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2011版高三数学《6年高考4年模拟》：第八章 立体几何 第三节 空间向量在立体几何中的应用1
第三节空间向量在立体几何中的应用 第一部分 六年高考荟萃2010 年高考题一、选择题 1.（2010 全国卷 2 理） （11）与正方体 ABCD ? A B1C1D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1D1 所 1 在直线的距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （C）有且只有 3 个 【答案】D 【解析】直线 上取一点，分别作 垂直于 于 则 分别 作 线定理可得，PN⊥ PM⊥ ，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂 ；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以 ，∴PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的 距离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D. 2.（2010 辽宁理）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条， 使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是 (A)（0, 6 ? 2 ） (B)（1, 2 2 ） (D) （0, 2 2 ） （B）有且只有 2 个 （D）有无数个(C) ( 6 ? 2 , 6 ? 2 ） 【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架， 有以下两种情况： （1）地面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a，如图，此时 a 可 以 取 最 大 值 ， 可 知 AD=3 ， SD=a2 ?1 ， 则 有a2 ?1 &2+3 ，即a2 ? 8 ? 4 3 ? ( 6 ? 2)2 ，即有 a& 6 ? 2(2)构成三棱锥的两条对角线长为 a，其他各边长为 2，如图所示，此时 a&0; 综上分析可知 a∈（0, 6 ? 2 ） 3.（2010 全国卷 2 文） （11）与正方体 ABCD―A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距 离相等的点 （A）有且只有 1 个 （C）有且只有 3 个 【答案】D 【解析】 ：本题考查了空间想象能力 ∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面 上，∴三个圆柱面有无数个交点， 4.（2010 全国卷 2 文） （8）已知三棱锥 S ? ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角 形， SA 垂直于底面 ABC ， SA =3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 （A） （B）有且只有 2 个 （D）有无数个3 4 7 4(B)5 43 4(C) 【答案】D(D)【解析】 ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E，连结 SE，过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F，连 BF，∵正三角形 ABC，∴ E 为 BC 中点，∵ BC⊥AE，SA ⊥BC，∴ BC⊥面 SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面 SBC，∵∠ ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角， 由正三角形边长 3， AE ? 3 ， ∴ A F C SEB3 3 sin ?ABF ? 4 AS=3，∴ SE= 2 3 ，AF= 2 ，∴5.（2010 全国卷 1 文） （9）正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦 值为 （A）2 3（B）3 3（C）2 3（D）6 3【答案】D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求 法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC D1 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的 D1C1具体体现. A1 【解析 1】因为 BB1//DD1,所以 B B1 与平面 AC D1 所成角和 DD1 与平面 AC D1 所成角相等,设 DO⊥平面 AC D1 ， 由等体积法得 VD? ACD1 ? VD1 ? ACD , D A O C B B11 1 即 S ?ACD1 ? DO ? S ?ACD ? DD1 .设 DD1=a, 3 3则 S?ACD1 ?1 1 1 1 3 3 2 CD AC ?AD1 sin 60? ? ? ( 2a)2 ? ? a , S ?ACD ? AD ? ? a 2 . 2 2 2 2 2 2所 以 D O?S ?A C ? D D a 3 3 D 1 ? ? a, 记 DD1 与 平 面 AC D1 所 成 角 为 ? , 则 2 S ?A C 1D 3 3asin ? ?6 DO 3 ,所以 cos ? ? . ? 3 DD1 3【解析 2】设上下底面的中心分别为 O 1 , O ； O 1 O 与平面 AC D1 所成角就是 B B1 与平面AC D1 所成角， cos ?O1OD1 ?O1O OD1? 1/3 6 ? 3 26.（2010 全国卷 1 理） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)2 3 3(B)4 3 3(C) 2 3(D)8 3 37.（2010 全国卷 1 理） （7）正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值 为 （A）2 3（B）3 3（C）2 3（D）6 38.（2010 四川文） （12）半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 a ，垂足为 B ， ?BCD 是 平面 a 内边长为 R 的正三角形，线段 AC 、 AD 分别与 球面交于点 M 、 N ，那么 M 、 N 两点间的球面距离 是 （A） R arccos （C） ? R 【答案】A 【解析】由已知，AB＝2R,BC＝R,故 tan∠BAC＝17 25（B） R arccos （D）18 251 34 ?R 15 1 2cos∠BAC＝2 5 5连结 OM，则△OAM 为等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝4 5 4 5 R ，同理 AN＝ R ，且 MN∥CD 5 5而 AC＝ 5 R,CD＝R故 MN：CD＝AN:AC ?MN＝4 R， 5连结 OM、ON，有 OM＝ON＝R 于是 cos∠MON＝OM 2 ? ON 2 ? MN 2 17 ? 2OM ? ON 2517 25所以 M、N 两点间的球面距离是 R arccos 二、填空题1. （2010 江西理） 16.如图， 在三棱锥 O ? ABC 中， 三条棱 OA ，OB ，OC 两两垂直， OA & OB & OC ,分别经过三条棱 OA ，OB ，OC 作 且一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 S1 ， S2 ， S3 ，则 S1 ，S2 ， S3 的大小关系为【答案】 S3 ? S2 ? S1。【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论， 特殊化，令边长为 1，2，3 得 S3 ? S2 ? S1 。 2. （2010 北京文） （14） 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是y ? f ( x) ，则 f ( x) 的最小正周期为 y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 【答案】4 。；? ?1说明： “正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向 滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针 旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。 3.（2010 北京理） （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的轨迹方程是 y ? f ( x) ，则 f ( x )的最小正周期为 为 【答案】4；y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积? ?1说明： “正方形 PABC 沿 ? 轴滚动”包括沿 ? 轴正方向和沿 ? 轴负方向滚动。沿 ? 轴正方 向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 ? 轴上时，再以顶点 B 为中心 顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形 PABC 可以沿 ? 轴负方向滚动。 4.（2010 四川文） （15）如图，二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°，线段 AB ? ? . B ? l ，AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是.??B?A?【答案】3 4【解析】过点 A 作平面 β 的垂线，垂足为 C，在 β 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D 连结 AD，有三垂线定理可知 AD⊥l，故∠ADC 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角，为 60° 又由已知，∠ABD＝30°连结 CB，则∠ABC 为 AB 与平面 ? 所成的角 设 AD＝2，则 AC＝ 3 ，CD＝1??B?AC D?AB＝AD ＝4 sin 300∴sin∠ABC＝AC 3 ? AB 45.（2010 湖北文数）14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水，若放入三个相 同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如 图所示） ，则球的半径是____cm. 【答案】44 【解析】 设球半径为 r， 则由 3V球 ? V水 ? V柱 可得 3 ? ? r 3 ? ? r 2 ? 8 ? ? r 2 ? 6r , 3解得 r=4. 6.（2010 湖南理数）13．图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm 的几何体的三视 图，则 h ?3cm ．7.（2010 湖北理数）13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三 个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的 球（如图所示） ，则球的半径是 【答案】4 【 解 析 】 设 球 半 径 为V r ， 则 由 3V球 ? 水 ?柱cm。V可 得2 2 3 ? ? r 3 ? ? r ? 8 ? ? r ? 6r ,解得 r=4.4 38.（2010 福建理数） 12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 ．【答案】 6+2 3【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为2?3 ? 4 ? 2 3 ，侧面积为 3 ? 2 ?1 ? 6 ，所以其表面积为 6+2 3 。 4【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基 本能力。 三、解答题 1.（2010 辽宁文） （19） （本小题满分 12 分） 如 图 ， 棱 柱 ABC ? A1B1C1 的 侧 面 BCC1B1 是 菱 形 ，B1C ? A1B（Ⅰ）证明：平面 AB1C ? 平面 A BC1 ； 1 （ Ⅱ ） 设 D 是 AC1 上 的 点 ， 且 A B // 平 面 B1 C D ， 求 1 1A1D : DC1 的值.解： （Ⅰ）因为侧面 BCC1B1 是菱形，所以 B1C ? BC1 又已知 B1C ? A1 B,且A1 B ? BC1 ? B 所又 B1C ? 平面 A1BC1，又 B1C ? 平面 AB1C ， 所以平面 AB1C ? 平面 A1BC1 . （Ⅱ）设 BC1 交 B1C 于点 E，连结 DE， 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线， 因为 A1B//平面 B1CD，所以 A1B//DE. 又 E 是 BC1 的中点，所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D：DC1=1.2.（2010 辽宁理） （19） （本小题满分 12 分） 已知三棱锥 P－ABC 中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. （Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 证明： 设 PA=1，以 A 为原点，射线 AB，AC，AP 分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系 如图。则 P（0,0,1） ，C（0,1,0） ，B（2,0,0） ，M（1,0, 4分1 1 1 ） ，N（ ,0,0） ，S（1, ,0）.?? 2 2 2? 1 ??? 1 1 , ? , 0) , 2 2 2 ???? ??? ? ? 1 1 因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 ， 2 2（Ⅰ） CM ? (1, ?1, ), SN ? (? 所以 CM⊥SN （Ⅱ） NC ? ( ? ??6 分???? ?????1 ,1, 0) , 2设 a=（x，y，z）为平面 CMN 的一个法向量，1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0, ? 令x ? 2，得a=(2,1,-2). 则? ?? 1 x ? y ? 0. ? 2 ? 1 ?1 ? ??? ? 2 ? 2 因为 cos a, SN ? 2 2 3? 2所 以 SN 与 片 面 CMN 所 成 角??9 分为45°。??12 分3.（2010 全国卷 2 文） （19） （本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，AC=BC， AA 1 =AB，D 为 BB 1 的中点，E 为 AB 1 上的一点，AE=3 EB 1 （Ⅰ）证明：DE 为异面直线 AB 1 与 CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线 AB 1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 A 1 -AC 1 -B 1 的大小 【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基 础知识。 （1）要证明 DE 为 AB1 与 CD 的公垂线，即证明 DE 与它们都垂直，由 AE=3EB1，有 DE 与 BA1 平行，由 A1ABB1 为正方形，可证得，证明 CD 与 DE 垂直，取 AB 中点 F。连结 DF、FC， 证明 DE 与平面 CFD 垂直即可证明 DE 与 CD 垂直。 （2）由条件将异面直线 AB1，CD 所成角找出即为 ? FDC，设出 AB 连长，求出所有能求出 的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。