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期权定价公式里Ke﹣r(T-t)里,为什么e上面是负r而不是r
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因为这是连续复利下的折现,就相当于1/exp(r*t)
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布莱克―舒尔斯期权定价
布莱克―舒尔斯期权定价模型 布莱克 舒尔斯期权定价模型深化第五章中期权定价的概念, 深化第五章中期权定价的概念,尤其是二 叉树定价方法 期权的风险实际上在标的物的价格及其运 动中就得到反应, 动中就得到反应,而且标的物的价格还反 映了市场对未来的预期,因此, 映了市场对未来的预期,因此,要研究期 权的定价必须首先刻画标的物股票价格运 权的定价必须首先刻画标的物股票价格运 动的规律股票价格运动的规律证券价格可能取任何值 研究股票价格运动规律―得出二叉树定价 研究股票价格运动规律 得出二叉树定价 的合理性随机过程一族无穷多个相互有关的随机变量{S(t)} 一族无穷多个相互有关的随机变量 如果t&=0,则是随机过程 如果 ,则是随机过程 如果t的变化是离散的 则是随机序列或随 的变化是离散的, 如果 的变化是离散的,则是随机序列或随 机链 S(t)可以是一维的变量,也可以是多维的向 可以是一维的变量, 可以是一维的变量 量股票价格运动规律~ ~ ~ ~S0 S1 S2 L S364 S365~ ~ ~
364 1+Rt S = ~t 365 S t 1每天的收益率~ ~
~ S S S S R R 1 + R =
年利率利用连续计息方式计息的连续复利~ ~
= log St = log ~
r = log 1 + R
= log 1 + + log 1 + + L + log 1 +
1 推 = ( r1 + r2 + L + r365 ) 广 365连续计息的利1 r = ( r1 + r2 + L + rn ) n股票价格运动方式的基本假设1)所有的 rt 都是独立同分布的; 所有的 都是独立同分布的; 2)股票的价格变化是连续的. )股票的价格变化是连续的. 由假设条件可知:当时间间隔取很小, 由假设条件可知:当时间间隔取很小,即n可以取 可以取 很大数值时r(股票的连续复利收益率) 很大数值时 (股票的连续复利收益率)服从正态 分布,价格的年变化就服从对数正态分布 分布,价格的年变化就服从对数正态分布 说明:鉴于正态分布是统计学上最常见的现象, 说明:鉴于正态分布是统计学上最常见的现象,人们自然会设想金融资产的价格服从正态分布, 会设想金融资产的价格服从正态分布,然而这种假设会带 来若干问题, 来若干问题,最明显的就是服从正态分布的随机变量可以 取负值,但负的资产价格却没有意义; 取负值,但负的资产价格却没有意义; 既然可以认为资产收益率服从正态分布, 既然可以认为资产收益率服从正态分布,那么通过考 察资产价格与收益率之间的关系, 察资产价格与收益率之间的关系,便可探求资产价格的变 化规律~
~ N ( T , σ 2T ) log
= σ 2T Var
1 2 E ( S (T )) = S (0) exp( T + σ T ) 2~二叉树定价的合理性二叉树各个阶段股票价格的变化是互相独立的, 二叉树各个阶段股票价格的变化是互相独立的, 而且变化的概率分布是同分布的,因此满足条件1 而且变化的概率分布是同分布的,因此满足条件 二叉树定价中所分阶数越来越多,适当的选择二 二叉树定价中所分阶数越来越多, 叉树中的u和d,使他们都足够快的趋于1, 叉树中的u和d,使他们都足够快的趋于1,当所 分阶数趋于无穷大时, 分阶数趋于无穷大时,股票的价格变化就趋向于 对数正态分布(收益率变化趋于正态分布) 对数正态分布(收益率变化趋于正态分布) 适当选择参数, 适当选择参数,二叉树无限细分确实能够描述股 票价格的运动规律布莱克―舒尔斯期权定价模型 布莱克 舒尔斯期权定价模型假设条件: 假设条件: 1)市场的无摩擦性 ) 2)从时刻 到t=T,都可以以一相同不变的 )从时刻t=0到 , 利率借贷,利率按连续复利r计算 利率借贷,利率按连续复利 计算 3)从时刻 到t=T股票不分红 )从时刻t=0到 股票不分红 4)标的物股票价格的变化遵循对数正态分布 ) 的随机过程伊藤过程在以上假设条件下, 在以上假设条件下,股票价格的运动遵循 一种称之为带漂移的几何布朗运动的规律, 带漂移的几何布朗运动的规律 一种称之为带漂移的几何布朗运动的规律, 在数学上则表现为称作伊藤过程 伊藤过程的一种随 在数学上则表现为称作伊藤过程的一种随 机过程1 2 dS =
Sdt + σ Sdz = (
+ σ ) Sdt + σ Sdz 2*漂移率波动率布朗运动连续计算收益率的股票在单位时间内收益 的自然对数实际就是单位时间连续计息的 复利收益率 满足上述伊藤过程的股票的连续计息复利 收益率服从正态分布, 收益率服从正态分布,所以这一伊藤过程 的数学模型确实描绘了股票价格的连续变 化规律(附录中证明) 化规律(附录中证明)伊藤引理是衍生品的价格( 如果 f = f ( S , t ) 是衍生品的价格(取决于标的物 股票的价格S和时间 ),则有以下的关系 和时间t), 股票的价格 和时间 ),则有以下的关系f * f 1
2 f 2 2 f df = (
S + + σ S )dt + σ Sdz 2 S t 2 S Sf 显然, 显然, = f ( S , t ) 可以统一地表示买权或买权的价格动态复制过程1)与复制 份欧式买权相对应,股票的头寸始终 与复制1份欧式买权相对应 与复制 份欧式买权相对应, 小于1股 小于 股 f 2) ) =S3)套头比不停的变化,所以为了复制一份期权, )套头比不停的变化,所以为了复制一份期权, 需要随时调整复制组合中股票的头寸, 需要随时调整复制组合中股票的头寸,但这种调 整是自融资的 这一动态复制过程就是用期权, 这一动态复制过程就是用期权,标的物股票和一 种无风险证券来构筑一个无套利均衡的组合头寸f f = SL S f L=f + S S f δ L = δ f + δ S S
