生育率、人力资本积累和经济增长
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生育率、人力资本积累和经济增长
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    从上面的路径图我们可以看到，生育率对人力资本积累所产生的影响是人口和经济发展关系的重要路径。
    对经济增长问题的思考始自斯密，他不仅观察到人均收入的长期增长是增进人类福祉的关键因素，还指出经济增长之所以会产生，是由于专业化和劳动分工。斯密的这一观点至今仍为很多经济学家所推崇和发挥。见杨小凯、张永生：《新兴古典经济学和超边际分析》，中国人民大学出版社，2000。专业化和分工是提高经济效率的基础，而贸易则是专业化进一步演进的前提。斯密并没有清晰地给出经济增长的产生机制，而且在斯密的模型中，也没有明确地涉及经济增长是如何与人口因素发生联系的。
    不过发端于此的大量研究普遍发现了经济变量，诸如人均收入、工资率、男性和女性的受教育水平以及城市化等与生育率（死亡率）问题的重要联系。自从古典经济学诞生以来，人们对经济增长和生育率（人口因素）之间相互关系的认识大致经历了以下几个阶段：第一阶段，是从马尔萨斯模型到新古典增长模型。虽然明确提出了人口因素和经济增长之间的关系，但却由于经济学理论尚未成熟，而未能阐明两者相互作用的机理。第二阶段，也就是索洛-斯旺模型和拉姆齐模型所描述的，人口增长率虽然影响经济的稳态增长水平，但人口增长率是经济系统以外的因素所决定的。因此，也未能明确说明经济发展和人口因素之间相互联系的机制。第三阶段，在增长模型中经济发展也影响家庭生育率的选择，也就是说，生育率是内生于经济系统以内的因素，并以此为新增长理论构建了微观基础。
    我们首先来看一看，在马尔萨斯理论占据主导地位的时候，人们是如何认识经济和人口之间的关系的。较之后来发展的新古典经济学理论，马尔萨斯对人口和经济增长之间的关系有更直接的论述，而且其产生的影响也更甚。正如Galor和Weil所指出的，马尔萨斯模型有两个关键的组成部分：（1）存在一些固定供给的生产要素，如土地。由于土地等要素的供给是固定不变的，那么其他要素就是可变的，就要受到边际收益递减规律的制约。(2)生活水准的提高对人口增长率有正面的影响，从经验上观察，就是人均收入水平的上升也会刺激生育率的提高。
    经济的增长与人均收入的某一个水平有关，当收入超过均衡水平时死亡率下降，生育率上升，反之，则会有相反的结果；而出生率和死亡率的消长关系，又会影响到人均收入水平的变化，n*可以看作是处于均衡状态的生育率。因此，经济处于一个不断的循环之中，这也就是我们将因人口原因而长期停滞不前的经济称为陷入“马尔萨斯陷阱”的原因。马尔萨斯模型在人类历史的大部分时间内都具有预测力，而且对于那些处于贫穷状态中的发展中国家，也具有解释力。Lee就发现，在很多未实现工业化的国家中，生育率的收入弹性为正值，死亡率的收入弹性为负值。这就意味着，在那些贫穷的发展中国家，人均收入的提高对提高生育率水平是有正向作用的。然而，在过去一百多年内马尔萨斯对工业化国家的解释力非常有限，尤其是西方社会工业革命所带来的生产率飞速增长，以及由此产生的人口和技术变迁，展现出和马尔萨斯模型完全不同的发展路径，这更使得马尔萨斯模型的实际意义大大降低。人们需要一个新的理论来解释经济增长以及与其相关的人口因素所产生的作用。
    马尔萨斯模型隐含着这样的结论：在缺乏技术变迁或者无法继续获得土地资源的情况下，人口规模将会自我实现均衡。如果长期的可用资源增加，则资源增加的效果会被人口规模增加所抵消。技术领先国家的人口密度也更高，但在马尔萨斯模型下，生活水准和技术水平是没有关系的。这与后来发展的新古典增长模型不同，后者认为技术进步是推动经济增长的源泉。
