期权更有价值——因为它有更大的机会去进行有利的交易。应用布莱克-　　斯科尔斯模型公式的人一般假定过去的变幅，代表了现在或将来的变幅。实际上，变幅是在　　不断地变化的，在这种情况下，运用布莱克- 斯科尔斯公式推算出的期权价格就可能是错误　　的。　　　　
这就是为什么期权投机者常在股票的未来变幅上下赌注的原因，而不是像通常所认为的　　那样，把赌注下在股票的未来价格上。　　　　
许多金融经济学家针对布莱克- 斯科尔斯模型中所表现出来的问题，研究和提出了对它　　改进的各种各样的期权定价模型，以及许多数值模似方法，例如默顿提出了随机利率模型的　　期权定价理论，Rubinstein研究出了转移扩散模型的股票期权定价理论等。边些理论和方法　　无疑大大推动了包括期权市场在内的衍生证券迅猛的发展。以美国期权市场为例，它在1995　　年的成交额为1180亿美元，在1996年的成交额是1480亿美元，而在1997年前九个月成交额已　　达1550亿美元。反过来，日益兴旺的衍生证券市场又促使期权定价理论不断地发展和完善。　　正如默顿在1997年10月下旬接受德国《经济周刊》采访时所说的“我希望我们研究出来的办　　法应用于金融机构的管理方面。过去的公式更多的涉及到产品、服务和对抵押品的定价。现　　在我们将把它应用于对金融机构的组织上。”最后，他特别强调地说“我们的研究还没有结　　束”。　　　　
除了期权市场之外，布莱克- 斯科尔斯模型最著名的应用是证券投资保险。这种技术是　　由加利福尼亚大学伯克莱分校的金融学教授哈根。利兰（HagneLeland ）所创造，80年代初　　被基金管理者们所接受。在几年的时间里，投资在证券投资保险上的资金大约为1000亿美元。　　这种技术的思想很简单，如果一位投资者买入一项有关自己的证券投资的卖出期权，他就对　　自己的损失设定一个底线而不限制获利潜力。但是，直到最近，有关整个股票市场的卖出期　　权并不存在，同时，证券投资保险所要求的按比例交易的期权非常昂贵。利兰教授指明了基　　金管理者如何通过建立一个合成卖出期权去应用布莱克- 斯科尔斯公式：售出股票并借入资　　本（如购买政府债券）直到收益与来自自己拥有的真的卖出期权的收益相等为止。当今，证　　券投资保险的研究和发展被认为是期权定价理论应用于金融机构管理方面最有广泛实用价值　　的。　　　　
总之，人们已经看到由默顿和斯科尔斯以及已故的布莱克所开创的期权定价理论，不仅　　给整个现代金融市场的理论带来了一场革命，而且用它创造了整整一大批崭新的投资银行家　　职业。目前，默顿教授正将它应用于金融机构组织的研究上。因此，金融经济学的核心——　　期权定价理论的推广研究和广阔的应用前景，正显示着现代金融理论及其实践相互交融，相　　互促进，共同发展的美好未来。　　　　　　
注释:　　　　
1、Black,FandM.Scholes,J.PoliticalEcon.),pp. 638.　　　　　
2、S(T)-E)+max(SCT)-E,O.　　　　　
3、Merton,R.C.,Continous-timeFinance,Oxford:BasilBlackwell, 1992.　　　　　
4、Merotn,R.C.,Phil.Trans,R.Soc.Lond.A,1994,pp.347, 451.　　　　　
5、Howison,S.D.Phil.Trans.R.Soc.Lond.A,1994,pp.347, 465.　　　　　
6、PardouxE.,Peng,S.,SystemandControlLetters,1990,pp. 14,55.　　　　　
7、EIKarouiN.,Peng,S.,Quenez,M-C.,MathematicalFinance, ),pp.1.　　　　　
