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7[1].计量经济学第七讲-时间序列分析
第七讲时间序列分析Time Series AnalysisTuesday, 16 Dec. 2008 CUFE引 言大多数经济数据特别是宏观经济数据为时间序列数据。 所以对时间序列进行计量经济学分析在计量经济学中占有十 分重要地位。 时间序列变量与横截面变量在性质上有很大不同。比如， 对于两个没有任何关系的时间序列变量，如果用传统的估计 方法将其中之一对另一变量进行回归，往往都能得到从统计 数据来看较好的拟合结果，这就是所谓的“谬误回归” 数据来看较好的拟合结果，这就是所谓的“谬误回归”或 “伪回归”（spurious regression）问题。所以通过对时间序 伪回归” regression）问题。所以通过对时间序 列的样本值的分析来估计产生这个时间序列样本的随机过程 的性质，对回归分析是十分重要的。 本章着重介绍时间序列分析中用到的一些基本概念，以 便使学生对这一领域的研究有一个初步的了解。为进一步的 学习和研究打下基础。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE时间序列分析Time Series Analysis第一节 时间序列分析的基本概念 第二节 平稳性检验 第三节 协整Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE第一节、时间序列分析的基本概念 第一节、经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的变量之 间存在着长期均衡关系 间存在着长期均衡关系。按照这一假定，在估计这些长期 长期均衡关系。按照这一假定，在估计这些长期 关系时，计量经济分析假定所涉及的变量的均值和方差是 常数，不随时间而变。 然而经验研究表明，在大多数情况下，时间序列变量 并不满足这一假设。因此，以这种假设为基础的估计方法 所给出的经典t检验和F 所给出的经典t检验和F检验，会给出产生误导作用的结果， 也就是所谓的“伪回归”问题（‘spurious’ 也就是所谓的“伪回归”问题（‘spurious’ regression problem）。 problem）。 为解决这类问题，研究人员提出了不少对传统估计方 法的改进建议，其中最重要的两项是：对变量的非平稳性 法的改进建议，其中最重要的两项是：对变量的非平稳性 non-stationarity)的系统性检验和协整（cointegration）。 (non-stationarity)的系统性检验和协整（cointegration）。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE协整（cointegration） 协整（cointegration）协整分析被认为是上世纪八十年代中期以来计 量经济学领域最具革命性的进展。 量经济学领域最具革命性的进展。 简单地说，协整分析涉及的是一组变量，它们各 自都是不平稳的（含义是随时间的推移而上行或下 行），但它们一起漂移。这种变量的共同漂移使得这 些变量之间存在长期的线性关系，因而使人们能够研 究经济变量间的长期均衡关系。如果这些长时间内的 线性关系不成立，则对应的变量被称为是“非协整的” 线性关系不成立，则对应的变量被称为是“非协整的” （noncointegrated）。 noncointegrated）。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE误差修正模型（ECM） 误差修正模型（ECM）一般说来，协整分析是用于非平稳变量组成的 关系式中长期均衡参数估计的技术。它是用于动态 模型（dynamic models）的设定、估计和检验的一 模型（dynamic models）的设定、估计和检验的一 种新技术。因此，它可用来检验基础经济理论是否 正确。 此外，协整分析亦可用于短期或非均衡参数的 估计，这是因为短期参数的估计可以通过协整方法 使用长期参数估计值，采用的模型是误差修正模型 使用长期参数估计值，采用的模型是误差修正模型 （ECM：error correction model）。 ECM： model）。 下面先介绍所涉及的一些术语和定义。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE第一节、时间序列分析的基本概念 第一节、一．平稳性（stationarity） 平稳性（stationarity）任何时间序列数据都可看成由一个随机过程产生的 结果或者说是一个随机过程的一个实现 结果或者说是一个随机过程的一个实现：设X1, X2, …, 实现：设X Xn为一随机时间序列，其中每一项都是随机的，则有关 这一随机时间序列的观测值所组成的序列就是这一随机 时间序列的一个实现或者说一个样本 时间序列的一个实现或者说一个样本。 样本。 我们对时间序列的研究往往是根据随机时间序列的 一个样本 一个样本来推断时间序列总体的性质进而进行预测。在 样本来推断时间序列总体 总体的性质进而进行预测。 前面的回归分析中，我们曾假定解释变量是非随机的， 但实际上大多数经济数据特别是宏观经济数据，由于其 为时间序列数据的时候居多，无论是被解释变量还是解 释变量的观测数据往往可看作是随机时间序列 释变量的观测数据往往可看作是随机时间序列的一个实 随机时间序列的一个实 现，从而使解释变量具有随机性。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE第一节、时间序列分析的基本概念 第一节、一．平稳性（stationarity） 平稳性（stationarity） 当解释变量与回归模型的随机扰动项相关 时，就出现了内生性 时，就出现了内生性问题；当解释变量与回归 内生性问题；当解释变量与回归 模型中的随机扰动项无关时，解释变量即使是 随机的，经典回归的有关结论仍然适用，但前 提条件是模型设定正确。 然而，模型设定是否正确在相当程度上取 决于时间序列的稳定特征。时间序列的平稳性 决于时间序列的稳定特征。时间序列的平稳性 分析不仅对时间序列本身十分重要，而且对包 分析不仅对时间序列本身十分重要，而且对包 括时间序列的经典回归分析十分重要。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE第一节、时间序列分析的基本概念 第一节、平稳性（stationarity） 一．平稳性（stationarity）1. 严格平稳性（strict-sense stationarity） 严格平稳性（strictstationarity） 如果一个时间序列X 如果一个时间序列Xt的联合概率分 布不随时间而变，即对于任何n 布不随时间而变，即对于任何n和k，X1， X2, …, Xn的联合概率分布与X1+k， 的联合概率分布与X X2+k, …, Xn+k的联合分布相同，则称该时 间序列是严格平稳的。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE第一节、时间序列分析的基本概念 第一节、平稳性（stationarity） 一．平稳性（stationarity）2. 弱平稳性（wide-sense stationarity） 弱平稳性（widestationarity） 由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我 们用随机变量X 们用随机变量Xt（t=1, 2, …）的均值、方差和协方 …）的均值、方差和协方 差代替之。如果一个时间序列满足下列条件： (1) 均值 E(Xt)=?, )=? t=1, 2, … (2) 方差 Var(Xt)=E(Xt-?)2=σ2, t=1, 2, … (3) 协方差 Cov(Xt, Xt+k)=E[(Xt-?)(Xt+k-?)]=rk, t=1, 2, …; k≠0 则该时间序列是弱平稳的。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE第一节、时间序列分析的基本概念 第一节、3. 平稳性和非平稳性 通常情况下，我们所说的平稳性指的就是弱平稳 性。一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在任 何时间保持恒定，并且两个时期t t+k之间的协方差 何时间保持恒定，并且两个时期t和t+k之间的协方差 （或自协方差）仅依赖于两时期之间的距离（间隔或 滞后）k，而与计算这些协方差的实际时期t 滞后）k，而与计算这些协方差的实际时期t无关，则 该时间序列是平稳 该时间序列是平稳(stationary)的。 平稳(stationary)的。 只要这三个条件不全满足，该时间序列就是非平 只要这三个条件不全满足，该时间序列就是非平 (nonstationary)的。事实上，大多数经济时间序列 稳(nonstationary)的。事实上，大多数经济时间序列 是非平稳的。例如，在图7.1中，某国的私人消费(PC) 是非平稳的。例如，在图7.1中，某国的私人消费(PC) 和个人可支配收入（PDI）这两个时间序列都有一种 和个人可支配收入（PDI）这两个时间序列都有一种 向上的趋势，几乎可以断定它们不满足平稳性条件 （7.1），因而是非平稳的。 7.1），因而是非平稳的。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE000 000 000 70 85
