内部稳定性和外部稳定性是什么意思关系
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时间：2017-01-19 05:14
【图文】系统运动的稳定性5_百度文库
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系统运动的稳定性5
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你可能喜欢在自动化和控制理论的话题上和大家讨论了很多，也思考了很多，也认识了很多的好朋友，感谢之情尽在不言之中。总的感受就是，单就自动控制系统来说，很多工程师的基础理论素养还不够扎实，包括我自己也是。回想以前遇到的很多实践的问题，不需要高深的理论，在经典的线性siso里面其实都能够找到答案。回想起四年前大老板对我说：大家都以为自己非常透彻的懂线性系统，其实大家都还不够懂。&br&&br&我自己只是个工科生，本科GPA惨淡，虽说是根正苗红的自动化的本科，双控的硕士，但是读博之前一直是在做软件和嵌入式，理论素养并不好。胡乱写了些东西，如果有哪里错了，还请方家指正。&br&&br&&b&1.从时域直观看带宽&/b&&br&首先限定讨论的范围，这里只讨论线性时不变系统（LTI），虽然现实中并不存在这样的系统，但是有很多都可以在一定条件下近似为LTI，或者可以等价为LTI再加上建模误差项或者干扰项。&br&讨论LTI的时域响应，对于带宽会给大家带来直观的感受，有助于引入后面的描述更为有力的频域分析。&br&要看一个系统的响应速度快不快，直接看它的时域的解是一个非常直接的思路。&br&有一阶系统&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BTs%2B1%7D& alt=&G(s)=\frac{1}{Ts+1}& eeimg=&1&&&br&其单位阶跃响应的解为&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3D1-e%5E%7B%28-t%2FT%29%7D& alt=&x(t)=1-e^{(-t/T)}& eeimg=&1&&&br&可见其稳态值为1，达到稳态的时间约为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t_s%3D5T& alt=&t_s=5T& eeimg=&1&&&br&由此可见，如果我们能想办法改变其参数T的话，就能改变其响应的速度。尤其是，如果能让T变小，那么响应时间就会变短。&br&举个例子，如果引入反馈的比例控制，其闭环传递函数为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G_c%28s%29%3D%5Cfrac%7Bk%7D%7BTs%2B1%2Bk%7D& alt=&G_c(s)=\frac{k}{Ts+1+k}& eeimg=&1&&&br&那么系统的极点就变成了：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=s%3D-%5Cfrac%7B1%2Bk%7D%7BT%7D& alt=&s=-\frac{1+k}{T}& eeimg=&1&&&br&其根轨迹为：&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/19bbfab071f59fdbb35ae_b.jpg& data-rawwidth=&518& data-rawheight=&449& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&518& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/19bbfab071f59fdbb35ae_r.jpg&&&/figure&&br&其解约等于：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3D1-e%5E%7B%28-tK%2FT%29%7D& alt=&x(t)=1-e^{(-tK/T)}& eeimg=&1&&&br&响应时间也约等于：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t_s%3D5T%2FK& alt=&t_s=5T/K& eeimg=&1&&&br&可见增益的变大，使得极点远离原点，也使得系统响应变快。系统的主导极点离原点越远，系统响应就越快。&br&&br&&br&再看二阶系统&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B%5Comega%5E2%7D%7Bs%5E2%2B2%5Czeta%5Comega+s%2B%5Comega%5E2%7D& alt=&G(s)=\frac{\omega^2}{s^2+2\zeta\omega s+\omega^2}& eeimg=&1&&&br&阶跃响应的解为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Czeta%5E2%7D%7De%5E%7B-%5Czeta+%5Comega+t%7Dsin%28%5Comega_d+t%2B%5Cbeta%29& alt=&x(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta \omega t}sin(\omega_d t+\beta)& eeimg=&1&&&br&其中&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_d%3D%5Csqrt%7B1-%5Czeta%5E2%7D%5Comega& alt=&\omega_d=\sqrt{1-\zeta^2}\omega& eeimg=&1&&&br&对于标准二阶系统，其稳态值也是1，其达到稳态的时间约为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t_s%3D%5Cfrac%7B3.5%7D%7B%5Czeta+%5Comega%7D& alt=&t_s=\frac{3.5}{\zeta \omega}& eeimg=&1&&&br&如果我们能改变其参数，也能改变其响应时间。二阶系统的闭环及其求解比较复杂，我就不写公式了，用根轨迹图来给一个定性的结果：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/3ae497ea712f703c533eff2d82aaadb7_b.jpg& data-rawwidth=&597& data-rawheight=&490& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&597& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/3ae497ea712f703c533eff2d82aaadb7_r.jpg&&&/figure&可见w是这个极点的幅值，wd是受到了阻尼的影响的，w在虚轴上的投影。当闭环系统增益变大时，根轨迹会沿着虚轴延伸，这时候w也会等效的增加，从而使得系统响应变快。&br&&br&这里只讨论了一阶和二阶系统的时域响应，因为更复杂的系统是可以分解成为一阶和二阶系统的叠加。到这里还没有到频域，但是请大家记住T和w这两个东西，到了频域部分它们会是关键的参数。&br&&br&&b&2.频域法讨论带宽&/b&&br&&br&很多老师在讲到频域法的时候，往往只会说一句：“频域法很重要，有着重要的工程意义。”然后就开始让s=jw，再就开始讲幅值相位各种图的画法，缺乏转呈过度。我试着补齐这一段。&br&&br&控制器最主要的任务一是稳定系统，二是提升系统动态性能。频域法这两个任务都可以完成，但是从系统动态性能来引入是一个更自然的过程。&br&&br&在时域法里面，我们得到了一些结论，可是那只是阶跃响应。如果我们的输入是变化的，那么系统的输出是怎样的，时域分析就力不从心了。所以假定我们的输入是有频率和幅值变化的周期性信号，那么我们可以采用的假定输入可以是三角函数，也可以是方波，也可是锯齿波。但是使用三角函数在数学上处理很方便，其他的周期性的波也可以分解为三角函数的叠加。所以假定输入为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=u%28t%29%3DAsin%28%5COmega+t%29& alt=&u(t)=Asin(\Omega t)& eeimg=&1&&&br&看几个例子：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0.1s%2B1%7D& alt=&G(s)=\frac{1}{0.1s+1}& eeimg=&1&&&br&对其输入为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=u%28t%29%3Dsin%28t%29& alt=&u(t)=sin(t)& eeimg=&1&&&br&即幅值为1，频率为1 rad/s。结果为：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/fab05cbd6aad1f277cfd_b.jpg& data-rawwidth=&445& data-rawheight=&299& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&445& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/fab05cbd6aad1f277cfd_r.jpg&&&/figure&&br&其中黄色为输出值，紫色为输入值，下同。&br&在这里，输入和输出是很接近的。&br&然后对其输入改为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=u%28t%29%3Dsin%2810t%29& alt=&u(t)=sin(10t)& eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/0de3622ff_b.jpg& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&304& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/0de3622ff_r.jpg&&&/figure&&br&不仅输出的幅值跟不上了，也开始出现了相位偏差(延迟)。&br&再进一步增加频率：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=u%28t%29%3Dsin%2850t%29& alt=&u(t)=sin(50t)& eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/31af0d5a6_b.jpg& data-rawwidth=&457& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&457& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/31af0d5a6_r.jpg&&&/figure&&br&会发现输出的幅值和相位进一步的缩小。甚至输出会小到忽略不计。当定下一个标准，输入的频率大于某个值&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B& alt=&\omega_B& eeimg=&1&&之后，系统的输出变得小到了忽略不计，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B& alt=&\omega_B& eeimg=&1&&就称之为&b&带宽&/b&。用白话说，在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B& alt=&\omega_B& eeimg=&1&&这个频率以下的输入，系统会对其响应比较明显，大于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B& alt=&\omega_B& eeimg=&1&&的，响应就很低。&br&&br&如果我们把输入频率从0开始，一直变化到无穷大，并记下每个频率上的幅值和相位的变化，那么就&b&得到了一个频率响应图&/b&。此图可以用实验的形式获得，例如下图，改变一下频率，记下数据，然后依次描多个点，连起来就可以得到曲线图。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/953faec142bbddfad18f_b.jpg& data-rawwidth=&482& data-rawheight=&449& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&482& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/953faec142bbddfad18f_r.jpg&&&/figure&&br&那么除了实验方法，还有没有解析的方法来得到一些结论？有，那就是著名的让s=jw，G(s)=G(jw)，然后看其幅值和相位。为什么可以这么做？&br&首先看拉普拉斯变换的定义:&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28s%29%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-st%7Df%28t%29dt%5C%5C%0AF%28s%29%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B%28-a-j%5Comega%29t%7Df%28t%29dt& alt=&F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\
F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{(-a-j\omega)t}f(t)dt& eeimg=&1&&&br&而傅里叶变换的定义为：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28jw%29%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-j%5Comega+t%7Df%28t%29dt& alt=&F(jw)=\int_{0}^{\infty}e^{-j\omega t}f(t)dt& eeimg=&1&&&br&如果令拉普拉斯变换里面的s=jw，则拉普拉斯变换就会退化为傅里叶变换。所以说拉普拉斯变换是在频域，不是完全正确的，应该说是其在复数域，其不仅包含了频域的稳态信息，还包含了瞬态的信息。而傅里叶变换仅仅包含了在频域下稳态的信息，所以&br&G(jw)即可算出G(s)在不同频率w下的幅值和相位的信息。&br&&br&例子：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%2B1%7D& alt=&G(s)=\frac{1}{s+1}& eeimg=&1&&&br&另s=jw，在w=0的时候，&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28jw%29%3DG%28j0%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0j%2B1%7D%3D1& alt=&G(jw)=G(j0)=\frac{1}{0j+1}=1& eeimg=&1&&&br&在复数域下可知，1这个数幅值为1，相位为0，所以说G(s)在直流输入的情况下，是等于其原信号的。&br&&br&再看在一个频率为1rad/s的正弦波的输入下，令s=j1，&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28jw%29%3DG%28j%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bj%2B1%7D%3D0.5-0.5j& alt=&G(jw)=G(j)=\frac{1}{j+1}=0.5-0.5j& eeimg=&1&&&br&在复数域下可知，0.5-0.5j这个数幅值为0.707，相位为-45度，回顾一下时域分析里面的仿真结果：&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/e5ba5cf384efa2b037a9a25_b.jpg& data-rawwidth=&443& data-rawheight=&295& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&443& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/e5ba5cf384efa2b037a9a25_r.jpg&&&/figure&&br&是不是相符。&br&再看当输入频率趋向于无穷大的时候：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28jw%29%3DG%28j%5Cinfty%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bj%5Cinfty%2B1%7D& alt=&G(jw)=G(j\infty)=\frac{1}{j\infty+1}& eeimg=&1&&&br&其幅值为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%28G%28j%5Cinfty%29%29%3D%5Cfrac%7BA%281%29%7D%7BA%28j%5Cinfty%2B1%29%7D%3D0& alt=&A(G(j\infty))=\frac{A(1)}{A(j\infty+1)}=0& eeimg=&1&&&br&相位为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=deg%28G%28j%5Cinfty%29%29%3D%5Cdeg%281%29-deg%28j%5Cinfty%2B1%29%3D0-90%5E%5Ccirc%3D-90%5E%5Ccirc& alt=°(G(j\infty))=\deg(1)-deg(j\infty+1)=0-90^\circ=-90^\circ& eeimg=&1&&&br&可知其对于高频的响应为幅值趋向于0，相位趋向于负九十度。&br&&br&其简化了的结论是：当输入的w小于1/T时，系统的输入是能大致跟随输出的；当输入的w大于1/T时，系统的输出是基本不能跟随输入的。在这里，系统的带宽就为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B%3D1%2FT& alt=&\omega_B=1/T& eeimg=&1&&。&br&&br&二阶系统的例子类似，只不过其带宽是由&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B%5Comega%5E2%7D%7Bs%5E2%2B2%5Czeta%5Comega+s%2B%5Comega%5E2%7D& alt=&G(s)=\frac{\omega^2}{s^2+2\zeta\omega s+\omega^2}& eeimg=&1&&&br&中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&决定的。&br&&br&&b&3.带宽大小的影响&/b&&br&由时域和频域的两个方面来看，系统的频域带宽越大，时域的响应速度也就越快，两者是相辅相成的：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/f8dcf49dc27bc7e73dfb93_b.jpg& data-rawwidth=&568& data-rawheight=&353& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&568& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/f8dcf49dc27bc7e73dfb93_r.jpg&&&/figure&看到一个系统的频域图，是可以立刻脑补出来其时域阶跃响应图的形状的，可以将其划分为三个段：低频段决定了系统稳态值，中频段决定了瞬态响应，高频段决定了其对于噪声的敏感度。&br&比如下图：&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/ea1d06da62a_b.jpg& data-rawwidth=&553& data-rawheight=&478& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/ea1d06da62a_r.jpg&&&/figure&上面是频域响应图，红色的比绿色的带宽要大，两个在中频段都没有峰，应该都没有超调，画出来的时域阶跃响应图应该是红色的比绿色的要更快的到达稳态值。&br&&br&虽然带宽大的系统响应速度会快，也会带来很多副作用，首先就是会对噪声敏感。高频噪声是普遍存在的，如果系统的带宽低，那么就会对高频噪声的放大系数很低，系统不会受大影响，而带宽高了，不仅对高频的正常激励信号有响应，也会对同处高频段的噪声有较大的响应。&br&&br&再就是高带宽系统需要更高速度的传感器和控制器，一般控制器和传感器的速度应该是被控对象的5-20倍。不仅是硬件成本高，而且对数值计算的精度也更高，对于延迟的忍耐度也更低。
在自动化和控制理论的话题上和大家讨论了很多，也思考了很多，也认识了很多的好朋友，感谢之情尽在不言之中。总的感受就是，单就自动控制系统来说，很多工程师的基础理论素养还不够扎实，包括我自己也是。回想以前遇到的很多实践的问题，不需要高深的理论，…
&p&首先，我们谈到随机过程，就要知道我们如何来描述随机过程：矩（Moment）。&/p&&p&这个定义可能过于抽象，但是它的实质却是很简单的，就是一个定义，一种描述方法。举个不恰当的例子，我们谈直线的长度，就要有一个标准，无论你是1米，5米，还是50厘米，其实都基于我们对长度的基本定义，或者说叫做基本单元，准确的说叫做事物的基（Basis）。则矩就是我们用来描述随机过程的基。&/p&&p&我们通常所知道的描述随机过程的数字特征，比如说期望（mean value, expected value, average value）,方差（Variance），相关（correlation）都是基于矩的运算，或者说是变换， 这些变换（运算）都带来的结果，是对随机过程某一性质的描述。&/p&&p&下面我们谈随机过程的遍历性（Ergodic）。&/p&&p&遍历，是随机过程所有描述中最严格（the most restrictive）的一个。根据Goodman 的统计光学（Statistical Optics）中引用到的关于遍历性的定义：每一个样本函数（Sample Function） 在沿着时间轴方向取值，和在任意时刻，或一些时刻，横跨整个系宗（ensemble）的观测，具有相同的“联合相对频率（Joint relative frequencies）”。&/p&&p&（Fuck，这句话的英文我读了好多遍，表示理解有困难，翻译成这样，请见谅）。&/p&&p&在解释这句话之前，我想说，无论是对于时间的观测样本，还是对于空间的观测样本，都可以用相同的统计学的数学描述，来描述。只是一个对于时间，一个对于位置。&/p&&p&首先我想说关于系宗（Ensemble）的理解：&/p&&p&我第一次接触到Ensemble这个单词是学习 “可持续发展（&i&sustainable&/i& ）”的时候。其中有一个词组叫做Ensemble energy，我想通过这个单词的解释来理解所谓的中文翻译中的系宗的意义（我很好奇这些所谓的“大牛”在翻译书的时候是怎么想到这些词的）。&/p&&p&Ensemble energy：其实是包含一个事物在生产中所消耗的所有能源，注意，是所有。&/p&&p&举个简单的例子：塑料的Ensemble energy包含什么呢？&/p&&p&如果认为塑料来源于石油。那从开采，运输，加工，&b&所有&/b&与它相关的&b&所有&/b&过程所消耗的能量，加起来，才叫ensemble energy。&/p&&p&回到系宗上来，我目前的认识认为，他强调了随机过程中的所有基本组成。&/p&&p&是基本组成，而不是样本函数，基本组成可以构成样本函数。&/p&&p&&b&重点来了：我认为如果说这是一个遍历的随机过程，那么，每一个样本函数都包含了构成整个系宗的所有基本组成。（本人才疏学浅，纯属人理解，如果不对欢迎指正）。&/b&&/p&&br&&p&到了现在你可能好奇了，我之前BBBB那么多说，基说矩有什么用呢？&/p&&p&因为往往在工程应用中，我们不能够得到所有的样本函数来构成样本空间，所以我们希望通过有限次的观测，或者一次观测，就能够描述这个过程的一些性质。&/p&&p&如果说一个随机过程是遍历的，我认为，一次观测就能描述整个随机过程的一些性质了：&/p&&p&举例：&/p&&p&我们认为每次的样本函数，是关于时间的单值，实质函数u（t）系宗为U（t）。&/p&&p&当该过程是遍历的：&/p&&p&则时间平均等于统计平均；&/p&&p&时间自相关（Time autocorrelation)等于统计自相关(statistical autocorrelation)；&/p&&p&也就是说，我们不需要知道这个随机过程的所有样本函数，就能得到相同效果的，基于矩的描述；&/p&&p&还有一个更简单的例子，帮你理解这个问题，&/p&&p&在数学上，我们可以用无穷级数将函数展开，所有的级数（不算级数前面的系数）就是一组基本组成的集合，&b&只是这个基本组成是按照某种方式定义的。&/b&&/p&&p&在信号上，我们可以通过傅里叶变换来从不同的基（Basis)来看信号的组成，当然，傅里叶变换后的函数，是所谓的频率，也就是说我们现在不关心单个时间，而是针对这一段时间，我们来看这段时间内，不同的基本组成出现的次数（频率或者叫相对频率）。&/p&&p&见这个网址：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//blog.sina.com.cn/s/blog_72dcd1890101iqvz.html%23cmt_2576469& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&随机过程的自相关函数--示例_北邮通信原理_新浪博客&/a&。&/p&&p&看这个随机过程的两种自相关，思考一下关于随机过程的描述（广义平稳，严平稳，遍历）。&/p&&p&网址中的随机过程，就不具有遍历性，因为单一样本（这个样本只是一段时间），并不含有组成这个系宗（Ensemble）所有的组成成分。&/p&&p&希望对你有所帮助。&/p&&p&以上均为个人理解，定当存在许多不足和问题，欢迎指出探讨。&/p&&p&附加一个网址，方便数学计算：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mathworld.wolfram.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&The Web's Most Extensive Mathematics Resourc&/a&&/p&