4.（2010 江西理）20. （本小题满分 12 分） 如图△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形， 平面 MCD ? 平面 BCD，AB ? 平面 BCD， AB ? 2 3 。 （1） 求点 A 到平面 MBC 的距离； （2） 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形 的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也 考查了空间想象能力和推理能力 解法一： （1）取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OB⊥CD，OM⊥CD.又平面 MCD ? 平面 BCD ,则 MO⊥平面 BCD ，所以 MO∥AB，A、B、O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E，则∠AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.OB=MO= 3 ，MO∥AB，MO//面 ABC，M、O 到平面 ABC 的距离相等，作 OH ? BC 于 H，连 MH，则 MH ? BC，求得： OH=OCsin60 =02 15 3 15 ,MH= ,利用体积相等得： VA? MBC ? VM ? ABC ? d ? 。 5 2 2（2）CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线. 由（1）知，O 是 BE 的中点，则 BCED 是菱形. 作 BF⊥EC 于 F，连 AF，则 AF⊥EC，∠AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 ? . 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.BF ? BC ? sin 60? ? 3 ，tan ? ? AB 2 5 ? 2 ， sin ? ? BF 5所以，所求二面角的正弦值是2 5 . 5【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊 位置的元素解决 解法二：取 CD 中点 O，连 OB，OM，则 OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 MCD ? 平面 BCD , 则 MO⊥平面 BCD . 以 O 为原点，直线 OC、BO、OM 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直 角坐标系如图.AzOB=OM= 3 ，则各点坐标分别为 O（0，0，0） C（1，0，0） M ， ，M（0，0， 3 ） B（0，- 3 ，0） A（0，- 3 ，2 3 ） ， ， ，? ??? ? （1）设 n ? ( x, y, z) 是平面 MBC 的法向量，则 BC=(1, 3,0) ，? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ???? ? BM ? (0, 3, 3) ， 由 n ? B C 得 x ? 3 y ? 0 ； 由 n ? B M 得B OyD? ??? ? 3 y ? 3z ? 0 ；取 n ? ( 3, ?1,1), BA ? (0,0, 2 3) ，则距离 ??? ? ? BA ? n 2 15 d? ? ? 5 n（2） CM ? (?1,0, 3) ， CA ? (?1, ? 3, 2 3) .xC???? ???? ?z?? ???? ? ?? ?n1 ? CM ?? x ? 3z ? 0 ? ? 设平面 ACM 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ，由 ? ?? ??? 得 ? .解得 ? ?? x ? 3 y ? 2 3 z ? 0 ?n1 ? CA ? ? ?? ? x ? 3z ， y ? z ， 取 n1 ? ( 3 , 1 , . ) 平 面 BCD 的 法 向 量 为 n ? ( 0 , 0 , ，) 则 1 1又 ?? ? ?? ? n1 ? n 1 c o s n1 n, ?? ?? ? ? ? 5 n1 ? n设所求二面角为 ? ，则 sin ? ? 1 ? (1 2 2 5 . ) ? 5 5【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于 建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计 算必须慎之又慎 5.（2010 重庆文） （20） （本小题满分 12 分， （Ⅰ）小问 5 分， （Ⅱ）小问 7 分. ） 如 题 （ 20 ） 图 ， 四 棱 锥 P ? ABCD中 ， 底 面 A B C D为 矩 形 ， PA ? 底 面 A B C D，PA ? AB ? 2 ，点 E 是棱 PB 的中点.（Ⅰ）证明： AE ? 平面 PBC ； （Ⅱ）若 AD ? 1 ，求二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦值.6.（2010 浙江文） （20） （本题满分 14 分）如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AB=2BC ， ∠ABC=120°。E 为线段 AB 的中点，将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A’DE，使平面 A’DE⊥平面 BCD，F 为线段 A’C 的中点。 （Ⅰ）求证：BF∥平面 A’DE； （Ⅱ）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 A’DE 所成角的余弦值。7.（2010 重庆理） （19） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分） 如题（19）图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA ? 底面 ABCD，PA=AB= 6 ，点 E 是棱 PB 的中点。 （I） （II） 求直线 AD 与平面 PBC 的距离； 若 AD= 3 ，求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值。
8.（2010 北京文）(18) （本小题共 14 分） 设定函数 f ( x) ?a 3 ' x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ， 且方程 f ( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1， 4。 3（Ⅰ）当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时，求 f ( x ) 的解析式； （Ⅱ）若 f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点，求 a 的取值范围。 解：由 f ( x) ?a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 得 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c 3因为 f ?( x) ? 9x ? ax2 ? 2bx ? c ? 9x ? 0 的两个根分别为 1,4， 所以 ? （*） （Ⅰ）当 a ? 3 时，又由（*）式得 ? 解得 b ? ?3, c ? 12 又因为曲线 y ? f ( x) 过原点，所以 d ? 0 故 f ( x) ? x ? 3x ? 12 x3 2?a ? 2b ? c ? 9 ? 0 ?16a ? 8b ? c ? 36 ? 0?2b ? c ? 6 ? 0 ?8b ? c ? 12 ? 0（Ⅱ）由于 a&0,所以“ f ( x) ?2a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 在（-∞，+∞）内无极值点”等价于 3“ f ?( x) ? ax ? 2bx ? c ? 0 在（-∞，+∞）内恒成立” 。 由（*）式得 2b ? 9 ? 5a, c ? 4a 。又 ? ? (2b)2 ? 4ac ? 9(a ?1)(a ? 9) 解??a ? 0 ?? ? 9(a ? 1)(a ? 9) ? 0得 a ??1,9?即 a 的取值范围 ?1,9? 9.（2010 北京理） （16） （本小题共 14 分） 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂 直，CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面 BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面 BDE； （Ⅲ）求二面角 A-BE-D 的大小。证明： （I） 设 AC 与 BD 交与点 G。 因为 EF//AG，且 EF=1，AG=1 AC=1. 2所以四边形 AGEF 为平行四边形. 所以 AF//平面 EG， 因为 EG ? 平面 BDE，AF ? 平面 BDE， 所以 AF//平面 BDE. （II）因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直，且 CE ? AC， 所以 CE ? 平面 ABCD. 如图，以 C 为原点，建立空间直角坐标系 C- xyz . 则 C（0，0，0） ，A（ 2 ， 2 ，0） ，B（0， 2 ，0）. 所 以 CF ? (??? ???? ? 2 2 , ,1) ， BE ? (0, ? 2,1) ， 2 2??? ? DE ? (? 2,0,1) .所 以? C ??0? , CF ?DE ? ?1 ? 0 ? 1 F 0??? ??? ? ???1?B?1所以 CF ? BE , CF ? DE . 所以 CF ? BDE. (III) 由（II）知， CF ? (??? ?2 2 , ,1) 是平面 BDE 的一个法向量. 2 2设平面 ABE 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n?BA ? 0 ， n?BE ? 0 . 即???? ???? ?? ( x, y , z )?( 2,0,0)?0 ? ( x, y , z )?(0,? 2,1)?0所以 x ? 0, 且 z ? 令 y ? 1, 则 z ?2 y,2.所以 n ? (0,1, 2) .??? ? ??? ? n? CF 3 ??? ? ? 从而 cos? n, CF ? ? 。 | n || CF | 2因为二面角 A ? BE ? D 为锐角， 所以二面角 A ? BE ? D 的大小为? . 610.（2010 广东文）18.（本小题满分 14 分） 如图 4，弧 AEC 是半径为 a 的半圆，AC 为直 径， E 为弧 AC 的中点， B 和点 C 为线段 点 点 AD 的三等分点， 平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED,FB= 5a （1）证明：EB ? FD （2）求点 B 到平面 FED 的距离. （1）证明：? 点 E 为弧 AC 的中点11.（2010 福建文）20． （本小题满分 12 分） 如图，在长方体 ABCD C A1B1C1D1 中，E，H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点（点 E 与 B1 不重合） ， 且 EH//A1D1。过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交，交点分别为 F，G。 （I）证明：AD//平面 EFGH； （II）设 AB=2AA1=2a。在长方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机选取一点，记该 点取自于几何体 A1ABFE C D1DCGH 内的概率为 p。当点 E，F 分别在棱A1B1, B1B 上运动且满足 EF=a 时，求 p 的最小值。12.（2010 湖南理）
13.（2010 江苏卷）16、 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90 。 (1)求证：PC⊥BC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 [解析] 本小题主要考查直线与平面、 平面与平面的位置关系， 考查几 何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 （1）证明：因为 PD⊥平面 ABCD，BC ? 平面 ABCD，所以 PD⊥BC。 由∠BCD=90 ，得 CD⊥BC，0 0又 PD ? DC=D，PD、DC ? 平面 PCD， 所以 BC⊥平面 PCD。 因为 PC ? 平面 PCD，故 PC⊥BC。 （2） （方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则： 易证 DE∥CB，DE∥平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。 由（1）知：BC⊥平面 PCD，所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC， 因为 PD=DC，PF=FC，所以 DF⊥PC，所以 DF⊥平面 PBC 于 F。 易知 DF=2 ，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。 20 0（方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。 因为 AB∥DC，∠BCD=90 ，所以∠ABC=90 。 从而 AB=2，BC=1，得 ?ABC 的面积 S?ABC ? 1。 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积 V ? 因为 PD⊥平面 ABCD，DC ? 平面 ABCD，所以 PD⊥DC。 又 PD=DC=1，所以 PC ?1 1 S ?ABC ? PD ? 。 3 3PD2 ? DC2 ? 2 。2 。 2由 PC⊥BC，BC=1，得 ?PBC 的面积 S?PBC ? 由 VA? PBC ? VP? ABC ， S? PBC ? h ? V ? 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。1 31 ，得 h ? 2 ， 32009 年高考题一、填空题1. 若 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 3 ， 平 面 内 一 点 M 满 足 CM ????? ?? ? 1 ??? 2 ??? CB ? CA ， 则 6 3???? ???? M A? M B _________ ?2．在空间直角坐标系中，已知点 A（1，0，2），B(1，-3，1)，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是________。 【解析】设 M (0, y, 0) 由 12 ? y 2 ? 4 ? 1 ? (?3 ? y)2 ? 1 可得 y ? ?1 故 M (0, ?1,0) 【答案】(0,-1，0)二、解答题3.（本小题满分 12 分） 如图，在五面体 ABCDEF 中，FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE，AB ? AD，M 为 EC 的中点， AF=AB=BC=FE=1 AD 2(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE； （III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 如图所示，建立空间直角坐标系，， 点 A 为 坐 标 原 点 。 设 AB ? 1 依 题 意 得 B?1 0，?， ?1 1 ?， D?0，0? ，0 C ，0 ， 2，， E ?0， ?， 1， 1F?0，1?， 0，?1 1? M? ， ?. 1， ? 2 2?（I） 解： ? ?? 1 0， DE ? ?0， 11? BF ，1?， ?， ，于是 cos BF， ? DEBF ? DE BF DE?0 ? 0 ?11 ? . 2? 