CP PDI图7.1 某国私人消费和个人可支配收入，年度数据 单位：百万美元（1970年不变价）Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE二．几种有用的时间序列模型1. 白噪声（white noise） 白噪声（ noise） 白噪声通常用ε 白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机 过程。满足 过程。满足 (1) E(εt)=0, ?t成立； E(ε )=0 (2) Var(εt)=σ2, ?t成立； Var(ε )=σ (3) Cov(εt, εt+k)=0, ?t和k≠0； Cov(ε )=0, k≠0； 白噪声可用符号表示为：ε 白噪声可用符号表示为：εt～IID(0, σ2) (注：这里IID为Independently Identically 注：这里IID为 Distributed（独立同分布)的缩写) Distributed（独立同分布)的缩写)。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE二．几种有用的时间序列模型2. 随机漫步（random walk） 随机漫步（ walk） 随机漫步是一个简单的随机过程，随机时间序 列Xt由下式生成： 由下式生成： Xt = Xt-1 + εt 式中，ε 式中，εt为白噪声。 Xt的均值： 的均值： E(Xt) = E(Xt-1+ εt) = E(Xt-1)+E(εt) = E(Xt-1) E(X )+E(ε 表明X 表明Xt的均值不随时间而变。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE（7.5） 7.5）二．几种有用的时间序列模型2. 随机漫步（random walk） 随机漫步（ walk） Xt的方差： 的方差： 对式（7.5）进行一系列置换有： 对式（7.5）进行一系列置换有： Xt = Xt-1 + εt = Xt-2 + εt-1 + εt = … = X0 + ∑εi 式中，X 式中，X0为Xt的初始值，可假定为任何常数或 取初值为零。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE二．几种有用的时间序列模型2. 随机漫步（random walk） 随机漫步（ walk） t ? ? t 则 Var ( X t ) = Var ? X 0 + ∑ ε i ? = ∑ Var (ε i ) = tσ 2 i =1 ? ? i =1 表明X 表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条件 不满足。因此，随机漫步时间序列是非平稳时间序 列。可是，若将式（7.5）写成一阶差分形式： 列。可是，若将式（7.5）写成一阶差分形式： △Xt = εt 这个一阶差分新变量△ 这个一阶差分新变量△Xt 是平稳的，因为它就等于 白噪声ε 白噪声εt，而后者是平稳时间序列。 随机漫步过程式（7.5）也是最简单的非平稳过 随机漫步过程式（7.5）也是最简单的非平稳过 程。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE二．几种有用的时间序列模型3. 带漂移项的随机漫步（ drift） 带漂移项的随机漫步（random walk with drift） Xt = ? + Xt-1 + εt （7.7） 7.7） 式中，?为一非零常数；ε 式中，?为一非零常数；εt为白噪声。 ?之所以被称为“漂移项”，是因为式（7.7）的一 之所以被称为“漂移项”，是因为式（7.7）的一 阶差分 △Xt = Xt C Xt-1 = ? + εt 这表明时间序列X 向上或向下漂移，取决于? 这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于?的符号 是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步时间序列也 是非平稳时间序列。CUFETuesday, 16 Dec. 20084、自回归过程 随机漫步过程（ 随机漫步过程（7.5）（ Xt = Xt－1+εt）是 最简单的非平稳过程。 最简单的非平稳过程。它是 Xt=φXt－1+εt （ 7 .8 ）的 特 例 ， （ 7 .8 ） 称 为 一 阶 自 回 归 过 程 (AR(1))，该过程在－1 (AR(1))，该过程在－1＜φ＜1时是平稳的，其 时是平稳的， 他情况下，则为非平稳过程。 他情况下，则为非平稳过程。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE二．几种有用的时间序列模型4. 自回归过程（AR(q)） 自回归过程（AR(q)） 若随机时间序列X 若随机时间序列Xt由下式生成 Xt = c + ?Xt-1 + εt （7.8） 7.8） 式中，c 式中，c，?为常数，εt为白噪声过程， 为常数，ε 则式(7.8)称为一阶自回归过程，记为 则式(7.8)称为一阶自回归过程，记为 AR(1)。 AR(1)。 当O?O&1时，AR(1)过程为平稳过程。 &1时，AR(1)过程为平稳过程。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE二．几种有用的时间序列模型4. 自回归过程（AR(q)） 自回归过程（AR(q)） 事实上， （1）当O?O&1时，AR(1)过程的均值为一常数： &1时，AR(1)过程的均值 均值为一常数： ∵ X t = c + ?X t ?1 + ε t= c + ? (c + ?X t ? 2 + ε t ?1 ) + ε t= c + c? + ? 2 X t ? 2 + ε t + ?ε t ?1 M = c + c? + c? 2 + L + ε t + ?ε t ?1 + ? 2 ε t ? 2 + L = c + ε t + ?ε t ?1 + ? 2 ε t ?2 + L 1??c 1??CUFE() ()()E 所以， ( X t ) =Tuesday, 16 Dec. 2008二．几种有用的时间序列模型4. 自回归过程（AR(q)） 自回归过程（AR(q)） （2）当O?O&1时，AR(1)过程的方差为一常数： &1时，AR(1)过程的方差 方差为一常数：Var ( X t ) = E ( X t ? ? )2= E ε t + ?ε t ?1 + ? 2 ε t ?2 + L = 1+ ? 2 + ? 4 +Lσ 2(())2σ2 = 1?? 2Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE二．几种有用的时间序列模型4. 自回归过程（AR(q)） 自回归过程（AR(q)） （3）当O?O&1时，AR(1)过程的滞后的自协方差为 &1时，AR(1)过程的滞后的自协方差 自协方差为 一个与滞后k 一个与滞后k有关而与时间无关的常数： Cov ( X t , X t + k ) = E ( X t ? ? )( X t + k ? ? )= ? k + ? k +2 + ? k +4 + σ 2= E ε t + ?ε t ?1 + ? 2ε t ? 2 + L ε t + k + ?ε t + k ?1 + ? 2 ε t + k ? 2 + L(())()?k = σ2 1?? 2Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE二．几种有用的时间序列模型4. 自回归过程（AR(q)） 自回归过程（AR(q)） 更一般地，式（7.8）又是： 更一般地，式（7.8）又是：X t = c + ?1 X t ?1 + ? 2 X t ? 2 + L + ? q X t ? q + ε t的特例。式（7.9）称为q阶自回归过程，记为AR(q)。 的特例。式（7.9）称为q阶自回归过程，记为AR(q)。 