    在新古典经济学的分析框架中，生育率尽管会对经济增长产生影响，但它却是一个外生的概念，也就是说，生育率的水平并不受经济发展的速度和水平影响。而生育率对经济增长的影响机制则是通过影响经济增长的稳态稳态是指经济中各个变量都以不变速率增长的状态。（steady state）水平，对经济增长的结果产生影响。按照新古典理论的解释，物质资本投资率对经济增长的影响受到了充分的重视。人口增长（生育率）对经济增长的影响也就有了新的注解。新古典经济学认为，经济增长过程中的生育率水平是一个外生的因素，是物质资本投资水平的变化与均衡水平关系决定了增长。
    于是，我们就可以发现新古典模型中，生育率和经济增长之间的联系机制。（1）生育率是外生于经济部门的因素，它会对经济增长的稳态水平产生影响，但经济增长对生育率的作用路径在新古典模型中并未得到解释；（2）生育率是通过影响有效折旧率来影响稳态的投资水平，并进而影响经济的产出水平的。以下，我们更进一步地观察在新古典的分析框架下，人口增长率（或者是生育率）发生变化时，经济的稳态水平会产生什么样的变动。
    由于根据索洛-斯旺模型，投资率的变化决定了人均收入水平的变化，那么储蓄率曲线与有效折旧率曲线的交点决定了经济的稳态水平。当储蓄率曲线位于有效折旧曲线之上时，投资率大于零；反之，投资率小于零。我们可以通过图3-3更直接地反映有效折旧率的变化对稳态水平的影响。假定储蓄率曲线不变，一个经济的人口增长率为n0，则其处于稳态的投资率水平为K0*。如果该经济实际的投资率为K，则AC决定了投资率增长的速度。如果人口增长率增加到n1，则有效折旧曲线上移至n1+δ，经济的稳态投资率遂变为K1*。此时，投资率的增长速度由AB决定。由于AB＜AC，基于新古典模型的另一个推演就是由于实际投资率距离稳态的距离不同而导致经济增长率差异，并由此产生经济增长的趋同现象。经济有条件的趋同（conditional convergence）已为很多经验研究所验证，见Barro, Robert J.and X.Sala?i?Martin（1995）， Economic Growth, New York：McGraw?Hill。因此我们将会发现该经济的人均收入增长率由于人口增长率的上升而下降。可见，更高的人口增长率降低了人均资本和产出的稳态水平，因而降低了人均增长率。
    可见，在新古典模型中，人口因素（主要是生育率）对经济增长的影响方式是外生的，因为一个经济的生育率水平影响了经济增长的稳态，但却没有能够在其模型的框架内解释人口增长率是由于何种因素上升（下降）的。新古典模型告诉我们增长率会由于稳态条件的变化而受影响，但将一个如此重要的变量完全由外生的力量来解释，显然是不能令人满意的。于是，随着经济学界对生育率问题认识的不断深化，才有了新近发展的内生生育率的经济增长模型。经济学家们开始认识到，生育率实际上内生于经济增长和人力资本水平，这样，经济学的研究成果无疑为人口学家解析人口问题提供了新的视角。Barro还以100多个国家的经验数据验证了宏观经济变量对生育率变动的影响。如果在增长框架中将劳动供给内生化，则需要在模型中涉及迁移、劳动和闲暇选择等问题。在这一领域的研究拓展了家庭经济学的研究范围，可以说是前文所述的“用经济学的方法来解释人口学问题”的又一例证。
    要阐明生育率与经济增长之间联系的内在机制，不得不引入人力资本的概念。也就是说，不能将经济增长仅仅归因于物质资本投资率的变化，还必须考察人力资本的生产过程以及对经济增长的作用。这其中，BMT模型所做出的贡献是不可忽略的。Becker等指出，无论是马尔萨斯模型还是新古典模型，都忽略了人力资本在经济增长中的作用。人口因素和人力资本的积累互为影响，同时，人力资本也是长期经济增长的决定性因素。我们将这三人提出的关于人力资本、生育率和经济增长之间相互关系的模型称为BMT模型。