首先，我们谈到随机过程，就要知道我们如何来描述随机过程：矩（Moment）。这个定义可能过于抽象，但是它的实质却是很简单的，就是一个定义，一种描述方法。举个不恰当的例子，我们谈直线的长度，就要有一个标准，无论你是1米，5米，还是50厘米，其实都基于…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfeb_b.jpg& data-rawwidth=&1366& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1366& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfeb_r.jpg&&&/figure&这一小节我们主要讲“压缩映像原理”或者“Banach不动点”定理，还有这个定理的应用。&blockquote&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&（I）Banach空间和不动点定理 （1） - 知乎专栏&/a&&/blockquote&&p&这个定理很“简单”，但是用处很大，可以证明很大一类的“存在性”问题：&b&钟摆问题、常微分方程基本定理、隐函数定理、和牛顿法的收敛性。&/b& 这个不动点在现在的研究论文中也是基本的方法，很多现在论文中依然使用了这个不动点。它也是不动点定理中的&b&一条大腿&/b&，另外一条大腿&b&我后面会提及。&/b&&/p&&p&&b&本小节的主要知识点&/b&&/p&&p&&b&一、度量空间&/b&&/p&&p&&b&二、压缩映像原理（Banach不动点定理）&/b&&/p&&p&&b&三、各种应用：常微分方程的存在性、隐函数定理和钟摆问题。&/b&&/p&&br&&h2&一、钟摆问题和一般的常微分方程&/h2&&p&我们考虑一个理想的钟摆问题：用长度&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&的绳子挂着一个重量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&的摆，然后让它摆动。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8eec477815_b.jpg& data-rawwidth=&938& data-rawheight=&890& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&938& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8eec477815_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-91eace608b7e26170fda0cee28306fdc_b.jpg& data-rawwidth=&257& data-rawheight=&231& data-thumbnail=&https://pic3.zhimg.com/v2-91eace608b7e26170fda0cee28306fdc_b.jpg& class=&content_image& width=&257&&&/figure&&p&设某个时刻&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&的角度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28t%29& alt=&\theta(t)& eeimg=&1&&,则在切线方向上我们用牛顿定理可以得到下面的方程&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=-mg%5Csin+%5Ctheta%28t%29%3Dml%5Ctheta%27%27%28t%29& alt=&-mg\sin \theta(t)=ml\theta''(t)& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&过多的物理我不涉及了，有兴趣的看&/p&&blockquote&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_%28mathematics%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Pendulum (mathematics)&/a&&/blockquote&&p&从数学来看，上面的方程是一个非线性的常微分方程，我们的在这一节的目标是&b&证明这个方程的解是存在的。 &/b&&/p&&p&设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3A%3D%28%5Ctheta%28t%29%2C+%5Ctheta%27%28t%29%29& alt=&x(t):=(\theta(t), \theta'(t))& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%28x%29%3D%28%5Ctheta%27%28t%29%2C-%5Cfrac%7Bg%7D%7Bl%7D%5Csin+%5Ctheta%28t%29%29& alt=&F(x)=(\theta'(t),-\frac{g}{l}\sin \theta(t))& eeimg=&1&&,那么上面的问题化成&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3DF%28x%29%5Cquad+x%280%29%3D%28%5Ctheta%280%29%2C%5Ctheta%27%280%29%29& alt=&\frac{dx}{dt}=F(x)\quad x(0)=(\theta(0),\theta'(0))& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&这样引出一个更一般的常微分方程问题&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3DF%28t%2Cx%29%5Cquad+x%280%29%3Dx_0& alt=&\frac{dx}{dt}=F(t,x)\quad x(0)=x_0& eeimg=&1&&&br&&br&&h2&二、度量（距离）空间和压缩映像原理&/h2&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3a2b0db5ad501_b.jpg& data-rawwidth=&1432& data-rawheight=&496& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1432& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3a2b0db5ad501_r.jpg&&&/figure&度量空间&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28V%2C%5Crho%29& alt=&(V,\rho)& eeimg=&1&&和一个赋范线性空间的区别有哪些？第一、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&不满足“线性结构”，它不一定是线性空间。第二、设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28x%2Cy%29%3A%3D%5C%7Cx-y%5C%7C& alt=&\rho(x,y):=\|x-y\|& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28%5Ccdot%2C%5Ccdot%29& alt=&\rho(\cdot,\cdot)& eeimg=&1&&是一个距离。这个时候&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&上的一个子集&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&带上距离&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28x%2Cy%29%3A%3D%5C%7Cx-y%5C%7C& alt=&\rho(x,y):=\|x-y\|& eeimg=&1&&是一个距离空间。 所以一个一个赋范线性空间的子集自然是一个度量空间。 &/p&&p&类似于在上一节的赋范线性空间，我们可以引入收敛、闭集和连续算子；&/p&&p&（1）：如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Crho%28u_n%2Cu%29%3D0& alt=&\lim_{n\to\infty}\rho(u_n,u)=0& eeimg=&1&&,我们说&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=u_n%5Cto+u& alt=&u_n\to u& eeimg=&1&&。&/p&&p&（2）：开球&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B_r%28x%29%3D%5C%7By%5Cin+V%3B+%5Crho%28y%2Cx%29%3Cr%5C%7D& alt=&B_r(x)=\{y\in V; \rho(y,x)&r\}& eeimg=&1&&&/p&&p& （3）：一个集合中任意点都可以找一个小开球使得其在这个集合中，它就是开集。&/p&&p&（4）： 我们把闭集定义为开集的补集&/p&&p&
类似于上一节，我们可以证明,请想一想如何证明&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&是闭集当且当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_n%29%5Csubset+S%2C+x_n%5Cto+x%2C%5Cimplies+x%5Cin+S& alt=&(x_n)\subset S, x_n\to x,\implies x\in S& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&好了，&b&我们考虑一个度量空间的完备性问题&/b&：设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_n%29& alt=&(x_n)& eeimg=&1&&是Cauchy列（也就是基本列：对于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon%3E0& alt=&\epsilon&0& eeimg=&1&&，存在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&, 当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m%2Cn%5Cgeq+N%2C+& alt=&m,n\geq N, & eeimg=&1&&时必然有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28u_n%2Cu_m%29%5Cleq+%5Cepsilon+& alt=&\rho(u_n,u_m)\leq \epsilon & eeimg=&1&&）。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-223e6f0f35c1555faf720b829d7867af_b.jpg& data-rawwidth=&1398& data-rawheight=&260& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1398& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-223e6f0f35c1555faf720b829d7867af_r.jpg&&&/figure&&h2&三、压缩映像原理&/h2&&p&现在我们映入一个算子：压缩映像。 &/p&&p&设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%3A%28V%2C%5Crho%29%5Cto+%28V%2C%5Crho%29& alt=&T:(V,\rho)\to (V,\rho)& eeimg=&1&&,如果存在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=L%5Cgeq+0& alt=&L\geq 0& eeimg=&1&&使得对于任意&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%2Cy%5Cin+V& alt=&x,y\in V& eeimg=&1&&,&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28T%28x%29%2CT%28y%29%29%5Cleq+L%5Crho%28x%2Cy%29& alt=&\rho(T(x),T(y))\leq L\rho(x,y)& eeimg=&1&&成立，那么我们称这个算子是Lipschitz的。 &/p&&p&一个例子，如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V%3D%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&V=\mathbb{R}& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&T:\mathbb{R}\to \mathbb{R}& eeimg=&1&&是一个连续可导函数，如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csup_%7Bx%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D+%7D%7CT%27%28x%29%7C%3C%5Cinfty& alt=&\sup_{x\in\mathbb{R} }|T'(x)|&\infty& eeimg=&1&&，那么这个算子是Lipschitz的。 &/p&&p&如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=L%3C1& alt=&L&1& eeimg=&1&&，我们管这个映射是压缩映像。也就是说：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-07baf667a74ae9e81d823cc8d9c6d0dc_b.jpg& data-rawwidth=&1426& data-rawheight=&140& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1426& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-07baf667a74ae9e81d823cc8d9c6d0dc_r.jpg&&&/figure&对于一个算子&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&，一个点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cin+V& alt=&x\in V& eeimg=&1&&如果它满足&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29%3Dx& alt=&T(x)=x& eeimg=&1&&,那么我们管叫“不动点”。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0bac2c90b9d58c04693a46dfe5b0a11b_b.jpg& data-rawwidth=&1420& data-rawheight=&254& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1420& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0bac2c90b9d58c04693a46dfe5b0a11b_r.jpg&&&/figure&证明：随便给一个初值&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0%5Cin+V& alt=&x_0\in V& eeimg=&1&&, 设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D%3DT%28x_n%29%2C+%5C%2C+n%5Cgeq+0& alt=&x_{n+1}=T(x_n), \, n\geq 0& eeimg=&1&&. 不难发现&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28x_%7Bn%2B1%7D%2Cx_n%29%5Cleq+L+%5Crho%28x_%7Bn%7D%2Cx_%7Bn-1%7D%29%5Cleq+%5Ccdots+%5Cleq+L%5En%5Crho%28x_1%2Cx_0%29& alt=&\rho(x_{n+1},x_n)\leq L \rho(x_{n},x_{n-1})\leq \cdots \leq L^n\rho(x_1,x_0)& eeimg=&1&&.&/p&&p&从而我们发现&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28x_%7Bn%2Bk%7D%2Cx_n%29%5Cleq+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bk-1%7D+%5Crho%28x_%7Bn%2Bi%2B1%7D%2Cx_%7Bn%2Bi%7D%29%5Cleq++%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bk-1%7D++L%5E%7Bn%2Bi%7D%5Crho%28x_1%2Cx_0%29%5Cleq+%5Cfrac%7BL%5En%7D%7B1-L%7D%5Crho%28x_1%2Cx_0%29& alt=&\rho(x_{n+k},x_n)\leq \sum_{i=0}^{k-1} \rho(x_{n+i+1},x_{n+i})\leq
\sum_{i=0}^{k-1}
L^{n+i}\rho(x_1,x_0)\leq \frac{L^n}{1-L}\rho(x_1,x_0)& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&也就是说这是一个基本列，由于这个距离空间是完备的，则存在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cin+V& alt=&x\in V& eeimg=&1&&使得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_n%5Cto+x& alt=&x_n\to x& eeimg=&1&&成立。&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7Dx_n%3D%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D+T%28x_%7Bn-1%7D%29%3DT%28%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D+x_%7Bn-1%7D%29%3DT%28x%29& alt=&x=\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty} T(x_{n-1})=T(\lim_{n\to\infty} x_{n-1})=T(x)& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&所以这个是一个不动点。唯一性很简单，大家自己思考。 &/p&&br&&h2&四、不动点的应用&/h2&&p&“不动点定理”是一个大家族，有各种不同的不动点定理。这个定理有什么用？&/p&&p&我们讲一下利用不动点定理的基本逻辑：对于一个存在性问题，我们构造一个度量空间和一个映射，使得存在性问题等价于这个映射的不动点。只要证明这个映射存在不动点，那么原来的存在性问题就搞定了。 &/p&&p&&b&（1）牛顿法解方程：&/b&&/p&&p&对于一个方程&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D0& alt=&f(x)=0& eeimg=&1&&,我们考虑算子&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-553bdab9ac0f31e0e1e5_b.jpg& data-rawwidth=&420& data-rawheight=&152& class=&content_image& width=&420&&&/figure&不动点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29%3Dx& alt=&T(x)=x& eeimg=&1&&恰好是方程的根。这里我们要求&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdx%7D& alt=& \frac{df}{dx}& eeimg=&1&&（至少在根的附近）不等于0。&/p&&p&同时，我们求导发现&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f0f4cbbab6fa78a45f1b_b.jpg& data-rawwidth=&382& data-rawheight=&142& class=&content_image& width=&382&&&/figure&所以在一个根&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&附近，导数为0，可以保证在这个点附近&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B_r%28x_0%29& alt=&B_r(x_0)& eeimg=&1&&，算子是压缩映射。 同时也不难发现如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&充分小，我们可以保证&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%28B_r%28x_0%29%29%5Csubset+B_r%28x_0%29& alt=&T(B_r(x_0))\subset B_r(x_0)& eeimg=&1&&. 根据压缩映射原理，算子&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&在度量空间&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B_r%28x%29& alt=&B_r(x)& eeimg=&1&&有唯一的不动点。 而且，我们的“压缩映像原理”中的证明说明数列&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ebbfba_b.jpg& data-rawwidth=&366& data-rawheight=&126& class=&content_image& width=&366&&&/figure&收敛。这也是数值解方程的一种思路，这种方法叫牛顿法。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-42d7bc43c6fe98fffcd14dd_b.jpg& data-rawwidth=&298& data-rawheight=&169& class=&content_image& width=&298&&&/figure&&br&&br&&p&&b&（2）隐函数定理&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-cb198bc73b376ec242ee_b.jpg& data-rawwidth=&1532& data-rawheight=&646& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1532& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-cb198bc73b376ec242ee_r.jpg&&&/figure&&p&
在这个问题中我们选取的算子是&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28T%5Cvarphi%29%28x%29%3D%5Cvarphi%28x%29-%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y%7D%28x_0%2Cy_0%29%29%5E%7B-1%7Df%28x%2C%5Cvarphi%28x%29%29+& alt=&(T\varphi)(x)=\varphi(x)-(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0))^{-1}f(x,\varphi(x)) & eeimg=&1&&,&br&&/p&&p&这里&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29%5E%7B-1%7D%28x_0%2Cy_0%29& alt=&(\frac{\partial f}{\partial y})^{-1}(x_0,y_0)& eeimg=&1&&的作用是“单位化”这个问题，它可以保证&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_0%2Cy_0%29& alt=&(x_0,y_0)& eeimg=&1&&的变化率为0。&/p&&p&具体的证明如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-34d6df534ab089e4f04eed66d70db0f9_b.jpg& data-rawwidth=&1500& data-rawheight=&1290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-34d6df534ab089e4f04eed66d70db0f9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b30ddae817_b.jpg& data-rawwidth=&1014& data-rawheight=&1274& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1014& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b30ddae817_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2ba5a59e1a0b7ddcd9f446b7_b.jpg& data-rawwidth=&860& data-rawheight=&472& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&860& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2ba5a59e1a0b7ddcd9f446b7_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&&b&（3）常微分方程的存在性（一维）&/b&&/p&&p&
对于开头的常微分方程，我们考虑一维的情况，构造函数空间&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%5B-h%2Ch%5D& alt=&C[-h,h]& eeimg=&1&&是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-h%2Ch%5D& alt=&[-h,h]& eeimg=&1&&上的连续函数构成的Banach空间，&/p&&p&和定义它上面的一个算子&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29%28t%29%3D%5Cxi%2B%5Cint_0%5Et+f%28s%2Cx%28s%29%29ds& alt=&T(x)(t)=\xi+\int_0^t f(s,x(s))ds& eeimg=&1&&。&/p&&p&如果这个算子有一个不动点，则&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3D%5Cxi%2B%5Cint_0%5Et+f%28s%2Cx%28s%29%29ds& alt=&x(t)=\xi+\int_0^t f(s,x(s))ds& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&而它满足原来的常微分方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc3f2dd12ddf9d929c61a0_b.jpg& data-rawwidth=&930& data-rawheight=&1036& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&930& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc3f2dd12ddf9d929c61a0_r.jpg&&&/figure&&p&&b&（4）常微分系统和钟摆问题&/b&&/p&&p&现在我们回到开头的钟摆问题。这个时候，我们需要考虑常微分系统，也就是常微分方程组问题。&/p&&p&这里我们选取的空间需要调整为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%28%5B0%2CT%5D%3B%5Cmathbb%7BR%7D%5EN%29& alt=&C([0,T];\mathbb{R}^N)& eeimg=&1&&，范数调整为&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csup_%7Bt%5Cin%5B0%2CT%5D%7D%28e%5E%7B-%5Cgamma+t%7D%5C%7Cu%28t%29%5C%7C%29& alt=&\sup_{t\in[0,T]}(e^{-\gamma t}\|u(t)\|)& eeimg=&1&&. &br&&/p&&p&这个范数的选取具有某种技巧性，这个技巧可以让证明变得简单，因为上面那个证明有一个缺陷。那就是得要求&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&充分小，&b&下面这个证明没有这个缺陷&/b&。 &/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fe0dc03b12c9768fff669_b.jpg& data-rawwidth=&1042& data-rawheight=&804& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1042& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fe0dc03b12c9768fff669_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-96c9b90ab_b.jpg& data-rawwidth=&1018& data-rawheight=&1014& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1018& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-96c9b90ab_r.jpg&&&/figure&好了，我们应用这个结果，根据一开始的设定，我们不难发现&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7CF%28%28x_1%2Cy_1%29%29-F%28%28x_2%2Cy_2%29%29%5C%7C_1%3D%7Cy_1-y_2%7C%2B%5Cfrac%7Bg%7D%7Bl%7D%7C%5Csin%28x_1%29-%5Csin%28x_2%29%7C%7C%5Cleq+%5Cmax%5C%7B1%2C%5Cfrac%7Bg%7D%7Bl%7D%5C%7D%28%7Cx_1-y_1%7C%2B%7Cx_2-y_2%7C%29& alt=&\|F((x_1,y_1))-F((x_2,y_2))\|_1=|y_1-y_2|+\frac{g}{l}|\sin(x_1)-\sin(x_2)||\leq \max\{1,\frac{g}{l}\}(|x_1-y_1|+|x_2-y_2|)& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&所以这个非线性项满足Lipschitz连续性。 这里我们选取1-范数而不是通常的2-范数只是为了计算方便，所以一开始的钟摆问题的解是存在的。&/p&&br&&h2&下一篇：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&（I）Banach空间和不动点定理 3: 紧性 - 知乎专栏&/a&&/h2&
这一小节我们主要讲“压缩映像原理”或者“Banach不动点”定理，还有这个定理的应用。这个定理很“简单”，但是用处很大，可以证明很大一类的“存在性”问题：钟摆问题、常微分方程基本定理、隐函数定理、和牛…