8．Marshall,J.F.andV.K.Bansal,FinancialEnginerering,Needham　　
Heights,MA:Allyn&Bacon,1992.8、　　　　
9、Davis.M.H.A.andV.G.Panas,Comp.Appl.Math.,),pp.115　
　　期权定价理论的基本思路、方法及其在企业战略投资领域的应用　　　　
中国管理科学　　黄凯　　　　
论文摘要：　　　　
期权定价理论（ＯＰＴ）在企业战略投资领域的应用代表近期西方管理决策研究方面的一大突破。该理　　论为决策者评价投资的战略价值并争取管理运作中的灵活度，提供了新的思路与量化工具。本文运作期权定　　价理论的基本思路方法，对一个简化的企业案例作具体分析，试探讨结合我国国情的应用性研究途径　　　　
论文内容：　　　　
1 、引言　　　　
期权定价理论与方法在金融投资领域长达二十多年的广泛应用和取得的巨大成功最近再一次得到肯定，　　对这一理论的建立及其应用作出开创性贡献的两位美国学者获得了1997年的诺贝尔经济学奖。　　　　
期权定价理论在企业战略投资领域的应用研究及其成果的逐步推广，是80年代末、90年代初出现的新现　　象，实际代表西方近年来在企业管理领域的一个方面的突破。目前，研究正逐步涉及研究与开发、战略兼并、　　经营范围或投资方向的调整、风险投资、跨国投资等众多具体方面。新的投资思路与评价方法的重要实际意　　义主要表现在两个方面：一是为决策者适时考虑经营环境或市场变化，调整投资规模、时机、组合、目标领　　域等提供宝贵的灵活度；二是对忽略、低估或无法确定投资战略价值的传统决策、评价思路。方法作出必要　　的修正和补充。　　　　
我国企业的投资效益普遍比较低下。除了体制方面的因素之外，投资思路、决策方法落后于社会主义市　　场经济发展对现代企业管理的要求，构成另一方面的主要原因。本文拟在尽可能系统介绍该理论基本思路的　　基础上，采用较简单的定量分析，以一个简化案例为背景，说明其具体分析，评价过程。试探索结合我国国　　情的应用性研究途径。　　　　
2 战略投资灵活度的意义及实际价值　　　　
企业战略投资泛指直接影响企业竞争地位、经营成败、或中、长期战略目标实现的重大投资活动。典型　　意义的战略投资项目包括：新产品的研究与开发、新的生产技术或生产线的引进、新领域的进入、兼并收购、　　资产重组、生产与营销能力的扩大等等。这类投资通常资金需求量较大，回报周期较长，并伴随较大的投资　　风险。　　　　
现代企业的经营风险首先表现在战略层次。由于市场竞争的加剧，企业外部经营环境变化频率的提高，　　企业一旦战略定位失误，或对市场、环境变化不能及时作适应性调整，往往迅速面临经营危机。而战略投资　　的失误往往直接导致此类危机的形成。　　　　
最近两年，我们通过培训、咨询、顾问、策划、专题研究，等形式同130 多家企业发生了较密切的接触，　　其中50多家为国有制造业企业。在这50多家企业中，90年以来发生重大战略投资活动的有21家，单项投资额　　为400 万-6000 万元人民币。从投资已完成并投产的19家企业看，4 家因政府扶持等非市场因素收益有一定　　保障。其余15家，只有2 家项目基本达到预期财务指标，另外13家中，9 家新增生产能力几乎全部闭置，投　　入资金全部锁定且债务负担沉重，其余4 家新投入生产能力仅部分开工。粗略的统计显示，投资失误率高达　　70%.由于战略投资失误对企业生存构成极大威胁，这些企业已陷入难以扭转的困境。　　　　