2 20所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 . （II）证明：由AM ? ? ， ?， CE ? ?? 1 0， AD ? ?0，0? 1， ，1?， 2，，可得CE ? AM ? 0 ，?1 ?21? 2?CE ? AD ? 0.因此，CE ? AM，CE ? AD.又AM ? AD ? A，故CE ? 平面AMD.而CE ? 平面CDE，所以平面 AMD ? 平面CDE.（III） 解：设平面 CDE的法向量为u ? ( x，y，z )，则??u ? CE ? 0， ? ?u ? DE ? 0. ??? x ? z ? 0， 于是? 令x ? 1，可得u ? (1， ） 1，. 1 ?? y ? z ? 0.0， 又由题设，平面 ACD 的一个法向量为 v ? (0，1).所以， u，v ? cosu ? v 0 ? 0 ?1 3 ? ? . uv 3 3 ?14． （本题满分 15 分）如图，平面 PAC ? 平面 ABC ， ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形， E, F , O 分别为 PA ，PB ， AC 的中点， AC ? 16 ， PA ? PC ? 10 ．（I）设 G 是 OC 的中点，证明： FG / / 平面 BOE ； （II）证明：在 ?ABO 内存在一点 M ，使 FM ? 平面 BOE ，并求点 M 到 OA ， OB 的距离． 证明： （I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 O ? xyz ，则 O ? 0,0,0? , A(0, ?8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0,0,6), E (0, ?4,3), F ? 4,0,3? ，由题意 得，G ? 0, 4,0? , 因 OB ? (8,0,0), OE ? (0, ?4,3) ，因此平面 BOE 的法向量为 n ? (0,3, 4) ，??? ???? ??? ??? ? ??? ? FG ? (?4, 4, ?3 得 n ? FG ? 0 ，又直线 FG 不在平面 BOE 内，因此有 FG / / 平面 BOE6.（本小题满分 12 分） 如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点 。 （I）若平面 ABCD ⊥平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦； 2 0 （II）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 0 9 0 4 2 3设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则 M（1,0,2）,N(0,1,0),可得 MN =(-1,1,2). 又 D A =（0，0，2）为平面 DCEF 的法向量， 可得 cos( MN , D A )=MN ? DA || MN || DA | ?? 6 3?所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为MN , DA ? 6 3cos???6 分 ??8 分(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面， 则 AB ? 平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知，两正方形不共面，故 AB ? 平面 DCEF。 又 AB//CD，所以 AB//平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线， 所以 AB//EN。 又 AB//CD//EF， 所以 EN//EF，这与 EN∩EF=E 矛盾，故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. 7.（13 分） 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， MD ? 平面ABCD ，??12 分NB ? 平面ABCD ，且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点（1） 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 （2） 在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES ? 平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由 17.解析： （1）在如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标 D ? xyz 依题意，得 D(0, 0, 0) A(1, 0, 0) M (0, 0,1), C (0,1, 0), B(1,1, 0), N (1,1,1), E ( ,1, 0) 。??? ? ???? ? 1 ? NE ? (? , 0, ?1), AM ? (?1, 0,1) 2 ??? ???? ? ? ??? ???? ? ? NE ?AM 10 ? ???? ? ? ? ， ? cos ? NE, AM ?? ???? 10 | NE | ? | AM |1 2所以异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为10 .A 10（2）假设在线段 AN 上存在点 S ，使得 ES ? 平面 AMN .???? ? AN ? (0,1,1) ,可设 AS ? ? AN ? (0, ?, ? ), 又 EA ? ( , ?1, 0),? ES ? EA ? AS ? ( , ? ? 1, ? ) .??? ???????? ?1 2??? ???? ??? ? ?1 2??? ???? ? ? 1 ? ES ?AM ? 0, ?? ? ? ? 0, ? ? 由 ES ? 平面 AMN ，得 ? ??? ???? 即? 2 ? ? ES ?AN ? 0, ?(? ? 1) ? ? ? 0. ? ?故? ???? ? ? 1 1 1 ??? 2 ，此时 AS ? (0, , ),| AS |? . 2 2 2 2 2 时， ES ? 平面 AMN . 2 2 . 2经检验，当 AS ?故线段 AN 上存在点 S ，使得 ES ? 平面 AMN ，此时 AS ? 8.（本小题满分 12 分）E DE ? AB 如图， 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， ? AC, D 、 分别为 AA1 、 1C 的中点， B平面 BCC1 （I）证明： AB ? AC （II）设二面角 A ? BD ? C 为 60°，求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小。 分析一：求 B1C 与平面 BCD 所成的线面角，只需求点 B1 到面 BDC 的距离即可。 19． （本小题满分 12 分， （Ⅰ）问 5 分， （Ⅱ）问 7 分） 如题（19）图，在四棱锥 S ? ABCD 中， AD ? BC 且 AD ? CD ； 平面 CSD ? 平面 ABCD ， CS ? DS , CS ? 2 AD ? 2 ； E 为 BS 的中点，CE ? 2, AS ? 3 ．求：（Ⅰ）点 A 到平面 BCS 的距离； （Ⅱ）二面角 E ? CD ? A 的大小．（Ⅰ）如答（19）图 2，以 S(O)为坐标原点，射线 OD,OC 分别为 x 轴，y 轴正向，建立空 间坐标系， A( xA , yA , z A ) ， 设 因平面 COD ? 平面ABCD, AD ? CD, 故AD ? 平面COD 即点 A 在 xoz 平面上，因此 y A ? 0，z A ? AD ? 1 又uuu vuuv 2 2 xA ? 12 ? AS ? 3, xA ? 2 从而（ 2，1 A 0， ）因 AD//BC，故 BC⊥平面 CSD，即 BCS 与平面 yOx 重合，从而点 A 到平面 BCS 的距离为 xA ? 2 . (Ⅱ)易知 C(0,2,0)，D(,0,0). 因 E 为 BS 的中点. Δ BCS 为直角三角形 , 知 BS ? 2CE ? 2 2 设 B(0,2, Z B )， Z B ＞0，则 Z A ＝2，故 B（0，2，2） ，所以 E（0，1，1） . 在 CD 上取点 G，设 G（ x1 , y1 ,0 ） ，使 GE⊥CD . 由 CD ? ( 2, ?2,0), GE ? (?x1, ? y1 ?1,1), CD ? GE ? 0 故uuvuuvuuu vuuv uuuu uuv v u2x1 ? 2( y1 ?1) ? 0①又点 G 在直线 CD 上，即 CG // CD ，由 CG =（ x1 , y1 ? 2,0 ） ，则有uuu uuu v vuuu vx1 y ?2 ? 1 ?2 2②联立①、②，解得 G＝ (2 4 , , 0) 3 3,故 GE = (?uuu vuuu v 2 2 , ? ,1) .又由 AD⊥CD，所以二面角 E－CD－A 的平面角为向量 GE 与向量 3 3.uuu v DA 所成的角，记此角为 ?因为 GE =uuu 2 3 uuu v v uuu v uuu uuu v v ， DA ? (0, 0,1), DA ? 1, GE ? DA ? 1,所以 3 uuu uuu v v GE ? DA 3 cos ? ? uuu uuu ? v v 2 GE ? DA故所求的二面角的大小为? . 6，?AGC 为二面角 A ? BD ? C 的平面角，作 AG ? BD 于 G ， GC ， G ?D 连 则 C B?AGC ? 60? . 不 妨 设 AC ? 2 3 ， 则 A G ? 2 , G C 4. 在 RT ?ABD 中 ， 由 ? A D? A B? B D A，易得 AD ? 6 . ? G设点 B1 到面 BDC 的距离为 h ， B1C 与平面BCD所成的角为?。利用1 1 S ?B1BC ? DE ? S ?BCD ? h ，可求得 h ? 2 3 ，又 3 3可 求 得B1C ? 4 3sin ? ?h 1 ? ?? ? 30?. B1C 2即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30?. 分析二：作出 B1C 与平面 BCD 所成的角再行求解。如图可证得 BC ? 面AFED ，所 以面 AFED ? 面BDC 。由分析一易知：四边形 AFED 为正方形，连 AE、DF ， 并 设 交 点 为 O ， 则 E O? 面 B D C ? OC 为 EC 在 面 B D C 内 的 射 影 。 ，??ECO即为所求 。以下略。分析三： 利用空间向量的方法求出面 BDC 的法向量 n ， B1C 与平面 BCD 所成的角 则 即为 B1C 与法向量 n 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。??????总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁 江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。9． （本小题共 14 分） 如 图 ， 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 是 正 方 形 ，PD ? 底面ABCD ，点 E 在棱 PB 上.（Ⅰ）求证：平面 AEC ? 平面PDB ；（Ⅱ）当 PD ?2 AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 【解法 2】如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz ， 设 AB ? a, PD ? h, 则 A? a,0,0? , B ? a, a,0? , C ? 0, a,0? , D ?0,0,0? , P ?0,0, h ? ， （Ⅰ）∵ AC ? ? ?a, a,0 ? , DP ? ? 0,0, h ? , DB ? ? a, a,0 ? ， ∴ AC ? DP ? 0, AC ? DB ? 0 ， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面 PDB， ∴平面 AEC ? 平面PDB . （Ⅱ）当 PD ???? ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ??1 1 2 ? a?， 2 AB 且 E 为 PB 的中点时， P 0, 0, 2a , E ? a, a, ?2 2 2 ? ? ???设 AC∩BD=O，连接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，? ?1 1 2 ? ??? ? 2 ? a, ? a, ? a ? , EO ? ? 0, 0, ? a?， ?2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? EA ? EO 2 ∴ cos ?AEO ? ??? ??? ? ， ? ? 2 EA ? EO∵ EA ? ???? ?∴ ?AOE ? 45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 10.（本小题满分 13 分， （Ⅰ）小问 7 分， （Ⅱ）小问 6 分） 如题 （18） 在五面体 ABCDEF 中， 图， AB//DC， ∠BAD=??π ， CD=AD=2.， 2四边形 ABFE 为平行四边形，FA⊥平面 ABCD，FC=3，ED= 7 ，求： （Ⅰ）直线 AB 到平面 EFCD 的距离： （Ⅱ）二面角 F-AD-E 的平面角的正切值， 18.（本小题满分 12 分） 如图 4，在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， AB ?2 AAD 是 A1B1 的中点，点 E 在 AC1 上，且 DE ? AE 。 1 （I） （II） 证明平面 ADE ? 平面 ACC1 A1 求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值。解 （I） 如图所示，由正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的性质知 AA1 ? 平面 A1B1C1 又 DE ? 平面 A 1 B 1 C 1 ，所以 DE ? AA 1 . 而 DE ? AE。AA 1 ? AE=A 所以 DE ? 平面 AC C 1 A 1 ，又 DE ? 平面 ADE，故平面 ADE ? 平面 AC C 1 A 1 。 解法 2 如图所示，设 O 使 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A 1 = 2 ，则 AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（ 3 ，0，0） C 1 （0，1， 2 ） D（ ， ，1 3 ，- ， 2 ） 。 2 2易知 AB =( 3 ，1，0)， AC1 =(0，2， 2 )， AD =( 设平面 ABC 1 的法向量为 n=（x，y，z）,则有1 3 ，- ， 2 ） 2 2?n? ? 3x ? y ? 0, ? ? AB ? ? ? ?n? 1 ? 2 y ? 2 z ? 0,? ? AC ?解得 x=-3 y， z=- 2 y ， 3故可取 n=(1，- 3 ， 6 )。所以， cos (n? AD )=n? AD n? AD=2 3 10 ? 3=10 。 510 。 5由此即知，直线 AD 和平面 AB C 1 所成角的正弦值为 11.（本小题满分 12 分）如图 3，在正三棱柱 ABC- A B1 C1 中，AB=4, A A = 7 ,点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 1 1 上，且 DE ? A E 1 （Ⅰ）证明：平面 A DE ? 平面 ACC1 A1 ; 1 （Ⅱ）求直线 AD 和平面 A DE 所成角的正弦值。 1解法 2 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各 点的坐标分别是 A(2,0,0,),A1 .(2,0,????7 ), D(-1,3 ), E(-1,0.0)????易知 A B =（-3， 3 ，- 7 ） DE =（0，- 3 ，0） AD =（-3， 3 ，0） ， ， 1 设 n=（x，y，z）是平面 A DE 的一个法向量，则 1????