    也正是由于Becker等对人力资本的作用予以充分的肯定，人口和经济发展之间的关系也得到了重新认识。首先，生育率和人力资本水平之间的互动关系得到了确认。一方面，生育率提升会稀释人力资本投资；另一方面，人力资本提高会增加生育的机会成本，降低生育率。其次，随着人力资本存量的增加，人力资本的收益率是递增的。这也和人们以前对其他要素回报的观察有着显著的差异。Becker等这样解释其假设的合理性：“人力资本的生产需要更加集约的人力资本，因此，人力资本的单位产出较之消费和物质资本生产都要付出更多的人力资本。”
    Becker认为，在经济发展和人力资本之间的相互关系中，存在着很多个均衡的状态。对于很多发展中国家而言，由于可以用于人力资本投资的资源非常有限，因此，人力资本投资数量不足。当人力资本的投资数量低于稳态水平时，经济发展将向低稳态点滑落，也就是陷入贫困陷阱的情形。而一旦人力资本投资可以越过这个低稳态点，由于人力资本投资具有收益递增的特性，就会成为促进经济不断成长的基本动力。很多发达国家就是处于这样的情形。对于发展中国家来说，要摆脱贫困陷阱，就需要有一个额外的推动力量，加大社会对人力资本投资的力度，以确保人力资本投资能高于低稳态的水平。但Becker并未总结出如何使发展中国家跳出贫困陷阱，以及经济发展机制是如何确保人力资本投资达到这样的水平，只是将其归结为历史和运气（history and luck）。我们在稍后也将结合中国改革开放以来的经济增长实践，探讨中国经济增长的原因。
    实际上，我们在上面的分析中已经看到，在贫困的临界点附近，马尔萨斯机制发挥了重要作用：在该点（贫困陷阱）附近，人力资本的存量微乎其微，生育率水平却很高；由于生育率水平高，即便有一些人力资本投资，也会由于生育率的变化使经济回归于贫困陷阱。但“历史和运气”的因素，将会有助于经济摆脱贫困陷阱。
    第一，技术进步以及其他一些外生因素的冲击，有可能使人力资本投资提升到稳态水平之上。例如：煤的使用方法的改进，铁路和海运的提高，价格和外贸管制的放松等成为促成西方世界经济增长的重要动因。由此看来，中国改革开放以来实施的一系列经济改革措施也起到了同样的作用，例如，市场化改革带来的要素流动和效率改善，非国有经济比重的提高，外贸依存度的增加，交通运输等基础设施的兴建等等因素都给经济增长产生了正向“冲击”（shock）的影响。
    第二，Becker等强调要跳出“贫困陷阱”并走上快速经济发展道路的外生因素中，“运气”的成分之所以很重要，是因为仅有上述条件往往并不能促成经济增长。因为正向冲击发生的时间需要恰逢其时，而且其强度要使人力资本或物质资本投资产生足够的推动力，才能摆脱贫困陷阱。而这种“第一推动力”只要产生了适宜的初始条件，即便以后不再有额外的创新刺激，或类似于创造初始条件的偶然事件，经济也会持续地发展。也就是说，只有经济系统以外的因素的强度足够大，才能使人力资本投资越过贫困临界点。当这些偶然事件产生的影响消失后，人力资本投资的轨迹虽然返回到正常的轨道，但由于此时经济已经顺利地越过临界点，因而走上了上升发展的通道。
    第三，就时机来说，中国的改革开放政策恰逢世界范围内的又一次国际资本转移。经济全球化的趋势在20世纪中叶即已开始，具体表现为国际间的资本流动和区域性分工。工资上涨、劳动力成本上升所引起的产业转移，是资本流动的重要原因。20世纪50～60年代，劳动密集型产业向日本等国家的转移；60～70年代向亚洲四小龙等国家和地区的转移，都是国际间资本流动和专业化分工的例证。20世纪80年代开始，亚洲四小龙等新兴工业化国家和地区的工资水平也开始明显上升，它们的劳动密集型产业的国际竞争优势逐渐丧失。在这种情况下，如果不抓住这短暂的机遇期，国际资本和产业就有可能流向其他的国家和地区。因此，中国此时积极的改革开放步伐恰巧与国际经济的转移和资本流动契合，并造就了后来中国经济的飞速发展。