战略投资失误大致可分为两类。一类由于企业战略定位、经营方向选择不当造成失误；另一类则由于投　　资回报周期长，投资发生至完成投产过程中市场或环境发生变化，而导致项目无法实现预期财务目标而造成　　的失误。现代企业的战略管理通常要求企业战略目标的制定基于较为系统的宏观环境和行业竞争状况分析，　　通过加强企业对外部环境的适应度以尽可能避免第一类失误。避免第二类失误则要求投资本身具有更大的灵　　活度。期权定价理论的贡献首先体现在这一方面，即尽可能降低投资发生过程中或发生后所形成资产不可转　　换的“刚性”，赋予投资形成整个过程更多的可调节性或灵活性。期权理论本身就具有对市场迅速反应以降　　低投资风险的特点，寻求投资的灵活度也能在一定程度制约因第一类失误所造成的危害。　　　　
3 　重大投资战略价值的难以测量性及其后果　　　　
包含战略价值的重大投资往往要求较为系统的调研、分析和规划。假定选用的分析思路和手段基本合理，　　基础信息的选择和采集量的大小则视采集难度决定，由于信息支撑因种种原因总是不完全的，决策者的经验　　与判断往往成为这类规划的重要补充。有些企业领导长期注重市场经营环境研究，或具备较强判断能力，他　　们在项目选择、规划过程中对系统、文字化分析的需求程度相对要小一些。投资的战略意义或价值也往往凭　　直觉和经验加以判断和估计。　　　　
重大投资的决策分析，总是要有转化为财务指标等形式的信息的支撑。类似可行性研究的分析过程中，　　财务分析形成重要主成部分。由于传统企业投资分析手段的局限性，无法对投资的战略意义或间接价值量化，　　财务分析实际只能忽略对它的评价。　　　　
典型的美国企业具有注重财务分析和财务控制的传统，净现值法和现金执扣流等是最为常用的投资分析　　工具。为了实现财务目标，满足股东们追求短期回报率的偏好，管理层通常只考虑净现值测算结果&0的投资　　项目。由于这类测算忽略投资的中长期战略价值，许多项目投资的实际价值必然被低估。久而久之，过份依　　赖传统财务分析的企业往往缺乏发展后劲，常常在激烈的市场竞争中被淘汰。　　　　
大量研究成果显示，典型的日本企业较注重长期发展战略和长远目标，它们侧重研究市场，研究对手，　　侧重竞争优势的建立和竞争地位的巩固。在投资决策方面，一旦对投资的战略意义达成共识（主要凭经验和　　直觉），财务分析的结果只作为权衡的参考，不作为决策的根本依据。许多日本企业实际根本不采用净现值　　法等作为投资分析工具。　　　　
许多美国管理专家和企业领导都认为，日美企业在国际竞争的第一个回合中，日本企业占据了明显的上　　风。经过总结和反省，管理研究领域出现了一系列新思想和观念，许多企业开始重新考虑自己的经营思路、　　管理模式和运作方式。企业战略投资决策方面，变革思路主要体现在两个方面：一是在财务分析中考虑更多　　的非财务方面的因素，重视它们对投资结果和资金周转等方面的影响。　　　　
战略选择方面则更注重方案的可操作性和变革调整方面的成本。二是对净现值法等传统测量工具提出挑　　战，寻求对它们的修正和补充，发展新的分析评价量化工具。引进期权定价的方法和思路属于后一个方面努　　力的最新进展，运用期权定价的思想和方法评价投资的战略价值已开始显示乐观的应用前景。　　　　
4 　期权定价理论的基本思路　　　　
期权定价理论的基石是著名的布莱克- 斯科尔斯期权定价方程。由已故美国学者费希尔。　　　　
布莱克和1997年诺贝尔经济学奖获奖者迈伦。斯科尔斯在1973年发表的一篇开创性论文中建立。　　　　
该理论运用数量方法分析，发现了可交易金融资产（如股票）的市场价格波动规律，并根据这一规律确　　定该资产的衍生证券（如股票期权）的当前价值，即给期权定价。这一定价方法在金融领域获得了极为广泛　　的应用，并取得显著的成功。　　　　