{uuu v n? DE ?? 3 y ? 0 uuuv u n? A D ??3 x ? 3 y ? 7 z ? 0 1解得 x ? ?7 z, y ? 0 3故可取 n=（ 7 ,0,-3， ）于是uuu r uuu r n ? AD cos n, AD ? uuu r n ? AD=?3 7 21 ?? 8 4? 2 321 8由此即知，直线 AD 和平面 A DE 所成的角是正弦为 1 12． （本小题满分 12 分）在四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ? 平面 ABCD ， PA ? AD ? 4 ，AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M ，交 PC 于点 N .（1）求证：平面 ABM ⊥平面 PCD ； （2）求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小； （3）求点 N 到平面 ACM 的距离. 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0) ， P(0,0, 4) ，z P MB(2,0,0) ， C (2,4,0) ， D(0,4,0) ， M (0,2,2) ；设平面 ACM 的N?A? ? ??? ? ???? ? ? ?2 x ? 4 y ? 0 一个法向量 n ? ( x, y, z) ，由 n ? AC, n ? AM 可得： ? ， ?2 y ? 2 z ? 0令 z ? 1 ，则B xD y? OC??? ? ? ? CD ? n 6 ， ? n ? (2, ?1,1) 。设所求角为 ? ，则 sin ? ? ??? ? ? 3 CD n所以所求角的大小为 arcsin6 。 38 ,则 32 （ 3 ） 由 条 件 可 得 ， A N ? N C. 在 Rt ?PAC 中 ， PA ? PN? PC 所 以 PN ? ,NC ? PC ? PN ?10 NC 5 5 ? ，所以所求距离等于点 P 到平面 ACM 距离的 ，设点 , 3 PC 9 9??? ? ? AP ? n 2 6 5 10 6 P 到平面 ACM 距离为 h 则 h ? ? ? ，所以所求距离为 h ? 。 3 9 27 n19（本小题满分 12 分） 如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互 相垂直，△ ABE 是等腰直角三角形，AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45?（I）求证： EF ? 平面BCE ； （II）设线段 CD 的中点为 P ，在直线 AE 上是否存在一点 M ，使得 PM ?平面BCE ？ 若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角 F ? BD ? A 的大小。 (Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以 AE⊥AB. 又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABEF, 平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 AE⊥平面 ABCD. 所以 AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz. 设 AB=1,则 AE=1，B（0，1，0） (1, 0, 0 ) , ，D E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为 FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.1 1 , ). 2 2 ??? ? ? ??? ? 1 1 ??? 所以 EF ? (0, ? , ) , BE ? (0, ?1,1) , BC ? (1,0,0) . 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 1 EF ? BE ? 0 ? ? ? 0 , EF ? BC ? 0 . 2 2从而， F (0, ? 所以 EF⊥BE, EF⊥BC. 因为 BE ? 平面 BCE,BC∩BE=B , 所以 EF⊥平面 BCE. (Ⅱ)存在点 M,当 M 为 AE 中点时,PM∥平面 BCE. M ( 0,0,从而 PM = (?1, ????? ?1 ), 2P ( 1,1 ,0 ). 2于是 PM ? EF = (?1, ????? ???? ?1 1 , ), 2 2 1 1 1 1 , ) ? (0, ? , ? ) =0 2 2 2 2所以 PM⊥FE,又 EF⊥平面 BCE，直线 PM 不在平面 BCE 内， 故 PMM∥平面 BCE. ????????????8 分(Ⅲ)设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ，并设 n1 =（x,y,z）.????uuu v BD ? 1 ? 1， ， （， 0）uuu v 3 1 BF ? 0， ，） （ ? 2 2即uv uuu v ?n1 gBD ? 0 ? v ? uv uuu ?n1 gBF ? 0 ??? ??x ? y ? 0 ? ? 3 1 ?? 2 y ? 2 z ? 0 ?取 y=1，则 x=1，z=3。从而 n1 ? 11 3 。 （， ） ， 取平面 ABD 的一个法向量为 n 2 ? 。 （0，0，1）?? ?uv uu v uv uu u v n1 gn 2 3 3 11 cos(n1 , n 2 ) ? uv uu ? ? 。 v 11 11g 1 n1 n 2故二面角 F―BD―A 的大小为 arccos 14.（本题满分 14 分）3 11 。??????????????12 分 11如图，在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， AA ? BC ? AB ? 2 , 1AB ? BC ,求二面角 B1 ? AC ? C1 的大小。 1简答：? 3 年高考题解答题1. （2008 全国Ⅱ19） （本小题满分 12 分） 如图，正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中， AA ? 2 AB ? 4 ，点 E 在 CC1 上且 1 1 A1D1 B1C1C1 E ? 3EC ．（Ⅰ）证明： AC ? 平面 BED ； 1 （Ⅱ）求二面角 A1 ? DE ? B 的大小． 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz ．依题设， B(2，0) C(0，0) E(0，1) A (2，4) ． 2，， 2，， 2，， 1 0， A D BE C??? ? ??? ? DE ? (0， DB ? (2，0) ， 21) ，， 2，z D1 A1 B1 C1???? ???? ? AC ? (?2， ? 4)， 1 ? (2，4) ． 2， DA 0， 1（Ⅰ）证明 因为 AC ? DB ? 0 ， AC?DE ? 0 ， 1 1???? ??? ????? ??? ?E D A x B C y故 AC ? BD ， AC ? DE ． 1 1 又 DB ? DE ? D ， 所以 AC ? 平面 DBE ． 1（Ⅱ）解 设向量 n ? ( x，y，z ) 是平面 DA E 的法向量，则 1??? ? ???? ? n ? DE ， n ? DA1 ．故 2 y ? z ? 0 ， 2x ? 4z ? 0 ．1， 令 y ? 1 ，则 z ? ?2 ， x ? 4 ， n ? (4， ? 2) ．???? n，1C 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角， Acos n, A1C ?n ? A1C n A1C?14 ． 4214 ． 42所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos2. （2008 安徽）如图，在四棱锥 O ? ABCD 中，底面 ABCD 四边长 为 1 的菱形， ?ABC ??4, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为OOA 的中点， N 为 BC 的中点（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；M（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。B A N C D作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为x, y, z 轴建立坐标系A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,2 2 2 2 2 , 0), D(? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 2 4 4(1)证明???? ? ??? ? ???? 2 2 2 2 2 MN ? (1 ? , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? ? 0 OD??? ???? ?? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 2 ? 2z OMA x B N CPD y取z ?2 ,解得 n ? (0,4, 2)???? ? 2 2 ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? 4, 2) ? 0 (0, 4 4? MN‖ 平面OCD(2)解 设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (???? ????? ?2 2 , , ?1) 2 2??? ???? ? ? AB?MD ? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 . ∴cos? ? ??? ???? ? ,∴? ? ? ? 3 3 AB ? MD 2(3)解 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ，则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值,??? ???? ? OB ? n 2 ??? ? 2 ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ? 3 n 33. （2008 湖南 17 ）如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60°，E 是 CD的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面 PBE⊥平面 PAB; （Ⅱ）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.如图所示，以 A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是 A（0，0，0） B（1，0，0） ， ，3 3 1 3 3 C( , , 0), D( , , 0), P（0，0，2）, E (1, , 0). 2 2 2 2 2（Ⅰ）证明 因为 BE ? (0,3 , 0) ， 2平面 PAB 的一个法向量是 n0 ? (0,1,0) ， 所以 BE和n0 共线.从而 BE⊥平面 PAB. 又因为 BE ? 平面 PBE， 故平面 PBE⊥平面 PAB.(Ⅱ)解易知? ? ? ? P ?B 1 ? ( ,3 ? ? 0 B, ?E ），) ， 2 2? ? ,(0??? ? ???? 1 3 PA ? (0, 0, ?2), AD ? ( , , 0) 2 2?? ??? ? ? ?n1 ?PB ? 0, ? 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 PBE 的一个法向量，则由 ? ?? ??? 得 ? n1 ?BE ? 0 ? ?? x1 ? 0 ? y1 ? 2 z1 ? 0, ?? ? 所以 y1 ? 0, x1 ? 2z1.故可取n1 ? (2,0,1). ? 3 y2 ? 0 ? z2 ? 0. ?0 ? x1 ? ? 2?? ??? ? ? ?? ? ?n2 ?PA ? 0, ? 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是 平 面 PAD 的 一 个 法 向 量 ， 则 由 ? ?? ???? 得 ? ?n2 ?AD ? 0 ??0 ? x2 ? 0 ? y2 ? 2 z2 ? 0, ?? ? ? 所以 z2 ? 0, x2 ? ? 3 y2 . 故可取 n2 ? ( 3, ?1,0). ?1 3 y2 ? 0 ? z2 ? 0. ? x2 ? ?2 2?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 2 3 15 于是， cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? . ? 5 5?2 n1 ?n2故平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是 arccos15 . 54. （2008 福建 18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD⊥底面ABCD，侧棱 PA=PD＝ 2 ，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点.（Ⅰ）求证：PO⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求异面直线 PD 与 CD 所成角的大小； （Ⅲ）线段 AD 上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为 值；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证明 在△PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点，所以 PO⊥AD,3 2？若存在，求出AQ QD的又侧面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD=AD, PO ? 平面 PAD， 所以 PO⊥平面 ABCD. (Ⅱ)解 以 O 为坐标原点， OC、 、 的方向分别为 x 轴、y 轴、 OD OP??? ???? ??? ? ?z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以 CD ＝（?11 0）， ＝（， 1， 1 ， ， PB 1 ? ? ）. 所以异面直线 PB 与 CD 所成的角是 arccos??? ???? ?6 ， 3 3 ， 2(Ⅲ)解假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为由(Ⅱ)知 CP ? (?1,0,1), CD ? (?1,1,0). 设平面 PCD 的法向量为 n=(x0,y0,z0).??? ???? ???? ? ?n? ? 0, ?? x0 ? z0 ? 0, ? CP 则 ? ??? 所以 ? 即 x0 ? y0 ? z0 ， ? CD ?n? ? 0, ?? x 0 ? y0 ? 0, ?取 x0=1,得平面 PCD 的一个法向量为 n=(1,1,1).?????? CQ?n ??? ? ?1 ? y 3 3 ? 设 Q(0, y,0)(?1 ? y ? 1), CQ ? (?1, y,0), 由 ，得 ? , n 2 2 3解 y=-1 5 或 y= (舍去)， 2 21 3 AQ 1 , QD ? ，所以存在点 Q 满足题意，此时 ? . 2 2 QD 3此时 AQ ?5. （2007 福建理?18）如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有 棱长都为 2，D 为 CC1 中点。 （Ⅰ）求证：AB1⊥面 A1BD； （Ⅱ）求二面角 A－A1D－B 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 A1BD 的距离； （Ⅰ）证明 取 BC 中点 O ，连结 AO ．?