σ S δ t 2
t 2 S δLL δL = rf L δt= rf δ t布莱克―舒尔斯随机微分方程 布莱克 舒尔斯随机微分方程f f 1
f 2 2 + rf S + σ S = rf f 2 t S 2 S2布莱克―舒尔斯的期权定价公式 布莱克 舒尔斯的期权定价公式c = S (t ) N (d1 )
Xe p = Xe r f (T
t ) r f (T
t )N (d 2 )N (d 2 )
S (t ) N (d1 )注:N(.)是累计正态分布函数对定价公式的说明(看涨期权) 对定价公式的说明(看涨期权)当上述一个变量改变,而其他变量不变时, 当上述一个变量改变,而其他变量不变时,看 涨期权的价值特征: 涨期权的价值特征: 1)标的物股票的价格 越高,看涨期权的价值也 越高, )标的物股票的价格S越高 就越高 2)期权执行价 越高,看涨期权的价值越低 越高, )期权执行价X越高 3)期权的到期时间 越长,看涨期权价值越高 越长, )期权的到期时间T越长 4)无风险利率 rf 越高,看涨期权价值越高 越高, ) 5)标的物股票的价格波动率 σ 越大,看涨期权 越大, ) 的价值越高关于波动率:在这个公式中, 关于波动率 在这个公式中,最难理解的莫过于波动率(σ),其实这是期权定价法中最重要的变量.这个变量 ),其实这是期权定价法中最重要的变量. 其实这是期权定价法中最重要的变量 体现的是:金融市场上,吸收了全部当前&信息&之后, 体现的是:金融市场上,吸收了全部当前&信息&之后, 对未来该股票价格走势的&不确定性&的判断. 对未来该股票价格走势的&不确定性&的判断.也就是说, 越小, 也就是说,σ 越小,说明市场对该股票价格的判断就越明 市场上投资人相信其价格在未来不会出现大的波动, 确,市场上投资人相信其价格在未来不会出现大的波动, 投资人根据当前市场上掌握的信息, 投资人根据当前市场上掌握的信息,可以比较容易地判断 该股票未来价格走势, 该股票未来价格走势,因而该股票未来价格的不确定性也 就越低. 就越低. 如果σ越大,说明市场对其价格的判断越困难, 如果σ越大, 说明市场对其价格的判断越困难, 市场上投 资人相信该股票在未来会出现剧烈的价格波动. 资人相信该股票在未来会出现剧烈的价格波动.投资人根 据当前市场上掌握的信息,很难判断该股票未来价格走势, 据当前市场上掌握的信息,很难判断该股票未来价格走势, 因而该股票未来价格的不确定性也就越高. 因而该股票未来价格的不确定性也就越高.利用布莱克― 利用布莱克―舒尔茨公式求解期权价格 假设年利率为20%,有效期限为半年 敲定价格为$105, 20%,有效期限为半年, [例1] 假设年利率为20%,有效期限为半年,敲定价格为$105, 股票现行价格为$100,股票价格波动率为5%.那么, 股票现行价格为$100,股票价格波动率为5%.那么,该股票欧 $100 5% 式看涨期权的价格为多少? 式看涨期权的价格为多少? 显然, OO, 105, 20, 50, 显然,S0=1OO,X=105,r=0.20,T-t=0.50,σ=0.05 用公式计算: 用公式计算:d1=1.47 ; d2=1.43 查正态分布数值表(标准正态曲线下的面积―累积概率): 查正态分布数值表(标准正态曲线下的面积―累积概率) )=N(1 47)= 9292; )=0 )=N(1 43)= )=0 N(d1)=N(1.47)=0.9292; N(d2)=N(1.43)=0.9236 用公式计算: 用公式计算: C = $5.17
布莱克-舒尔斯期权定价模型 第六章 布莱克 舒尔斯期权定价模型 一、 影响期权价值的主要因素 由前面的分析知道决定期权价值(价格)VC 的因素是到期的 股票市场价格 ...布莱克-舒尔斯期权定价模型 C 动态图如果股票的波动率增大,看涨期权价格将会怎样?如果到期时间延长,看跌期权价 格将会怎样?你可以通过使用“微调项”创建动态图来回...布莱克-舒尔斯期权定价模型 C 基础问题。 1999 年 12 月 13 日,亚马逊股票价格为 $102.50, 连续复利收益率的年波动率为 86.07%, 2000 年 4 月 20 日到...布莱克-舒尔斯期权定价模型 C 基础问题。 1999 年 12 月 13 日,亚马逊股票价格为 $102.50, 连续复利收益率的年波动率为 86.07%, 2000 年 4 月 20 日...金融市场学:二叉树期权定价摸型
09:22:30 第五节 二叉树期权定价摸型 由于美式看跌期权无法用布莱克――舒尔斯期权定价公式 进行精确定价,因此要用...布莱克―――舒尔期期权定价模型的缺陷 7.1 布莱克――舒尔期期权定价模型的缺陷 无论在学术上还是商业上,布莱克-舒尔斯期权定价模型都是非常成功的。但是,理论模型...(7)欧式看跌期权定价公式 布莱克-舒尔斯欧式看涨期权定价公式为: p ? Xe? r (T ?t ) N ?? d 2 ? ? SN ?? d1 ? 在单元格 B21 中入 =-B4*B19+...Black-Scholes 期权定价模型在公司价值评估中的应用摘要:1973 年布莱克斯科尔斯提出...4.2 评估方法 评估方法及验证用布莱克一舒尔斯期权定价公式: C ? SN( d1) ?...3.请证明布莱克-舒尔斯看跌期权和看涨期权定价公式符合看跌期权和看涨 期权平价公式。 4. 某股票市价为 70 元,年波动率为 32%,该股票预计 3 个月和 6 个月...基于蒙特卡罗模拟在天气期权定价中的运用 摘要: 本文对蒙特卡罗模拟和广泛运用于传统金融衍生品定价中的布莱克舒尔斯-莫顿期权定价模型进行比较,认为数值型期权定价方法...
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Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option
Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型
1 Black-Scholes 期权定价模型概述
2 B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
2.1 (一)B-S模型有5个重要的假设　
2.2 (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式
3 B-S定价模型的推导与运用
4 B-S模型的发展、股票分红
5 B-S模型的影响
6 相关条目
Black-Scholes 期权定价模型概述
　　日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert
Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black
Scholes Option Pricing
Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
　　斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer
Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The
Royal Swedish Academyof
Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
(一)B-S模型有5个重要的假设　
　　1、金融资产收益率服从对数正态分布；
　　2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；
　　3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；
　　4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
　　5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式
　　C=S&N(D1)-L&E-γT&N(D2)　
　　D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ&T
　　D2=D1-σ&T
　　C—期权初始合理价格　
　　L—期权交割价格
　　S—所交易金融资产现价
　　T—期权有效期
　　r—连续复利计无风险利率H
　　σ2—年度化方差
　　N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：
第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。　
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则T=.274。　
B-S定价模型的推导与运用
(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:
　　E[G]=E[max(ST-L，O)]
其中，E[G]—看涨期权到期期望值
　　ST—到期所交易金融资产的市场价值
　　L—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
　　1、如果ST&L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L
　　2、如果ST&L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:
　　max(ST-L，O)=0
　　E[CT]=P&(E[ST|ST&L)+(1-P)&O=P&(E[ST|ST&L]-L)
其中:P—(ST&L)的概率E[ST|ST&L]—既定(ST&L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
　　C=P&E-rT&(E[ST|ST&L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST&L]。
首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值，即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以证明，相对价格期望值大于EμT，为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT
其次，求(ST&L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ&χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差所以:P=Pr06[ST&1]=Pr06[1NSTS]&1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST&L下ST的期望值。因为E[ST|ST]&L]处于正态分布的L到∞范围，所以，
　　E[ST|ST]&=S&EγT&N(D1)N(D2)
其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT　
最后，将P、E[ST|ST]&L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S&N(D1)-L&E-γT&N(D2)　
(二)B-S模型应用实例
　　假设市场上某股票现价S为　164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:
　　①求D1:D1=(1N.052)+0.090.29&0.8
　　②求D2:D2=0.&0.