所谓期权，实际是一种选择权，即以一定当前成本Ｅ获得在未来某一时间买进或卖出某指定资产（或称　　基础资产如股票）的权利，这一权利在未来某一时间可以行使也可以放弃，从而降低当前直接拥有该资产可　　能造成的市场风险。获得该期权的当前成本= 它当前的价格= 它的当前价值（竞争市场情况下）。期权到期　　日的价值（以股票期权为例）为：　　　　
Ｅ= ｍａｘ（Ｓ- Ｘ，0 ）（1.1 ）　　　　
其中　Ｓ= 期权到期日的股票市场价Ｘ= 购买期权时确定的股票协定价　　　　
由于期权交易规则确定，期权到期日不论Ｓ变化如何，期权拥有者都可以以Ｘ买进（看涨期权）或卖出　　（看跌期权）期权合约规定量的股票，期权到期日的价值实际= Ｓ- Ｘ。当：　　　　
Ｓ- Ｘ& Ｅ时，投资者盈利；　　　　
Ｓ- Ｘ& Ｅ时，投资者亏损，可以放弃行使权利；　　　　
Ｓ- Ｘ= Ｅ时，投资者仅损失初始成本，即购买期权的保险费。　　　　
在战略投资决策分析中，我们可以把投资的战略意义或价值也看作一种选择权或期权。　　　　
根据这一定义，投资一旦包含战略价值，也就为该投资带来了一种在将来某一情况下争取额外回报的可　　能性。由于目前该投资还没有发生，将来的额外回报又建立于目前的投资的基础之上，而将来的额外回报又　　可能受其他因素的影响，因此它只能是一种可能。期权理论的意义在于，不论将来的回报是否成立，目前考　　虑这一可能性，就是为该投资增加了一份争取将来更大回报的选择权，这一选择是有价值的，并能以它的现　　值计算。　　　　
前面已提到，传统的净现值法（以下称ＮＰＶ）及现金执扣流（以下称ＤＣＦ）等，由于受本身评价思　　路的局限，如依赖对未来不确定因素的当前判断，不考虑对未来变化的适时调整等，不能对未来回报的可能　　性进行评价，也无法对投资过程中的应变决策提供支持。下面试引入期权定价理论的基本思路，对传统的投　　资评价法ＮＰＶ和ＤＣＦ进行修正和补充。　　　　
通过两种不同评价方法的比较，加深对期权定价理论的理解。因此，根据前面我们对期权定价理论基本　　思路的介绍，基于期权定权理论的ＮＰＶ为：　　　　
含战略价值的ＮＰＶ= 传统ＮＰＶ预期现金回报+ 项目所含选择权的价值　　　　
许多战略投资的战略价值不仅表现在一个方面，即：它所包含的选择权可能出现在投资发生前、发生中　　和发生后的各个时点，因此式1.1 中的附加价值可能是一系列选择权价值叠加以后的具体反映。　　　　
选择权的发掘主要取决于投资项目设计者的设计思路，项目的行业、产品特征、项目投资过程的复杂程　　度和运作方式，项目所采用技术的特殊性等一系列因素。为了便于说明，下面以一个修改和简化的真实案例　　作为分析评价背景。（真实案例分析牵涉一系列背景定义、变量前提假设，需另撰文表达）。　　　　
5 　期权定价理论的评价方法———案例背景介绍　　　　
某农药厂从国家农业部科技司获得了一项高效无公害杀虫剂专利产品的开发机会。鉴于该企业领导为杰　　出企业家，在建立市场经济以来的实践中，把一个资不抵债的县属国营小企业，依靠5000元新增投入，5 年　　中发展成为一个年销售额达1.2 亿的中型企业，科技司决定，该厂可以拥有一年的优先选择权，即在一年中　　优先考虑是否开发生产该新产品，其他企业暂时不参加该项目的竞标。　　　　
在项目具体评价测算之前，首先对以下变量定义，并建立概念：　　　　
5.1 　拥有一年优先选择权实际给予该企业相当的决策灵活度，即在一年时间中，企业可以根据市场的　　需求变化，价值走势作出判断，最终决定是否上该项目。假设杀虫剂市场价格波动对企业的生存发展构成主　　要威胁，优先选择权就具有战略价值。因此Ｖ可以看作一年优先选择权所赋予的管理决策灵活度或避免市场　　风险的价值。　　　　