运用滞后算子L AR(q)可写成 运用滞后算子L，AR(q)可写成(1 ? ? L ? ? L1 22? L ? ? q Lq X t = c + ε t)可以证明（略），如果特征方程1 ? ?1 L ? ? 2 L2 ? L ? ? q Lq = 0的所有根的绝对值均大于1，则此过程式（7.9）是 的所有根的绝对值均大于1，则此过程式（7.9）是 平稳的，否则为非平稳过程。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE三．单整的时间序列（integrated series） series） 单整的时间序列（从式（7.6）可知，随机漫步序列的一阶差分序列△X 从式（7.6）可知，随机漫步序列的一阶差分序列△Xt = Xt C Xt-1是平稳序列。在这种情况下，我们说原非平稳序 是平稳序列。在这种情况下，我们说原非平稳序 列Xt是“一阶单整的”，表示为I(1)。 是“一阶单整的 一阶单整的”，表示为I(1)。 与此类似，若非平稳序列必须取二阶差分( 与此类似，若非平稳序列必须取二阶差分(△2Xt = △Xt C △Xt-1)才变为平稳序列，则原序列是“二阶单整的”，表 才变为平稳序列，则原序列是“二阶单整的”，表 示为I(2)。一般地，若一个非平稳序列必须取d阶方差才变 示为I(2)。一般地，若一个非平稳序列必须取d阶方差才变 为平稳序列，则原序列是“d阶单整的” 为平稳序列，则原序列是“d阶单整的”（integrated of order d），表示为I(d)。 d），表示为I(d 由定义X I(d)不难看出，I(0)表示的是平稳序列，意味 由定义Xt～I(d)不难看出，I(0)表示的是平稳序列，意味 着该序列无须差分即是平稳的 着该序列无须差分即是平稳的；另一方面，如果一个序列 平稳的；另一方面，如果一个序列 不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则称为“非单整 不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则称为“非单整 的”Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE第二节 平稳性的检验平稳性检验的方法可分为两类： 传统方法和现代方法。 传统方法和现代方法。前者使用自相 关函数(Autocorrelation function) ， 关函数 (Autocorrelation function)， 后 者使用单位根(Unit roots)。 者使用单位根(Unit roots)。单位根方 法是目前最常用的方法，因此本节中， 法是目前最常用的方法，因此本节中， 我们仅介绍单位根方法。 我们仅介绍单位根方法。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE一． 单位根 考察（7.8）式的一阶自回归过程，即 考察（7.8）式的一阶自回归过程，即 Xt=φXt－1+εt 其中ε 其中εt为白噪声，此过程可写成 Xt－φXt－1=εt 或（1－φL）Xt = εt （7.12） 或（1 φL） 7.12） 其中L 其中L为滞后运算符，其作用是取时间序列的滞后， 的一期滞后可表示为L(X 如Xt 的一期滞后可表示为L(Xt），即 L(Xt）= Xt－1Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE（7.11） 7.11）由上节所知，自回归过程X 由上节所知，自回归过程Xt平稳的条件是其特征 方程的所有根的绝对值大于1 方程的所有根的绝对值大于1。由于这里特征方程为 1－ΦL=0，该方程 仅有一个根L=1/φ ，因而平稳性 ΦL=0，该方程 仅有一个根L=1/φ 要求－1 要求－1＜φ＜1。 因此，检验X 因此，检验Xt的平稳性的原假设和备择假设为： H0：OφO≥1 Ha：OφO＜1 接受原假设H 表明X 接受原假设H0表明Xt是非平稳序列，而拒绝原假 设（即接受备择假设H ）则表明X 设（即接受备择假设Ha）则表明Xt是平稳序列。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE单位根检验方法的由来在 Φ=1 的 情 况 下 ， 即 若 原 假 设 为 真 ， 则 Φ=1 （ 7.11 ） 就是随机漫步过程（ 7.5 ） ， 从上节 11） 就是随机漫步过程 （ 得知， 它是非平稳的。 因此， 得知 ， 它是非平稳的 。 因此 ， 检验非平稳性 就是检验Φ=1 或者说，就是检验单位根。 就是检验Φ=1，或者说，就是检验单位根。换 句话说， 单位根是表示非平稳性的另一方式。 句话说 ， 单位根是表示非平稳性的另一方式 。 这样一来， 这样一来 ， 就将对非平稳性的检验转化为对 单位根的检验， 单位根的检验 ， 这就是单位根检验方法的由 来。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE（7.11）式 Xt=φXt－1+εt 11） 两端各减去X 两端各减去Xt-1，我们得到 Xt－Xt－1= ΦXt－1－Xt－1+εt 即 ?Xt= δXt－1+εt （7.13） 13）其中?是差分运算符，δ=Φ－ 其中?是差分运算符，δ=Φ－1。 假设Φ为正（绝大多数经济时间序列确实如此） 假设 Φ为正（绝大多数经济时间序列确实如此） ， 前面的假设 H0：OφO≥1 Ha：OφO＜1 可写成如下等价形式：Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFEH0：δ≥0 δ≥0 Ha：δ＜0 在δ=0的情况下，即若原假设为真，则相应的过程 δ=0的情况下，即若原假设为真，则相应的过程 是非平稳的。 换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为Φ=1 换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为Φ=1 或δ=0。从而我们可以将检验时间序列Xt的非平稳性 δ=0。从而我们可以将检验时间序列X 的问题简化成在方程（7.11）的回归中，检验参数 的问题简化成在方程（7.11）的回归中，检验参数 Φ=1 是否成立或者在方程（7.13）的回归中，检验参 是否成立或者在方程（7.13）的回归中，检验参 数δ=0是否成立。 δ=0是否成立。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE这类检验可用t检验进行， 这类检验可用t检验进行，检验统计量为：? Φ?1 tΦ = S∧Φ∧或tδ =? δ S∧δ（7.14） 14）? S ∧ 其中， 其中， Φ和 S分别为参数估计值 Φ 和 δ 即?) S∧ = Se(ΦΦ? 的标准误差， 的标准误差， δ? S∧ = Se(δ)δ这里的问题是，（7.14）式计算的t值不服从t 这里的问题是，（7.14）式计算的t值不服从t分布， 而是服从一个非标准的甚至是非对称的分布。因而 不能使用t 不能使用t分布表，需要用另外的分布表。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE二． Dickey-Fuller检验（DF检验） Dickey-Fuller检验 DF检验 检验（ 检验） 迪奇（ Dickey） 和福勒（ Fuller） 迪奇 （ Dickey ） 和福勒 （ Fuller ） 以蒙特卡罗模 统计量的临界值表， 拟为基础，编制了（ 14） 拟为基础，编制了（7.14）中tδ统计量的临界值表， 表中所列已非传统的t 统计值， 他们称之为τ 统计值。 表中所列已非传统的 t 统计值 ， 他们称之为 τ 统计值 。 这 些 临 界 值 如 表 7.1 所 示 。 后 来 该 表 由 麦 金 农 （Mackinnon）通过蒙特卡罗模拟法加以扩充。 Mackinnon）通过蒙特卡罗模拟法加以扩充。