&p&第一次回答一个跟自己的专业相关的题目。&/p&&p&首先，为什么要进行变换？因为很多时候，频率域比时域直观得多。&/p&&p&傅里叶级数和傅里叶变换，表明时域的信号可以分解为不同频率的正弦波的叠加。而如果我们把两个没有公共频率成分的信号相加，一同发送。在接收端接收到之后，用滤波器把两个信号分开，就可以还原出发送的两个信号。这就是通信过程的实质。&/p&&p&而在这个过程中，发送端发送出去的信号的最大频率和最小频率是否在接收端的带通滤波器的上下边界频率之内？如果超出了滤波器的频率范围，接收端接收到的信号就会丢失一部分信息，接收端接收到的消息就会有错误。&br&但这个问题从时域是很难看出来的，不过，从频率域就一目了然。&/p&&p&因此傅里叶变换得到了广泛应用，它的地位也非常重要。&/p&&p&然而，可以进行傅里叶变换的信号似乎不那么够用，傅里叶变换的收敛有一个狄利克雷条件，要求信号绝对可积/绝对可和。&br&为了使不满足这一条件的信号，也能读出它的“频率”，拉普拉斯变换和Z变换，对“频率”的含义做出了扩充，使得大多数有用信号都具有了对应的“频率”域表达式，方便了对各个器件的设计。&/p&&p&=====================================&/p&&p&接下来一个问题，傅氏变换、拉氏变换、Z变换之间到底有什么关系？&/p&&p&首先，傅里叶变换粗略分来包括连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）。&br&CTFT是将连续时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到拉普拉斯变换。&br&DTFT是将离散时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到Z变换。&/p&&blockquote&这里解释一下，很多教材对于频率的含义没有明确规定，由于CTFT和DTFT的形式分别为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5Cleft%28+j%5Comega+%5Cright%29& alt=&X\left( j\omega \right)& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5Cleft%28+e%5E%7Bj%5Comega%7D+%5Cright%29& alt=&X\left( e^{j\omega} \right)& eeimg=&1&& ，因此很多人误将频率理解为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=j%5Comega& alt=&j\omega& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&e^{j\omega}& eeimg=&1&& 。&br&但事实上我们在绘制频谱图的时候，取的自变量都是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& ，这样才能画出函数图像。否则CTFT和DTFT都将变成复平面上变化的函数，无法画出函数图像了。&br&而且我们日常用到频率这一概念时所说的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ，都是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%3D%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7B2%5Cpi%7D& alt=&f=\frac{\omega}{2\pi}& eeimg=&1&& .其对应的角频率恰恰是实数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& ，而不是复数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=j%5Comega& alt=&j\omega& eeimg=&1&& 或 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&e^{j\omega}& eeimg=&1&& 。&br&因此，我们所说的频率指的应当是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 而不是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=j%5Comega& alt=&j\omega& eeimg=&1&& 或 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&e^{j\omega}& eeimg=&1&& 。&/blockquote&&p&1、连续时间傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系&br&连续时间傅里叶变换的公式是：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+x%28t%29e%5E%7B-j%5Comega+t%7D+dt& alt=&\int_{-\infty}^{\infty } x(t)e^{-j\omega t} dt& eeimg=&1&&，这里的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+& alt=&\omega & eeimg=&1&&是实数。&br&傅里叶变换要求时域信号绝对可积，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+%5Cleft%7C+x%28t%29+%5Cright%7C+dt%3C%5Cinfty+& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t) \right| dt&\infty & eeimg=&1&&。&br&为了让不符合这个条件的信号，也能变换到频率域，我们给x(t)乘上一个指数函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7B-%5Csigma+t%7D+& alt=&e^{-\sigma t} & eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+& alt=&\sigma & eeimg=&1&&为任意实数。&br&可以发现，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D+& alt=&x(t)e^{-\sigma t} & eeimg=&1&&这个函数，就满足了绝对可积的条件，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+%5Cleft%7C+x%28t%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D+%5Cright%7C+dt%3C%5Cinfty+& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t)e^{-\sigma t} \right| dt&\infty & eeimg=&1&&。&/p&&blockquote&关于为什么 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cleft%28+t+%5Cright%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D& alt=&x\left( t \right)e^{-\sigma t}& eeimg=&1&& 满足绝对可积条件，这里提一下，感性地说，我们知道负指数函数随t的增大，趋于零的速度是所有函数中最快的，这也是为什么我们描述某个现象暴涨的时候会说指数上升。因此大多数一般的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cleft%28+t+%5Cright%29& alt=&x\left( t \right)& eeimg=&1&& 乘上某个负指数函数之后，一定绝对可积。&br&用更加严谨的数学表达，对于大多数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29& alt=&x(t)& eeimg=&1&& ， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexists+%5Csigma%5Cin+%5CRe& alt=&\exists \sigma\in \Re& eeimg=&1&&，使得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bt+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-%5Csigma+t%7D%7D& alt=&\lim_{t \rightarrow \infty}{e^{-\sigma t}}& eeimg=&1&& 是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bt+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7Bx%5Cleft%28+t+%5Cright%29%7D& alt=&\lim_{t \rightarrow \infty}{x\left( t \right)}& eeimg=&1&& 的高阶无穷小。即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bt+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7Be%5E%7B-%5Csigma+t%7D%7D%7Bx%5Cleft%28+t+%5Cright%29%7D%7D%3D0& alt=&\lim_{t \rightarrow \infty}{\frac{e^{-\sigma t}}{x\left( t \right)}}=0& eeimg=&1&& 。因此在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7B-%5Csigma+t%7D& alt=&e^{-\sigma t}& eeimg=&1&& 的压迫下， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D& alt=&x(t)e^{-\sigma t}& eeimg=&1&& 就满足了绝对可积的条件。后文DTFT中的绝对可和条件与此类似，后文不再赘述。&/blockquote&&p&于是这个新函数的傅立叶变换就是：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+x%28t%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D+e%5E%7B-j%5Comega+t%7D+dt& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} dt& eeimg=&1&&，&br&化简得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+x%28t%29e%5E%7B-%28%5Csigma+%2Bj%5Comega+%29t%7D+& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-(\sigma +j\omega )t} & eeimg=&1&&。&br&显然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+%2Bj%5Comega+& alt=&\sigma +j\omega & eeimg=&1&&是一个复数，我们把这个复数定义为一个新的变量——复频率，记为s。&br&于是便得到了拉普拉斯变换的公式：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+x%28t%29e%5E%7B-st%7D+dt& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-st} dt& eeimg=&1&&&/p&&p&拉普拉斯变换解决了不满足绝对可积条件的连续信号，变换到频率域的问题，同时也对“频率”的定义进行了扩充。&br&&b&所以拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是：&/b&&br&拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数，因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。&br&&b&当s为纯虚数时，x(t)的拉普拉斯变换，即为x(t)的傅里叶变换。&/b&&/p&&p&从图像的角度来说，拉普拉斯变换得到的频谱是一个复平面上的函数，（为方便作图，这里只给出了拉氏变换的幅度谱和傅氏变换的幅度谱的关系。相位谱具有类似的关系。）&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/8fe13adfbebd22a9ef534acb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&561& data-rawheight=&420& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&561& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/8fe13adfbebd22a9ef534acb_r.jpg&&&/figure&&p&而傅里叶变换得到的频谱，则是从虚轴上切一刀，得到的函数的剖面。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/bec3f03efd9b1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&561& data-rawheight=&420& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&561& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/bec3f03efd9b1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/ad0b8b8fea07d0204eed916e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&561& data-rawheight=&420& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&561& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/ad0b8b8fea07d0204eed916e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&2、离散时间傅里叶变换（DTFT）与Z变换的关系&br&DTFT的公式是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7Bx%5Bn%5De%5E%7B-j%5Comega+n%7D+%7D+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]e^{-j\omega n} } & eeimg=&1&&，这里的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+& alt=&\omega & eeimg=&1&&是连续变化的实数。&br&同样的，DTFT需要满足绝对可和的条件，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7B%5Cleft%7C+x%5Bn%5D+%5Cright%7C+%7D+%3C%5Cinfty+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{\left| x[n] \right| } &\infty & eeimg=&1&&。&br&为了让不满足绝对可和条件的函数x[n]，也能变换到频率域，我们乘一个指数函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5E%7B-n%7D+& alt=&a^{-n} & eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&为任意实数。&br&则函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Bn%5Da%5E%7B-n%7D+& alt=&x[n]a^{-n} & eeimg=&1&&的DTFT为：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7Bx%5Bn%5Da%5E%7B-n%7De%5E%7B-j%5Comega+n%7D+%7D+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]a^{-n}e^{-j\omega n} } & eeimg=&1&&，&br&化简得：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7Bx%5Bn%5D%28a%5Ccdot+e%5E%7Bj%5Comega+%7D%29%5E%7B-n%7D+%7D+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n](a\cdot e^{j\omega })^{-n} } & eeimg=&1&&&br&显然，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ccdot+e%5E%7Bj%5Comega+%7D+& alt=&a\cdot e^{j\omega } & eeimg=&1&&是一个极坐标形式的复数，我们把这个复数定义为离散信号的复频率，记为z。&br&则得到Z变换的公式：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7Bx%5Bn%5Dz%5E%7B-n%7D+%7D+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]z^{-n} } & eeimg=&1&&。&/p&&blockquote&关于这里为什么对x[n]乘以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5E%7B-n%7D& alt=&a^{-n}& eeimg=&1&& 而不是像拉氏变换中乘以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7B-%5Csigma+n%7D& alt=&e^{-\sigma n}& eeimg=&1&& ，主要是由离散序列的DTFT的周期性决定的。如果对离散序列进行拉氏变换，将 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 映射到虚轴上，则得到的变换函数是在虚轴方向上周期变化的函数，这样就没有充分利用DTFT的周期性。&br&而Z变换令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=z%3Da%5Ccdot+e%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&z=a\cdot e^{j\omega}& eeimg=&1&& ，则当a=1，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=z%3De%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&z=e^{j\omega}& eeimg=&1&& 时，随着 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cinfty& alt=&-\infty& eeimg=&1&& 向 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%2B%5Cinfty& alt=&+\infty& eeimg=&1&& 变化，z在复平面中的单位圆上以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&& 为周期变化，如此恰能充分利用DTFT的周期性进一步简化我们的计算。&/blockquote&&p&Z变换解决了不满足绝对可和条件的离散信号，变换到频率域的问题，同时也同样对“频率”的定义进行了扩充。&br&&b&所以Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）的关系是：&/b&&br&Z变换将频率从实数推广为复数，因而DTFT变成了Z变换的一个特例。&br&&b&当z的模为1时，x[n]的Z变换即为x[n]的DTFT。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&从图像的角度来说，Z变换得到的频谱，是一个复平面上的函数，而DTFT得到的频谱，则是沿着单位圆切一刀，得到的函数的剖面，从负实轴切断展开的图像。（为方便作图，这里只给出了Z变换的幅度谱和傅氏变换的幅度谱的关系。相位谱具有类似的关系。）&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-77fac9ebae0325aaefaffbbc8b949172_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-77fac9ebae0325aaefaffbbc8b949172_r.jpg&&&/figure&&p&感谢评论区 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/430463befe88a88fae38e793e9e44241& data-hash=&430463befe88a88fae38e793e9e44241& data-hovercard=&p$b$430463befe88a88fae38e793e9e44241&&@蔡世勋&/a&提供的图片。&/p&
第一次回答一个跟自己的专业相关的题目。首先，为什么要进行变换？因为很多时候，频率域比时域直观得多。傅里叶级数和傅里叶变换，表明时域的信号可以分解为不同频率的正弦波的叠加。而如果我们把两个没有公共频率成分的信号相加，一同发送。在接收端接收到…
这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。&br&&br&这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。&br&&br&三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。&br&另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。&br&&br&具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：&br&&br&傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。&br&但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）&br&而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）&br&&br&从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）
这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。 这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebe75abafc29_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&518& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebe75abafc29_r.jpg&&&/figure&&p&今天来讲如何画圆。&/p&&p&完了，突然想哭，老师上课教我们画圆我却各种听不懂，我这智商恐怕是没救了吧！&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c8f76e2e46bd769cecf555d7cf461dd4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&240& class=&content_image& width=&240&&&/figure&&p&我们这一课就来讲讲如何画盖尔圆。&/p&&p&上一课中，用矩阵的元素对矩阵A的特征值做了大致估计并给出了一些重要不等式，本课将用矩阵的元素来确定A的特征值分布区域，即讨论特征值的一些重要包含性质。&/p&&p&&br&&/p&&p&下面，具体介绍一下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-693a143c7f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&903& data-rawheight=&337& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&903& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-693a143c7f_r.jpg&&&/figure&&p&对于行盖尔圆而言，我们可以称之为去心绝对行和（去掉对角线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bii%7D& alt=&a_{ii}& eeimg=&1&& 的值），此时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bii%7D& alt=&a_{ii}& eeimg=&1&& 就是圆心。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-38a56f5fca9d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&901& data-rawheight=&202& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&901& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-38a56f5fca9d_r.jpg&&&/figure&&p&该定理说的是矩阵A的任意特征值都在行盖尔圆之中。&/p&&p&下面，我们给出具体证明：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cb28dd9fd2ecee108f0e729dfd57002b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&931& data-rawheight=&224& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&931& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cb28dd9fd2ecee108f0e729dfd57002b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-dd568605daf141b2d1350c32fefe3d6a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&872& data-rawheight=&161& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&872& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-dd568605daf141b2d1350c32fefe3d6a_r.jpg&&&/figure&&p&这里画横线的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_k& alt=&x_k& eeimg=&1&& 指的是最大的第k行对应的特征值。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-057bb2fa0d486c36b10a709_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&935& data-rawheight=&211& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&935& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-057bb2fa0d486c36b10a709_r.jpg&&&/figure&&p&这样，就是以对角线元素为圆心，特征值 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&& 为半径画盖尔圆。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们举一个例子：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4ed0debf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&807& data-rawheight=&522& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&807& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4ed0debf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-261b6d66d352da28cae7d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&919& data-rawheight=&511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&919& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-261b6d66d352da28cae7d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&类似的，我们有推论1：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ddef7a1dd1d49bb13ed71dd0b0455fed_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&697& data-rawheight=&179& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&697& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ddef7a1dd1d49bb13ed71dd0b0455fed_r.jpg&&&/figure&&p&即特征值既在行盖尔圆上，又在列盖尔圆上。