5.2 　投资可分为二个阶段进行，即土建部分投入Ｉ1 和生产过程投入Ｉ2.Ｉ1 主要为基础设施方面的　　投入，包括征地，五通一平等等。Ｉ2 发生于Ｉ1 之后，Ｉ2 投入完成，项目投产后才能产生回报。　　　　
5.3 　项目建设过程中，一旦杀虫剂市场价格下浮，或由于替代产品出现等种种原因造成市场前景不如　　预期，管理层可以决定缩小原定设计生产能力0%，从而节省ＩＣ部分投入。　　　　
同理，如果刹虫剂市场由于种种原因需求趋旺，价格上扬，管理层可以考虑增加生产能力ｘ% ，新增投　　入ＩＥ部分，以争取更大回报。　　　　
5.4 　在项目建设中或建成后的任何阶段，管理层都可以考虑出售、转让该资产，通过取得资产残值，　　降低在不利市况继续经营的风险。与此类似的是考虑转产的可能性，如果在项目设计阶段就考虑形成资产转　　移使用的灵活性，原目标产品生产一旦遇到市场因素影响，生产设施能以较低成本转为其他产品生产或经营　　内容服务，柔性生产系统的设计思想与此类考虑类似，限于文章的幅度，本文对此类选择权的价值不作具体　　评价。　　　　
5.5 　农药厂在项目建设中形成的另一个战略目标是，借助该项目对企业竞争地位的提升效应，进入国　　家火炬计划或“双加”工程，争取无息、低息贷款及其他一系列优惠政策，这一可能性存在的价值显然远远　　超过该项目本身的直接投资回报。对此类战略价值的评价，我们将另作专题性研究，本文不作具体探讨。　　　　
6 　期权定价理论的评价方法———案例分析　　　　
下面以农药厂新型杀虫剂项目为例，选用一组便于测算的虚拟数据，先采用常规净现值和现金执扣法测　　算，然后用期权定价法测算，试比较两种评价思路、方法测算结果的差异。　　　　
测算单位为10万元。　　　　
设：　　　　
①新型杀虫剂项目所需投入共Ｉ0=104 ；　　　　
②杀虫剂市场价格每年可能上浮80% 或下降40% ，如价格上浮，项目价值上升至Ｃ+=180 ，价格下降，　　项目价值下降至Ｃ-=60；　　　　
③每年价格上浮下降的概率相等ｑ=0.5；　　　　
④Ｓ= 杀虫剂市价/ 单位ｋ=20%= 项目预期回报率　　　　
Ｖｔ= ｔ年项目价值ｒ=8%=无风险利率　　　　Ｓｔ= ｔ年杀虫剂市价/ 单位，或农药上市公司股票价　　/ 股随每年市价波动状况，按现金执扣至每年的项目价值为：　　　　
显然，按传统ＮＰＶ和ＤＣＦ方法评价，ＮＰＶ&0的要求不能满足，杀虫剂项目不能成立。　　　　
在传统ＮＰＶ的评价中，我们可以从以上测算中看出，预期回报率ｋ值是人为确定的。　　　　
不同投资决策者对风险的偏好不同，其期望值也不同，因此，建立统一的预期回报率的合理标准实际是　　一个难题。　　　　
期权定价理论引进了风险中性的概念，即假设所有投资者不愿为高回报而付出高风险的代价，并成功地　　用数学方法消掉了预期回报率这一参数〔1 〕。在现实投资活动中，也确实可以通过建立一个无风险证券组　　合，如在购进某股票的同时，也购进这种股票的看跌期权等，使投资风险趋于0.在风险中性的情况下，项目　　的当前价值实际就是随价格波动而变化的项目未来值，按无风险利率ｒ连续累计执扣至今的值。风险中性情　　况的价格波动概率Ｐ可以根据期权定价理论的其他基本概念，通过分析杀虫剂（或杀虫剂上市公司股票）市　　场价格走势等方法获得〔1 〕。下面试用Ｐ取代主观判断值ｑ，用ｒ取代ｋ，求该项目起始阶段的当前价值　　：　　　　
Ｅ=[ｐＥ++（1-ｐ）Ｅ-]/ （1+ｒ）　　　　
当ｐ=[（1+ｒ）Ｓ- Ｓ-]/ （Ｓ+-Ｓ- ）　（1.5 ）　　　　
先求ｐ：ｐ=[1.08×20-12]/ （36-12 ）=0.4　　　　
因此在风险中性状况下，预期未来项目价值（预期现金流量）执扣至今的现值为：Ｖ0=[ ｐＣ++（1-ｐ）　　Ｃ-]/ （1+ｒ） =[0.4×180+0.6 ×60]/1.08=100（1.6 ）　　　　