△ ABC 为正三角形，? AO ⊥ BC ．? 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中，平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ，? AD ⊥ 平面 BCC1B1 ．取 B1C1 中点 O1 ，以 O 为原点， OB ， OO1 ， OA 的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空 间直角坐标系，则 B(1 0， ， D(?11 0) ， A (0， 3) ， A(0， 3) ， B1 (1 2， ， ， 0) ， ， ， 0) 2， 0， 1??? ????? ???? ????? ???? ??? ? 1 ， ? AB1 ? (1 2， 3) ， BD ? (?2，0) ， BA1 ? (?1 2，3) ． ，? ， ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 ， AB1 ?BA1 ? ?1? 4 ? 3 ? 0 ， ???? ??? ???? ???? ? ? AB1 ⊥ BD ， AB1 ⊥ BA1 ．A z? AB1 ⊥平面 A1BD ．（Ⅱ）解 设平面 A AD 的法向量为 n ? ( x，y，z ) ． 1 F C O B DA1???? ???? AD ? (?11 ? 3) ， AA1 ? (0，0) ． ， ， 2，???? ???? ? n ⊥ AD ， n ⊥ AA1 ，???? ?n?AD ? 0， ?? x ? y ? 3z ? 0， ? y ? 0， ? ? ? ?? ?? ? ? ???? ? x ? ? 3z． ?n?AA1 ? 0， ?2 y ? 0， ? ? ?令 z ? 1 得 n ? (? 3， 为平面 A AD 的一个法向量． 01) ， 1 由（Ⅰ）知 AB1 ⊥平面 A BD ， 1 xC1yB1???? ? AB1 为平面 A1BD 的法向量． ???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 ． ?? cos ? n ， AB1 ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1? 二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arccos（Ⅲ）解6 ． 4由（Ⅱ） AB1 为平面 A BD 法向量， ， 1??????? ? ???? ? BC ? (?2，0) AB1 ? (1 2， 3) ． 0，， ，? ??? ???? ? BC ?AB1 ?2 2 ． ? 点 C 到平面 A1BD 的距离 d ? ???? ? ? 2 2 2 AB16.（2006 广东卷）如图所示，AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC 是⊙O 的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角 B―AD―F 的大小； (Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角.解 (Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B―AD―F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD＝45 . 即二面角 B―AD―F 的大小为 45 . (Ⅱ)以 O 为原点，BC、AF、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示） ，则 O （0，0，0） A（0， ? 3 2 ，0） B（ 3 2 ，0，0）,D（0， ? 3 2 ，8） E（0，0，8） ， ， ， ，0 0F（0， 3 2 ，0）所以， BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)cos ? BD , EF ??BD ? FE | BD || FE |?0 ? 18 ? 64 100 ? 82?82 . 10设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ? ， 则 cos? ?| cos ? BD, EF ?|?82 10 82 10直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos7.（2005 江西）如图，在长方体 ABCD―A1B1C1D1 中，AD=AA1=1，D1 A1 D A E B B1C1AB=2，点 E 在棱 AB 上移动.（1）证明：D1E⊥A1D； （2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D1―EC―D 的大小为C? . 4以 D 为坐标原点，直线 DA，DC，DD1 分别为 x, y, z 轴，建 坐标系，设 AE=x，则 A1（1，0，1） D1（0，0，1） ， ，立空间直角E（1，x，0） A（1，0，0） C（0，2，0） ， ，（1）证明 （2）解因为DA1 , D1 E ? (1,0,1), (1, x,?1) ? 0, 所以DA1 ? D1 E.因为 E 为 AB 的中点，则 E（1，1，0） ，从而 D1 E ? (1,1,?1), AC ? (?1,2,0) ，AD1 ? (?1,0,1) ，设平面 ACD1 的法向量为 n ? (a, b, c) ，D1 A1zB1C1?n ? AC ? 0, ? 则? ?n ? AD1 ? 0, ?也即 ?D oC E ByxA?? a ? 2b ? 0 ?a ? 2b ，得 ? ，从而 n ? (2,1,2) ，所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 ?? a ? c ? 0 ?a ? c? 2 ?1? 2 1 ? . 3 3h?| D1 E ? n | |n|（3）解设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) ，∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), DD1 ? (0,0,1), 由??n ? D1C ? 0, ??2b ? c ? 0 ?? 令 b=1, ∴c=2,a=2－x， ?n ? CE ? 0, ?a ? b( x ? 2) ? 0. ?∴ n ? (2 ? x,1,2). 依题意 cos?4?| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |?2 2 2 ? ? . 2 2 ( x ? 2) 2 ? 5∴ x1 ? 2 ? 3 （不合，舍去） x2 ? 2 ? 3 . ， ∴AE= 2 ? 3 时，二面角 D1―EC―D 的大小为? . 4第二部分四年联考汇编2010 年联考题题组二（5 月份更新）1． （师大附中理）如图 1， P 是正方形 ABCD 所在平面外一点， PD ? 平面 ABCD ， PD ? AD ，则 PA 与 BD 所成的角的度数为 A． 30?B． 45?C． 60 答案：C?D． 90?2． （肥城市第二次联考）如右图所示，在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中， 1A1D1 B1 FC1E，F 分别是AB1 ， BC1 的中点，则以下结论中不成立的是（ C ．．．A． EF 与 CC1 垂直 C． EF 与 AC1 异面 1 答案 C B． EF 与 BD 垂直 D． EF 与 AD1 异面）E D C A B解析：连结 A B ，在 ?A BC1 中， EF ? AC1 ，所以 A、B、D 正确，C 错，选 C。 1 1 1 3． （师大附中理）设 P, A, B, C 是半径为 2 的球面上四个不同的点，且满足 PA, PB, PC 两 两互相垂直，则 S?PAB ? S?PAC ? S?PBC 的最大值是__________。 答案：84． （池州市七校元旦调研） 设向量 a ，b 满足：| a |? 3 ，| b |? 4 ，a ? b ? 0 ． a ，b ，a ? b 以 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( A． 3 答案：C 【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对 于圆的位置稍一右移或其他的变化， 能实现 4 个交点的情况， 5 个以上的交点不能实现． 但 B． 4 C． 5 D． 6 )5. （马鞍山学业水平测试） （本小题满分8分） 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.(Ⅰ)证明：AD⊥D1F; (Ⅱ)求AE与D1F所成的角; (Ⅲ)证明：面AED⊥面A1FD1. 解：以 D 为原点，DA，DC，DD1 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1????????????????????????????1 分 则有 A（1,0，0） ，E（1，2，1 1 ） ，F（0， ，0） 1（0，0，1） 1（1，0，1）??2 分 ，D ，A 2 21 (Ⅰ) AD ? (?1,0,0), D1 F ? (0, ,?1), AD ? D1 F ? 0 ，∴AD⊥D1F?????????4 分 2 1 (Ⅱ) AE ? (0,1, ), AE ? D1 F ? 0 ，∴AE⊥D1F 2AE 与 D1F 所成的角为 90 ?????????????????????????6 分 (Ⅲ)由以上可知 D1F⊥平面 AED，又 D1F 在平面 A1FD1 内， ∴面 AED⊥面 A1FD1??????????????????????????8 分 6． （池州市七校元旦调研）如图，平面 PAC ? 平面 ABC ， ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形， E, F , O 分别为 PA ，0PB ， AC 的中点， AC ? 16 ， PA ? PC ? 10 ．（I）设 G 是 OC 的中点，证明： FG / / 平面 BOE ； （II）证明：在 ?ABO 内存在一点 M ，使 FM ? 平面BOE ．证明： （I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在 直线为 x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 O ? xyz ，则O ? 0,0,0? , A(0, ?8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0,0,6), E (0, ?4,3), F ? 4,0,3? ，由题意得， G ? 0, 4,0? ,??? ? ??? ? ? OB ? (8,0,0), OE ? (0, ?4,3) ，因此平面 BOE 的法向量为 n ? (0, 3, 4)， 因 ??? ? ? ??? ? 2 FG ? (?4, 4, ?3 得 n ? FG ? 0 ，又直线 FG 不在平面 BOE 内，因此有 FG / / 平面 BOE0???? ? ? x0 , y0 ,0? ，则 FM ? ( x0 ?04, y0 , ?3) ，因为 FM ? 平面 BOE，所以 （II）设点 M 的坐标为 90 4 2 39 ? ? 9 ???? ? ? x0 ? 4, y0 ? ? ? 4, ? , 0 ? 4 ?， 4， 有 FM // n ， 因此有 即点 M 的坐标为 ? 在平面直角坐标系 xoy?x ? 0 ? ?y ? 0 ?x ? y ? 8 ?中，?AOB 的内部区域满足不等式组， 经检验， M 的坐标满足上述不等式组， 点所以在 ?ABO 内存在一点 M ，使 FM ? 平面 BOE ，7． （马鞍山学业水平测试） （本小题满分 12 分） （文）在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中，M 为 B1C1 的中点，N 是 BC 上一点. （Ⅰ）若平面 AB1 N // 平面A MC ，求证：N 为 BC 的中点； 1 A1 （ Ⅱ ） 在 （ Ⅰ ） 的 条 件 下 ， 若 A B1 ? A C1 1C=B1B ， 求 证 ： 1 1 ，B . 平面A1 MC? 平面 A B C C C1 M B1平面A1MC // 平面AB1 N ? ? （Ⅰ） ?平面A1MC ? 平面B1 BCC1 ? MC ，所以 MC // B1 N ? 平面AB N ? 平面B BCC ? B N 1 1 1 1 ?因为 M 为 B1C1 中点，所以 N 为 BC 中点----------------------6 分 （Ⅱ） A B1 ? AC1 ，且 M 为中点，所以 A1M ? B1C1 ----------8 分 1 1 A1N B C1AM B1B1C=BB1 ? B1C=C1C ，M 为中点，所以 CM ? B1C1 ，----------10分 又 A M ? MC ? M ,则 B1C1 ? 平面A MC ， 1 1 又 B1C1 // BC ,所以 BC ? 平面A1MC ， 又 BC ? 平面ABC ，所以 平面A MC ? 平面ABC 1 ----------12 分 ----------14 分 -------16 分 AC N B8. （玉溪一中期中文） （本小题 12 分） 如图， 在四棱锥 P ? ABCD 中，PA ? 底面 ABCD ， ? AB ? AD，AC ? CD， ABC ? 60° ， PA ? AB ? BC ， E 是 PC 的中点． （Ⅰ）求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明 AE ? 平面 PCD ； （Ⅲ）求二面角 A ? PD ? C 的大小．P EABDC（Ⅰ）解：在四棱锥 P ? ABCD中，因 PA ? 底面 ABCD， AB ? 平面 ABCD，故PA ? AB．PA 又 AB ? AD ， ? AD ? A ， 从而 AB ? 平面 PAD ． PB 在平面 PAD 内的射影为 PA ， 故从而∠ APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角．? 在 Rt△PAB 中， AB ? PA ，故∠APB ? 45 ．P M E所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 ． （Ⅱ）证明：在四棱锥 P ? ABCD 中， 因 PA ? 底面 ABCD ， CD ? 平面 ABCD ，故 CD ? PA ． 由条件 CD ? PC ， PA ? AC ? A ，? CD ? 面 PAC ． 又 AE ? 面 PAC ，? AE ? CD ．? 由 PA?AB ? BC ，∠ABC ? 60 ，可得 AC ? PA ．?ABDC? E 是 PC 的中点，? AE ? PC ，? PC ? CD ? C ．综上得 AE ? 平面 PCD ． （Ⅲ）解：过点 E 作 EM ? PD ，垂足为 M ，连结 AM ．由（Ⅱ）知， AE ? 平面 PCD ， AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ，则 AM ? PD ． 因此∠AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角．? 由已知，可得∠CAD ? 30 ．设 AC ? a ，可得PA ? a ， AD ?21 2 3 2 a ， AE ? a ， PD ? a． 3 3 2在 Rt△ ADP 中，? AM ? PD ，∴ AM ? PD ? PA ? AD ，则PA ? AD AM ? ? PDa?2 3 a 2 7 3 ? a． 7 21 a 3在 Rt△ AEM 中， sin AME ?AE 14 14 ? ．所以二面角 A ? PD ? C 的大小 arcsin AM 4 49.（祥云一中月考理） （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P―ABCD 中，底面四边形 ABCD 是正方形，侧面 PDC 是边长为 a 的正三角 形，且平面 PDC⊥底面 ABCD，E 为 PC 的中点。 （I）求异面直线 PA 与 DE 所成的角的余弦值； （II）求点 D 到面 PAB 的距离． 10.解：如图取 DC 的中点 O，连 PO，∵△PDC 为正三角形，∴PO⊥DC.