[image]20 我的联想tooldlimagefail电视不知道咋了没声音有时开开声音它自动关到
点击联系发帖人
时间：2018-02-05 11:42
此文和本人发的圆锥曲线秒杀法是姊妹篇，前者侧重于道，本文侧重于术，建议将二者结合起来看。&/p&&p&
本文主要内容包括:如何利用化齐次、双根、隐函数求导和放缩、柯西不等式简化圆锥曲线中的计算。&/p&&p&
此外也欢迎大家来我知乎专栏&i&&b&读书.作文,&/b&&/i&&/p&&p&&i&&b&
微信公众号: 有酒可以留客谈、
做客，&/b&&/i&上面我会定期发布和高考作文相关内容&/p&&p&&i&&b&北京地区有数学、语文补习需求的可以私信本人，价格绝对比机构划算。&/b&&/i&&/p&&p&&i&&/i&定场文，本人写的高考作文纽带&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-55af6bbe6fe44ea8cb0ebd_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&825& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-55af6bbe6fe44ea8cb0ebd_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-780a53728fbe07ae08ff43_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-780a53728fbe07ae08ff43_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f02d1f439bed_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f02d1f439bed_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-80e1eb3ecc13a76d20abff41_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-80e1eb3ecc13a76d20abff41_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-56d82f4cf7aaef45c459e306b17d5a14_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-56d82f4cf7aaef45c459e306b17d5a14_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-733f9ab6c9d042ce1d4eb_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-733f9ab6c9d042ce1d4eb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f716a63d698d57d39a4fa_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f716a63d698d57d39a4fa_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2d892a401ac8f668b8d1e2f738c42443_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2d892a401ac8f668b8d1e2f738c42443_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-df9237b4cdde940feab17_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-df9237b4cdde940feab17_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-38bd149caca671dccafc25c3bca3a246_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-38bd149caca671dccafc25c3bca3a246_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fb90f344cafb2_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fb90f344cafb2_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a3c62ab3c43e84fb6974_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a3c62ab3c43e84fb6974_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-983fec531ef4ec7b3804_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-983fec531ef4ec7b3804_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fe9e1f8e01797d6fee3c_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fe9e1f8e01797d6fee3c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0e67ffb30a1_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0e67ffb30a1_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e44bd64f89f3e6faae2a_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e44bd64f89f3e6faae2a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0db9aea8cab_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0db9aea8cab_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f37a3f42bbffb9265117ea_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f37a3f42bbffb9265117ea_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b75af31b947d161cead1cd7ff551ecd9_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b75af31b947d161cead1cd7ff551ecd9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-07f65944bfb5b9c04bf8ce2d37c476ad_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-07f65944bfb5b9c04bf8ce2d37c476ad_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&
此文和本人发的圆锥曲线秒杀法是姊妹篇，前者侧重于道，本文侧重于术，建议将二者结合起来看。 本文主要内容包括:如何利用化齐次、双根、隐函数求导和放缩、柯西不等式简化圆锥曲线中的计算。 此外也欢迎大家来我知乎专栏读书.作文, 微信公众号: 有酒可以留…