以上结果恰巧与传统ＮＰＶ方式测算的结果相同，但未计项目中包含的各类选择权的价值。　　　　
下面根据公式（1.1 ）（1.2 ）对农药厂杀虫剂项目中隐含的几类有代表性的选择权（期权）作具体评　　价：　　　　
（1 ）优先选择权的价值　　　　
农药厂拥有一年优先选择权，决定是否上高效无公害杀虫剂项目，这就使管理层可以利用一年时间从容　　观察市场，分析价格走势。市场看好时决定投入，市场不利时可以等待或放弃，这一优先选择权的性质与看　　涨股票期权类似，未来某一时点（如投产1 年后）的项目价值Ｖ相当于期权有效期内的股票市价，可以推迟　　至一年以后的项目投入资金Ｉ1 相当期权的协定价，即Ｉ1=112.32（资金推迟一年使用加上8%的利息，104　　×1.08=112.32 ）。根据公式（1.1 ）　　　　
Ｅ+=ｍａｘ（Ｖ+-Ｉ1 ，0 ）= ｍａｘ（180-112.32，0 ）=67.68　　　　
Ｅ-=ｍａｘ（Ｖ- Ｉ1 ，0 ）= ｍａｘ（60-112.32 ，0 ）=0（1.7 ）　　　　
根据公式（1.5 ），包含优先选择权价值在内的项目总价值为：　　　　
Ｅ0=[ ｐＥ++（1-Ｐ）Ｅ-]/ （1+ｒ）　=[0.4 ×67.68+0.6 ×0]/1.08=25.07 （1.8 ）　　　　
根据公式（1.2 ），选择权价值= 项目总价值Ｅ0-传统ＮＰＶ=25.07- （-4）=29.07　　　　
由此可见，选择权本身的价值已接近项目投入的1/3.根据期权的原理，选择权的价值也就是它的价格，　　尽管优先选择权是农药厂无偿从农业部争取到的，但仍可以从不同角度将它看作：　　　　
①农业部对该厂优良业绩的奖励；　　　　
②农药厂商誉价值的一部分；　　　　
③争取该优先权所支出的公关成本；　　　　
④公开拍卖该优先权的最终竞争价或定金。即使以该成本获得该优先权，从理论上讲，该项目仍有投资　　价值。　　　　
（2 ）　对扩产期权的评价　　　　
企业在推出新产品或新品上市的过程中，一旦出现市场趋旺的机遇。可考虑追加投入，扩大生产能力的　　选择，以期争取更大回报，在农药厂的案例中，高效无公害杀虫剂项目刚刚完成土建部分，市场调研信息便　　显示，由于国家环境保护法执行力度较大，并取缔了几种可能造成严重环境污染的杀虫剂的生产，无公害杀　　虫剂的需求有较大增加，价格已开始上浮。　　　　
在这种情况下，项目实际已包含扩产期权或。选择权如果农药厂管理层及时对市场变化作出反应，决定　　扩大生产能力50% ，即ｘ=0.5，追加投入ＩＥ=40 ，该项目的管理灵活度价值便体现在，企业在项目建设过　　程中，能考虑维持原生产能力，取得项目原价值，又能考虑扩大生产，争取更大未来机会，决定扩产50% 以　　后，该项目的总价值应为：　　　　
Ｅ= Ｖ+ ｍａｘ（ｘＶ- ＩＥ，0 ）= ｍａｘ[ Ｖ，（1+ｘ）Ｖ- ＩＥ]　　　　
具体计算：　　　　
Ｅ+=ｍａｘ（Ｖ+ ，1.5 Ｖ+-ＩＥ） =ｍａｘ（180 ，270-40）=230（扩产后可能达到的最大值）　　　　
Ｅ= ｍａｘ（Ｖ- ，1.5 Ｖ——ＩＥ） =ｍａｘ（60，90，-40 ）=60 （对应情况只能考虑的基础规模）　　　　
整个项目（包括扩大生产规模期权所含价值）投资机会的价值：　　　　
Ｅ0=[ ｐＥ++（1-Ｐ）Ｅ-]/ （1+ｒ）- Ｉ0 （1.10） =[0.4×230+0.6 ×60]/1.08-104=14.5　　　　
扩产期权本身的价值应为　　　　
14.5- （-4）=18.5 （1.11）　　　　
相当于原项目价值Ｖ0 的18.5%.　　　　