又∵面 PDC⊥面 ABCD，∴PO⊥面 ABCD.如图建立空间直角坐标系 O ? xyz.则 P(0,0,3 a a a a), A(a,? ,0), B(a, ,0), C (0, ,0), 2 2 2 21 D(0,? ,0) a（1） 为 PC 中点， E (0, E ?a 3 , a), 4 43 3 a 3 ? DE ? (0, a, a), PA ? (a,? ,? a) ， 4 4 2 2? PA ? DE ?3 a 3 3 3 a ? (? ) ? a ? (? a) ? ? a 2 ， 4 2 4 2 43 PA ? DE | PA |? 2a, | DE |? , cos ? PA, DE ?? ? 2 | PA | ? | DE |?????????????.6 分 （2）可求 PA ? (a,?3 ? a2 6 4 ?? , 4 3 2a ? a 2a 3 ,? a), AB ? (0, a,0) ， 2 2设面 PAB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z),则n ? PA, n ? AB， n ? AB ? ya ? 0 . ②? n ? PA ? xa ?a 3 y? az ? 0. 2 2①由②得 y=0，代入①得 xa ?3 az ? 0 令 x ? 3, 则z ? 2,? n ? ( 3,0.2). 2则 D 到面 PAB 的距离 d 等于 DA ?上的射影的绝对值 在 .d ?| DA || cos ? DA ? n ?|?| DA | ?| DA ? n | | DA | ? | n |?| DA ? n | | (a,0,0) ? ( 3 ,0.2) | ? |n| 73a 7?21 21 a. a. 即点 D 到面 PAB 的距离等于 7 7 ???????????..12 分P11.（祥云一中二次月考理） （本小题满分 12 分） 如图所示， 四棱锥 P―ABCD 中， 侧棱 PA 与底面 ABCD 垂直， DC=1， AD=AP=2，AB=5，∠CDA=∠DAB=90°，E 是 PB 的中点. （1）求证：BC⊥平面 PAC； （2）求异面直线 PD、AE 所成角的大小； （3）求二面角 A-CE-B 的大小..E A BDC法一： （1）证：由题意：AC= 5 ，则DC CA ? ，又∠DCA=∠CAB，所以△DCA 与△CAB AC AB相似，所以 BC⊥AC，又由侧棱 PA 与底面 ABCD 垂直，有 PA ⊥BC， 所以 BC⊥平面 PAC；?????4 分 （2）连 BD，取 BD 的中点 M，连 EM， 则 EM‖PD，△AEM 中，AE=AM=29 ，EM= 2 ，设异面直线 PD、AE 所成角为 ? ， 2则 cos? ?58 58 ，所以 PD、AE 所成角为 arccos . 29 29（3）作 AH⊥PC 于 H，作 HK⊥EC 于 K，连 AK，又（1）可知.∠AKH 即为所求二面角的 平面角的补角.在△APC 中求出 AH=2 5 2 30 ，在△ACE 中求出 AK= ， （或在△PCE 中求出 3 29HK=10 5 ） 3 29所求二面角的大小为 ? ? arcsin29 174 （或为 ? ? arctan ）. 5 18 58 . 29 5 6 . 18法二： （坐标法） （2）PD、AE 所成角为 arccos（3）所求二面角的大小为： ? ? arccos 12． （祥云一中三次月考理） （本小题满分 12 分）如图，已知平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， AB ? 1, AD ? 2 ，?ADC ? 600 , AF ? 3 .（1）求证：AC⊥BF； （2）求二面角 F―BD―A 的大小.EF C BDAA13. 解：以 CD 为 x 轴,CA 为 y 轴,以 CE 为 z 轴建立空间坐标系， （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0, 3 ,0),F(0,3 , 3 ),B(-1, 3 ,0),14． （祥云一中三次月考文） （本小题满分 12 分） 如图， 已知正四棱柱 ABCD ― A1 B1C1 D1 中 AB=1， A1 =2， 是 A1 D 的中点， M 在 BB 1 上， A N 点 异面直线 MN、 A1 A 互相垂直. （1）试确定点 M 的位置，并加以证明； （2）求二面角 A―MN― A1 的大小. 解： （Ⅰ）取 A1A 的中点 P，连 PM、PN，则 PN//AD，? A1 A ? AD,? A1 A ? PN, 又A1 A ? MN ,? A1 A ? 平面PMN,? A1 A ? PM ,? PM // . AB, 故点M为BB1的中点 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ?A1 MN ? ?AMN, 作AO ? MN于点O, 连A1O, 则A1O ， 则 A1O ? MN , 所以?A1OA 就是所求二面角的平面角.显然A1 N ? AN ? MN5 , A1 M ? AM ? 2. 230 , 利用等面积法求得 A1O=AO= 5 在△A1OA 中由余弦定理得A1O 2 ? AO2 ? A1 A2 2 ?? 2 A1O ? AO 3 cos∠A 1 OA=所以二面角的大小为 ? ? arccos2 3解二:(向量法) (咯) 15． （本小题满分 12 分） （祥云一中三次月考理）如图，已知平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB ? 1, AD ? 2 ， ?ADC ? 600 , AF ? 3 .（1）求证：AC⊥BF； （2）求二面角 F―BD―A 的大小； (3) 求点 A 到平面 FBD 的距离.EF C BDAA15. 解： 以 CD 为 x 轴,CA 为 y 轴,以 CE 为 z 轴建立空间坐标系， （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0, 3 ,0),F(0,3 , 3 ),B(-1, 3 ,0),CA ? 0, 3,0 , BF ? 1,0, 3 , DF ? ? 1, 3, 3 , CA ? BF ? 0, AC ? BF的法向量 ? ( x, y, z) m （2）平面 ABD 的法向量 n ? (0,0,1),平面FBD解出 m ? ? 3,?2,1 ,cos????????m, n =2 2 ,所求二面角 F―BD―A 的大小 arccos 4 4(3)点 A 到平面 FBD 的距离为 d, AD ? (?1,? 3,0)d?AD ? m m?3 3 2 2?3 6 . 4题组一（1 月份更新）一、选择填空 1. 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 2 7 、4 3 ，M、N 分别为 AB、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命 题： ①弦 AB、 可能相交于点 M CD ②弦 AB、 可能相交于点 N CD ③MN 的最大值为 5 ④MN的最小值为 l，其中真命题的个数为 A．1 个 答案 C 2. （ 2009 昆 明 一 中 第 三 次 模 拟 ） 如 图 ， 正 四 棱 柱 B．2 个 C．3 个 D．4 个ABCD ? A1B1C1D1 中， AA ? 2 AB ,则异面直线 A1B 与 AD1 所 1成角的余弦值为（ ）1 5 3 C． 5A． 答案 D2 5 4 D. 5B．3.某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大 值为（ 答案 C 4.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C ? AB ? D 的余弦值为 ）A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 53 ， M ，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM ，AN 所成角的余弦值等于 3答案1 . 6P二、解答题 1.如图，在三棱锥 P ? ABC 中， AC ? BC ? 2 ， A C D B?ACB ? 90? AP ? BP ? AB ， PC ? AC ．（Ⅰ）求证： PC ? AB ； （Ⅱ）求二面角 B ? AP ? C 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 APB 的距离． 解法一： （Ⅰ）取 AB 中点 D ，连结 PD，CD ．? AP ? BP ，? PD ? AB ．? AC ? BC ，? CD ? AB ．? PD ? CD ? D ，? AB ? 平面 PCD ．? PC ? 平面 PCD ，? PC ? AB ．（Ⅱ）? AC ? BC ， AP ? BP ， A EPB C?△ APC ≌△BPC ．又 PC ? AC ，? PC ? BC ．? 又 ?ACB ? 90 ，即 AC ? BC ，且 AC ? PC ? C ，? BC ? 平面 PAC ．取 AP 中点 E ．连结 BE，CE ．? AB ? BP ，? BE ? AP ．? EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，? CE ? AP ． ??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角．在 △BCE 中， ?BCE ? 90? ，P HBC 6 3 BC ? 2 ， BE ? ? ． AB ? 6 ，? sin ?BEC ? BE 3 2D A CB? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arcsin6 ． 3（Ⅲ）由（Ⅰ）知 AB ? 平面 PCD ，? 平面 APB ? 平面 PCD ．过 C 作 CH ? PD ，垂 足为 H ．? 平面 APB ? 平面 PCD ? PD ，? CH ? 平面 APB ．? CH 的长即为点 C 到平面 APB的距离． 由（Ⅰ）知 PC ? AB ，又 PC ? AC ，且 AB ? AC ? A ，? PC ? 平面 ABC ． z P E y A C H x B? CD ? 平面 ABC ，? PC ? CD ．在 Rt△PCD 中， CD ?1 3 AB ? 2 ， PD ? PB ? 6 ， 2 2? PC ? PD2 ? CD2 ? 2 ． CH ?PC ? CD 2 3 ? ． ? 点 C 到平面 APB 的距离为 PD 32 3 ． 3AP ?△ APC ≌△BPC ． P ? C 解法二：Ⅰ） AC ? BC ， ? BP ， （ ? 又 C A? ， PC ? BC ．? AC ? BC ? C ，? PC ? 平面 ABC ．? AB ? 平面 ABC ，? PC ? AB ．) 0A （Ⅱ） 如图， C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz ． C ( 00 ，，) 以 则 0 ， ( 20，) B ( 00 2 ，，， ． ，? 0， ? 0， 取 设 P(0， t ) ． PB ? AB ? 2 2 ， t ? 2 ，P(0， 2) ． AP 中点 E ， 连结 BE，CE ．? AC ? PC ， AB ? BP ，? CE ? AP ， BE ? AP ．??BEC 是二面角 B ? AP ? C的平面角．??? ? ??? ? ? E (0， ， EC ? (0， 1 ?1) ， EB ? (2，1 ?1) ， 11) ， ?， ?，cos?BEC ? EC ? EB EC EB ? 2 2? 6 ?3 3 ．? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arccos ． 3 3（Ⅲ）? AC ? BC ? PC ，? C 在平面 APB 内的射影为正 △ APB 的中心 H ，且 CH 的 长为点 C 到平面 APB 的距离． 如 （ Ⅱ ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 C ? xyz ． ? BH ? 2HE ， ? 点 H 的 坐 标 为??????? ????? 2 3 ?2 2 2? ． ， ， ? ．? CH ? ? 3 ?3 3 3?? 点 C 到平面 APB 的距离为2 3 ． 32.如图，已知 ABCD ? A B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上， 1 且 AE ? FC1 ? 1 ． （1）求证： E，B，F，D1 四点共面； 分）（2）若点 G 在 BC 上， （4 ；D1 A1 D A E B B1 CC1BG ?2 ，点 M 在 BB1 上， GM ⊥ BF ，垂足为 H ，求证： EM ⊥ 3平面 BCC1B1 ； 分）（3）用 ? 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1B1 所 （4 ； 成的锐二面角的大小，求 tan ? ．证明： （1）建立如图所示的坐标系，则 BE ? (3，1) ， BF ? (0，2) ， BD1 ? (3，3) ， 3， 0， 3， 所以 BD1 ? BE ? BF ， BD1 ，BE ，BF 共面． 故 又它们有公共点 B ， 所以 E，B，F，D1??? ???? ????? ????? ???? ??? ? ????? ??? ??? ? ? ?四点共面．0， （ 2 ） 如 图 ， 设 M (0， z) ， 则 G M ? ? 0， ， z ， 而 BF ? ( 0 3 2 ， 由 题 设 得 ? ， ) ， ????? ??? ? ? 2 GM ?BF ? ? ? ? z ?2 ? 0 ， 3 3???? ?? ?2 3? ???? ?得 z ? 1 ．因为 M (0，1) ， E (3，1) ，有 ME ? (300) ，又 BB1 ? (003) ， BC ? (0，0) ， 0， 0， ， ， ， ， 3， 所以 ME?BB1 ? 0 ，ME ?BC ? 0 ， 从而 ME ⊥ BB1 ，ME ⊥ BC ． ME ⊥ 平面 BCC1B1 ． 故 （3）设向量 BP ? ( x，y， ⊥截面 EBFD1 ，于是 BP ⊥ BE ， BP ⊥ BF ． 3) 而 BE ? (3，1) ， BF ? (0，2) ，得 BP?BE ? 3 x? 3 ? 0 ， BP? BF ? 3 y ? 6 ? 0 ，解得 0， 3，??????????? ????? ???????? ??? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? x ? ?1 ，y ? ?2 ， 所以 BP ? (?1 ? 2， ． BA ? 3 ， ⊥ 平面 BCC1B1 ， 所以 BP 和 BA ， 3) 又 (00 ， )的夹角等于 ? 或 π ? ? （ ? 为锐角） ．??? ??? ? ? BP?BA 1 于是 cos ? ? ??? ??? ? ． ? ? 14 BP ?BA故 tan ? ? 13 ．3.（2009 广东三校一模）如图,在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? a ,?ABC ? 60? ,平面 ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段EF 上.(1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?证明你的结论; (3)求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值. （Ⅰ）在梯形 ABCD 中，? AB // CD ， D A C B E M FAD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60? ? 四边形 ABCD 是等腰梯形，F且 ?DCA ? ?DAC ? 30 , ?DCB ? 120??M E? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ? AC ? BC又? 平面 ACFE ? 平面 ABCD ，交线为 AC ，2分D N C? BC ? 平面 ACFE（Ⅱ）解法一、当 EM ?4分A B3 a 时， AM // 平面 BDF ， 35分在梯形 ABCD 中，设 AC ? BD ? N ，连接 FN ，则 CN : NA ? 1 : 26分 7分 8分 9分? EM ?3 a ，而 EF ? AC ? 3a ? EM : MF ? 1 : 2 ， 3? MF// AN ，? 