    第四，Becker等还指出，“增长过程中的某些点，经济会经历人力资本和物质资本积累特别迅速的时期，而此时出生率和家庭规模也会下降”。这种变化类似于Rostow所谓的经济起飞。但在BMT模型中，经济起飞是通过投资于人力资本的收益递增，以及随着资本积累的增加生育子女的成本增加而推动的，这一观点也可以在中国经济最近二十余年的发展历程中得到体现。改革开放以来中国的人力资本回报增加非常明显。尽管物质资本的积累速度可能并不足够快，从而难以形成对生育率的影响，但中国在20世纪80年代初实施严格的生育政策极大地提高了生育的成本，并有效地降低了家庭的规模。
    第五，我们应如何理解历史的因素在人力资本积累和经济增长过程中所产生的作用呢？一个国家的历史不仅是时间的流逝，也是文化积淀的过程。中国的历史及其所积淀的文化对现代经济增长也存在积极的推动作用，这其中很重要的一点就是对教育和人力资本投资的充分重视。正是由于对教育的重视，使得即便在教育公共投资不足的情况下，个人投资也会弥补其不足。这一点可以从教育支出占家庭支出的份额中得到体现。
    下面，我们将对表征生育率和经济增长关系三个阶段的这三个模型进行总结，如表3-1所示。通过对这些模型的比较，我们可以发现BMT模型具有更强的解释力：判断理论优劣的重要标准之一是其对现实世界的解释力和对未来世界的预测力。多重稳态特征，使它更能说明现实世界存在的不同状态的经济发展现象；引入人力资本则使其能够更好地解释经济为何成长。而各种解释模型的发展是伴随着技术和人口变迁的现实不断变化而产生的。正如Glaor和Weil所指出的：“历史经验表明，将马尔萨斯和后马尔萨斯体制区别开来的关键史实是技术进步步伐的加速，而将后马尔萨斯时代和现代经济增长区分开来的是紧随工业革命的人口转型。摆脱马尔萨斯陷阱以及人口转型的发端，向经济学家提出了发人深省的问题：人均收入和人口增长之间的联系到底如何？……”（都阳）
    本文摘自《中国人口与劳动问题报告》，由中国网独家发布。其他媒体不得以任何形式擅自转载，否则将负法律责任。
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人口年龄结构的Solow-Swan模型
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《数学杂志》2015年第六期
本文中,我们将人口年龄结构引入经典的Solow-Swan模型,探讨人口年龄结构变动对经济增长的影响.利用比较定理证明当人口趋于稳定的人口结构时刻划模型的微分方程的解是渐近稳定的.通过数值仿真,我们看到经济增长在少年抚养下降时加速,在老年抚养上升时减缓.在人口转变时期存在“人口红利”,人口老龄化导致的劳动力人数占人口的比重下降会使经济增长减缓甚至下降.
Solow-Swan模型;微分不等式;渐近稳定性;人口年龄结构;数值仿真
近年来,人口年龄结构变动对经济增长的影响引起了人口学家和经济学家的广泛重视[14].Bloom等人[57]作的经验分析表明当少年抚养比下降而老年抚养比上升之前存在“人口红利”.Wei与Hao[8]建立一个计量模型探讨中国人口年龄结构的变动及对经济增长的影响.Blanchard[9]构造一个最优经济增长模型研究人口年龄结构对政府赤字的动态影响.Hippolyted’Albis[10]给出一个连续世代交叠模型探讨人口年龄结构对经济增长的影响.然而,在文献[9]和[10]中,人口结构年龄结构是稳定的,即不随时间而变动.这与世界绝大多数国家的人口年龄结构实际的变动情况是不相符合的.在经济增长的文献中,人口增长率通常简单地假设为一个常数或随时间单调下降的函数[1112].本文中,我们将随时间变动的人口与劳动力人数引入经典的Solow-Swan模型,探讨人口年龄结构变化导致的人口与劳动力人数变化对经济增长的影响.利用比较定理证明当人口与劳动力人数趋于稳定时,刻划模型的微分方程的解是渐近稳定的.通过数值仿真,我们看到经济增长在少年抚养下降时加速,在老年抚养上升时减缓.在人口转变时期存在“人口红利”,人口老龄化导致的劳动力人数占人口的比重下降会使经济增长减缓甚至下降.