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE表7.1Dickey -Fuller τ 计 临 值 统 量 界 表取 小 的 率 更 值 概 0.05 0.10 0.90样 容 本 量无 数 常 项 无 间 时 项 (统 量 ) 计 τ0.010.0250.950.9750.9925 50 100 250 500 ∞-2.66 -2.62 -2.60 -2.58 -2.58 -2.58-2.26 -2.25 -2.24 -2.23 -2.23 -2.23-1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95-1.60 -1.61 -1.61 -1.62 -1.62 -1.620.92 0.91 0.90 0.89 0.89 0.891.33 1.31 1.29 1.29 1.28 1.281.71 1.66 1.64 1.63 1.62 1.622.16 2.08 2.03 2.01 2.00 2.00Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE有 数 常 项 无 间 时 项 (统 量 μ) 计 τ25 50 100 250 500 ∞有 数 常 项 有 间 时 项 (统 量 τ) 计 τ-3.75 -3.58 -3.51 -3.46 -3.44 -3.43-3.33 -3.22 -3.17 -3.14 -3.13 -3.12-3.00 -2.93 -2.89 -2.88 -2.87 -2.86-2.62 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -2.57-0.37 -0.40 -0.42 -0.42 -0.43 -0.440.00 -0.03 -0.05 -0.06 -0.07 -0.070.34 0.29 0.26 0.24 0.24 0.230.72 0.66 0.63 0.62 0.61 0.6025 50 100 250 500 ∞-4.38 -4.15 -4.04 -3.99 -3.98 -3.96-3.95 -3.80 -3.73 -3.69 -3.68 -3.66-3.60 -3.50 -3.45 -3.43 -3.42 -3.41-3.24 -3.18 -3.15 -3.13 -3.13 -3.12-1.14 -1.19 -1.22 -1.23 -1.24 -1.25-0.80 -0.87 -0.90 -0.92 -0.93 -0.94-0.50 -0.58 -0.62 -0.64 -0.65 -0.66-0.15 -0.24 -0.28 -0.31 -0.32 -0.33Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE有了τ表，我们就可以进行DF检验了，DF检验按以 下两步进行： 第一步：对（7.13）式执行OLS回归，即估计 （7.15） △Xt=δXt-1+εt 得到常规tδ值。 第二步：检验假设 H0：δ= 0 Ha：δ＜0 用上一步得到的tδ值与表7.1中查到的τ临界值比较， 判别准则是： 若 tδ&τ， 则接受原假设H0，即Xt非平稳。 若tδ＜τ，则拒绝原假设H0，Xt为平稳序列。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFEDickey和Fuller注意到τ临界值依赖于回归方程 的类型。因此他们同时还编制了与另外两种类型方 程中相对应的τ统计表，这两类方程是： △Xt=α+δXt-1+εt （7.16） 和 △Xt=α+βt+δXt-1+εt （7.17） 二者的τ临界值分别记为τμ 和τT 。这些临界值 亦列在表7.1中。尽管三种方程的τ临界值有所不同， 但有关时间序列平稳性的检验依赖的是Xt-1的系数δ， 而与α、β无关。 例7.1 检验某国私人消费时间序列的平稳性。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE表7 2 某 私 消 和 人 支 收 (1 7 百 美 ) . 国 人 费 个 可 配 入 9 0 万 元年 份 私 消 人 费 个 可 配 入 人 支 收 消 价 指 费 格 数Tuesday, 161 6 9 0 1 6 9 1 1 6 9 2 1 6 9 3 1 6 9 4 1 6 9 5 1 6 9 6 1 6 9 7 1 6 9 8 1 6 9 9 1 7 9 0 1 7 9 1 1 7 9 2 1 7 9 3 1 7 9 4 1 7 9 5 1 7 9 6 1 7 9 7 1 7 9 8 1 7 9 9 1 8 9 0 1 8 9 1 1 8 9 2 1 8 9 3 1 8 9 4 1 8 9 5 1 8 9 6 1 8 9 7 1 8 9 8 1 8 9 9 1 9 9 0 1 9 9 1 1 9 9 2 1 9 9 3 1 9 9 4 Dec.995 1 20081 7 0 .0 0 8 8 1 5 4 .0 1 1 7 1 0 5 .0 2 0 0 1 6 1 .0 2 1 5 1 7 9 .0 3 1 2 1 7 0 .0 4 7 7 1 7 8 .0 5 6 7 1 7 2 .0 6 5 8 1 9 2 .0 7 0 5 1 0 8 .0 9 0 9 2 6 1 .0 0 8 3 2 7 1 .0 1 2 2 2 2 1 .0 3 3 2 2 0 5 .0 5 0 7 2 1 5 .0 5 6 0 2 6 8 .0 6 8 4 2 1 6 .0 8 0 6 2 3 2 .0 9 9 8 3 0 4 .0 1 6 0 3 8 1 .0 1 8 7 3 9 4 .0 1 3 1 3 5 5 .0 2 8 1 3 8 0 .0 3 5 7 3 9 2 .0 3 4 5 3 5 9 .0 4 1 4 3 8 7 .0 5 6 1 3 1 2 .0 6 0 6 3 5 7 .0 6 4 3 3 8 8 .0 7 4 8 3 4 4 .0 9 9 2 4 3 9 .0 0 1 4 4 2 5 .0 1 4 8 4 0 2 .0 2 0 8 4 0 8 .0 2 5 5 4 6 9 .0 2 8 3 4 3 2 .0 3 7 31 7 7 .2 1 1 9 1 7 9 .9 2 5 8 1 5 0 .1 3 0 7 1 2 2 .3 4 1 8 1 9 4 .7 5 6 8 1 2 5 .9 7 7 5 1 2 6 .5 8 3 5 1 5 1 .0 9 6 1 2 4 7 .4 0 4 0 2 2 3 .5 2 6 7 2 6 1 .0 4 8 9 2 9 4 .9 6 2 8 2 7 6 .0 9 2 6 3 5 2 .7 3 5 1 3 0 3 .1 1 2 1 3 7 2 .3 2 5 1 3 0 2 .4 5 4 7 3 6 3 .0 6 7 0 3 0 8 .5 9 1 8 4 6 5 .2 0 8 7 4 1 4 .8 0 9 2 4 9 6 .1 1 6 9 4 1 1 .6 2 7 5 4 7 3 .3 1 9 0 4 4 9 .7 3 6 5 4 6 7 .2 5 5 6 4 9 5 .1 3 6 4 4 8 5 .5 3 4 3 4 6 4 .7 7 3 4 4 2 3 .4 9 3 4 4 5 3 .2 9 9 9 5 3 7 .0 1 1 3 5 2 2 .1 0 5 0 5 3 6 .1 2 0 6 5 0 2 .5 2 7 7 5 8 0 .9 1 4 60 8 1 2 .7 3 4 0 9 6 4 .7 1 8 0 0 7 8 .8 1 5 0 2 6 8 .8 8 8 0 4 1 5 .8 7 8 0 8 8 8 .8 5 2 0 1 5 5 .9 6 0 0 3 2 2 .9 4 3 0 4 1 3 .9 1 9 0 6 6 0 .9 9 3 1 0 0 0 .0 0 0 1 3 7 7 .0 3 2 1 6 0 4 .0 8 6 1 2 1 6 .2 8 5 1 1 7 5 .5 7 9 1 0 1 7 .7 1 4 1 2 9 6 .9 9 0 2 5 8 2 .1 9 7 2 3 3 4 .4 6 6 2 3 4 3 .8 8 5 3 5 0 0 .4 9 3 4 8 8 4 .0 1 4 5 1 1 9 .1 4 6 6 6 8 5 .0 7 3 7 3 6 2 .1 0 0 8 3 2 5 .4 5 8 1 .3 0 1 0 0 8 0 1 .9 9 0 1 1 5 0 1 .6 4 8 3 1 4 0 1 .5 2 5 5 9 8 0 1 .5 5 9 8 9 3 0 2 .0 1 6 2 9 1 0 2 .4 1 2 5 0 2 0 2 .8 3 6 8 8 4 0 3 .0 3 5 2 0 8 0 3 .9 0 5 4 8 8 0CUFE用表7.2中的私人消费（Ct ）时间序列数据，估计 与（7.16）和（7.17）相对应的方程，分别得到如下 估计结果：(1) △ C =.01091 Ct-1 t 12330.48(t: 138) 339) (t:) (5.138) (-1.339)∧ ∧R2=0.052 DW=1 DW=1.765 R2=0.057 DW=1 DW=1.716(2) △ C =.36Ct-1 .C t (t: 966) 436) 5717) (t:) (1.966) (0.436) (-0.5717)两种情况下，tδ值分别为 -1.339和 -0.571，二者 分别大于表7.1中从0.01到0.10的各种显著性水平下 的τμ 值和ττ 值。因此，两种情况下都不能拒绝原 假设，即私人消费时间序列有一个单位根，或换句话 说，它是非平稳序列。