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重复测量资料的统计分析方法
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重复测量资料的统计分析方法
作者：MedSci&&&来源：MedSci
这是一组观察对象的资料，每个观察对象有两个时间点的测量资料，因此这是最简单的重复观察测量资料(也可以认为配对设计的资料)。
由于各个观察对象在服药前的体重不全相同，所以其体重含有服药前的体重个体变异成分，而在服药后，各个观察对象的体重下降幅度也不全相同，故存在体重下降幅度的个体变异成分，因此观察对象在服药后的体重中不仅含有体重下降幅度的个体变异成分，而且还含有服药前的体重个体变异成分，故服药前后的体重资料不独立。对于这种不独立资料的统计分析一般采用变异成分的分解或消除某一个体变异成分的方法进行统计处理的。如配对t检验和符号秩检验就是采用服药前后资料相减作为统计分析数据，因而消除了服药前体重的个体变异，使进入统计分析的资料仅含有体重下降幅度的个体变异，但这种消除某种不独立的变异成分的统计方法无法对比较复杂的重复测量资料进行统计分析。因而本节将借助统计软件Stata，介绍应用混合模型（Mixed Model）对重复测量资料进行统计分析。
设观察对象体重的总体均数为m0，服药后体重总体均数为m1，即服药前后的体重改变量的总体均数为b＝m1－m0。若b＝0说明服药前后的体重平均变化为0，即无疗效；若b&0，说明服药后的人群平均体重低于服药前的平均体重，即该药物减肥是有效的；若b&0，说明服药后的平均体重高于服药前的平均体重，即该药对减肥有不利的作用。针对本例服药前后的体重总体均数的变化关系，引入自变量t，建立下列服药前后的体重总体均数表达式（即混合模型的确定性部分表达式）。
t=0时，m为服药前的体重总体均数m0；t=1时，m为服药后的体重总体均数m1。应用混合模型可以对本例资料进行统计分析，其中b和m0的参数估计一般采用限制的最大似然法，然而计算相当复杂，故我们将借助Stata软件对上述资料用混合模型进行统计分析，相应的Stata软件的数据格式如下。
其中y为体重测量值，t为服药时间的自变量，no为观察对象的编号，相应的Stata操作命令如下：
Random-effectsGLS regression Numberof obs&&&&& =&&&&&&& 10
Groupvariable (i) : no&&&&&&Number of groups&& =&&&&&&&& 5
R-sq:& within&= 0.6533&&&&&&Obs per group: min =&&&&&&&& 2
&&&&&& between =&&&&& .&&& avg=&&&&&& 2.0
&&&&&& overall = 0.0612&&& max=&&&&&&&& 2
Randomeffects u_i ~ GaussianWald chi2(1)&&&&&& =&&&&& 7.54
corr(u_i,X)&&&&&& = 0 (assumed)&&&&&& Prob & chi2&&&&&&& =&&&0.0060
------------------------------------------------------------------------------
& y |&&&&& Coef.&&Std. Err.&&&&& z&&& P&|z|&&&&[95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
& t |&&&&&& -1.4&&&.509902&&& -2.75&& 0.006&&&-2.399389&& -.4006105
&&&&&& _cons |&&&&&& 50.4&&1.371131&&& 36.76&& 0.000&&&&47.71263&&& 53.08737
-------------+----------------------------------------------------------------
&&&& sigma_u |&2.9580399
&&&& sigma_e |&.