四边形 ANFM 是平行四边形，? AM // NF又? NF ? 平面 BDF ， AM ? 平面 BDF ? AM // 平面 BDF 解法二：当 EM ?3 a 时， AM // 平面 BDF ， 3由（Ⅰ）知，以点 C 为原点， CA, CB, CF 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 5分 则 C (0,0,0) ， B(0, a,0) ， A( 3a,0,0) ， D(3a 1 ,? a,0) ， 2 2z F EF (0,0, a) ， E( 3a,0, a)? AM ? 平面 BDF ，D? ? ?C O B x A y? AM // 平面 BDF ? AM 与 FB 、 FD 共面，也等价于存在实数 m 、 n ，使 AM ? m FB ? n FD ，? ? ?设 EM ? t EF .??? EF ? (? 3a,0,0) ， EM ? (? 3at,0,0) ? AM ? AE? EM ? (? 3at,0, a)又 FD ? (?? 3 1 a,? a,?a) ， FB ? (0, a,?a) ， 2 2?????6分从而要使得： (? 3at,0, a) ? m(0, a,?a) ? n(3 1 a,? a,?a) 成立， 2 2? 3 an ?? 3at ? 2 ? 1 1 ? 需 ?0 ? m a ? an ，解得 t ? 3 2 ? a ? ?am ? an ? ? ?8分? 当 EM ?3 a 时， AM // 平面 BDF 39分（Ⅲ）解法一、取 EF 中点 G ， EB 中点 H ，连结 DG ，GH ， DHF G E? DE ? DF,? DG ? EF ? BC ? 平面 ACFE ? BC ? EF又? EF ? FC ，? EF ? FB ，又? GH // FB ，? EF ? GH? BE 2 ? DE 2 ? DB 2? ?DGH 是二面角 B ? EF ? D 的平面角.在 ?BDE 中, DE ? 6分H D C2a, DB ? 3a, BE ?AE ? AB ? 5a2 2AB? ?EDB ? 90? ,? DH ?5 a. 27分又 DG ?5 2 a, GH ? a. 2 28分? 在 ?DGH 中，由余弦定理得 cos?DGH ?10 , 109分即二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值为10 . 10z F E解法二:由(Ⅰ)知,以点 C 为原点， CA, CB, CF 所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,则 C (0,0,0) , B(0, a,0) ， A( 3a,0,0) ，D(3a 1 ,? a,0) ， F (0,0, a) ， E( 3a,0, a) 过 D 作 DG ? EF , 2 2? ?D x AC O B y垂足为 G . 令 FG ? ? FE ? ? ( 3a,0,0) ? ( 3?a,0,0) ,CG ? CF ? FG ? ( 3a? ,0, a) ,? ? ? ????DG ? CG ? CD ? ( 3?a ????3 1 a, a, a) 2 211由 DG ? EF 得, DG ? EF ? 0 ,? ? ? 分? ? 1 1 1 ? DG ? (0, a, a) ,即 GD ? (0,? a,?a) 2 2 2? BC ? AC, AC // EF, ? BC ? EF ,? BF ? EF? 二面角 B ? EF ? D 的大小就是向量 GD 与向量 FB 所夹的角.??12 分? FB ? (0, a,?a)?13 分cos ? GD, FB ????GD? FB GD ? FB? ????10 10即二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值为10 . 1014 分4、 （2009 番禺一模）如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面PAD ? 底面 ABCD ，且 PA ? PD ?2 AD ,若 E 、 F 分别为线段 PC 、 BD 的中点． 2P E D F C(1) 求证：直线 EF // 平面 PAD ； (2) 求证：平面 PDC ? 平面 PAD ； (3) 求二面角 B ? PD ? C 的正切值.(1) 证 明 ： 连 结 AC ， 在 ?CPA 中ABEF // PA??2 分 且 PA ? 平面 PAD ， EF ? 平面 PAD? EF // 平面PAD ?????????????????????.4 分(2)证明：因为面 PAD ? 面 ABCD 所以， CD ? 平面 PAD 平面 PAD ? 面 ABCD ? ADCD ? AD?CD ? PA ????????????????6 分又 PA ? PD ?? 2 AD ，所以 ?PAD 是等腰直角三角形，且 ?APD ? 2 2即 PA ? PD ????????????????????????.8 分C D ?P ? ，且 CD 、 PD ? 面 ABCD D D? PA ? 面 PDC又PA ?面PAD面PAD ?面P E M D F CPDC ?????????????????????10 分(3)解：设 PD 的中点为 M ,连结 EM , MF ,则 EM ? PD 由(Ⅱ)知 EF ? 面 PDC ,EF ? PDA BPD ? 面 EFMPD ? MF?EMF 是二面角 B ? PD ? C 的平面角?????????12 分Rt ?FEM 中， EF ?1 2 PA ? a 2 41 1 EM ? CD ? a 2 22 a EF 4 ? 2 tan ?EMF ? ? 1 EM 2 a 2故所求二面角的正切为2 ??14 分 2另解：如图,取 AD 的中点 O , 连结 OP , OF . ∵ PA ? PD , ∴ PO ? AD . ∵侧面 PAD ? 底面 ABCD , 平面PAD ? 平面ABCD ? AD ,PzEDC∴? PO ? 平面ABCD ,AO F By而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,∴ OF // AB ,又 ABCD 是 正方形,故 OF ? AD . ∵ PA ? PD ?xa 2 AD ,∴ PA ? PD , OP ? OA ? . 2 2以 O 为 原 点 , 直 线 OA, OF , OP 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 线 坐 标 系 , 则 有a a a a a a , 0 , ,0F)(0, , 0) , D ( ? , 0, 0) , P (0, 0, ) , B ( , a, 0) , C (? , a, 0) . 2 2 2 2 2 2 a a a ∵ E 为 PC 的中点, ∴ E (? , , ) . 4 2 4 ???? ??? ? a a a （1）易知平面 PAD 的法向量为 OF ? (0, , 0) 而 EF ? ( , 0, ? ) , 2 4 4 ??? ??? ? ? a a a 且 OF ? EF ? (0, , 0) ? ( , 0, ? ) ? 0 , ∴ EF //平面 PAD . 2 4 4 ??? ? a ??? ??? ? ? a ??? ? a a (2)∵ PA ? ( , 0, ? ) , CD ? (0, a,0) ∴ PA ? CD ? ( , 0, ? ) ? (0, a, 0) ? 0 , 2 2 2 2 ??? ??? ? ? ∴ PA ? CD ,从而 PA ? CD ,又 PA ? PD , PD ? CD ? D , A(∴ PA ? 平面PDC ,而 PA ? 平面PAD , ∴平面 PDC ? 平面 PAD(3)由(2)知平面 PDC 的法向量为 PA ? ( , 0, ? ) .??? ?a 2a 2设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z) .∵ DP ? ( , 0, ), BD ? ( ? a, a, 0) ,???? ?a 2? a ??? 2a ?a ? ??? ? ? ??? ? ? ? x ? 0? y ? ? z ? 0 ∴由 n ? DP ? 0, n ? BD ? 0 可得 ? 2 ,令 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? ?1 , 2 ??a ? x ? a ? y ? 0 ? z ? 0 ?? ??? ? ? ??? ? ? n ? PA 故 n ? (1,1, ?1) ,∴ cos ? n, PA ?? ? ??? ? ? n PAa 2 a? 3 2?6 , 3即二面角 B ? PD ? C 的余弦值为6 2 ,二面角 B ? PD ? C 的正切值为 . 3 25、 （2009 深圳一模） 如图，AB 为圆 O 的直径， E 、F 在圆 O 上，AB // EF ， 点 矩形 ABCD 和圆 O 所在的平面互相垂直．已知 AB ? 2 , EF ? 1 ． （Ⅰ）求证：平面 DAF ? 平面 CBF ； （Ⅱ）求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小；? (Ⅲ)当 AD 的长为何值时，二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 ？C解： （Ⅰ）证明：? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ，DB H.EOF M?CB ? 平面 ABEF ．? AF ? 平面 ABEF ，? AF ? CB ，又? AB 为圆 O 的直径，? AF ? BF ，A? AF ? 平面 CBF ． ? AF ? 平面 ADF ，? 平面 DAF ? 平面 CBF ．???????4 分（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有 AF ? 平面 CBF ，? FB 为 AB 在 平面 CBF 上的射影， 因此， ? ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角． ?????????5 分? AB // EF ，? 四边形 ABEF 为等腰梯形，过点 F 作 FH ? AB ，交 AB 于 H ．AB ? 2 , EF ? 1 ，则 AH ?AB ? EF 1 ? ． 2 22在 Rt ?AFB 中，根据射影定理 AF? AH ? AB ，得 AF ? 1 ．???????7 分sin ?ABF ?AF 1 ? ，? ?ABF ? 30? ． AB 2???????8 分? 直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30? ．(Ⅲ)（解法一）过点 A 作 AM ? EF ，交 EF 的延长线于点 M ，连 DM ． 根据（Ⅰ）的证明， DA ? 平面 ABEF ，则 DM ? EF ，? ?DMA 为二面角 D ? FE ? B 的平面角， ?DMA ? 60? ．???????9 分在 Rt ?AFH 中，? AH ?1 3 ， AF ? 1 ,? FH ? ． 2 2??????? 10 分又? 四边形 AMFH 为矩形， ? MA ? FH ?3 ． 2? AD ? MA ? tan?DMA ?因此，当 AD 的长为3 3 ? 3? ． 2 2???????12 分3 ? 时，二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 ． 2（解法二）设 EF 中点为 G ，以 O 为坐标原点， OA 、 OG 、 AD 方向 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直角坐标系（如图） 设 AD ? t (t ? 0) ，则点 D 的坐标为 (1, 0, t )zCDB E1 3 在 Rt ?AFH 中，? AH ? ， AF ? 1 ,? FH ? ． 2 2O HA F My1 3 1 3 ,0) ，点 E 的坐标为 (? , ,0) , ? 点 F 的坐标为 ( , 2 2 2 2 1 3 3 3 ? DF ? (? , ,?t ) ， DE ? ( , ,?t ) 2 2 2 2设平面 DEF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ，则 n1 ? DF ? 0 , n1 ? DE ? 0 ．x?? 1 x ? 23 y ? tz ? 0, ? 2 即? 3 y ? tz ? 0. ?? 3 x ? 2 2 ?令z ?3 ，解得 x ? 0, y ? 2t? n1 ? (0, 2t, 3)???????10 分?取平面 BEF 的一个法向量为 n2 ? (0, 0, 1) ，依题意 n1 与 n2 的夹角为 60? cos60? ?n1 ? n2 n1 ? n2，即3 1 0?0? 3 ， 解得 t ? ? （负值舍去） ? 2 2 2 4t ? 3 ? 1???????12因此，当 AD 的长为 分3 ? 时，二面角 D ? FE ? B 的大小为 60 ． 26、 （2009 昆明市期末）如图，在正三棱柱 ABC―A1B1C1 中，BB1=2,BC=2 2 ，D 为 B1C1 的中 点。 （Ⅰ）证明：B1C⊥面 A1BD； （Ⅱ）求二面角 B―AC―B1 的大小。 方法一： （Ⅰ）证明：在 Rt△BB1D 和 Rt△B1C1C 中， 由BB1 2 2 2 B1C1 ? ? ? ,得 B1 D 2 CC1 2△BB1D∽△B1C1C，∠B1DB=∠B1CC1。又 ∠CB1D+∠B1CC1=90° 故 ∠CB1D+∠B1DB=90° 故 B1C⊥BD.???????????3 分 ?????????? 又 正三棱柱 ABC―A1B1C1，D 为 B1C1 的中点。 由 A1D⊥平面 B1C， 得 A1D⊥B1C 又 A1D∩B1D=D， 所以 B1C⊥面 A1BD。????????????????????????? 分 ??????????????????????????6 （Ⅱ）解：设 E 为 AC 的中点，连接 BE、B1E。 在正三棱柱 ABC―A1B1C1 中，B1C=B1A，∴B1E⊥AC，BE⊥AC， 即 ∠BEB1 为二面角 B―AC―B1 的平面角?????????????????9 分 ???????????????? 又 BE ? 6, B1 E ? 10, 故 cos?BEB ? 1BE 15 ? . B1 E 515 . ? ?? ??? ???? ???? ??? ?? ?? ???? ???? ??? ???? ? ?12 5所以二面角的大小为 arccos分 方法二： （Ⅰ）证明：设 BC 的中点为 O，如图建立空间直角坐标系 O―xyz 依题意有 C(? 2 ,0,0), B( 2 ,0,0), B1 ( 2 ,2,0), A1 (0,2, 6 ), D(0,20). 则 BA ? (? 2,2, 6 ),CB1 ? (2 2,2,0). 1 由 BA ?CB1 ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 6 ? 0 ? 0, 1 故 又BA1 ? CB1 , BD ? (? 2,2,0),所以 BD ?CB1 ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 ? 0. 故 BD ? CB1 所以 B1C⊥面 A1BD， （Ⅱ）依题意有 C(? 2,0,0), A(0,0, 6 ), B1 ( 2,2,0),CA ? ( 2,0, 6 ), 又BD∩BA1=BCB1 ? (2 2,2,0).设 n1 ⊥平面 ACB1， n2 ⊥平面 ABC。 求得 n1 ? (? 6,2 3, 2 ), n2 ? (0,1,0). 故 cos ? n1 , n2 ??n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |?2 3 ( 6 ) 2 ? (2 3 ) 2 ? 2?15 . 5所以 分二面角的大小为 arccos15 ?? ???? ???? ??? ???? ? ?12 . ? ?? ??? ???? ???? ??? ?? 57、 （2009 南华一中 12 月月考）正四棱锥 S－ABCD 中，O 为底面中心，E 为 SA 的中点，AB ＝1，直线 AD 到平面 SBC 的距离等于 （1）求斜高 SM 的长； （2）求平面 EBC 与侧面 SAD 所成锐二面角的小；6 ． 3解法一： （1）连 OM，作 OH⊥SM 于 H．∵SM 为斜高，∴M 为 BC 的中点， ∴BC⊥OM． ∵BC⊥SM，∴BC⊥平面 SMO． 又 OH⊥SM，∴OH⊥平面 SBC． 2 分 由题意，得 OH ? 