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE下面看一下该序列的一阶差分（△Ct ）的平稳性。做 类似于上面的回归，得到如下结果：(3) △2 112△ C = .85112△Ct-1 t (t: 301) (t:) (4.301) (-4.862) 862)∧ ∧R2=0.425 DW=1 DW=1.967 R2=0.454 DW=1 DW=1.988.461t 89738△ (4) △2 C =.461t-0.89738△Ct-1 t (t: 908) 294) 073) (t:) (3.908) (-1.294) (-5.073)其中△ 其中△2Ct=△Ct-△Ct-1。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE两种情况下，tδ 值分别为 -4.862和-5.073，二 者分别小于表7.1中从0.01到0.10的各种显著性水平 下的τμ 值和τT 值。因此，都拒绝原假设，即私人 消费一阶差分时间序列没有单位根，或者说该序列 是平稳序列。 综合以上结果，我们的结论是： △Ct是平稳序列，△Ct～I(0）。 而Ct是非平稳序列，由于△Ct～I(0），因而 Ct～I(1）。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE第三节 协整让我们考察弗里德曼的持久收入假设：私人总消费（ 让我们考察弗里德曼的持久收入假设：私人总消费（Ct）是 持久私人消费和暂时性私人消费（ 之和， 持久私人消费和暂时性私人消费（εt） 之和 ，持久私人消费与 持久个人可支配收入（ 成正比。则消费函数为： 持久个人可支配收入（Yt）成正比。则消费函数为：C = c +εt = β1Y +εt t tP t(7.18)其中0＜ 其中 ＜β1≤1。 。 用表7.2中数据对此消费函数进行 中数据对此消费函数进行OLS估计，假定持久个人 估计， 用表 中数据对此消费函数进行 估计 收入等于个人可支配收入，我们得到： 收入等于个人可支配收入，我们得到：∧C = 0.80969Y t t (t:) (75.5662)R2=0.9924 DW=0.8667Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE值低以外， 除DW值低以外，估计结果很好。t值很高表明回归 值低以外 估计结果很好。 值很高表明回归 系数显著， 也很高，表明拟合很好。可是， 系数显著，R2也很高，表明拟合很好。可是，由于方 程中的两个时间序列是趋势时间序列或非平稳时间序 因此这一估计结果有可能形成误导。结果是， 列，因此这一估计结果有可能形成误导。结果是， OLS估计量不是一致估计量，相应的常规推断程序不 估计量不是一致估计量， 估计量不是一致估计量 正确。 正确。 这种结果看上去非常好但涉及的变量是趋势时间序 列的回归被Granger 和 Newbold 称为“伪回归” 称为“伪回归” 列的回归被 (Spurious regression)。 。 当回归方程中涉及的时间序列是非平稳时间序列时， 当回归方程中涉及的时间序列是非平稳时间序列时， OLS估计量不再是一致估计量，相应的常规推断程序 估计量不再是一致估计量， 估计量不再是一致估计量 会产生误导。这就是所谓的“伪回归”问题。 会产生误导。这就是所谓的“伪回归”问题。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE他们指出，如果在时间序列的回归中DW值低于 他们指出，如果在时间序列的回归中 值低于 R2，则应怀疑有伪回归的可能。我们上面的结果正 则应怀疑有伪回归的可能。 是如此（ 是如此（R2 = 0.9924 & DW = 0.8667）。 ）。 考虑到经济学中大多数时间序列是非平稳序列， 考虑到经济学中大多数时间序列是非平稳序列， 则我们得到伪回归结果是常见的事。 则我们得到伪回归结果是常见的事。避免非平稳性 问题的常用方法是在回归中使用时间序列的一阶差 可是， 分。可是，使用变量为差分形式的关系式更适合描 述所研究的经济现象的短期状态或非均衡状态， 述所研究的经济现象的短期状态或非均衡状态，而 不是其长期或均衡状态， 不是其长期或均衡状态，描述所研究经济现象的长 期或均衡状态应采用变量本身。 期或均衡状态应采用变量本身。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE由上面的讨论，自然引出了一个明显的问题： 由上面的讨论，自然引出了一个明显的问题：我们 使用非均衡时间序列时是否必定会造成伪回归？ 使用非均衡时间序列时是否必定会造成伪回归？ 对此问题的回答是， 对此问题的回答是，如果在一个回归中涉及的趋势 时间序列“一起漂移” 或者说“同步” 时间序列“一起漂移”，或者说“同步”，则可能没 有伪回归的问题，因而取决于t检验和 检验和F检验的推断也 有伪回归的问题，因而取决于 检验和 检验的推断也 没有问题。这种非均衡时间序列的“同步” 没有问题。这种非均衡时间序列的“同步”，引出了 我们下面要介绍的“协整”概念。 我们下面要介绍的“协整”概念。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE一．协整的概念 在方程（ 在方程（7.18） C = β Y +εt中，持久收入假设 ） t 1 t 要求两时间序列C 的线性组合，即时间序列C 要求两时间序列 t和Yt的线性组合，即时间序列 t－ β1Yt必须是平稳的 ， 这是因为此序列等于 t， 而暂时 必须是平稳的，这是因为此序列等于ε 性私人消费（ 按定义是平稳时间序列。 性私人消费（εt）按定义是平稳时间序列。 可是，Ct和Yt都是非平稳时间序列，事实上，不难 都是非平稳时间序列，事实上， 可是， 验证： 验证：Ct～I(1），Yt～I(1）。 ） ） 也就是说，尽管C 也就是说 ， 尽管 t ～ I(1） ， Yt ～ I(1） ， 但持久收 ） ） 是平稳的， 入假设要求它们的线性组合ε 入假设要求它们的线性组合 t=Ct － β1Yt 是平稳的 ， 即εt=Ct－β1Yt～I (0）。在这种情况下，我们说时间 ） 在这种情况下， 序列C 是协整的(Cointegrated)。 下面给出协整 序列 t 和 Yt 是协整的 。 (Cointegration)的正式定义。 的正式定义。 的正式定义 CUFE Tuesday, 16 Dec. 2008协整的定义如果两时间序列Y 如果两时间序列 t～I(d)，Xt～I(d)，并且这 ， ， 两个时间序列的线性组合a 两个时间序列的线性组合 1Yt+a2Xt 是(d-b)阶单 阶单 整的，即a1Yt+a2Xt～I(d-b)（d≥b≥0），则Yt 和 整的， （ ），则 ）， Xt被称为是（d, b）阶协整的。记为 被称为是（ ）阶协整的。 Yt, Xt～CI(d , b) 这里CI是协整的符号 是协整的符号。 这里 是协整的符号。构成两变量线性组合的 系数向量（ 称为“协整向量” 系数向量（a1，a2）称为“协整向量”。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE下面给出本节中要研究的两个特例。 下面给出本节中要研究的两个特例。 1、 Yt, Xt～CI(d, d） 、 ） 在这种情况下， 在这种情况下 ， d=b，使得 1Yt+a2Xt～ I(0）， 即两时 ， 使得a ） 间序列的线性组合是平稳的， 间序列的线性组合是平稳的，因而 Yt, Xt～CI(d, d）。 ） 2、 Yt, Xt～CI(1, 1) 、 在这种情况下， 在这种情况下，d=b=1，同样有 1Yt+a2Xt～I(0)，即两 ，同样有a ， 时间序列的线性组合是平稳的， 时间序列的线性组合是平稳的，因而 Yt, Xt～CI(1, 1）。 ）Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE让我们考虑下面的关系 Yt = β0+β1Xt 其中， 其中，Yt～I(1），Xt～I(1）。 ） ） 该关系处于长期均衡状态。 当0= Yt－β0－β1Xt时，该关系处于长期均衡状态。 对长期均衡的偏离，称为“均衡误差” 记为ε 对长期均衡的偏离，称为“均衡误差”，记为 t： εt = Yt－β0－β1Xt （7.19） ）Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE若长期均衡存在，则均衡误差应当围绕均衡值0波动 波动。 若长期均衡存在，则均衡误差应当围绕均衡值 波动。 也就是说， 均衡误差ε 应当是一个平稳时间序列， 也就是说 ， 均衡误差 t 应当是一个平稳时间序列 ， 即 应有 εt～I(0），E(εt）= 0。 ） 。 