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们先来解释一下什么是连通：&b&只要有交点，就算是连通的&/b&。在例1中， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_1%E5%92%8CS_2& alt=&S_1和S_2& eeimg=&1&& 重叠在一起，他们的并集是一个连通域。孤立的一个盖尔圆也是一个连通部分。图中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_1%E5%92%8CS_2& alt=&S_1和S_2& eeimg=&1&& 的并集， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_3& alt=&S_3& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_4& alt=&S_4& eeimg=&1&& 各是一个连通部分。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bdf866da23ba8b5cbee5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&small& data-rawwidth=&730& data-rawheight=&448& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&730& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bdf866da23ba8b5cbee5_r.jpg&&&/figure&&p&这样，也算是连通。（相切也算是连通）&/p&&p&&br&&/p&&p&定理1只说明了矩阵A的特征值均在其全部盖尔圆的并集中，并没有哪个连通部分有几个特征值，因此，我们还需要下面的定理：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-7a10ed8cfb9fc4a28cb336_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&932& data-rawheight=&668& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&932& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-7a10ed8cfb9fc4a28cb336_r.jpg&&&/figure&&p&下面，我们给出具体证明：&br&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%5Cvarepsilon%3DD%2B%5Cvarepsilon+B& alt=&A_\varepsilon=D+\varepsilon B& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%5Cin%5B0%2C1%5D& alt=&\varepsilon\in[0,1]& eeimg=&1&&&/p&&p&这里的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon& alt=&\varepsilon& eeimg=&1&& 是变化的，可以看成是函数，这样的矩阵可以称之为函数矩阵。&/p&&p&当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3D0& alt=&\varepsilon=0& eeimg=&1&& 时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_0%3DD& alt=&A_0=D& eeimg=&1&& ，当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3D1& alt=&\varepsilon=1& eeimg=&1&& 时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_1%3DA& alt=&A_1=A& eeimg=&1&& ，所以可以看成从 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_0%E5%88%B0A_1& alt=&A_0到A_1& eeimg=&1&& 的一种变化关系，于是我们有：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8a07f4e946a8e868b4a0c8d928d077ff_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&543& data-rawheight=&569& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&543& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8a07f4e946a8e868b4a0c8d928d077ff_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-018adbc4b965d22e90d7f09a88be5415_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&293& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-018adbc4b965d22e90d7f09a88be5415_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e4f48907eca4c69f6ec31c8b3ad4f6a1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&924& data-rawheight=&513& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&924& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e4f48907eca4c69f6ec31c8b3ad4f6a1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c5ab9e89c65a60a580e92e79bea365ce_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&951& data-rawheight=&638& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&951& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c5ab9e89c65a60a580e92e79bea365ce_r.jpg&&&/figure&&p&如图所示，我们假设有一个特征值 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_2%28%5Cvarepsilon%29& alt=&\lambda_2(\varepsilon)& eeimg=&1&& 不属于任何圆盘。然而，由定理1可知，特征值只能在圆盘之中，发生了矛盾。故假设不成立。特征值只能在圆盘之中。同样的道理，圆盘外面的特征值要是想进去也是不可能的，会与定理1矛盾。&/p&&p&也许，这就是钱钟书在《围城》中所描述的人生吧！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c97b427c2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&240& class=&content_image& width=&240&&&/figure&&p&如果盖尔圆不相交的话，那么盖尔圆中有其对应的特征值。如果相交的话就不好说了，我们下面举一个例子：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-65b56a8e6a16d9f5da323b768cc5941e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&970& data-rawheight=&198& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&970& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-65b56a8e6a16d9f5da323b768cc5941e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-355cbeaa77e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&948& data-rawheight=&713& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&948& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-355cbeaa77e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们继续介绍推论：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-6d4ce496da1b6f3549b3ffe1ecc5cd24_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&911& data-rawheight=&159& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&911& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6d4ce496da1b6f3549b3ffe1ecc5cd24_r.jpg&&&/figure&&p&这个定理之所以成立是因为A有n个互不相同的特征值（单根），所以一定可以相似对角化。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a4b17a89a2452ebb197d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&895& data-rawheight=&147& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&895& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a4b17a89a2452ebb197d_r.jpg&&&/figure&&p&如果A不是实数而是复数的话，圆盘里会有两个特征值，矛盾。所以A的特征值全为实数。&/p&&p&&br&&/p&&p&有如下定理：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f9fbd2e62c50f29f649a713e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&806& data-rawheight=&226& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&806& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f9fbd2e62c50f29f649a713e_r.jpg&&&/figure&&p&特征值既位于行盖尔圆上，又位于列盖尔圆上。因此可以说是位于他们的交上。&/p&&p&&br&&/p&&p&下面介绍一个特征值估计的例子：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c7a506f61edb5e84ba6fb7c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&868& data-rawheight=&604& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&868& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c7a506f61edb5e84ba6fb7c_r.jpg&&&/figure&&p&我们对它可以进行一些改进：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bd748ad325a3c489c9b50a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&836& data-rawheight=&581& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&836& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bd748ad325a3c489c9b50a_r.jpg&&&/figure&&p&这个图片贴的有点没头没尾，是因为有些推论略去不讲了。下面的改进方法要用到，所以这里先贴一下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e9bcb6beaead92bc1d13_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1337& data-rawheight=&651& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1337& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e9bcb6beaead92bc1d13_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3fb56dbf929efac0d847e3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1290& data-rawheight=&410& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1290& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3fb56dbf929efac0d847e3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-625bd3a2c6cc74a6fb7b71_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&873& data-rawheight=&379& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&873& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-625bd3a2c6cc74a6fb7b71_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&下面介绍定理4，不过之前先介绍一下几个概念：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5ccde062af4debf8c91_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&922& data-rawheight=&298& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&922& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5ccde062af4debf8c91_r.jpg&&&figcaption&A是复数域内的n阶方阵&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3c5bca0c73a8dd313bf2c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&809& data-rawheight=&336& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&809& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3c5bca0c73a8dd313bf2c_r.jpg&&&/figure&&p&我之前有具体写过对角占优矩阵，但是忘了具体在哪写了。等我回头找到之后再在这里补上链接吧。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ddbc4318_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&910& data-rawheight=&316& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&910& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ddbc4318_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-188acdc7d5b28_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&884& data-rawheight=&168& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&884& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-188acdc7d5b28_r.jpg&&&/figure&&p&下面我们说一说这个证明：&/p&&p&（1）：若A是严格对角占优矩阵，那么A的特征值不为0，矩阵A可逆。（&b&矩阵可逆说明行列式的值不为0,又行列式的值等于矩阵所有特征值之积,所以矩阵可逆,其特征值一定不为零&/b&）&/p&&p&（2）严格对角占优，半径不能过圆心，只能在右半平面。故 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_i& alt=&S_i& eeimg=&1&& （实数）&0&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e251a318a26ce39a6ca24bfbbe258f07_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&416& data-rawheight=&279& class=&content_image& width=&416&&&/figure&&p&（3）Hermite矩阵的所有特征值都是实数，由（2）可知该结论成立。&/p&
今天来讲如何画圆。完了，突然想哭，老师上课教我们画圆我却各种听不懂，我这智商恐怕是没救了吧！我们这一课就来讲讲如何画盖尔圆。上一课中，用矩阵的元素对矩阵A的特征值做了大致估计并给出了一些重要不等式，本课将用矩阵的元素来确定A的特征值分布区域…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3718e7cda0d3566622aedc_b.jpg& data-rawwidth=&404& data-rawheight=&423& class=&content_image& width=&404&&&/figure&&p& 先恐吓一下：&b&将来所有不理解分形的人，都会被看作科学盲。&/b&&/p&&p&要谈分形，就要先从世界是光滑的还是粗糙的谈起。在人们的常识认知里，自然界自然是粗糙的，石头、树木、云、地面、人体轮廓、闪电... 凡是非人造的，都是表面不规则或粗糙的，甚至要分辨一个物体是不是经过了智能加工，只要看它的表面是光滑的还是粗糙的就可以了。从人类的知识发展历史看，一开始欧式几何描述的是光滑的理想形状：球形、圆形、立方体、正方形，因为这些外形非常便于分析，但是这种模型无法很好的匹配现实世界。所以后来牛顿、莱布尼茨发明了微积分，试图进一步贴近自然界的各种外形。从微积分的观点看，世界是可以求导的，即世界是以光滑的曲线为主体的，若有不光滑的曲线，切割成若干光滑可求导的曲线即可，所谓一颗炸弹不能解决的问题就用两颗炸弹解决。基于这种思路，拉普拉斯说：&b&如果知道宇宙中每个粒子的位置，并且知道其变化速率，那么我们就能够准确的预知宇宙的未来。&/b&这就是著名的还原论。&/p&&p&但是事实上基于微积分依然很难描述现实世界里的形状和物体，1861年，一个叫做魏尔施特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass）的德国数学家发现了一个函数：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1cecdcef8dec_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&178& class=&content_image& width=&277&&&/figure& 这个函数的特点是：处处连续却处处不可导，换句话说，这个曲线上全是拐点!&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c7a657f3c1acfcaf6a4b0_b.jpg& data-rawwidth=&662& data-rawheight=&409& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&662& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c7a657f3c1acfcaf6a4b0_r.jpg&&&/figure&&p& 这下就尴尬了，既然世界是光滑的，大体上是不应该出现这种函数的，这跟无理数出现时毕达哥拉斯的尴尬程度是类似的。于是乎数学界开始试图解决这个问题，最终出现了分形几何学（Fractal Geometry），fractal的意思就是碎片，即这个几何学就是为了描述我们在自然界中观察到的不规则形状，反映了无限的细节、无限的长度和不光滑的曲线特性，或者说是不能求导的特性。&/p&&p&分形学的推导过程和公式很复杂，有兴趣的可以自己找资料看，这里只提几个有趣的地方。首先是一个作图游戏，名字叫做混沌游戏&/p&&p&1）.在正方形内任意选取三个点组成三角形 （1，2，3），再在任意位置选取一个点（4）&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5cbfaefcdb7_b.jpg& data-rawwidth=&310& data-rawheight=&296& class=&content_image& width=&310&&&/figure&&/p&&p& 2）.掷骰子，掷出1和2，等于选择了点1，掷出3-4，等于选择了点2，掷出5-6，等于选择了点3，假设选择的是点2，则在点4和点2之间的中点画一个点5&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c70db47f1_b.jpg& data-rawwidth=&318& data-rawheight=&296& class=&content_image& width=&318&&&/figure&3）.同第二步，再次掷骰子，假设选中的是点3，则在点5和点3之间的中点画一个点6&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7fc8c61c534f149e320dc0d_b.jpg& data-rawwidth=&324& data-rawheight=&289& class=&content_image& width=&324&&&/figure&&p& 4）.依此步骤不断获得新的中点并画出，最后得到的图形如下所示：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-61faef8eadc_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&244& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-61faef8eadc_r.jpg&&&/figure&这个图形的名称叫做：谢尔博斯基三角。图形本身似乎没什么奇怪的，奇怪的是不管起始点4的位置怎么选择，最终出来的图形都是这个三角形。&/p&&p& 这个游戏的结果看起来没什么特别，但是换一下起始点事情就变得有趣了，最终会出现如下图形：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a03ece232242bdead44de5de7ab578e6_b.jpg& data-rawwidth=&483& data-rawheight=&474& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&483& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a03ece232242bdead44de5de7ab578e6_r.jpg&&&/figure&这和蕨类植物的叶子非常类似，具体的算法可以用“分形 蕨类 c++”做关键字自行搜索&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5ad6f37de9ffcd24a28f56_b.jpg& data-rawwidth=&377& data-rawheight=&294& class=&content_image& width=&377&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ec70bcf08d9eb238c56e15_b.jpg& data-rawwidth=&476& data-rawheight=&382& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&476& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ec70bcf08d9eb238c56e15_r.jpg&&&/figure&这是fltk示例程序fractals生成的岛和树。&/p&&p&结论：&br&&b&1. 选好了起始点（初始的点1、2、3），结果就已经确定了&br&2.从长远看，你最初的决定（初始的点4）对于最终的结果没有明显的影响&br& 3.所有实际发生的事情都指向了所谓的吸引子(初始的1、2、3点）&/b&&/p&&p&具有吸引子(attractor，也叫奇异吸引子）特征的几何就是分形几何。&/p&&p&说到这里，不能不延伸到混沌学的领域了，话说统计学上有个很有名的Logistic差分方程：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-40a1c1dded361282dbc89333bbefce06_b.jpg& data-rawwidth=&257& data-rawheight=&59& class=&content_image& width=&257&&&/figure&这个公式用简单的说法来描述就是代表了某个事物的数量变化关系，如果某一年中物种种群的数量下降到某一水平之下，那么第二年其数量将会增长，如果物种数量增长过高，那么对于生存空间和资源的竞争将使得物种种群数量下降，其中R是可调节的参数，但问题也就出在这里，假设这个公式代表了每年鱼群的数量，则&/p&&p& 当R=2.6 &figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-98adbf64b4b0a43e1e14fd_b.jpg& data-rawwidth=&676& data-rawheight=&324& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&676& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-98adbf64b4b0a43e1e14fd_r.jpg&&&/figure&&/p&&p& 当R=3.1&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-076c87de8138b75cde6af_b.jpg& data-rawwidth=&664& data-rawheight=&308& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&664& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-076c87de8138b75cde6af_r.jpg&&&/figure&&br&当R=3.5&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cebfb97b1593cced1f0750a_b.jpg& data-rawwidth=&438& data-rawheight=&457& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&438& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cebfb97b1593cced1f0750a_r.jpg&&&/figure&如果X轴代表参数R，Y轴代表鱼群数量，则趋势为下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3b11edc3e7df_b.jpg& data-rawwid}