　　③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120　N(-0.06)=0.4761
　　④求C:C=164&0.&E-0.9&0.
　　因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。
(三)看跌期权定价公式的推导
　　B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:
　　S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T
　　移项得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，将B-S模型代入整理得:P=L&E-γT&[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即为看跌期权初始价格定价模型。
B-S模型的发展、股票分红
　　B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。
　　(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S&代入B-S模型中即可:S&=S-DT&E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:
　　C=(S-&E-γT&N(D1)-L&E-γT&N(D2)　
　　(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164&004=　6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。
　　在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S&=S&E-δT，以S&代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S&E-δT&N(D1)-L&E-γT&N(D2)
B-S模型的影响
　　自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical
Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。
二项期权定价模型
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二项期权定价模型（binomal option price model，SCRR
Model，BOPM）
1 二项期权定价模型概述
2 构建二项式期权定价模型
3 二叉树思想
4 相关条目
二项期权定价模型概述
Black-Scholes期权定价模型虽然有许多优点,
但是它的推导过程难以为人们所接受。在1979年, 罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型,
称为二项式模型(Binomial Model)或二叉树法(Binomial tree)。
　　二项期权定价模型由考克斯（Cox）、罗斯（Ross）、鲁宾斯坦（Rubinstein）和夏普（Sharpe）等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。
　　二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。
构建二项式期权定价模型
　　1973年，布莱克和休尔斯(Blackand
Scholes)提出了布莱克-休尔斯期权定价公式，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年，罗斯和约翰·考科斯(John
Cox)在《金融经济学杂志》上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。
　　1979年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark
Rubinstein)在《金融经济学杂志》上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权的定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein二项式期权定价模型。
　　二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的期权。
　　随着要考虑的价格变动数目的增加，二项式期权定价模型的分布函数就越来越趋向于正态分布，二项式期权定价模型和布莱克-休尔斯期权定价模型相一致。二项式期权定价模型的优点，是简化了期权定价的计算并增加了直观性，因此现在已成为全世界各大证券交易所的主要定价标准之一。
　　一般来说，二项期权定价模型的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。BOPM的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价
格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一
证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。
二叉树思想
1：Black-Scholes方程模型优缺点：
　　优点：对欧式期权，有精确的定价公式；
　　缺点：对美式期权，无精确的定价公式，不可能求出解的表达式，而且数学推导和求解过程在金融界较难接受和掌握。
　　假定到期且只有两种可能，而且涨跌幅均为10%的假设都很粗略。修改为：在T分为狠多小的时间间隔Δt，而在每一个Δt，股票价格变化由S到Su或Sd。如果价格上扬概率为p，那么下跌的概率为1-p.
3：u,p,d的确定：
　　由Black-Scholes方程告诉我们：可以假定市场为风险中性。即股票预期收益率μ等于无风险利率r，故有：
pSu + (1 &
p)Sd　　　　　（23）
　　即：e^{r\Delta
t}=pu+(1-p)d=E(S)　　　　（24)
　　又因股票价格变化符合布朗运动，从而
　　　　（25）
　　=&D(S) =
σ2S2δt；
　　利用D(S) =
p(Su)2 + (1 &
　　=&σ2S2Δt =
p(Su)2 + (1 &
[pSu + (1 &
　　=&σ2Δt =
p(u)2 + (1 &
[pu + (1 &
p)d]2　　　　（26）
　　又因为股价的上扬和下跌应满足：ud=1　　　　（27）
　　由（24），（26），（27）可解得：
　　其中：a =
　　在相等的充分小的Δt时段内，无论开始时股票价格如何。由（28）~（31）所确定的u,d和p都是常数。（即只与Δt,σ,r有关，而与S无关）。
风险中性定价理论概述
　　风险中性理论（又称风险中性定价方法 Risk Neutral Pricing Theory
）表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。
　　风险中性价原理是考克斯（Cox,
J.C.）和罗斯于1976年推导期权定价公式时建立的。由于这种定价原理与投资者的风险制度无关，从而推广到对任何衍生证券都适用，所以在以后的衍生证券的定价推导中，都接受了这样的前提条件，就是所有投资者都是风险中性的，或者是在一个风险中性的经济环境中决定价格，并且这个价格的决定，又是适用于任何一种风险志度的投资者。
　　关于这个原理，有着一些不同的解释，从而更清淅了衍生证券定价的分析过程。首先，在风险中性的经济环境中，投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；其次，正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴现率也恰好等于无风险利率，所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅（Martingle）。或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法（Martingale
Pricing Technique）。
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