按照协整的定义， 按照协整的定义，由于 Yt～I(1），Xt～I(1），且线性组合 ） ） εt=Yt－β0－β1Xt～I(0） ） 因此， 因此，Yt 和Xt是（1，1）阶协整的，即 ， ）阶协整的， Yt，Xt～CI(1, 1） ） 协整向量是（ 协整向量是（1, －β0, －β1） Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE综合以上结果，我们可以说， 综合以上结果 ， 我们可以说 ， 两时间序列之间的协 整是表示它们之间存在长期均衡关系的另一种方式。 整是表示它们之间存在长期均衡关系的另一种方式 。 是协整的, 因此， 因此，若 Yt 和Xt是协整的 并且均衡误差是平稳的且 具有零均值，我们就可以确信， 具有零均值，我们就可以确信，方程 Yt =β0+β1Xt+εt 将不会产生伪回归结果。 将不会产生伪回归结果。 由上可知，如果我们想避免伪回归问题， 由上可知 ， 如果我们想避免伪回归问题 ， 就应该在 进行回归之前检验一下所涉及的变量是否协整。 进行回归之前检验一下所涉及的变量是否协整。 （7.20） ）Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE二．协整的检验 我们下面介绍用于检验两变量之间协整的两种简 单方法。 单方法。 1、Engle-Granger法 、 法 步骤1. 步骤 用上一节介绍的单位根方法求出两变量的单整的阶， 用上一节介绍的单位根方法求出两变量的单整的阶 ， 然后分情况处理, 共有三种情况： 然后分情况处理 共有三种情况： （1） 若两变量的单整的阶相同，进入下一步； ） 若两变量的单整的阶相同，进入下一步； （2） 若两变量的单整的阶不同，则两变量不是协整 ） 若两变量的单整的阶不同， 的； （3） 若两变量是平稳的，则整个检验过程停止，因 ） 若两变量是平稳的，则整个检验过程停止， 为你可以采用标准回归技术处理。 为你可以采用标准回归技术处理。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE步骤2. 步骤 若两变量是同阶单整的， 若两变量是同阶单整的 ， 如 I(1） ， 则用 ） 则用OLS法估 法估 计长期均衡方程（称为协整回归） 计长期均衡方程（称为协整回归）： Yt=β0+β1Xt+εt 并保存残差e 作为均衡误差ε 的估计值。 并保存残差 t，作为均衡误差 t的估计值。应注意的是，虽然估计出的协整向量（ ， 应注意的是，虽然估计出的协整向量（1，－β0 ，－ β ）是 1 真实协整向量（ ， 的一致估计值， 真实协整向量（1，－β0，－β1）的一致估计值，这些系数的标 准误差估计值则不是一致估计值。由于这一原因， 准误差估计值则不是一致估计值。由于这一原因，标准误差估 计值通常不在协整回归的结果中提供。 计值通常不在协整回归的结果中提供。∧∧Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE步骤3. 步骤 对于两个协整变量来说， 均衡误差必须是平稳的。 对于两个协整变量来说 ， 均衡误差必须是平稳的 。 为检验其平稳性， 为检验其平稳性 ， 对上一步保存的均衡误差估计值 即协整回归的残差e 应用单位根方法。 （即协整回归的残差 t） 应用单位根方法 。 具体作法 是将Dickey―Fuller检验法用于时间序列 t ， 也就是 检验法用于时间序列e 是将 检验法用于时间序列 法估计形如下式的方程： 用OLS法估计形如下式的方程： 法估计形如下式的方程 △et =δet-1 + +νt （7.21） ）有两点须提请注意： 有两点须提请注意： 残差e （ 1）（ 7.21）式不包含常数项， 这是因为 ） ）式不包含常数项，这是因为OLS残差 t应以 为 残差 应以0为 中心波动。 中心波动。 统计量不适于此检验， （2）Dickey―Fullerτ统计量不适于此检验，表7.3提供了用于 ） 统计量不适于此检验 提供了用于 协整检验的临界值表。 协整检验的临界值表。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE表7.3 变 个 量 数 样 容 本 量 25 50 100 ∞EG 临 值 协 检 EG或A 的 界 整 验 m=2 0.01 -4.37 -4.12 -4.01 -3.90 0.05 -3.59 -3.46 -3.39 -3.33 0.10 -3.22 -3.13 -3.09 -3.05 m=3 显 性 平 著 水 0.01 0.05 -4.92 -4.10 -4.59 -3.92 -4.44 -3.83 -4.30 -3.74 m=4 0.10 -3.71 -3.58 -3.51 -3.45 0.01 -5.43 -5.02 -4.83 -4.65 0.05 -4.56 -4.32 -4.21 -4.10 0.10 -4.15 -3.98 -3.89 -3.81Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE例7.2 某 私 消 和 人 支 收 的 整 国 人 费 个 可 配 入 协 。 第 步 求 两 量 单 的 一 ： 出 变 的 整 阶 私 消 变 ： 人 费 量 △Ct =.01091Ct-1 (t:)(5.138) (-1.339) R2=0.052 DW=1.7652 △ Ct =.85112Δ t-1 C∧(7.22)∧(7.23)(t:) (4.301) (-4.862) DW=1.967 R2=0.425Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE个 可 配 入 量 人 支 收 变 ： △Yt =.02479Yt-1 (t:) (3.054) (-1.387) DW=2.270 R2=0.0552 △ Yt =.11754Δ t-1 Y∧(7.24)∧(7.25)(t:) (3.983) (-6.270) R2=0.551 DW=2.014由表7 中可见， 都是非平稳的， 由表7-3中可见，Ct和Yt都是非平稳的，而ΔCt 都是平稳的。这就是说， 和ΔYt都是平稳的。这就是说， Ct～I(1），Yt～I(1） ） ） 因而我们可以进入下一步。 因而我们可以进入下一步。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE第 步 进 协 回 ， 果 下 二 ， 行 整 归 结 如 ：Ct = .779585Yt∧(7.26)( t:) (3.123) (75.566) R2=0.994 DW =1.021 同 我 计 并 存 差 均 误 估 值 et。 时 们 算 保 残 （ 衡 差 计 ） 第 步 检 et 的 稳 。 三 ， 验 平 性 ? △et = -0.51739et-1 (t:) (-3.150) R2=0.224 DW =1.948(7.27)Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE第四步，得出有关两变量是否协整的结论。 第四步，得出有关两变量是否协整的结论。 ＝－3.150与表 －3中的临界值相比较（m=2）， 与表7－ 中的临界值相比较 中的临界值相比较（ 用tδ＝－ 与表 ） 采用显著性水平α=0.05，tδ大于临界值 ，因而接受 t 采用显著性水平 ， 大于临界值τ，因而接受e 非平稳的原假设， 意味着两变量不是协整的， 非平稳的原假设 ， 意味着两变量不是协整的 ， 我们 不能说在私人消费和个人可支配收入之间存在着长 期均衡关系。 期均衡关系。 可是，如果采用显著性水平α=0.10，则－3.150与表 可是，如果采用显著性水平 ， 与表 7－3 中的临界值大致相当，因而可以预期，若 α=0.11，tδ将小于临界值 ，我们接受 t为平稳的备择 ， 将小于临界值τ，我们接受e 假设， 即两变量是协整的， 假设 ， 即两变量是协整的 ， 或者说两变量之间存在 着长期均衡关系。 着长期均衡关系。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE2、Durbin-Watson法 、 法 此方法非常简单，步骤如下： 此方法非常简单，步骤如下： 步骤1. 步骤 估计协整回归方程 Yt=β0+β1Xt+εt 保存残差e 计算DW统计值 （ 现称为 “ 协整回 统计值（ 保存残差 t ， 计算 统计值 现称为“ 统计值（ ））， 归”Durbin―Watson统计值（CRDW））， 即 统计值 ）） CRDW=(et ?et?1)2 ∑ (et ?e)2 ∑为残差的算术平均值。 其中 e为残差的算术平均值。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE步骤2. 