（3 ）缩小投入规模的期权价值　　　　
与市场看好迅速扩产争取机会类似，管理的灵活性还表现在抵御市况趋淡的投资风险方面。　　　　
管理层若能在市场前景不如预期的情况下，迅速减少项目的投入，以降低锁定资金量，便拥有了缩减投　　入规模的选择权。　　　　
仍以农药厂项目为例，在项目1040万的总投入中，500 万为项目起动基本投入，即项目一旦起动便必须　　支出的现金。其余部分583.2 万（540 万加上滚存利息）分为必要固定资产投入183.2 万，其他投入400 万　　（333.2 万为广告促销投入，66.8万为运作维护资金）。由于新型杀虫剂上市即遇需求淡季（杀虫剂市场需　　求与天气状况有直接联系），管理层可以决定暂时只动员计划生产能力的50% ，继续投250 万，砍去原计划　　广告投入，节省预算ＩＣ=333.2万。因此：　　　　
Ｅ= （Ｖ- Ｉ1 ）+ ｍａｘ（ＩＣ-0.5Ｖ，0 ）按前面公式（单位10万元）：　　　　
Ｅ+=（180-58.32 ）+ ｍａｘ（33.32-90，0 ）=121.68　　　　
Ｅ-=（60-58.32）+ ｍａｘ（0 ，33.32-30）=5（1.12）　　　　
包含缩减投入规模选择权的该投资机会的总价值为：　　　　
Ｅ0=[0.4×121.68+0.6×5]/1.08-50=-2.16（1.13）　　　　
因此，该缩减投入期权本身的价值为：　　　　
-2.16-（-4）=1.84 （1.14）约相当于该项目毛值的2%.　　　　
7 　结　束　语　　　　
战略投资通常投入规模较大，周期较长，且直接影响企业的竞争地位与长期发展目标的实现，战略投资　　的失误往往直接导致企业的生存危机。激烈的市场竞争，不断变化的经营环境，对企业的快速反应及投资运　　作的灵活度提出了更高的要求。传统的投资分析思路、评价方法和运作模式不能适应这一方面的要求。它们　　往往低估项目的潜在价值，也缺乏现代企业投资在具体运作过程中所必须具备的灵活度。　　　　
期权定价理论在金融投资领域获得了巨大成功，也为企业战略投资决策分析提供了新的思路和评价方法。　　与传统评价思路不同，期权定价理论的出发点是适时根据市场价格的随机波动反映投资的价值和潜在价值。　　该理论特别注重投资过程各阶段的阶段性评价，这对周期长，受不确定因素影响较大的投资项目尤为重要。　　通过决策灵活度的提高以降低投资风险是期权定价理论的基本特色。　　　　
现代企业在竞争中善于发现机会和把握机会是取得成功的关键，在依靠经验和直觉判断的同时，寻求对　　机会的量化评价，显然是投资决策方面的一大进步。支持企业发现机会，并为决策者提供易于操作的量化分　　析工具，是期权定价理论的另一基本特色。　　　　
提高我国企业，特别是国有大中型企业的投资决策与运作水平，已成为保证我国经济健康稳定发展的当　　务之急。如何借鉴国外的研究成果，为解决我国企业的实际问题服务，应引起我们的重视。　　　　
参考文献　　　　
〔1 〕约翰。赫尔（张陶伟译）。《期权期货和衍生证券》。华厦出版社，1997　　　　
〔2 〕刘鸿儒等。《金融市场》。学苑出版社，1988　　　　
〔3 〕Ｅ。Ｏ。Ｔｅｉｓｂｅｒｇ，ＡｎＯｐｔｉｏｎＶａｌｕａｔｉｏｎＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＩｎ　　ｖｅｓｔｍｅｎｔＣｈｏｉｃｅｓｂｙａＲｅｇｕｌａｔｅｄＦｉｒｍ，ＭａｎａｇｅｍｅｎｔＳｃｉｅｎ　　ｃｅ，Ａｐｒｉｌ，1994.　　　　