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你可能喜欢在自动化和控制理论的话题上和大家讨论了很多，也思考了很多，也认识了很多的好朋友，感谢之情尽在不言之中。总的感受就是，单就自动控制系统来说，很多工程师的基础理论素养还不够扎实，包括我自己也是。回想以前遇到的很多实践的问题，不需要高深的理论，在经典的线性siso里面其实都能够找到答案。回想起四年前大老板对我说：大家都以为自己非常透彻的懂线性系统，其实大家都还不够懂。&br&&br&我自己只是个工科生，本科GPA惨淡，虽说是根正苗红的自动化的本科，双控的硕士，但是读博之前一直是在做软件和嵌入式，理论素养并不好。胡乱写了些东西，如果有哪里错了，还请方家指正。&br&&br&&b&1.从时域直观看带宽&/b&&br&首先限定讨论的范围，这里只讨论线性时不变系统（LTI），虽然现实中并不存在这样的系统，但是有很多都可以在一定条件下近似为LTI，或者可以等价为LTI再加上建模误差项或者干扰项。&br&讨论LTI的时域响应，对于带宽会给大家带来直观的感受，有助于引入后面的描述更为有力的频域分析。&br&要看一个系统的响应速度快不快，直接看它的时域的解是一个非常直接的思路。&br&有一阶系统&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BTs%2B1%7D& alt=&G(s)=\frac{1}{Ts+1}& eeimg=&1&&&br&其单位阶跃响应的解为&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3D1-e%5E%7B%28-t%2FT%29%7D& alt=&x(t)=1-e^{(-t/T)}& eeimg=&1&&&br&可见其稳态值为1，达到稳态的时间约为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t_s%3D5T& alt=&t_s=5T& eeimg=&1&&&br&由此可见，如果我们能想办法改变其参数T的话，就能改变其响应的速度。尤其是，如果能让T变小，那么响应时间就会变短。&br&举个例子，如果引入反馈的比例控制，其闭环传递函数为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G_c%28s%29%3D%5Cfrac%7Bk%7D%7BTs%2B1%2Bk%7D& alt=&G_c(s)=\frac{k}{Ts+1+k}& eeimg=&1&&&br&那么系统的极点就变成了：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=s%3D-%5Cfrac%7B1%2Bk%7D%7BT%7D& alt=&s=-\frac{1+k}{T}& eeimg=&1&&&br&其根轨迹为：&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/19bbfab071f59fdbb35ae_b.jpg& data-rawwidth=&518& data-rawheight=&449& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&518& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/19bbfab071f59fdbb35ae_r.jpg&&&/figure&&br&其解约等于：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3D1-e%5E%7B%28-tK%2FT%29%7D& alt=&x(t)=1-e^{(-tK/T)}& eeimg=&1&&&br&响应时间也约等于：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t_s%3D5T%2FK& alt=&t_s=5T/K& eeimg=&1&&&br&可见增益的变大，使得极点远离原点，也使得系统响应变快。系统的主导极点离原点越远，系统响应就越快。&br&&br&&br&再看二阶系统&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B%5Comega%5E2%7D%7Bs%5E2%2B2%5Czeta%5Comega+s%2B%5Comega%5E2%7D& alt=&G(s)=\frac{\omega^2}{s^2+2\zeta\omega s+\omega^2}& eeimg=&1&&&br&阶跃响应的解为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-%5Czeta%5E2%7D%7De%5E%7B-%5Czeta+%5Comega+t%7Dsin%28%5Comega_d+t%2B%5Cbeta%29& alt=&x(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta \omega t}sin(\omega_d t+\beta)& eeimg=&1&&&br&其中&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_d%3D%5Csqrt%7B1-%5Czeta%5E2%7D%5Comega& alt=&\omega_d=\sqrt{1-\zeta^2}\omega& eeimg=&1&&&br&对于标准二阶系统，其稳态值也是1，其达到稳态的时间约为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t_s%3D%5Cfrac%7B3.5%7D%7B%5Czeta+%5Comega%7D& alt=&t_s=\frac{3.5}{\zeta \omega}& eeimg=&1&&&br&如果我们能改变其参数，也能改变其响应时间。二阶系统的闭环及其求解比较复杂，我就不写公式了，用根轨迹图来给一个定性的结果：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/3ae497ea712f703c533eff2d82aaadb7_b.jpg& data-rawwidth=&597& data-rawheight=&490& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&597& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/3ae497ea712f703c533eff2d82aaadb7_r.jpg&&&/figure&可见w是这个极点的幅值，wd是受到了阻尼的影响的，w在虚轴上的投影。当闭环系统增益变大时，根轨迹会沿着虚轴延伸，这时候w也会等效的增加，从而使得系统响应变快。&br&&br&这里只讨论了一阶和二阶系统的时域响应，因为更复杂的系统是可以分解成为一阶和二阶系统的叠加。到这里还没有到频域，但是请大家记住T和w这两个东西，到了频域部分它们会是关键的参数。&br&&br&&b&2.频域法讨论带宽&/b&&br&&br&很多老师在讲到频域法的时候，往往只会说一句：“频域法很重要，有着重要的工程意义。”然后就开始让s=jw，再就开始讲幅值相位各种图的画法，缺乏转呈过度。我试着补齐这一段。&br&&br&控制器最主要的任务一是稳定系统，二是提升系统动态性能。频域法这两个任务都可以完成，但是从系统动态性能来引入是一个更自然的过程。&br&&br&在时域法里面，我们得到了一些结论，可是那只是阶跃响应。如果我们的输入是变化的，那么系统的输出是怎样的，时域分析就力不从心了。所以假定我们的输入是有频率和幅值变化的周期性信号，那么我们可以采用的假定输入可以是三角函数，也可以是方波，也可是锯齿波。但是使用三角函数在数学上处理很方便，其他的周期性的波也可以分解为三角函数的叠加。所以假定输入为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=u%28t%29%3DAsin%28%5COmega+t%29& alt=&u(t)=Asin(\Omega t)& eeimg=&1&&&br&看几个例子：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0.1s%2B1%7D& alt=&G(s)=\frac{1}{0.1s+1}& eeimg=&1&&&br&对其输入为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=u%28t%29%3Dsin%28t%29& alt=&u(t)=sin(t)& eeimg=&1&&&br&即幅值为1，频率为1 rad/s。结果为：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/fab05cbd6aad1f277cfd_b.jpg& data-rawwidth=&445& data-rawheight=&299& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&445& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/fab05cbd6aad1f277cfd_r.jpg&&&/figure&&br&其中黄色为输出值，紫色为输入值，下同。&br&在这里，输入和输出是很接近的。&br&然后对其输入改为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=u%28t%29%3Dsin%2810t%29& alt=&u(t)=sin(10t)& eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/0de3622ff_b.jpg& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&304& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/0de3622ff_r.jpg&&&/figure&&br&不仅输出的幅值跟不上了，也开始出现了相位偏差(延迟)。&br&再进一步增加频率：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=u%28t%29%3Dsin%2850t%29& alt=&u(t)=sin(50t)& eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/31af0d5a6_b.jpg& data-rawwidth=&457& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&457& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/31af0d5a6_r.jpg&&&/figure&&br&会发现输出的幅值和相位进一步的缩小。甚至输出会小到忽略不计。当定下一个标准，输入的频率大于某个值&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B& alt=&\omega_B& eeimg=&1&&之后，系统的输出变得小到了忽略不计，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B& alt=&\omega_B& eeimg=&1&&就称之为&b&带宽&/b&。用白话说，在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B& alt=&\omega_B& eeimg=&1&&这个频率以下的输入，系统会对其响应比较明显，大于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B& alt=&\omega_B& eeimg=&1&&的，响应就很低。&br&&br&如果我们把输入频率从0开始，一直变化到无穷大，并记下每个频率上的幅值和相位的变化，那么就&b&得到了一个频率响应图&/b&。此图可以用实验的形式获得，例如下图，改变一下频率，记下数据，然后依次描多个点，连起来就可以得到曲线图。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/953faec142bbddfad18f_b.jpg& data-rawwidth=&482& data-rawheight=&449& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&482& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/953faec142bbddfad18f_r.jpg&&&/figure&&br&那么除了实验方法，还有没有解析的方法来得到一些结论？有，那就是著名的让s=jw，G(s)=G(jw)，然后看其幅值和相位。为什么可以这么做？&br&首先看拉普拉斯变换的定义:&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28s%29%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-st%7Df%28t%29dt%5C%5C%0AF%28s%29%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B%28-a-j%5Comega%29t%7Df%28t%29dt& alt=&F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\
F(s)=\int_{0}^{\infty}e^{(-a-j\omega)t}f(t)dt& eeimg=&1&&&br&而傅里叶变换的定义为：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28jw%29%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-j%5Comega+t%7Df%28t%29dt& alt=&F(jw)=\int_{0}^{\infty}e^{-j\omega t}f(t)dt& eeimg=&1&&&br&如果令拉普拉斯变换里面的s=jw，则拉普拉斯变换就会退化为傅里叶变换。所以说拉普拉斯变换是在频域，不是完全正确的，应该说是其在复数域，其不仅包含了频域的稳态信息，还包含了瞬态的信息。而傅里叶变换仅仅包含了在频域下稳态的信息，所以&br&G(jw)即可算出G(s)在不同频率w下的幅值和相位的信息。&br&&br&例子：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%2B1%7D& alt=&G(s)=\frac{1}{s+1}& eeimg=&1&&&br&另s=jw，在w=0的时候，&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28jw%29%3DG%28j0%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B0j%2B1%7D%3D1& alt=&G(jw)=G(j0)=\frac{1}{0j+1}=1& eeimg=&1&&&br&在复数域下可知，1这个数幅值为1，相位为0，所以说G(s)在直流输入的情况下，是等于其原信号的。&br&&br&再看在一个频率为1rad/s的正弦波的输入下，令s=j1，&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28jw%29%3DG%28j%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bj%2B1%7D%3D0.5-0.5j& alt=&G(jw)=G(j)=\frac{1}{j+1}=0.5-0.5j& eeimg=&1&&&br&在复数域下可知，0.5-0.5j这个数幅值为0.707，相位为-45度，回顾一下时域分析里面的仿真结果：&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/e5ba5cf384efa2b037a9a25_b.jpg& data-rawwidth=&443& data-rawheight=&295& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&443& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/e5ba5cf384efa2b037a9a25_r.jpg&&&/figure&&br&是不是相符。&br&再看当输入频率趋向于无穷大的时候：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28jw%29%3DG%28j%5Cinfty%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bj%5Cinfty%2B1%7D& alt=&G(jw)=G(j\infty)=\frac{1}{j\infty+1}& eeimg=&1&&&br&其幅值为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%28G%28j%5Cinfty%29%29%3D%5Cfrac%7BA%281%29%7D%7BA%28j%5Cinfty%2B1%29%7D%3D0& alt=&A(G(j\infty))=\frac{A(1)}{A(j\infty+1)}=0& eeimg=&1&&&br&相位为：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=deg%28G%28j%5Cinfty%29%29%3D%5Cdeg%281%29-deg%28j%5Cinfty%2B1%29%3D0-90%5E%5Ccirc%3D-90%5E%5Ccirc& alt=°(G(j\infty))=\deg(1)-deg(j\infty+1)=0-90^\circ=-90^\circ& eeimg=&1&&&br&可知其对于高频的响应为幅值趋向于0，相位趋向于负九十度。&br&&br&其简化了的结论是：当输入的w小于1/T时，系统的输入是能大致跟随输出的；当输入的w大于1/T时，系统的输出是基本不能跟随输入的。在这里，系统的带宽就为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_B%3D1%2FT& alt=&\omega_B=1/T& eeimg=&1&&。&br&&br&二阶系统的例子类似，只不过其带宽是由&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%28s%29%3D%5Cfrac%7B%5Comega%5E2%7D%7Bs%5E2%2B2%5Czeta%5Comega+s%2B%5Comega%5E2%7D& alt=&G(s)=\frac{\omega^2}{s^2+2\zeta\omega s+\omega^2}& eeimg=&1&&&br&中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&决定的。&br&&br&&b&3.带宽大小的影响&/b&&br&由时域和频域的两个方面来看，系统的频域带宽越大，时域的响应速度也就越快，两者是相辅相成的：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/f8dcf49dc27bc7e73dfb93_b.jpg& data-rawwidth=&568& data-rawheight=&353& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&568& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/f8dcf49dc27bc7e73dfb93_r.jpg&&&/figure&看到一个系统的频域图，是可以立刻脑补出来其时域阶跃响应图的形状的，可以将其划分为三个段：低频段决定了系统稳态值，中频段决定了瞬态响应，高频段决定了其对于噪声的敏感度。&br&比如下图：&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/ea1d06da62a_b.jpg& data-rawwidth=&553& data-rawheight=&478& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&553& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/ea1d06da62a_r.jpg&&&/figure&上面是频域响应图，红色的比绿色的带宽要大，两个在中频段都没有峰，应该都没有超调，画出来的时域阶跃响应图应该是红色的比绿色的要更快的到达稳态值。&br&&br&虽然带宽大的系统响应速度会快，也会带来很多副作用，首先就是会对噪声敏感。高频噪声是普遍存在的，如果系统的带宽低，那么就会对高频噪声的放大系数很低，系统不会受大影响，而带宽高了，不仅对高频的正常激励信号有响应，也会对同处高频段的噪声有较大的响应。&br&&br&再就是高带宽系统需要更高速度的传感器和控制器，一般控制器和传感器的速度应该是被控对象的5-20倍。不仅是硬件成本高，而且对数值计算的精度也更高，对于延迟的忍耐度也更低。
在自动化和控制理论的话题上和大家讨论了很多，也思考了很多，也认识了很多的好朋友，感谢之情尽在不言之中。总的感受就是，单就自动控制系统来说，很多工程师的基础理论素养还不够扎实，包括我自己也是。回想以前遇到的很多实践的问题，不需要高深的理论，…
&p&首先，我们谈到随机过程，就要知道我们如何来描述随机过程：矩（Moment）。&/p&&p&这个定义可能过于抽象，但是它的实质却是很简单的，就是一个定义，一种描述方法。举个不恰当的例子，我们谈直线的长度，就要有一个标准，无论你是1米，5米，还是50厘米，其实都基于我们对长度的基本定义，或者说叫做基本单元，准确的说叫做事物的基（Basis）。则矩就是我们用来描述随机过程的基。&/p&&p&我们通常所知道的描述随机过程的数字特征，比如说期望（mean value, expected value, average value）,方差（Variance），相关（correlation）都是基于矩的运算，或者说是变换， 这些变换（运算）都带来的结果，是对随机过程某一性质的描述。&/p&&p&下面我们谈随机过程的遍历性（Ergodic）。&/p&&p&遍历，是随机过程所有描述中最严格（the most restrictive）的一个。根据Goodman 的统计光学（Statistical Optics）中引用到的关于遍历性的定义：每一个样本函数（Sample Function） 在沿着时间轴方向取值，和在任意时刻，或一些时刻，横跨整个系宗（ensemble）的观测，具有相同的“联合相对频率（Joint relative frequencies）”。&/p&&p&（Fuck，这句话的英文我读了好多遍，表示理解有困难，翻译成这样，请见谅）。&/p&&p&在解释这句话之前，我想说，无论是对于时间的观测样本，还是对于空间的观测样本，都可以用相同的统计学的数学描述，来描述。只是一个对于时间，一个对于位置。&/p&&p&首先我想说关于系宗（Ensemble）的理解：&/p&&p&我第一次接触到Ensemble这个单词是学习 “可持续发展（&i&sustainable&/i& ）”的时候。其中有一个词组叫做Ensemble energy，我想通过这个单词的解释来理解所谓的中文翻译中的系宗的意义（我很好奇这些所谓的“大牛”在翻译书的时候是怎么想到这些词的）。&/p&&p&Ensemble energy：其实是包含一个事物在生产中所消耗的所有能源，注意，是所有。&/p&&p&举个简单的例子：塑料的Ensemble energy包含什么呢？&/p&&p&如果认为塑料来源于石油。那从开采，运输，加工，&b&所有&/b&与它相关的&b&所有&/b&过程所消耗的能量，加起来，才叫ensemble energy。&/p&&p&回到系宗上来，我目前的认识认为，他强调了随机过程中的所有基本组成。&/p&&p&是基本组成，而不是样本函数，基本组成可以构成样本函数。&/p&&p&&b&重点来了：我认为如果说这是一个遍历的随机过程，那么，每一个样本函数都包含了构成整个系宗的所有基本组成。（本人才疏学浅，纯属人理解，如果不对欢迎指正）。&/b&&/p&&br&&p&到了现在你可能好奇了，我之前BBBB那么多说，基说矩有什么用呢？&/p&&p&因为往往在工程应用中，我们不能够得到所有的样本函数来构成样本空间，所以我们希望通过有限次的观测，或者一次观测，就能够描述这个过程的一些性质。&/p&&p&如果说一个随机过程是遍历的，我认为，一次观测就能描述整个随机过程的一些性质了：&/p&&p&举例：&/p&&p&我们认为每次的样本函数，是关于时间的单值，实质函数u（t）系宗为U（t）。&/p&&p&当该过程是遍历的：&/p&&p&则时间平均等于统计平均；&/p&&p&时间自相关（Time autocorrelation)等于统计自相关(statistical autocorrelation)；&/p&&p&也就是说，我们不需要知道这个随机过程的所有样本函数，就能得到相同效果的，基于矩的描述；&/p&&p&还有一个更简单的例子，帮你理解这个问题，&/p&&p&在数学上，我们可以用无穷级数将函数展开，所有的级数（不算级数前面的系数）就是一组基本组成的集合，&b&只是这个基本组成是按照某种方式定义的。&/b&&/p&&p&在信号上，我们可以通过傅里叶变换来从不同的基（Basis)来看信号的组成，当然，傅里叶变换后的函数，是所谓的频率，也就是说我们现在不关心单个时间，而是针对这一段时间，我们来看这段时间内，不同的基本组成出现的次数（频率或者叫相对频率）。&/p&&p&见这个网址：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//blog.sina.com.cn/s/blog_72dcd1890101iqvz.html%23cmt_2576469& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&随机过程的自相关函数--示例_北邮通信原理_新浪博客&/a&。&/p&&p&看这个随机过程的两种自相关，思考一下关于随机过程的描述（广义平稳，严平稳，遍历）。&/p&&p&网址中的随机过程，就不具有遍历性，因为单一样本（这个样本只是一段时间），并不含有组成这个系宗（Ensemble）所有的组成成分。&/p&&p&希望对你有所帮助。&/p&&p&以上均为个人理解，定当存在许多不足和问题，欢迎指出探讨。&/p&&p&附加一个网址，方便数学计算：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mathworld.wolfram.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&The Web's Most Extensive Mathematics Resourc&/a&&/p&