2模型的建立
假定生产函数为F(K(t),L(t)),满足新古典主义生产函数的条件,其中K(t),L(t)为t时刻的总资本和劳动力人数.设储蓄率和资本折旧率分别为s和δ。
3比较定理与收敛性
由假设1和假设2,人口增长率n(t)和劳动力人口占人口的比重在[0,∞)上有界.记则由引理1和微分不等式[13]。
人口转变时期总出生人口变化的显著特征为由低出生人口转变到高人口出生,然后下降的过程.当高人口出生时期人口进入生育期后会出现第二次人口生育高峰.因而,通常总出生人口数在呈现出两次生育高峰后才进入一个稳定的状态.为此,我们用分段函数B(t)对人口出生过程进行数值仿真(表达式见附录).其图形见图1.为了反映人口存活率随时间增长的过程,我们首先给出基准的人口存活率L(a)=l(60,a),即t=60时的人口存活率.其中,a为年龄.L(a)的函数表达式也由分段光滑函数给出(表达式见附录),其图形见图2.t时刻的人口存活率设为l(t,a)=L(a(1h(t)).对于给定t时刻的总出生人口函数B(t)与人口存活率函数l(t,a)得出t时刻年龄为a的人口数为p(t,a)=B(ta)l(t,a).人口年龄结构图见图4.对于上述指定不同时刻的存活率,人的最大寿命小于&#.因此,t时刻的人口总数与劳动力人数。生产函数给定为Cobb-Douglas生产函数AKαL1α.经济的初始资本、储蓄率、技术水平、资本份额和资本折旧分别设定为K0=1,s=0.3,A=1.2,α=0.25,δ=0.05,则由(2.1)和(2.2)式分别得到资本与人均资本的随时间的增长过程(见图13与图14).
由定理2,当人口年龄结构趋于稳定,进而人口增长率与劳动人数占人口比重趋于稳定时,经济增长最终也趋于稳定.而由数值仿真我们看到人口转变时期的人口增长率的变化与人口年龄结构变动导致的劳动人数占人口比重的变化使得经济增长出现波动.比较图1、图4与图5,我们看到,随着总出生人口数经历一次高峰及后续的次高峰后,人口总数的增长达到一个高峰出现下降.图6显示的人口增长率则由加速增长转变为低速增长,最后出现下降.但总人口的下降则较为缓慢.这是人口存活率上升的结果(见图3).
随着高人口出生时期人口进入劳动年龄人口,劳动年龄人数呈现快速上升的情况,但劳动年龄人口的下降显著地先于人口总数的下降,下降的幅度也大于总人口的下降,这是由于生存率上升导致的人口老龄化产生的结果.相应地,高人口出生时期的人口进入劳动年龄人口,少年抚养比下降,劳动力人数占总人口比重快速上升,经济出现了一个“人口红利”时期.随着高出生人口进入老年,这一比重开始下降,最后渐近地趋于稳定(见图8).
对应于人口出生高峰与跟随其后的次高峰,少年人口数也出现高峰和次高峰,其后少年人口数下降并趋于一个稳定的水平(见图9).少年抚养比呈现出类似的形态(见图11).老年人口的迅速上升则是高出生时期的人口进入老年时开始的，随着人口存活率的上升,老年人口总数快速上升,最后稳定在一个较高的水平(见图10).老年抚养比在经历了一短暂的下降后也呈现出类似的形态(见图12).
通过数值仿真我们看到,人口年龄结构的变化与存活率的上升对经济增长有着本质的影响.在经典的Solow-Swan模型中,人均资本随着人口增长率下降是上升的.其原因在于模型中将经济中所有人口当作劳动力考虑的,没有区分劳动年龄人口及他们占总人口的比重的问题.而将人口年龄结构的变化及存活率上升导致劳动年龄人口数和他们占总人口的比重的变动引入经典的Solow-Swan模型后,情况则发生了本质的改变.在“人口红利”时期,总资本和人均资本都迅速上升,伴随着总出生人口、劳动年龄人口占总人口比重的波动变化,人均资本也出现波动的变化,并在人口老龄化严重的时期出现下降(见图14).
作者：蔡东汉 葛夫夫 陈忠斌 单位：武汉大学数学与统计学院 武汉大学经济与管理学院数学杂志责任编辑：杨雪&&&&阅读：人次
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某经济生产特征为新古典函数y=k0.5n0.5,假定储蓄率为0.1,人口增长率为0.02,平均折旧率某经济生产特征为新古典函数y=k0.5n0.5，假定储蓄率为0.1，人口增长率为0.02，平均折旧率为0.03(1)以人均形式写出生产函数(2)人均收入和人均资本的稳态值是多少
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（1）Y = K1/2N1/2两边除以N得Y/N = (K/N)1/2，即y = k1/2。（2）因为k = sy/(n + d) = sk1/2/(n +d) ==> k1/2 = s/(n + d)所以 y* = s/(n + d) = (0.1)/(0.02 + 0.03) = 2k* = sy*/(n + d) = (0.1)(2)/(0.02 + 0.03) = 4
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