〔4 〕Ｒ。Ｍｃｌａｕｇｈｌｉｎ，ＴｈｅＯｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙＣｏｓｔｏｆＵｓｉｎｇＥｘｃｅ　　ｓｓＣａｐａｃｉｔｙ，ＦｉｎａｎｃｉａｌＭａｎａｇｅｍｅｎｔ，Ｓｕｍｍｅｒ，1992.　　　　
〔5 〕Ｒ。Ａｇｇａｒｗａｌ，ＪｕｓｔｉｆｙｉｎｇＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔｓｉｎＦｌｅｘｉｂｌｅ　　ＭａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＭａｎａｇｅｒｉａｌＦｉｎａｎｃｅ，Ｍａｙ，1991.　　　　
〔6 〕Ｅ。Ｋａｓａｎｅｎ，ＣｒｅａｔｉｎｇＶａｌｕｅｂｙｓｐａｗｉｎｇＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔ　　Ｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｉｅｓ，ＦｉｎａｎｃｉａｌＭａｎａｇｅｍｅｎｔｑＡｕｔｕｍｎ，1993.　　　　
〔7 〕Ｎ。Ｋｕｌａｔｉｌａｋａ，ＴｈｅＳｔｒａｔｅｇｉｃＶａｌｕｅｏｆＦｌｅｘｉｂｉｌｉｔ　　ｙ：ＲｅｄｕｃｉｎｇｔｈｅＡｂｉｌｉｔｙｔｏＣｏｍｐｒｏｍｉｓｅ，ＡｍｅｒｉｃａｎＥｃｏｎｏｍ　　ｉｃＲｅｖｉｅｗ，Ｊｕｎｅ，1988.　　　　
〔8 〕Ｊ。Ｉｎｇｅｒｓｏｌｌ，ＷａｉｔｉｎｇｔｏＩｎｖｅｓｔ：ＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔａｎｄＵ　　ｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢｕｓｉｎｅｓｓ，Ｊａｎ。，1992.　　　　
〔9 〕Ａ。Ｋ。Ｄｉｘｔ，ＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔａｎｄＨｙｓｔｅｒｅｓｉｓ，Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ　　ＥｃｏｎｏｍｉｃＰｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓ，Ｗｉｎｔｅｒ，1992.　　　　
〔10〕Ｆ。Ｇ。Ｊ。Ｄｅｒｋｉｎｄｅｒｅｎ，ＰｉｔｆａｌｌｓｉｎＵｓｉｎｇＰｏｒｔｆｏｌｉｏ　　Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ：ＡｓｓｅｓｓｉｎｇＲｉｓｋａｎｄＰｏｔｅｎｔｉａｌ，ＬｏｎｇＲａｎｇｅＰ　　ｌａｎｎｉｎｇ，17， 2，1984.　　
　　基本上是把国外教科书上的东西炒一遍吧了.没有任何新东西.
　　大哥，你在这发这种文章谁会过问啊！！！~~~　　　　如果你用BS模型来做投资，敢说你会血本无归！
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