首先，我们谈到随机过程，就要知道我们如何来描述随机过程：矩（Moment）。这个定义可能过于抽象，但是它的实质却是很简单的，就是一个定义，一种描述方法。举个不恰当的例子，我们谈直线的长度，就要有一个标准，无论你是1米，5米，还是50厘米，其实都基于…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfeb_b.jpg& data-rawwidth=&1366& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1366& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfeb_r.jpg&&&/figure&这一小节我们主要讲“压缩映像原理”或者“Banach不动点”定理，还有这个定理的应用。&blockquote&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&（I）Banach空间和不动点定理 （1） - 知乎专栏&/a&&/blockquote&&p&这个定理很“简单”，但是用处很大，可以证明很大一类的“存在性”问题：&b&钟摆问题、常微分方程基本定理、隐函数定理、和牛顿法的收敛性。&/b& 这个不动点在现在的研究论文中也是基本的方法，很多现在论文中依然使用了这个不动点。它也是不动点定理中的&b&一条大腿&/b&，另外一条大腿&b&我后面会提及。&/b&&/p&&p&&b&本小节的主要知识点&/b&&/p&&p&&b&一、度量空间&/b&&/p&&p&&b&二、压缩映像原理（Banach不动点定理）&/b&&/p&&p&&b&三、各种应用：常微分方程的存在性、隐函数定理和钟摆问题。&/b&&/p&&br&&h2&一、钟摆问题和一般的常微分方程&/h2&&p&我们考虑一个理想的钟摆问题：用长度&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=l& alt=&l& eeimg=&1&&的绳子挂着一个重量为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&的摆，然后让它摆动。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8eec477815_b.jpg& data-rawwidth=&938& data-rawheight=&890& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&938& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8eec477815_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-91eace608b7e26170fda0cee28306fdc_b.jpg& data-rawwidth=&257& data-rawheight=&231& data-thumbnail=&https://pic3.zhimg.com/v2-91eace608b7e26170fda0cee28306fdc_b.jpg& class=&content_image& width=&257&&&/figure&&p&设某个时刻&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&的角度为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%28t%29& alt=&\theta(t)& eeimg=&1&&,则在切线方向上我们用牛顿定理可以得到下面的方程&br&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=-mg%5Csin+%5Ctheta%28t%29%3Dml%5Ctheta%27%27%28t%29& alt=&-mg\sin \theta(t)=ml\theta''(t)& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&过多的物理我不涉及了，有兴趣的看&/p&&blockquote&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_%28mathematics%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Pendulum (mathematics)&/a&&/blockquote&&p&从数学来看，上面的方程是一个非线性的常微分方程，我们的在这一节的目标是&b&证明这个方程的解是存在的。 &/b&&/p&&p&设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3A%3D%28%5Ctheta%28t%29%2C+%5Ctheta%27%28t%29%29& alt=&x(t):=(\theta(t), \theta'(t))& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%28x%29%3D%28%5Ctheta%27%28t%29%2C-%5Cfrac%7Bg%7D%7Bl%7D%5Csin+%5Ctheta%28t%29%29& alt=&F(x)=(\theta'(t),-\frac{g}{l}\sin \theta(t))& eeimg=&1&&,那么上面的问题化成&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3DF%28x%29%5Cquad+x%280%29%3D%28%5Ctheta%280%29%2C%5Ctheta%27%280%29%29& alt=&\frac{dx}{dt}=F(x)\quad x(0)=(\theta(0),\theta'(0))& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&这样引出一个更一般的常微分方程问题&/p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3DF%28t%2Cx%29%5Cquad+x%280%29%3Dx_0& alt=&\frac{dx}{dt}=F(t,x)\quad x(0)=x_0& eeimg=&1&&&br&&br&&h2&二、度量（距离）空间和压缩映像原理&/h2&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3a2b0db5ad501_b.jpg& data-rawwidth=&1432& data-rawheight=&496& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1432& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3a2b0db5ad501_r.jpg&&&/figure&度量空间&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28V%2C%5Crho%29& alt=&(V,\rho)& eeimg=&1&&和一个赋范线性空间的区别有哪些？第一、&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&不满足“线性结构”，它不一定是线性空间。第二、设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28x%2Cy%29%3A%3D%5C%7Cx-y%5C%7C& alt=&\rho(x,y):=\|x-y\|& eeimg=&1&&，则&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28%5Ccdot%2C%5Ccdot%29& alt=&\rho(\cdot,\cdot)& eeimg=&1&&是一个距离。这个时候&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&上的一个子集&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&带上距离&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28x%2Cy%29%3A%3D%5C%7Cx-y%5C%7C& alt=&\rho(x,y):=\|x-y\|& eeimg=&1&&是一个距离空间。 所以一个一个赋范线性空间的子集自然是一个度量空间。 &/p&&p&类似于在上一节的赋范线性空间，我们可以引入收敛、闭集和连续算子；&/p&&p&（1）：如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%5Crho%28u_n%2Cu%29%3D0& alt=&\lim_{n\to\infty}\rho(u_n,u)=0& eeimg=&1&&,我们说&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=u_n%5Cto+u& alt=&u_n\to u& eeimg=&1&&。&/p&&p&（2）：开球&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B_r%28x%29%3D%5C%7By%5Cin+V%3B+%5Crho%28y%2Cx%29%3Cr%5C%7D& alt=&B_r(x)=\{y\in V; \rho(y,x)&r\}& eeimg=&1&&&/p&&p& （3）：一个集合中任意点都可以找一个小开球使得其在这个集合中，它就是开集。&/p&&p&（4）： 我们把闭集定义为开集的补集&/p&&p&
类似于上一节，我们可以证明,请想一想如何证明&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&是闭集当且当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_n%29%5Csubset+S%2C+x_n%5Cto+x%2C%5Cimplies+x%5Cin+S& alt=&(x_n)\subset S, x_n\to x,\implies x\in S& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&好了，&b&我们考虑一个度量空间的完备性问题&/b&：设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_n%29& alt=&(x_n)& eeimg=&1&&是Cauchy列（也就是基本列：对于&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon%3E0& alt=&\epsilon&0& eeimg=&1&&，存在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&, 当&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=m%2Cn%5Cgeq+N%2C+& alt=&m,n\geq N, & eeimg=&1&&时必然有&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28u_n%2Cu_m%29%5Cleq+%5Cepsilon+& alt=&\rho(u_n,u_m)\leq \epsilon & eeimg=&1&&）。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-223e6f0f35c1555faf720b829d7867af_b.jpg& data-rawwidth=&1398& data-rawheight=&260& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1398& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-223e6f0f35c1555faf720b829d7867af_r.jpg&&&/figure&&h2&三、压缩映像原理&/h2&&p&现在我们映入一个算子：压缩映像。 &/p&&p&设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%3A%28V%2C%5Crho%29%5Cto+%28V%2C%5Crho%29& alt=&T:(V,\rho)\to (V,\rho)& eeimg=&1&&,如果存在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=L%5Cgeq+0& alt=&L\geq 0& eeimg=&1&&使得对于任意&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%2Cy%5Cin+V& alt=&x,y\in V& eeimg=&1&&,&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28T%28x%29%2CT%28y%29%29%5Cleq+L%5Crho%28x%2Cy%29& alt=&\rho(T(x),T(y))\leq L\rho(x,y)& eeimg=&1&&成立，那么我们称这个算子是Lipschitz的。 &/p&&p&一个例子，如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=V%3D%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&V=\mathbb{R}& eeimg=&1&&和&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%3A%5Cmathbb%7BR%7D%5Cto+%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&T:\mathbb{R}\to \mathbb{R}& eeimg=&1&&是一个连续可导函数，如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csup_%7Bx%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D+%7D%7CT%27%28x%29%7C%3C%5Cinfty& alt=&\sup_{x\in\mathbb{R} }|T'(x)|&\infty& eeimg=&1&&，那么这个算子是Lipschitz的。 &/p&&p&如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=L%3C1& alt=&L&1& eeimg=&1&&，我们管这个映射是压缩映像。也就是说：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-07baf667a74ae9e81d823cc8d9c6d0dc_b.jpg& data-rawwidth=&1426& data-rawheight=&140& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1426& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-07baf667a74ae9e81d823cc8d9c6d0dc_r.jpg&&&/figure&对于一个算子&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&，一个点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cin+V& alt=&x\in V& eeimg=&1&&如果它满足&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29%3Dx& alt=&T(x)=x& eeimg=&1&&,那么我们管叫“不动点”。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0bac2c90b9d58c04693a46dfe5b0a11b_b.jpg& data-rawwidth=&1420& data-rawheight=&254& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1420& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0bac2c90b9d58c04693a46dfe5b0a11b_r.jpg&&&/figure&证明：随便给一个初值&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0%5Cin+V& alt=&x_0\in V& eeimg=&1&&, 设&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D%3DT%28x_n%29%2C+%5C%2C+n%5Cgeq+0& alt=&x_{n+1}=T(x_n), \, n\geq 0& eeimg=&1&&. 不难发现&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28x_%7Bn%2B1%7D%2Cx_n%29%5Cleq+L+%5Crho%28x_%7Bn%7D%2Cx_%7Bn-1%7D%29%5Cleq+%5Ccdots+%5Cleq+L%5En%5Crho%28x_1%2Cx_0%29& alt=&\rho(x_{n+1},x_n)\leq L \rho(x_{n},x_{n-1})\leq \cdots \leq L^n\rho(x_1,x_0)& eeimg=&1&&.&/p&&p&从而我们发现&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28x_%7Bn%2Bk%7D%2Cx_n%29%5Cleq+%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bk-1%7D+%5Crho%28x_%7Bn%2Bi%2B1%7D%2Cx_%7Bn%2Bi%7D%29%5Cleq++%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7Bk-1%7D++L%5E%7Bn%2Bi%7D%5Crho%28x_1%2Cx_0%29%5Cleq+%5Cfrac%7BL%5En%7D%7B1-L%7D%5Crho%28x_1%2Cx_0%29& alt=&\rho(x_{n+k},x_n)\leq \sum_{i=0}^{k-1} \rho(x_{n+i+1},x_{n+i})\leq
\sum_{i=0}^{k-1}
L^{n+i}\rho(x_1,x_0)\leq \frac{L^n}{1-L}\rho(x_1,x_0)& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&也就是说这是一个基本列，由于这个距离空间是完备的，则存在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cin+V& alt=&x\in V& eeimg=&1&&使得&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_n%5Cto+x& alt=&x_n\to x& eeimg=&1&&成立。&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7Dx_n%3D%5Clim_%7Bn%5Cto+%5Cinfty%7D+T%28x_%7Bn-1%7D%29%3DT%28%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D+x_%7Bn-1%7D%29%3DT%28x%29& alt=&x=\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty} T(x_{n-1})=T(\lim_{n\to\infty} x_{n-1})=T(x)& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&所以这个是一个不动点。唯一性很简单，大家自己思考。 &/p&&br&&h2&四、不动点的应用&/h2&&p&“不动点定理”是一个大家族，有各种不同的不动点定理。这个定理有什么用？&/p&&p&我们讲一下利用不动点定理的基本逻辑：对于一个存在性问题，我们构造一个度量空间和一个映射，使得存在性问题等价于这个映射的不动点。只要证明这个映射存在不动点，那么原来的存在性问题就搞定了。 &/p&&p&&b&（1）牛顿法解方程：&/b&&/p&&p&对于一个方程&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D0& alt=&f(x)=0& eeimg=&1&&,我们考虑算子&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-553bdab9ac0f31e0e1e5_b.jpg& data-rawwidth=&420& data-rawheight=&152& class=&content_image& width=&420&&&/figure&不动点&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29%3Dx& alt=&T(x)=x& eeimg=&1&&恰好是方程的根。这里我们要求&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cfrac%7Bdf%7D%7Bdx%7D& alt=& \frac{df}{dx}& eeimg=&1&&（至少在根的附近）不等于0。&/p&&p&同时，我们求导发现&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f0f4cbbab6fa78a45f1b_b.jpg& data-rawwidth=&382& data-rawheight=&142& class=&content_image& width=&382&&&/figure&所以在一个根&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&附近，导数为0，可以保证在这个点附近&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B_r%28x_0%29& alt=&B_r(x_0)& eeimg=&1&&，算子是压缩映射。 同时也不难发现如果&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&充分小，我们可以保证&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%28B_r%28x_0%29%29%5Csubset+B_r%28x_0%29& alt=&T(B_r(x_0))\subset B_r(x_0)& eeimg=&1&&. 根据压缩映射原理，算子&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&在度量空间&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=B_r%28x%29& alt=&B_r(x)& eeimg=&1&&有唯一的不动点。 而且，我们的“压缩映像原理”中的证明说明数列&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ebbfba_b.jpg& data-rawwidth=&366& data-rawheight=&126& class=&content_image& width=&366&&&/figure&收敛。这也是数值解方程的一种思路，这种方法叫牛顿法。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-42d7bc43c6fe98fffcd14dd_b.jpg& data-rawwidth=&298& data-rawheight=&169& class=&content_image& width=&298&&&/figure&&br&&br&&p&&b&（2）隐函数定理&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-cb198bc73b376ec242ee_b.jpg& data-rawwidth=&1532& data-rawheight=&646& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1532& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-cb198bc73b376ec242ee_r.jpg&&&/figure&&p&
在这个问题中我们选取的算子是&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28T%5Cvarphi%29%28x%29%3D%5Cvarphi%28x%29-%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y%7D%28x_0%2Cy_0%29%29%5E%7B-1%7Df%28x%2C%5Cvarphi%28x%29%29+& alt=&(T\varphi)(x)=\varphi(x)-(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0))^{-1}f(x,\varphi(x)) & eeimg=&1&&,&br&&/p&&p&这里&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cfrac%7B%5Cpartial+f%7D%7B%5Cpartial+y%7D%29%5E%7B-1%7D%28x_0%2Cy_0%29& alt=&(\frac{\partial f}{\partial y})^{-1}(x_0,y_0)& eeimg=&1&&的作用是“单位化”这个问题，它可以保证&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&在&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_0%2Cy_0%29& alt=&(x_0,y_0)& eeimg=&1&&的变化率为0。&/p&&p&具体的证明如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-34d6df534ab089e4f04eed66d70db0f9_b.jpg& data-rawwidth=&1500& data-rawheight=&1290& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-34d6df534ab089e4f04eed66d70db0f9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b30ddae817_b.jpg& data-rawwidth=&1014& data-rawheight=&1274& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1014& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b30ddae817_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2ba5a59e1a0b7ddcd9f446b7_b.jpg& data-rawwidth=&860& data-rawheight=&472& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&860& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2ba5a59e1a0b7ddcd9f446b7_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&&b&（3）常微分方程的存在性（一维）&/b&&/p&&p&
对于开头的常微分方程，我们考虑一维的情况，构造函数空间&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%5B-h%2Ch%5D& alt=&C[-h,h]& eeimg=&1&&是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-h%2Ch%5D& alt=&[-h,h]& eeimg=&1&&上的连续函数构成的Banach空间，&/p&&p&和定义它上面的一个算子&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29%28t%29%3D%5Cxi%2B%5Cint_0%5Et+f%28s%2Cx%28s%29%29ds& alt=&T(x)(t)=\xi+\int_0^t f(s,x(s))ds& eeimg=&1&&。&/p&&p&如果这个算子有一个不动点，则&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%3D%5Cxi%2B%5Cint_0%5Et+f%28s%2Cx%28s%29%29ds& alt=&x(t)=\xi+\int_0^t f(s,x(s))ds& eeimg=&1&&，&br&&/p&&p&而它满足原来的常微分方程。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc3f2dd12ddf9d929c61a0_b.jpg& data-rawwidth=&930& data-rawheight=&1036& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&930& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fc3f2dd12ddf9d929c61a0_r.jpg&&&/figure&&p&&b&（4）常微分系统和钟摆问题&/b&&/p&&p&现在我们回到开头的钟摆问题。这个时候，我们需要考虑常微分系统，也就是常微分方程组问题。&/p&&p&这里我们选取的空间需要调整为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=C%28%5B0%2CT%5D%3B%5Cmathbb%7BR%7D%5EN%29& alt=&C([0,T];\mathbb{R}^N)& eeimg=&1&&，范数调整为&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csup_%7Bt%5Cin%5B0%2CT%5D%7D%28e%5E%7B-%5Cgamma+t%7D%5C%7Cu%28t%29%5C%7C%29& alt=&\sup_{t\in[0,T]}(e^{-\gamma t}\|u(t)\|)& eeimg=&1&&. &br&&/p&&p&这个范数的选取具有某种技巧性，这个技巧可以让证明变得简单，因为上面那个证明有一个缺陷。那就是得要求&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&充分小，&b&下面这个证明没有这个缺陷&/b&。 &/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fe0dc03b12c9768fff669_b.jpg& data-rawwidth=&1042& data-rawheight=&804& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1042& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fe0dc03b12c9768fff669_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-96c9b90ab_b.jpg& data-rawwidth=&1018& data-rawheight=&1014& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1018& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-96c9b90ab_r.jpg&&&/figure&好了，我们应用这个结果，根据一开始的设定，我们不难发现&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7CF%28%28x_1%2Cy_1%29%29-F%28%28x_2%2Cy_2%29%29%5C%7C_1%3D%7Cy_1-y_2%7C%2B%5Cfrac%7Bg%7D%7Bl%7D%7C%5Csin%28x_1%29-%5Csin%28x_2%29%7C%7C%5Cleq+%5Cmax%5C%7B1%2C%5Cfrac%7Bg%7D%7Bl%7D%5C%7D%28%7Cx_1-y_1%7C%2B%7Cx_2-y_2%7C%29& alt=&\|F((x_1,y_1))-F((x_2,y_2))\|_1=|y_1-y_2|+\frac{g}{l}|\sin(x_1)-\sin(x_2)||\leq \max\{1,\frac{g}{l}\}(|x_1-y_1|+|x_2-y_2|)& eeimg=&1&&。&br&&/p&&p&所以这个非线性项满足Lipschitz连续性。 这里我们选取1-范数而不是通常的2-范数只是为了计算方便，所以一开始的钟摆问题的解是存在的。&/p&&br&&h2&下一篇：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&（I）Banach空间和不动点定理 3: 紧性 - 知乎专栏&/a&&/h2&
这一小节我们主要讲“压缩映像原理”或者“Banach不动点”定理，还有这个定理的应用。这个定理很“简单”，但是用处很大，可以证明很大一类的“存在性”问题：钟摆问题、常微分方程基本定理、隐函数定理、和牛…