步骤 根据下述原假设和备择假设得出有关两变量协整 的结论： 的结论： 非平稳， H0：et非平稳，即非协整 H1： et平稳， 即协整 平稳， 若CRDW＜d，则接受原假设 0； ＜ ，则接受原假设H 若CRDW＞d，则拒绝原假设 0。 ＞ ，则拒绝原假设H 这里原假设成立的临界d值为 这里原假设成立的临界 值为d = 0，对应于显著性 值为 ， 水平为0.01，0.05和0.10的临界值分别为 0.511，0.386 水平为 ， 和 的临界值分别为 ， 和0.322。 。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE例7.3 某国私人消费和个人可支配收入的协整 应用于上例。 将CRDW应用于上例。 应用于上例 第一步：由上例中（ 第一步：由上例中（7.26）式知 ）式知CRDW=1.021 第二步：因为 大于上面提到的临界值, 第二步：因为CRDW=1.021大于上面提到的临界值 大于上面提到的临界值 故拒绝原假设，接受备择假设，因此得出结论： 故拒绝原假设，接受备择假设，因此得出结论： 私人消费和个人可支配收入可以协整。 私人消费和个人可支配收入可以协整。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE三．误差修正模型（ECM）的估计 误差修正模型（ ） 协整分析中最重要的结果可能是所谓的“格兰杰代 协整分析中最重要的结果可能是所谓的“ 表定理” 表定理”（Granger representation theorem）。按照 ） 此定理，如果两变量Y 是协整的， 此定理，如果两变量 t和Xt是协整的，则它们之间存 在长期均衡关系。 在长期均衡关系。 当然，在短期内，这些变量可以是不均衡的， 当然，在短期内，这些变量可以是不均衡的，扰动 项是均衡误差ε 项是均衡误差 t。 两变量间这种短期不均衡关系的动 态结构可以由误差修正模型（ 态结构可以由误差修正模型（error correction model） ） 来描述， 模型是由Sargan提出的 。 这一联系两 提出的。 来描述 ， ECM模型是由 模型是由 提出的 变量的短期和长期行为的误差修正模型由下式给出： 变量的短期和长期行为的误差修正模型由下式给出：Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE?Yt = 滞后的（?Yt，?Xt）+λεt-1 + vt （7.28） 滞后的（ ） －1＜λ＜0 ＜ ＜ ），X 其中 Yt～I(1）， t～I(1） ）， ） Yt ，Xt～CI (1，1） ， ） εt= Yt－β0－β1Xt～I（0） （ ） vt=白噪声，λ为短期调整系数。 白噪声， 为短期调整系数。 白噪声 为短期调整系数 模型的一般形式， （7.28）式是 ）式是ECM模型的一般形式，实践中可根据 模型的一般形式 情况建立具体的ECM模型。最简单的是一阶 模型。 情况建立具体的 模型 最简单的是一阶ECM 模型，形式如下： 模型，形式如下：?Y =α0 +α1?Xt ?λεt?1 +vt tTuesday, 16 Dec. 2008 CUFE不难看出， 所有变量都是平稳的， 不难看出，在（7.28）中，所有变量都是平稳的， ） 因为 Yt～I (1)，Xt～I (1)??Yt～I (0)，?Xt～I (0)； ， ? ， ； Yt, Xt～CI (1, 1) ?εt～I (0)) 因此，有人或许会说，该式可用 法估计。 因此，有人或许会说，该式可用OLS法估计。但事 法估计 实上不行，因为均衡误差ε 不是可观测变量。 实上不行，因为均衡误差 t不是可观测变量。因而 在估计该式之前，要先得到这一误差的值。 在估计该式之前，要先得到这一误差的值。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFEEngle 和 Granger建议采用下述两步方法估计方程 建议采用下述两步方法估计方程 (7.28): 第一步： 第一步：估计协整回归方程 Yt=β0+β1Xt+εt ∧ ∧ 得到协整向量的一致估计值（ ， 得到协整向量的一致估计值（1，－β0，－ β1 ），用 它得出均衡误差ε 它得出均衡误差 t的估计值 et= Yt－ β0－ β1 t X 第二步： 第二步：用OLS法估计下面的方程 法估计下面的方程 ?Yt = 滞后的（?Yt, ?Xt）+λet-1+vt 滞后的（Tuesday, 16 Dec. 2008∧∧（7.29） ）CUFE例 7.4 估计某国私人消费和个人可支配收入之间的 误差修正模型。 误差修正模型。 由例7.2 中7.26式协整回归的结果： 式协整回归的结果： 第一步 ：由例 式协整回归的结果C = 11907.23 + 0.779585Yt 1Y t (t: 123) 75.566) (t:) (3.123) (75.566) DW=1 R2=0.994 DW=1.021∧(7.30) 30)我们得到残差e 我们得到残差 t。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE第二步：估计误差修正模型，结果如下： 第二步：估计误差修正模型，结果如下：?C .28432ΔYt－ 0.19996et-1 = t (t: 822) 538) 486) (t:) (7.822) (6.538) (－2.486)∧(7.31)R2=0.572DW=1 DW=1.941（7.31）中的结果表明个人可支配收入 t的短期变 ）中的结果表明个人可支配收入Y 动对私人消费存在正向影响。此外， 动对私人消费存在正向影响。此外，由于短期调整系 数是显著的，表明每年实际发生的私人消费与其长期 数是显著的， 均衡值的偏差中的20%（0.19996）被修正。 均衡值的偏差中的 （ ）被修正。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE以韩德瑞(D.F.Hendry)为代表的动态建模方法（也 称为伦敦经济学院(LSE)方法）指出自回归分布滞后 模型（ADL）是最通用的线性模型形式。当变量为非 平稳时间序列时ADL模型尤为适用，因为只要模型包 括了足够多的滞后项，就一定能摆脱单位根的困扰。 当变量间存在协整关系时，ECM模型便成为ADL模型 的一个特例。以一阶ADL模型（7.31)为例，Hendry对 模型变量进行了等价变换，得到（7.32）所示的ECM 模型。Y = β0 +β1Xt +β2Y?1 +β3Xt?1 +εt t t(7.32)Tuesday, 16 Dec. 2008CUFEY ? t =Y ?Y?1 t t= β0 +β1Xt +(β2 ?1 Y?1 +β3 Xt?1 +εt )tβ1 +β3 = β0 +β1? t +(β2 ?1 Y?1 + X )( t Xt?1) +εt β2 ?1 β0 β1 +β3 = β1? t +(β2 ?1 Y ? X )( ? X)t?1 +εt 1?β2 1?β2即= β0 +β1? t +(β2 ?1 Y?1 +(β1 +β3)Xt?1 +εt X )tβ0 β1 +β3 ?Y =t β1?Xt +(β2 ?1 Y ? )( ? X)t?1 +εt t 1?β2 1?β2Tuesday, 16 Dec. 2008(7.33)CUFE式（7.33）将 ?Yt 依次分解为三个具有不同含义的 部分：短期扰动、非均衡项和白噪声。 (β2 ?1 &0 称 ) 为负反馈系数。 当Yt～I(1)，Xt～I(1）时，式（7.33）方程左边 ?Yt～I (0），方程右边?Xt～I (0），εt～I (0）。 如果非均衡项β0 β1 +β3 (Y ? ? X)t?1 ～I (0)， 1?β2 1?β2则 Yt 与 Xt 存在（1，1）阶协整关系。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFEHendry论证了β0 β1 + β3 Yt = + Xt 1?β2 1?β2对应经济理论模型中的长期均衡解，它自身不含任 何变动的趋势。当外生变量的波动引起β0 β1 +β3 (Y ? ? X)t?1 ≠ 0 1?β2 1?β2时，该相对于长期均衡解的非均衡项在负反馈系数 的作用下引起的延迟波动，促使重新回到其长期均 衡解，因此称式（7.33）为“均衡修正模型”或 “误差修正模型”。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE实际建模中，Hendry的动态建模方法主张从 “一般到特殊”的原则，从包含被解释变量的最广 泛影响因素的ADL模型开始，逐级约化，每一步约 化都需要满足各项检验标准，力求在数据信息损失 最小的情况下得到包含被解释变量长期均衡关系的 最简洁的ECM模型，有效避免了“伪回归”问题。 这一动态建模方法已成为当今主流经济计量建模方 法之一。