&&&&&&&& rho |&.&& (fraction of variancedue to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
b估计值为－1.4，m0估计值为50.4，而m1的估计值＝50.4－1.4＝49。
H0：b＝0& 即无减肥疗效
H1：b?0&& 即服药前后的人群平均体重不同
相应的P值＝0.006，因此服药前后平均体重的差异有统计学意义，故可以认为该药物有减肥疗效。
例2& 为了考察某药物在疗程为6个月中的持续减肥作用，现考察5个服用该药的女性肥胖者并且身高为162cm的，这5名女性肥胖者在服用该药前、服药3个月和服药6个月的体重测量值(kg)如下：
这是一组观察对象的多个测量时间点的重复观察测量资料，因此同一对象的不同观察时间点的观察资料是相关的。(也可以视为配伍区组设计的观察资料，用随机区组设计的方差分析或Friedman秩检验的统计方法检验该药物的减肥作用)，因此可用混合模型进行统计分析。
设观察对象在服药前的体重总体均数为m0、服药3个月时的体重总体均数m0+b1，服药6个月时的体重总体均数为m0+b2，即：b1为服药3个月时的体重平均改变量，b2为服药6个月时的体重平均改变量。针对本例服药前后的体重总体均数的变化关系，引入自变量t1和t2，建立下列服药前后的体重总体均数表达式
若t1=t2=0时，m为服药前的体重总体均数m0；t1=1，t2=0时，m为服药3个月时的体重总体均数m0+b1。若b1&0，说明服药3个月时的服药人群平均体重低于服药前的平均体重，即该减肥药有效，反之无疗效；t1=0，t2=1时，m为服药6个月时的体重总体均数m0+b2，而b2&0和b2&0同样反映该减肥药有效或无效。若b2&b1，说明服药6个月时的服药人群平均体重低于3个月时的服药人群平均体重到期间。我们同样借助Stata软件对上述资料用混合模型进行统计分析，相应的Stata软件的数据格式如下。
其中t1和t2为服药时间的自变量，其他与例12-1相同，相应的Stata操作命令如下：
Stata 命令为 xtreg& y& t1 &t2 ,i(no)
相应输出结果如下：
Random-effectsGLS regression Numberof obs&&&&& =&&&&&&& 15
Groupvariable (i) : no&&&&&&Number of groups&& =&&&&&&&& 5
R-sq:& within&= 0.9551&&&&&&Obs per group: min =&&&&&&&& 3
&&&&&& between =&&&&& .&&& avg=&&&&&& 3.0
&&&&&& overall = 0.4602&&& max=&&&&&&&& 3
Randomeffects u_i ~ GaussianWald chi2(2)&&&&&& =&&& 170.18
corr(u_i,X)&&&&&& = 0 (assumed)&&&&&& Prob & chi2&&&&&&& =&&&0.0000
------------------------------------------------------------------------------
& y |&&&&& Coef.&&Std. Err.&&&&& z &&&P&|z|&&&&[95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
t1 |&&&&&& -1.2&&.3829708&&& -3.13&& 0.002&&&-1.950609&& -.4493909
t2 |&&&&&& -4.8&&.3829708&& -12.53&& 0.000&&&-5.550609&& -4.049391
&&&&&& _cons |&&&&&& 51.6&&1.104536&&& 46.72&& 0.000&&&&49.43515&&& 53.76485
-------------+----------------------------------------------------------------
&&&& sigma_u |&&2.394438
&&&& sigma_e |&.
&&&&&&&& rho |&.&& (fraction of variancedue to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
3个月时的体重与6个月时的体重比较的Stata命令和输出结果如下：
test& t1=t2& （H0：b2＝b1）
&( 1)& t1- t2 = 0.0
& chi2(& 1) =&&88.36
&&&&&&&& Prob & chi2 =&&& 0.0000
b1估计值为－1.2(kg)， b2估计值为－4.8(kg)，服药前体重总体均数m0的估计值为51.6(kg)；服药3个月时的体重总体均数m0＋b1的估计值为51.6－1.2＝50.4(kg)；服药6个月时的体重总体均数m0＋b2的估计值为51.6－4.8＝46.8(kg)。
H0：b1＝0& 即服药3个月时减肥无效
H1：b?0&& 即服药3个月时与服药前的人群平均体重不同
相应的P值＝0.002，因此差异有统计学意义，故可以认为该药物在服药3个月时有减肥疗效。
H0：b2＝0& 即服药6个月时减肥无效
H1：b2?0&& 即服药6个月时与服药前的人群平均体重不同
相应的P值&0.001，因此差异有统计学意义，故可以认为该药物在服药6个月时有减肥疗效。
H0：b2＝b1& 即从服药3个月至6个月时，没有继续减肥
H1：b2?b1&& 即服药6个月时与服药3个月的人群平均体重不同
相应的P值&0.001，因此差异有统计学意义，故可以认为服药3个月至6个月期间，继续有减肥疗效。
多个样本多个时间点重复观察资料
例12-3& 为了比较A药和B药在疗程为6个月中的持续减肥的疗效，现有10个身高为160cm的女性肥胖者志愿参加这项研究。随机分成2组，每组各5人。分别考察这2组肥胖者在服药前、3个月和服药6个月的体重变化。这2组肥胖者在服用该药前、服药3个月和的体重测量值(kg)如下：
这是两组观察对象的多个测量时间点的重复观察测量资料，同样对于同一对象的不同观察时间点的观察资料是相关的，但由于需要比较两个药的减肥疗效，所以两因素方差分析，随机区组设计的方差分析或Friedman秩检验的统计方法都不适用于本例的数据统计分析，但仍可用混合模型对本例资料进行统计分析。