&p&第一次回答一个跟自己的专业相关的题目。&/p&&p&首先，为什么要进行变换？因为很多时候，频率域比时域直观得多。&/p&&p&傅里叶级数和傅里叶变换，表明时域的信号可以分解为不同频率的正弦波的叠加。而如果我们把两个没有公共频率成分的信号相加，一同发送。在接收端接收到之后，用滤波器把两个信号分开，就可以还原出发送的两个信号。这就是通信过程的实质。&/p&&p&而在这个过程中，发送端发送出去的信号的最大频率和最小频率是否在接收端的带通滤波器的上下边界频率之内？如果超出了滤波器的频率范围，接收端接收到的信号就会丢失一部分信息，接收端接收到的消息就会有错误。&br&但这个问题从时域是很难看出来的，不过，从频率域就一目了然。&/p&&p&因此傅里叶变换得到了广泛应用，它的地位也非常重要。&/p&&p&然而，可以进行傅里叶变换的信号似乎不那么够用，傅里叶变换的收敛有一个狄利克雷条件，要求信号绝对可积/绝对可和。&br&为了使不满足这一条件的信号，也能读出它的“频率”，拉普拉斯变换和Z变换，对“频率”的含义做出了扩充，使得大多数有用信号都具有了对应的“频率”域表达式，方便了对各个器件的设计。&/p&&p&=====================================&/p&&p&接下来一个问题，傅氏变换、拉氏变换、Z变换之间到底有什么关系？&/p&&p&首先，傅里叶变换粗略分来包括连续时间傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）。&br&CTFT是将连续时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到拉普拉斯变换。&br&DTFT是将离散时间信号变换到频域，将频率的含义扩充之后，就得到Z变换。&/p&&blockquote&这里解释一下，很多教材对于频率的含义没有明确规定，由于CTFT和DTFT的形式分别为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5Cleft%28+j%5Comega+%5Cright%29& alt=&X\left( j\omega \right)& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5Cleft%28+e%5E%7Bj%5Comega%7D+%5Cright%29& alt=&X\left( e^{j\omega} \right)& eeimg=&1&& ，因此很多人误将频率理解为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=j%5Comega& alt=&j\omega& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&e^{j\omega}& eeimg=&1&& 。&br&但事实上我们在绘制频谱图的时候，取的自变量都是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& ，这样才能画出函数图像。否则CTFT和DTFT都将变成复平面上变化的函数，无法画出函数图像了。&br&而且我们日常用到频率这一概念时所说的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ，都是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%3D%5Cfrac%7B%5Comega%7D%7B2%5Cpi%7D& alt=&f=\frac{\omega}{2\pi}& eeimg=&1&& .其对应的角频率恰恰是实数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& ，而不是复数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=j%5Comega& alt=&j\omega& eeimg=&1&& 或 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&e^{j\omega}& eeimg=&1&& 。&br&因此，我们所说的频率指的应当是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 而不是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=j%5Comega& alt=&j\omega& eeimg=&1&& 或 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&e^{j\omega}& eeimg=&1&& 。&/blockquote&&p&1、连续时间傅里叶变换与拉普拉斯变换的关系&br&连续时间傅里叶变换的公式是：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+x%28t%29e%5E%7B-j%5Comega+t%7D+dt& alt=&\int_{-\infty}^{\infty } x(t)e^{-j\omega t} dt& eeimg=&1&&，这里的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+& alt=&\omega & eeimg=&1&&是实数。&br&傅里叶变换要求时域信号绝对可积，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+%5Cleft%7C+x%28t%29+%5Cright%7C+dt%3C%5Cinfty+& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t) \right| dt&\infty & eeimg=&1&&。&br&为了让不符合这个条件的信号，也能变换到频率域，我们给x(t)乘上一个指数函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7B-%5Csigma+t%7D+& alt=&e^{-\sigma t} & eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+& alt=&\sigma & eeimg=&1&&为任意实数。&br&可以发现，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D+& alt=&x(t)e^{-\sigma t} & eeimg=&1&&这个函数，就满足了绝对可积的条件，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+%5Cleft%7C+x%28t%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D+%5Cright%7C+dt%3C%5Cinfty+& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t)e^{-\sigma t} \right| dt&\infty & eeimg=&1&&。&/p&&blockquote&关于为什么 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cleft%28+t+%5Cright%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D& alt=&x\left( t \right)e^{-\sigma t}& eeimg=&1&& 满足绝对可积条件，这里提一下，感性地说，我们知道负指数函数随t的增大，趋于零的速度是所有函数中最快的，这也是为什么我们描述某个现象暴涨的时候会说指数上升。因此大多数一般的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Cleft%28+t+%5Cright%29& alt=&x\left( t \right)& eeimg=&1&& 乘上某个负指数函数之后，一定绝对可积。&br&用更加严谨的数学表达，对于大多数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29& alt=&x(t)& eeimg=&1&& ， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexists+%5Csigma%5Cin+%5CRe& alt=&\exists \sigma\in \Re& eeimg=&1&&，使得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bt+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7Be%5E%7B-%5Csigma+t%7D%7D& alt=&\lim_{t \rightarrow \infty}{e^{-\sigma t}}& eeimg=&1&& 是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bt+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7Bx%5Cleft%28+t+%5Cright%29%7D& alt=&\lim_{t \rightarrow \infty}{x\left( t \right)}& eeimg=&1&& 的高阶无穷小。即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bt+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7B%5Cfrac%7Be%5E%7B-%5Csigma+t%7D%7D%7Bx%5Cleft%28+t+%5Cright%29%7D%7D%3D0& alt=&\lim_{t \rightarrow \infty}{\frac{e^{-\sigma t}}{x\left( t \right)}}=0& eeimg=&1&& 。因此在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7B-%5Csigma+t%7D& alt=&e^{-\sigma t}& eeimg=&1&& 的压迫下， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D& alt=&x(t)e^{-\sigma t}& eeimg=&1&& 就满足了绝对可积的条件。后文DTFT中的绝对可和条件与此类似，后文不再赘述。&/blockquote&&p&于是这个新函数的傅立叶变换就是：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+x%28t%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D+e%5E%7B-j%5Comega+t%7D+dt& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} dt& eeimg=&1&&，&br&化简得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+x%28t%29e%5E%7B-%28%5Csigma+%2Bj%5Comega+%29t%7D+& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-(\sigma +j\omega )t} & eeimg=&1&&。&br&显然&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma+%2Bj%5Comega+& alt=&\sigma +j\omega & eeimg=&1&&是一个复数，我们把这个复数定义为一个新的变量——复频率，记为s。&br&于是便得到了拉普拉斯变换的公式：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D+x%28t%29e%5E%7B-st%7D+dt& alt=&\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-st} dt& eeimg=&1&&&/p&&p&拉普拉斯变换解决了不满足绝对可积条件的连续信号，变换到频率域的问题，同时也对“频率”的定义进行了扩充。&br&&b&所以拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是：&/b&&br&拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数，因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。&br&&b&当s为纯虚数时，x(t)的拉普拉斯变换，即为x(t)的傅里叶变换。&/b&&/p&&p&从图像的角度来说，拉普拉斯变换得到的频谱是一个复平面上的函数，（为方便作图，这里只给出了拉氏变换的幅度谱和傅氏变换的幅度谱的关系。相位谱具有类似的关系。）&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/8fe13adfbebd22a9ef534acb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&561& data-rawheight=&420& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&561& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/8fe13adfbebd22a9ef534acb_r.jpg&&&/figure&&p&而傅里叶变换得到的频谱，则是从虚轴上切一刀，得到的函数的剖面。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/bec3f03efd9b1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&561& data-rawheight=&420& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&561& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/bec3f03efd9b1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/ad0b8b8fea07d0204eed916e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&561& data-rawheight=&420& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&561& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/ad0b8b8fea07d0204eed916e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&2、离散时间傅里叶变换（DTFT）与Z变换的关系&br&DTFT的公式是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7Bx%5Bn%5De%5E%7B-j%5Comega+n%7D+%7D+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]e^{-j\omega n} } & eeimg=&1&&，这里的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+& alt=&\omega & eeimg=&1&&是连续变化的实数。&br&同样的，DTFT需要满足绝对可和的条件，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7B%5Cleft%7C+x%5Bn%5D+%5Cright%7C+%7D+%3C%5Cinfty+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{\left| x[n] \right| } &\infty & eeimg=&1&&。&br&为了让不满足绝对可和条件的函数x[n]，也能变换到频率域，我们乘一个指数函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5E%7B-n%7D+& alt=&a^{-n} & eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&为任意实数。&br&则函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Bn%5Da%5E%7B-n%7D+& alt=&x[n]a^{-n} & eeimg=&1&&的DTFT为：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7Bx%5Bn%5Da%5E%7B-n%7De%5E%7B-j%5Comega+n%7D+%7D+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]a^{-n}e^{-j\omega n} } & eeimg=&1&&，&br&化简得：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7Bx%5Bn%5D%28a%5Ccdot+e%5E%7Bj%5Comega+%7D%29%5E%7B-n%7D+%7D+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n](a\cdot e^{j\omega })^{-n} } & eeimg=&1&&&br&显然，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5Ccdot+e%5E%7Bj%5Comega+%7D+& alt=&a\cdot e^{j\omega } & eeimg=&1&&是一个极坐标形式的复数，我们把这个复数定义为离散信号的复频率，记为z。&br&则得到Z变换的公式：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7Bx%5Bn%5Dz%5E%7B-n%7D+%7D+& alt=&\sum_{n=-\infty }^{\infty }{x[n]z^{-n} } & eeimg=&1&&。&/p&&blockquote&关于这里为什么对x[n]乘以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5E%7B-n%7D& alt=&a^{-n}& eeimg=&1&& 而不是像拉氏变换中乘以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7B-%5Csigma+n%7D& alt=&e^{-\sigma n}& eeimg=&1&& ，主要是由离散序列的DTFT的周期性决定的。如果对离散序列进行拉氏变换，将 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 映射到虚轴上，则得到的变换函数是在虚轴方向上周期变化的函数，这样就没有充分利用DTFT的周期性。&br&而Z变换令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=z%3Da%5Ccdot+e%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&z=a\cdot e^{j\omega}& eeimg=&1&& ，则当a=1，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=z%3De%5E%7Bj%5Comega%7D& alt=&z=e^{j\omega}& eeimg=&1&& 时，随着 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&& 从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cinfty& alt=&-\infty& eeimg=&1&& 向 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%2B%5Cinfty& alt=&+\infty& eeimg=&1&& 变化，z在复平面中的单位圆上以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&& 为周期变化，如此恰能充分利用DTFT的周期性进一步简化我们的计算。&/blockquote&&p&Z变换解决了不满足绝对可和条件的离散信号，变换到频率域的问题，同时也同样对“频率”的定义进行了扩充。&br&&b&所以Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）的关系是：&/b&&br&Z变换将频率从实数推广为复数，因而DTFT变成了Z变换的一个特例。&br&&b&当z的模为1时，x[n]的Z变换即为x[n]的DTFT。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&从图像的角度来说，Z变换得到的频谱，是一个复平面上的函数，而DTFT得到的频谱，则是沿着单位圆切一刀，得到的函数的剖面，从负实轴切断展开的图像。（为方便作图，这里只给出了Z变换的幅度谱和傅氏变换的幅度谱的关系。相位谱具有类似的关系。）&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-77fac9ebae0325aaefaffbbc8b949172_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-77fac9ebae0325aaefaffbbc8b949172_r.jpg&&&/figure&&p&感谢评论区 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/430463befe88a88fae38e793e9e44241& data-hash=&430463befe88a88fae38e793e9e44241& data-hovercard=&p$b$430463befe88a88fae38e793e9e44241&&@蔡世勋&/a&提供的图片。&/p&
第一次回答一个跟自己的专业相关的题目。首先，为什么要进行变换？因为很多时候，频率域比时域直观得多。傅里叶级数和傅里叶变换，表明时域的信号可以分解为不同频率的正弦波的叠加。而如果我们把两个没有公共频率成分的信号相加，一同发送。在接收端接收到…
这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。&br&&br&这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。&br&&br&三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。&br&另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。&br&&br&具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：&br&&br&傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。&br&但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）&br&而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）&br&&br&从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）
这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。 这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebe75abafc29_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&518& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ebe75abafc29_r.jpg&&&/figure&&p&今天来讲如何画圆。&/p&&p&完了，突然想哭，老师上课教我们画圆我却各种听不懂，我这智商恐怕是没救了吧！&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c8f76e2e46bd769cecf555d7cf461dd4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&240& class=&content_image& width=&240&&&/figure&&p&我们这一课就来讲讲如何画盖尔圆。&/p&&p&上一课中，用矩阵的元素对矩阵A的特征值做了大致估计并给出了一些重要不等式，本课将用矩阵的元素来确定A的特征值分布区域，即讨论特征值的一些重要包含性质。&/p&&p&&br&&/p&&p&下面，具体介绍一下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-693a143c7f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&903& data-rawheight=&337& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&903& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-693a143c7f_r.jpg&&&/figure&&p&对于行盖尔圆而言，我们可以称之为去心绝对行和（去掉对角线 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bii%7D& alt=&a_{ii}& eeimg=&1&& 的值），此时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bii%7D& alt=&a_{ii}& eeimg=&1&& 就是圆心。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-38a56f5fca9d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&901& data-rawheight=&202& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&901& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-38a56f5fca9d_r.jpg&&&/figure&&p&该定理说的是矩阵A的任意特征值都在行盖尔圆之中。&/p&&p&下面，我们给出具体证明：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cb28dd9fd2ecee108f0e729dfd57002b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&931& data-rawheight=&224& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&931& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cb28dd9fd2ecee108f0e729dfd57002b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-dd568605daf141b2d1350c32fefe3d6a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&872& data-rawheight=&161& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&872& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-dd568605daf141b2d1350c32fefe3d6a_r.jpg&&&/figure&&p&这里画横线的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=x_k& alt=&x_k& eeimg=&1&& 指的是最大的第k行对应的特征值。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-057bb2fa0d486c36b10a709_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&935& data-rawheight=&211& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&935& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-057bb2fa0d486c36b10a709_r.jpg&&&/figure&&p&这样，就是以对角线元素为圆心，特征值 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&& 为半径画盖尔圆。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们举一个例子：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4ed0debf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&807& data-rawheight=&522& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&807& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4ed0debf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-261b6d66d352da28cae7d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&919& data-rawheight=&511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&919& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-261b6d66d352da28cae7d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&类似的，我们有推论1：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ddef7a1dd1d49bb13ed71dd0b0455fed_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&697& data-rawheight=&179& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&697& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ddef7a1dd1d49bb13ed71dd0b0455fed_r.jpg&&&/figure&&p&即特征值既在行盖尔圆上，又在列盖尔圆上。