设 SM＝x， 则3 3 6 1 1 x ? x 2 ? ( ) 2 ? ，解之 x ? ，即 SM ? ．???????6 分 2 2 6 2 2 1 6 6 ? ? ． 2 3 6（2）设面 EBC∩SD＝F，取 AD 中点 N，连 SN，设 SN∩EF＝Q． ∵AD∥BC，∴AD∥面 BEFC．而面 SAD∩面 BEFC＝EF，∴AD∥EF． 又 AD⊥SN，AD⊥NM，AD⊥面 SMN． 从而 EF⊥面 SMN，∴EF⊥QS，且 EF⊥QM． ∴∠SQM 为所求二面角的平面角，记为 α ．??? 7 分 由平几知识，得 (2QM )2 ? SN 2 ? 2(MN 2 ? MS 2 ) ．11 3 3 ∴ 4QM 2 ? 2(1 ? ) ? ，∴ QM ? ． 4 4 4S∴ cos ? ?(11 2 3 3 ) ? ( )2 ? 4 4 4 ? 1 ，即 11 3 33 2? ? 4 41 33Q E D N AF H C ? O B（第 19 题）所求二面角为 arccos． ??? 12 分M解法二： （1）建立空间坐标系（如图）1 1 ∵底面边长为 1，∴ A( ，? ， ， 0) 2 2 1 1 1 1 B( ， ， ， C ( ? ， ， ， 0) 0) 2 2 2 2 1 M (0， ， ． 0) 20 设 S (0，，h) ， y 1) 平面 SBC 的一个法向 n ? ( x，， ，zS?????1 分E D O A M B（第 19 题）??? ? ???? 1 则 SM ? (0， ，? h) ， CB ? (1，， ． 0 0) 2Cyx??? ? ???? 1 ∴ 0 ? n ? CB ? x ， 0 ? n ? SM ? y ? h ． 2∴y＝2h，n＝（0，2h，1） ．? 3 分??? ? 而 AB ＝（0，1，0） ，由题意，得??? ? 2 6 | AB ? n | 2h ．解得 h ? ． ? ? 2 2 3 |n| 4h ? 1???? ??? 2 ???? 2 ? ? 3 ∴斜高 | SM |? SO ? OM ? ． ????????????????6 分 2（2）n＝（0，2h，1）＝ (0， 2， ， 1) 由对称性，面 SAD 的一个法向量为 n1＝ (0， 2， ???8 分 ? 1) 设平面 EBC 的一个法向量 n2=（x，y，1） ，由??? ? 1 3 1 1 2 2 1 E ( ， ， ) ， EB ? ( ， ，? ? ) ? (1，，? 2) ，得 3 4 4 4 4 4 4 4 ??? ? ?0 ? n2 ? CB ? x， ? x ? 0， ? 1 ? ??? 1 ? ? 3) ?0 ? n2 ? EB ? ( x ? 3 y ? 2). 解得 ? y ? 2 . ∴ n2 ? 3 (0， 2， ．?10 分 ? ? 4 3 ?设所求的锐二面角为 α ，则cos ? ?| cos ? n1，n2 ?|? | n1 ? n2 | 1 1 ? ，∴ ? ? arccos ．??? 12 分 | n1 || n2 | 33 332009 年联考题 1.(湖南省衡阳市八中 2009 届高三第三次月考试题)如图，―ABCD 是正四棱锥， PABCD ? A1B1C1D1 是正方体，其中 AB ? 2, PA ? 6（1）求证： PA ? B1D1 ； （2）求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 ? 的余弦值； （3）求 B1 到平面 PAD 的距离 以 A1 B1 为 x 轴， A1 D1 为 y 轴， A1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系 （1）证明 设 E 是 BD 的中点，? P―ABCD 是正四棱锥，∴ PE ? ABCD又 AB ? 2, PA ? 6 ， ∴ PE ? 2 ∴ B1D1 ? AP ? 0 ， （2）解∴ P(1,1,4) ∴ B1D1 ? (?2,2,0), AP ? (1,1,2)???????? ?????? ??? ?即 PA ? B1D1 。设平面 PAD 的法向量是 m ? ( x, y, z) ，????? ? ??? ? ? AD ? (0, 2,0), AP ? (1,1, 2)∴y ? 0, x ? 2 z ? 0取 z ? 1 得 m ? (?2,0,1) ， 又 平 面 BDD1B1 的 法 向 量 是???? ? ?? ? ? m?n 10 n ? (1,1,0) ∴ cos ? m, n ?? ?? ? ? ? 5 m n（3）解 ? B1 A ? (?2,0,2)????10 。 5 ???? ?? B1 A ? m 6 ∴ B1 到平面 PAD 的距离 d ? 5。 ?? ? 5 m， ∴ cos ? ?P2. (陕西省西安铁一中 2009 届高三 12 月月考)如图，边长为 2 的等 边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC＝ 2 2 ，M 为 BC 的中点(Ⅰ)证明：AM⊥PM ； (Ⅱ)求二面角 P－AM－D 的大小； (Ⅲ)求点 D 到平面 AMP 的距离。 (Ⅰ) 证明 以 D 点为原点，分别以直线 DA、DC 为 x 轴、y 轴， AD M BCzP建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 依题意，可得D(0,0,0), P(0,1, 3),C(0,2,0), A(2 2,0,0), M ( 2,2,0)∴ PM ? ( 2, 2,0) ? (0,1, 3) ? ( 2,1, ? 3)D M BCy???? ?? x???? ? AM ? ( 2, 2,0) ? (2 2,0,0) ? (? 2, 2,0)???? ???? ? ? ∴ PM ? AM ? ( 2,1, ? 3) ? (? 2, 2,0) ? 0即 PM ? AM ,∴AM⊥PM . (Ⅱ)解 设 n ? ( x, y, z) ，且 n ? 平面 PAM，则???? ????? ???? ???? ? ?n ? PM ? 0 ? ? ? ? ???? ?n ? AM ? 0 ?∴?即?? ?( x, y, z ) ? ( 2 ,1,? 3 ) ? 0 ?( x, y, z ) ? (? 2 ,2,0) ? 0 ? ?z ? 3 y ? ? ?x ? 2 y ?? 2 x ? y ? 3z ? 0 ? ， ? ?? 2 x ? 2 y ? 0取 y ? 1 ，得 n ? ( 2,1, 3)?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n? p 3 2 ? ? ? ? 取 p ? (0,0,1) ，显然 p ? 平面 ABCD， ∴ cos n, p ? ?? ? 2 | n |?| p | 6结合图形可知，二面角 P－AM－D 为 45°； (Ⅲ) 设点 D 到平面 PAM 的距离为 d ，由(Ⅱ)可知 n ? ( 2,1, 3) 与平面 PAM 垂直，则???? ? ? | DA ? n | | (2 2 ,0,0) ? ( 2 ,1, 3 ) | 2 6 = ? ? d? 3 |n| ( 2 ) 2 ? 12 ? ( 3 ) 2即点 D 到平面 PAM 的距离为2 6 33.(厦门市第二外国语学校
学年高三数学第四次月考)已知点 H 在正方体ABCD ? A?B?C ?D? 的对角线 B ' D ? 上，∠HDA= 60 0 ．（Ⅰ）求 DH 与 CC ? 所成角的大小； （Ⅱ）求 DH 与平面 AA?D ?D 所成角的大小． 解：以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz ． zA?D A xHC?B?C B y1)( 设 H (m，m， m ? 0)则 DA ? (1 0， ， CC? ? (0， ．连结 BD ， B ?D ? ． ，0) 01) ， 设 DH ? (m，m， m ? 0) ，由已知 ? DH， ?? 60 ， DA 1)(???? ????? ????? ????? ??? ? ?， 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA DH ?可得 2m ? 2m2 ?1 ．解得 m ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ?2 ， 22 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ???? ? ? ???? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ?? 2 1? （Ⅰ）因为 cos ? DH， CC ? 所以 DH ? ? ， ? 2 ，2 ， ． ? 2 1? 2 ? ?所以 ? DH， ? ?? 45 ．即 DH 与 CC ? 所成的角为 45 ． CC?????? ???? ? ?（Ⅱ）平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0，0) ． 1，????2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ???? ? ???? ???? ? 1 2 cos ? DH， ?? 2 DC ? ， 所以 ? DH， ?? 60? ． 因为 DC 2 1? 2可得 DH 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 ．?4.(广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考)如图， 在四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，zACA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.（1）求证： AO ? 平面 BCD； （2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值； （3）求点 E 到平面 ACD 的距离． ⑴ 证明 连结 OC x B E D O C y? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD ， CO ? BD ．在 ?AOC 中，由已知可得 AO ? 1, CO ? 3.2 2 2 而 AC ? 2 ， ? AO ? CO ? AC ,??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.? BD ? OC ? O, ∴ AO ? 平面 BCD ．zAD (2)解 以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系， x B E O C y则 B(1,0,0), D(?1,0,0),??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BA ? CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? ??? ? ， ? ? 4 BA ? CD∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为2 ． 4⑶解设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则?? ???? ?n ? AD ? ( x, y, z ) ? (?1, 0, ?1) ? 0 ? ， ? ? ???? ?n ? AC ? ( x, y, z ) ? (0, 3, ?1) ? 0 ?? ?x ? z ? 0 ? ，令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量． ? 3y ? z ? 0 ? ??? ? ? EC ? n ??? ? 1 3 3 21 又 EC ? (? , ． , 0), ∴点 E 到平面 ACD 的距离 h ? ? ? ? 2 2 7 7 n∴? 5.(广东省高明一中 2009 届高三上学期第四次月考)如图， 已知 AB ? 平面 ACD ， DE ? 平面 ACD ，△ ACD 为 等边三角形， AD ? DE ? 2 AB ， F 为 CD 的中点. (1) 求证： AF // 平面 BCE ； (2) 求证：平面 BCE ? 平面 CDE ； C (3) 求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. F D A B E设 AD ? DE ? 2 AB ? 2a ，建立如图所示的坐标系 A ? xyz ，则A ? 0， 0 ? ,C ? 2a， 0 ? , B ? 0, 0, a ? , D a, 3a, 0 , E a, 3a, 2a . 0， 0，∵ F 为 CD 的中点，∴ F ??? ???3 ? 3 a, a, 0 ? . ?2 ? 2 ? ?(1) 证明??? ? 3 ? ? ??? ? ? ??? 3 AF ? ? a, a, 0 ? , BE ? a, 3a, a , BC ? ? 2a, 0, ?a ? ， ?2 ? 2 ? ? ??? 1 ??? ??? ? ? ? BE ? BC ， AF ? 平面 BCE ，∴ AF // 平面 BCE . ∵ AF ? 2????(2) 证明 ∵ AF ? ? ???? ??3?2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ∴ AF ? CD ? 0, AF ? ED ? 0 ，∴ AF ? CD, AF ? ED .∴ AF ? 平面 CDE ，又 AF // 平面 BCE ， ∴平面 BCE ? 平面 CDE .a,? ??? ? ? ??? 3 a, 0 ? , CD ? ?a, 3a, 0 , ED ? ? 0, 0, ?2a ? ， ? 2 ?????? ?(3) 解设平面 BCE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ，由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0 可得：?? ??? ?? ??? ?? x ? 3 y ? z ? 0, 2x ? z ? 0 ，取 n ? 1, ? 3, 2 .???3 ? 3 a, a, ?a ? ，设 BF 和平面 BCE 所成的角为 ? ，则 ?2 ? 2 ? ? ??? ? ? BF ?n 2a 2 . sin ? ? ??? ? ? ? ? 4 BF ? n 2a ? 2 2又 BF ? ???? ?∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为2 . 4PCD R A6. (2009 年广东省广州市高三年级调研测试)如图，已知 等腰直角三角形 RBC ，其中∠ RBC =90?， RB ? BC ? 2 ． 点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点，现将△ RAD 沿着边 AD 折起到△ PAD 位置，使 PA ⊥ AB ，连结 PB 、 PC ． （1）求证： BC ⊥ PB ； （2）求二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值． （1）证明 ∵点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点，B∴ AD // BC , AD ?1 BC . 2∴∠ PAD ? ?RAD ? ?RBC =90?. ∴ PA ? AD . ∴ PA ? BC , ∵ BC ? AB, PA ? AB ? A , ∴ BC ⊥平面 PAB . ∵ PB ? 平面 PAB , ∴ BC ? PB . （2）解 建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ．P z则 D （－1，0，0） C （－2，1，0） P （0，0，1）. ， ， ∴ DC =（－1，1，0） DP =（1，0，1）, ，? 设平面 PCD 的法向量为 n =（x，y，z） ，则：R x AC DBy?? ?n ? DC ? ? x ? y ? 0 ， ? ? ? n ? DP ? x ? z ? 0 ?令 x ? 1 ，得 y ? 1, z ? ?1 ， ∴ n =（1，1，－1）. 显然， PA 是平面 ACD 的一个法向量， PA =（ 0,0, ? 1 ） ．?? ? n ? PA ? ∴cos& n ， PA &= ? n ? PA1 3 ?1?3 ． 3∴二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值是3 . 3 年联考题 1. ( 江 西 }