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE例7.5 运用动态建模方法估计某国私人消费和个人可 支配收入之间的误差修正模型。 第一步：确定私人消费和个人可支配收入的单整 阶数，由例7.1知: Ct～I(1）和Yt～I(1）。 第二步：建立ADL模型。取ADL模型滞后阶数为 2时，运用OLS法，方程估计通过自相关、异方差、 正态分布等各项检验。表明可以从滞后阶数为2的 ADL模型开始对方程进行约化。? C = 2C?1 +0..272 t Y t t t (t :)(2.84) (4.31 ) (?1.25)2 Tuesday, 16 Dec. 2008(0.461 ) (?1.40)(5.91 ) (7.34) Sigm =3387.68 aCUFE?0.0942 t?1 ?0.0957 t?2 Y Y R = 0.999 D =1.95 W第三步：逐级约化ADL模型为最简化模型，原则是 在通过各项检验标准的条件下，运用OLS法逐步略 去方程中t检验值最不显著的变量。具体将式 （7.33）中的Ct-2和Yt-2分别依次略去，最终得到 各变量均显著的最简化模型（7.34）。可以看出， 拟合方程的标准差由式（7.33）的3387.68下降为 式（7.34）的3355.41，方程得到了优化。? Ct =4Ct?1 +0.2789Y ?0.125Y?1 t t (t :)(4.72) (9.83) R = 0.9992Tuesday, 16 Dec. 2008(7.35)(6.19) D =1.95 W(?1.96) Sigm =3355.41 aCUFE第四步：将最简化模型应变量改写为一阶差分形式， 并设定ECM项。? Ct =9Y ?0.2006Ct?1 ?0.1538Y?1 t t (t :)(4.72) (6.19) R = 0.5772(7.36)(?2.47) D =1.95 W(2.42) Sigm =3355.41 a依 据 式 （ 7.32 ） 的 推 导 ， 令 ECMt = Ct 0.767*Yt ，其中-0.767 =0.1538/(-0.2006)。由于 式（7.36）只是对式（7.35）进行了变量的等价变 换，因此方程的标准差没有发生变化，均是3355.41。 可以验证ECMt～I(0)，即Ct与Yt存在协整关系。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE第五步：运用OLS法得到包含ECM项的误差修正模型。? Ct =8Y ?0.2005ECMt?1 t (t :)(7.09) (6.57) R = 0.5772(7.37) Sigm =3302.57 a(?2.56) D =1.95 W（7.37）同（7.36）相比，由于少了一个变量，方程 的标准差得以减少，方程更为简洁和优化。此时，可 将常数项写入均衡项，有：? C =0.2788 t ?0.2005(C?1 ?.767Y?1 Y t t t式（7.38）表明Ct 和Yt 的长期均衡关系式是(7.38)? = .767 C 16 Dec. 2008 Y t t Tuesday,CUFE小结本章重点介绍了时间序列分析中用到的一些基本概念和方 法。一.平稳性和非平稳性 平稳性和非平稳性一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在任何时间保 一般来说， 持恒定，并且两个时期t和 持恒定 ， 并且两个时期 和 t+k之间的协方差仅依赖于两时期 之间的协方差仅依赖于两时期 之间的距离（ 间隔或滞后）k， 而与计算这些协方差的实际 之间的距离 （ 间隔或滞后 ） ， 时期t无关 则该时间序列是平稳的。 无关， 时期 无关，则该时间序列是平稳的。只要这三个条件不全满 则该时间序列是非平稳的。事实上， 足，则该时间序列是非平稳的。事实上，大多数经济时间序 列是非平稳的。 列是非平稳的。 若一个非平稳序列X 必须取d阶差分才变为平稳序列 阶差分才变为平稳序列， 若一个非平稳序列 t 必须取 阶差分才变为平稳序列 ， 则 Xt是“d阶单整的”，表示为Xt~I(d）。 阶单整的” 表示为 ） 阶单整的Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE二 .平稳性检验 平稳性检验平稳性检验的方法有自相关函数法和单位根方法两类， 平稳性检验的方法有自相关函数法和单位根方法两类 ， 本章 中介绍了单位根方法。单位根是表示非平稳性的另一方式， 中介绍了单位根方法。单位根是表示非平稳性的另一方式，单 位根方法将对非平稳性的检验转化为对单位根的检验， 位根方法将对非平稳性的检验转化为对单位根的检验，本章介 绍的DF检验法简单实用 是目前最常用的单位根方法。 检 检验法简单实用， 绍的 检验法简单实用 ， 是目前最常用的单位根方法 。 DF检 验按以下两步进行： 验按以下两步进行： 第一步： 第一步：用 OLS法估计 法估计 △Xt=δXt-1+εt ， 得到常规tδ值。 得到常规 第二步： 第二步：检验假设 H0：δ= 0 Ha：δ＜0 ＜ 若接受原假设H0，则Xt非平稳。 若接受原假设 非平稳。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE三．协整分析协整分析是用于非平稳变量组成的关系式中长期均衡参数估 计的技术。协整分析涉及的是一组变量， 计的技术 。 协整分析涉及的是一组变量 ， 它们各自都是不平 稳的，但它们同步。 稳的 ， 但它们同步 。 这种变量的同步使得这些变量之间存在 长期的线性关系， 长期的线性关系 ， 因而使人们能够研究经济变量间的长期均 衡关系。如果这种长期线性关系不成立， 衡关系 。 如果这种长期线性关系不成立 ， 则对应的变量被称 为是“非协整的” 协整的定义是： 为是“非协整的”。 协整的定义是： 如果两时间序列Yt～ I(d）， Xt～ I(d）， 并且这两个时间序 如果两时间序列 ） ） 列的线性组合a 阶单整的， 列的线性组合 1Yt+a2Xt 是(d-b)阶单整的，即a1Yt+a2Xt～I(d-b） 阶单整的 ） 被称为是（ ， ）阶协整的。 （d≥b≥0），则Yt 和Xt被称为是（d，b）阶协整的。记为 ） Yt，Xt～CI(d，b）。 ， ）Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE当回归方程中涉及的时间序列是非平稳时间序列时， 当回归方程中涉及的时间序列是非平稳时间序列时，OLS 估计量不再是一致估计量，相应的常规推断程序会产生误导。 估计量不再是一致估计量，相应的常规推断程序会产生误导。 这就是所谓的“伪回归”问题。可是，如果Y 是协整的, 这就是所谓的“伪回归”问题。可是，如果 t 和Xt是协整的 并且均衡误差是平稳的且具有零均值，我们就可以确信， 并且均衡误差是平稳的且具有零均值，我们就可以确信，方 程 Yt =β0+β1Xt+εt 将不会产生伪回归结果。 将不会产生伪回归结果。 因此，要避免伪回归问题， 因此，要避免伪回归问题，就应该在进行回归之前检验一 下所涉及的变量是否协整。本章介绍了两种检验协整的方法： 下所涉及的变量是否协整。本章介绍了两种检验协整的方法： Engle-Granger法和 法和Durbin-Watson法。 法 法和 协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估计， 协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估计，按照戈兰杰 代表定理，如果两变量Yt和Xt是协整的，则它们之间存在长 代表定理，如果两变量 是协整的， 期均衡关系。当然，在短期内，这些变量可以是不均衡的， 期均衡关系。当然，在短期内，这些变量可以是不均衡的， 扰动项是均衡误差ε 扰动项是均衡误差 t。两变量间这种短期不均衡关系的动态结 构可以由误差修正模型来描述。 构可以由误差修正模型来描述。Tuesday, 16 Dec. 2008 CUFE复习思考题1．请说出平稳时间序列和非平稳时间序列的区别，并解释为 ．请说出平稳时间序列和非平稳时间序列的区别， 什么在实证分析中确定经济时间序列的性质是十分必要的。 什么在实证分析中确定经济时间序列的性质是十分必要的。 2．什么是伪回归？在回归中使用非均衡时间序列时是否必定 ．什么是伪回归？ 会造成伪回归？ 会造成伪回归？ 3．有人说，协整分析实质上是一种缺乏理论基础的“归纳 ．有人说，协整分析实质上是一种缺乏理论基础的“ (inductive)”方法。请对上述说法谈谈你的看法。 方法。 方法 请对上述说法谈谈你的看法。Tuesday, 16 Dec. 2008CUFE谢谢! 谢谢!Q&ATuesday, 16 Dec. 2008CUFE
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