由于这是两组观察对象的多个测量时间点的重复观察测量资料，所以仍可以借用上例的总体均数表达式（12-2）分别描述每一组体重变化规律，因此可以得到下列总体均数表达式：
由于应用混合模型进行统计分析需要建立两组统一的总体均数表达式，因此引入统一参数b3=m10－m0，b4＝b11－b1，b5＝b12－b2，代入（12-4）式，得到B组总体均数表达式
引入分组变量g=0表示A组，g＝1表示B组，因此两组的总体均数表达式均可表示为
用g=0，1；t1=0，1和t2=0，1代入（12-6）式，得到相应两组各个时间点的总体均数：
A组（g＝0）
B组（g＝1）
m0＋b1＋b3＋b4
m0＋b2＋b3＋b5
两组差异为
服药前（t1=0，t2=0）
服药3个月（t1=1，t2=0）
服药6个月（t1=0，t2=1）
若b4和b5不全为0，则称两种药物与服药时间对疗效有交互作用。两组在3个时间点的总体均数差异分别为b3，b3＋b4和b3＋b5，因此只需检验H0：b3＝0、H0：b3＋b4＝0和 H0：b3＋b5＝0就可以推断两组总体均数差异。反之若b4和b5全为0，则称两种药物与服药时间对疗效无交互作用，并且两组各个时间点的总体均数差异均为b3，因此只需检验H0：b3＝0就可以推断两组的总体均数差异。我们同样借助Stata软件对上述资料用混合模型进行统计分析，相应的Stata软件的数据格式如下。
Stata操作命令如下：
gen gt1=g*t1 产生交互作用项变量g?t1
gen gt2=g*t2 产生交互作用项变量g?t2
xtreg& y&t1& t2& g&gt1& gt2,i(no)
Random-effectsGLS regression Numberof obs&&&&& =&&&&&&& 30
Groupvariable (i) : no&&&&&&Number of groups&& =&&&&&&& 10
R-sq:& within&= 0.8288&&&&&&Obs per group: min =&&&&&&&& 3
&&&&&& between = 0.0973&&& avg=&&&&&& 3.0
&&&&&& overall = 0.5927&&& max=&&&&&&&& 3
Randomeffects u_i ~ GaussianWald chi2(5)&&&&&& =&&&& 78.32
corr(u_i,X)&&&&&& = 0 (assumed)&&&&&& Prob & chi2&&&&&&& =&&&0.0000
------------------------------------------------------------------------------
& y |&&&&& Coef.&&Std. Err.&&&&& z&&& P&|z|&&&&[95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
t1 |&&&&&& -1.8&&1.053565&&& -1.71&& 0.088 &&&&-3.86495&&&.2649502
t2 |&&&&&&&& -8&&1.053565&&& -7.59&& 0.000&&&-10.06495&&& -5.93505
& g |&&&&&&& -.4&&1.612452&&& -0.25&& 0.804&&&-3.560347&&& 2.760347
&&&&&&&& gt1 |&&&&&&&& .8&&1.489966&&&& 0.54&& 0.591&&&-2.120281&&& 3.720281
&&&&&&&& gt2 |&&&&&&& 4.2&&1.489966&&&& 2.82&& 0.005&&&&1.279719&&& 7.120281
&&&&&& _cons |&&&&&& 50.6&&1.140175&&& 44.38&& 0.000&&&&&48.3653&&&& 52.8347
-------------+----------------------------------------------------------------
&&&& sigma_u |&1.9300259
&&&& sigma_e |&1.6658331
&&&&&&&& rho |&.&& (fraction of variancedue to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
由此得到（12-6）式中的m0估计值为50.6，b1的估计值为-1.8，b2的估计值为-8，b3的估计值为-0.4，b4的估计值为0.8和4.2。两组各个时间的总体均数估计如下
(t1=0,t2=0)
服药3个月时
(t1=1,t2=0)
m0＋b1＋b3＋b4
服药6个月时
(t1=0,t2=1)
m0＋b2＋b3＋b5
注：表中均数估计值是参数估计值和总体均数参数表达式计算所得。如：服药3个月时A组的总体均数估计值＝50.6-1.8＝48.8。
3个时间点的两组平均体重比较的Stata统计检验命令和输出结果如下
服药前两组平均体重比较就是检验H0：b3=0，相应的P值=0.804&a，差别无统计学意义，故没有充足证据推断两组在服药前的体重总体均数不等。
服药3个月时的两组平均体重比较的Stata命令和输出结果如下：
test& g＋gt1＝0& （H0：b3＋b4＝0 即服药3个月时的两组体重总体均数相等）
( 1)& g + gt1 =0.0
&chi2(& 1) =&&& 0.06
&&&&&&&& Prob &chi2 =&&& 0.8041
相应的P值＝0.8041&a，差异无统计学意义，故无证据显示两组总体均数不等。
服药6个月时的两组平均体重比较的Stata命令和输出结果如下：
test& g＋gt2＝0& （H0：b3＋b5＝0）
( 1)& g + gt2 =0.0
&chi2(& 1) =&&& 5.55
&&&&&&&& Prob & chi2 =&&& 0.0184
相应的P值＝0.0184&a，差异有统计学意义，故可以认为服A药6个月时的人群平均体重低于服B药6个月的人群平均体重。
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