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们先来解释一下什么是连通：&b&只要有交点，就算是连通的&/b&。在例1中， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_1%E5%92%8CS_2& alt=&S_1和S_2& eeimg=&1&& 重叠在一起，他们的并集是一个连通域。孤立的一个盖尔圆也是一个连通部分。图中 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_1%E5%92%8CS_2& alt=&S_1和S_2& eeimg=&1&& 的并集， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_3& alt=&S_3& eeimg=&1&& ， &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_4& alt=&S_4& eeimg=&1&& 各是一个连通部分。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bdf866da23ba8b5cbee5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&small& data-rawwidth=&730& data-rawheight=&448& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&730& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bdf866da23ba8b5cbee5_r.jpg&&&/figure&&p&这样，也算是连通。（相切也算是连通）&/p&&p&&br&&/p&&p&定理1只说明了矩阵A的特征值均在其全部盖尔圆的并集中，并没有哪个连通部分有几个特征值，因此，我们还需要下面的定理：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-7a10ed8cfb9fc4a28cb336_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&932& data-rawheight=&668& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&932& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-7a10ed8cfb9fc4a28cb336_r.jpg&&&/figure&&p&下面，我们给出具体证明：&br&令 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_%5Cvarepsilon%3DD%2B%5Cvarepsilon+B& alt=&A_\varepsilon=D+\varepsilon B& eeimg=&1&&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%5Cin%5B0%2C1%5D& alt=&\varepsilon\in[0,1]& eeimg=&1&&&/p&&p&这里的 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon& alt=&\varepsilon& eeimg=&1&& 是变化的，可以看成是函数，这样的矩阵可以称之为函数矩阵。&/p&&p&当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3D0& alt=&\varepsilon=0& eeimg=&1&& 时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_0%3DD& alt=&A_0=D& eeimg=&1&& ，当 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarepsilon%3D1& alt=&\varepsilon=1& eeimg=&1&& 时 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_1%3DA& alt=&A_1=A& eeimg=&1&& ，所以可以看成从 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=A_0%E5%88%B0A_1& alt=&A_0到A_1& eeimg=&1&& 的一种变化关系，于是我们有：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-8a07f4e946a8e868b4a0c8d928d077ff_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&543& data-rawheight=&569& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&543& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-8a07f4e946a8e868b4a0c8d928d077ff_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-018adbc4b965d22e90d7f09a88be5415_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&293& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-018adbc4b965d22e90d7f09a88be5415_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e4f48907eca4c69f6ec31c8b3ad4f6a1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&924& data-rawheight=&513& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&924& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e4f48907eca4c69f6ec31c8b3ad4f6a1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c5ab9e89c65a60a580e92e79bea365ce_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&951& data-rawheight=&638& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&951& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c5ab9e89c65a60a580e92e79bea365ce_r.jpg&&&/figure&&p&如图所示，我们假设有一个特征值 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_2%28%5Cvarepsilon%29& alt=&\lambda_2(\varepsilon)& eeimg=&1&& 不属于任何圆盘。然而，由定理1可知，特征值只能在圆盘之中，发生了矛盾。故假设不成立。特征值只能在圆盘之中。同样的道理，圆盘外面的特征值要是想进去也是不可能的，会与定理1矛盾。&/p&&p&也许，这就是钱钟书在《围城》中所描述的人生吧！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c97b427c2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&240& data-rawheight=&240& class=&content_image& width=&240&&&/figure&&p&如果盖尔圆不相交的话，那么盖尔圆中有其对应的特征值。如果相交的话就不好说了，我们下面举一个例子：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-65b56a8e6a16d9f5da323b768cc5941e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&970& data-rawheight=&198& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&970& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-65b56a8e6a16d9f5da323b768cc5941e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-355cbeaa77e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&948& data-rawheight=&713& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&948& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-355cbeaa77e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们继续介绍推论：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-6d4ce496da1b6f3549b3ffe1ecc5cd24_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&911& data-rawheight=&159& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&911& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6d4ce496da1b6f3549b3ffe1ecc5cd24_r.jpg&&&/figure&&p&这个定理之所以成立是因为A有n个互不相同的特征值（单根），所以一定可以相似对角化。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a4b17a89a2452ebb197d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&895& data-rawheight=&147& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&895& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a4b17a89a2452ebb197d_r.jpg&&&/figure&&p&如果A不是实数而是复数的话，圆盘里会有两个特征值，矛盾。所以A的特征值全为实数。&/p&&p&&br&&/p&&p&有如下定理：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f9fbd2e62c50f29f649a713e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&806& data-rawheight=&226& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&806& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f9fbd2e62c50f29f649a713e_r.jpg&&&/figure&&p&特征值既位于行盖尔圆上，又位于列盖尔圆上。因此可以说是位于他们的交上。&/p&&p&&br&&/p&&p&下面介绍一个特征值估计的例子：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c7a506f61edb5e84ba6fb7c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&868& data-rawheight=&604& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&868& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-c7a506f61edb5e84ba6fb7c_r.jpg&&&/figure&&p&我们对它可以进行一些改进：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bd748ad325a3c489c9b50a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&836& data-rawheight=&581& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&836& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bd748ad325a3c489c9b50a_r.jpg&&&/figure&&p&这个图片贴的有点没头没尾，是因为有些推论略去不讲了。下面的改进方法要用到，所以这里先贴一下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e9bcb6beaead92bc1d13_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1337& data-rawheight=&651& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1337& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e9bcb6beaead92bc1d13_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-3fb56dbf929efac0d847e3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1290& data-rawheight=&410& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1290& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-3fb56dbf929efac0d847e3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-625bd3a2c6cc74a6fb7b71_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&873& data-rawheight=&379& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&873& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-625bd3a2c6cc74a6fb7b71_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&下面介绍定理4，不过之前先介绍一下几个概念：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5ccde062af4debf8c91_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&922& data-rawheight=&298& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&922& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e5ccde062af4debf8c91_r.jpg&&&figcaption&A是复数域内的n阶方阵&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3c5bca0c73a8dd313bf2c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&809& data-rawheight=&336& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&809& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3c5bca0c73a8dd313bf2c_r.jpg&&&/figure&&p&我之前有具体写过对角占优矩阵，但是忘了具体在哪写了。等我回头找到之后再在这里补上链接吧。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ddbc4318_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&910& data-rawheight=&316& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&910& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ddbc4318_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-188acdc7d5b28_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&884& data-rawheight=&168& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&884& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-188acdc7d5b28_r.jpg&&&/figure&&p&下面我们说一说这个证明：&/p&&p&（1）：若A是严格对角占优矩阵，那么A的特征值不为0，矩阵A可逆。（&b&矩阵可逆说明行列式的值不为0,又行列式的值等于矩阵所有特征值之积,所以矩阵可逆,其特征值一定不为零&/b&）&/p&&p&（2）严格对角占优，半径不能过圆心，只能在右半平面。故 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=S_i& alt=&S_i& eeimg=&1&& （实数）&0&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e251a318a26ce39a6ca24bfbbe258f07_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&416& data-rawheight=&279& class=&content_image& width=&416&&&/figure&&p&（3）Hermite矩阵的所有特征值都是实数，由（2）可知该结论成立。&/p&
今天来讲如何画圆。完了，突然想哭，老师上课教我们画圆我却各种听不懂，我这智商恐怕是没救了吧！我们这一课就来讲讲如何画盖尔圆。上一课中，用矩阵的元素对矩阵A的特征值做了大致估计并给出了一些重要不等式，本课将用矩阵的元素来确定A的特征值分布区域…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3718e7cda0d3566622aedc_b.jpg& data-rawwidth=&404& data-rawheight=&423& class=&content_image& width=&404&&&/figure&&p& 先恐吓一下：&b&将来所有不理解分形的人，都会被看作科学盲。&/b&&/p&&p&要谈分形，就要先从世界是光滑的还是粗糙的谈起。在人们的常识认知里，自然界自然是粗糙的，石头、树木、云、地面、人体轮廓、闪电... 凡是非人造的，都是表面不规则或粗糙的，甚至要分辨一个物体是不是经过了智能加工，只要看它的表面是光滑的还是粗糙的就可以了。从人类的知识发展历史看，一开始欧式几何描述的是光滑的理想形状：球形、圆形、立方体、正方形，因为这些外形非常便于分析，但是这种模型无法很好的匹配现实世界。所以后来牛顿、莱布尼茨发明了微积分，试图进一步贴近自然界的各种外形。从微积分的观点看，世界是可以求导的，即世界是以光滑的曲线为主体的，若有不光滑的曲线，切割成若干光滑可求导的曲线即可，所谓一颗炸弹不能解决的问题就用两颗炸弹解决。基于这种思路，拉普拉斯说：&b&如果知道宇宙中每个粒子的位置，并且知道其变化速率，那么我们就能够准确的预知宇宙的未来。&/b&这就是著名的还原论。&/p&&p&但是事实上基于微积分依然很难描述现实世界里的形状和物体，1861年，一个叫做魏尔施特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass）的德国数学家发现了一个函数：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1cecdcef8dec_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&178& class=&content_image& width=&277&&&/figure& 这个函数的特点是：处处连续却处处不可导，换句话说，这个曲线上全是拐点!&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c7a657f3c1acfcaf6a4b0_b.jpg& data-rawwidth=&662& data-rawheight=&409& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&662& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c7a657f3c1acfcaf6a4b0_r.jpg&&&/figure&&p& 这下就尴尬了，既然世界是光滑的，大体上是不应该出现这种函数的，这跟无理数出现时毕达哥拉斯的尴尬程度是类似的。于是乎数学界开始试图解决这个问题，最终出现了分形几何学（Fractal Geometry），fractal的意思就是碎片，即这个几何学就是为了描述我们在自然界中观察到的不规则形状，反映了无限的细节、无限的长度和不光滑的曲线特性，或者说是不能求导的特性。&/p&&p&分形学的推导过程和公式很复杂，有兴趣的可以自己找资料看，这里只提几个有趣的地方。首先是一个作图游戏，名字叫做混沌游戏&/p&&p&1）.在正方形内任意选取三个点组成三角形 （1，2，3），再在任意位置选取一个点（4）&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5cbfaefcdb7_b.jpg& data-rawwidth=&310& data-rawheight=&296& class=&content_image& width=&310&&&/figure&&/p&&p& 2）.掷骰子，掷出1和2，等于选择了点1，掷出3-4，等于选择了点2，掷出5-6，等于选择了点3，假设选择的是点2，则在点4和点2之间的中点画一个点5&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c70db47f1_b.jpg& data-rawwidth=&318& data-rawheight=&296& class=&content_image& width=&318&&&/figure&3）.同第二步，再次掷骰子，假设选中的是点3，则在点5和点3之间的中点画一个点6&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7fc8c61c534f149e320dc0d_b.jpg& data-rawwidth=&324& data-rawheight=&289& class=&content_image& width=&324&&&/figure&&p& 4）.依此步骤不断获得新的中点并画出，最后得到的图形如下所示：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-61faef8eadc_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&244& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-61faef8eadc_r.jpg&&&/figure&这个图形的名称叫做：谢尔博斯基三角。图形本身似乎没什么奇怪的，奇怪的是不管起始点4的位置怎么选择，最终出来的图形都是这个三角形。&/p&&p& 这个游戏的结果看起来没什么特别，但是换一下起始点事情就变得有趣了，最终会出现如下图形：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a03ece232242bdead44de5de7ab578e6_b.jpg& data-rawwidth=&483& data-rawheight=&474& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&483& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-a03ece232242bdead44de5de7ab578e6_r.jpg&&&/figure&这和蕨类植物的叶子非常类似，具体的算法可以用“分形 蕨类 c++”做关键字自行搜索&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5ad6f37de9ffcd24a28f56_b.jpg& data-rawwidth=&377& data-rawheight=&294& class=&content_image& width=&377&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ec70bcf08d9eb238c56e15_b.jpg& data-rawwidth=&476& data-rawheight=&382& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&476& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-ec70bcf08d9eb238c56e15_r.jpg&&&/figure&这是fltk示例程序fractals生成的岛和树。&/p&&p&结论：&br&&b&1. 选好了起始点（初始的点1、2、3），结果就已经确定了&br&2.从长远看，你最初的决定（初始的点4）对于最终的结果没有明显的影响&br& 3.所有实际发生的事情都指向了所谓的吸引子(初始的1、2、3点）&/b&&/p&&p&具有吸引子(attractor，也叫奇异吸引子）特征的几何就是分形几何。&/p&&p&说到这里，不能不延伸到混沌学的领域了，话说统计学上有个很有名的Logistic差分方程：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-40a1c1dded361282dbc89333bbefce06_b.jpg& data-rawwidth=&257& data-rawheight=&59& class=&content_image& width=&257&&&/figure&这个公式用简单的说法来描述就是代表了某个事物的数量变化关系，如果某一年中物种种群的数量下降到某一水平之下，那么第二年其数量将会增长，如果物种数量增长过高，那么对于生存空间和资源的竞争将使得物种种群数量下降，其中R是可调节的参数，但问题也就出在这里，假设这个公式代表了每年鱼群的数量，则&/p&&p& 当R=2.6 &figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-98adbf64b4b0a43e1e14fd_b.jpg& data-rawwidth=&676& data-rawheight=&324& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&676& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-98adbf64b4b0a43e1e14fd_r.jpg&&&/figure&&/p&&p& 当R=3.1&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-076c87de8138b75cde6af_b.jpg& data-rawwidth=&664& data-rawheight=&308& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&664& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-076c87de8138b75cde6af_r.jpg&&&/figure&&br&当R=3.5&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cebfb97b1593cced1f0750a_b.jpg& data-rawwidth=&438& data-rawheight=&457& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&438& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cebfb97b1593cced1f0750a_r.jpg&&&/figure&如果X轴代表参数R，Y轴代表鱼群数量，则趋势为下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3b11edc3e7df_b.jpg& data-rawwid}
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