谢邀。&br&我在高中时曾发现过一个关于三阶导数的简单定理：&br&&blockquote&&b&定理1 &/b&设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&三阶可导,且其导数有零点&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%28s%29%3D0& alt=&f'(s)=0& eeimg=&1&&.设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%5Cgeq+0& alt=&t\geq 0& eeimg=&1&&.若&br&①&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%27%28x%29%5Cgeq+0& alt=&f'''(x)\geq 0& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+f%28s%2Bt%29+%5Cgeq+f%28s-t%29& alt=& f(s+t) \geq f(s-t)& eeimg=&1&&;&br&②&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%27%28x%29%5Cleq+0& alt=&f'''(x)\leq 0& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+f%28s%2Bt%29+%5Cleq+f%28s-t%29& alt=& f(s+t) \leq f(s-t)& eeimg=&1&&.&br&等号当且仅当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&&时成立.&/blockquote&于此简要证明如下（对①):&br&令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%28t%29%3Df%28s%2Bt%29-f%28s-t%29& alt=&\Delta (t)=f(s+t)-f(s-t)& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%280%29%3D0& alt=&\Delta (0)=0& eeimg=&1&&,&br&则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27+%28t%29%3Df%27%28s%2Bt%29%2Bf%27%28s-t%29& alt=&\Delta' (t)=f'(s+t)+f'(s-t)& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27+%280%29%3D0& alt=&\Delta' (0)=0& eeimg=&1&&,&br&则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%27+%28t%29%3Df%27%27%28s%2Bt%29-f%27%27%28s-t%29& alt=&\Delta'' (t)=f''(s+t)-f''(s-t)& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%27+%280%29%3D0& alt=&\Delta'' (0)=0& eeimg=&1&&,&br&则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%28t%29%3Df%27%27%27%28s%2Bt%29%2Bf%27%27%27%28s-t%29& alt=&\Delta (t)=f'''(s+t)+f'''(s-t)& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%27%27%27%280%29%5Cgeq0& alt=&\Delta '''(0)\geq0& eeimg=&1&&.&br&从而,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%27%28t%29%5Cgeq0%2C+%5CDelta%27%28t%29%5Cgeq0%2C+%5CDelta%28t%29%5Cgeq0& alt=&\Delta''(t)\geq0, \Delta'(t)\geq0, \Delta(t)\geq0& eeimg=&1&&.证毕.&br&&br&这个定理的直观意义非常明显,②说明了在三阶导数为负的情形下,函数的导数增长越来越慢(或减少越来越快),如图:&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/d397dd26bd667eb55dd77f_b.jpg& data-rawwidth=&2592& data-rawheight=&1936& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2592& data-original=&https://pic3.zhimg.com/d397dd26bd667eb55dd77f_r.jpg&&&/figure&&b&定理2&/b& 对称的,对于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%27%28x%29%5Cgeq0& alt=&f'''(x)\geq0& eeimg=&1&&,我们有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3E2s& alt=&x_1+x_2&2s& eeimg=&1&&.&br&&br&这个定理可以说明很多高考中的问题。&br&在复习(尤其是三轮)的过程中,经常会遇见涉及方程两个根联合的不等式问题,例如:&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/37fe8e5cef21dfb071a480d016d7ded3_b.jpg& data-rawwidth=&1342& data-rawheight=&224& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1342& data-original=&https://pic4.zhimg.com/37fe8e5cef21dfb071a480d016d7ded3_r.jpg&&&/figure&只考察第三小问,我们发现这定理2的形式相似.实际上,不仅相似,而且相同.此题中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=s%3D1& alt=&s=1& eeimg=&1&&.&br&读者如有闲工夫,不妨提笔验证之.&br&&br&另外,如果令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28x%29%3D%5Cint%28f%28x%29-f%28%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%29%29%5Ctext%7Bd%7Dx& alt=&F(x)=\int(f(x)-f(\frac{a+b}{2}))\text{d}x& eeimg=&1&&,我们更有&br&&blockquote&&b&定理3 &/b&设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&二阶可导,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%3Eb& alt=&a&b& eeimg=&1&&,若&br&①&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%28x%29%5Cgeq0& alt=&f''(x)\geq0& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba-b%7D%5Cint%5Ea_bf%28x%29%5Ctext%7Bd%7Dx%5Cgeq+f%28%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%29& alt=&\frac{1}{a-b}\int^a_bf(x)\text{d}x\geq f(\frac{a+b}{2})& eeimg=&1&&;&br&②&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%28x%29%5Cleq0& alt=&f''(x)\leq0& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba-b%7D%5Cint%5Ea_bf%28x%29%5Ctext%7Bd%7Dx%5Cleq+f%28%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%29& alt=&\frac{1}{a-b}\int^a_bf(x)\text{d}x\leq f(\frac{a+b}{2})& eeimg=&1&&.&br&等号当且仅当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5Crightarrow+b& alt=&a\rightarrow b& eeimg=&1&&时成立.&/blockquote&这是Hadamard定理的一部分,十分有趣.令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dx%2Cf%28x%29%3D%5Cfrac1x& alt=&f(x)=x,f(x)=\frac1x& eeimg=&1&&之类的,可以得到最简单的(算术、对数等)均值不等式.
谢邀。 我在高中时曾发现过一个关于三阶导数的简单定理： 定理1 设f(x)三阶可导,且其导数有零点f'(s)=0.设t\geq 0.若 ①f'''(x)\geq 0,则 f(s+t) \geq f(s-t); ②f'''(x)\leq 0,则 f(s+t) \leq f(s-t). 等号当且仅当t=0时成立.于此简要证明如下（对①): 令\…
占个坑先 ，原先只是想随便答答的，居然还有人赞，实在抬举。最近三个月一直在玩炉石传说，而且身体一直生病没来得及更，实在不好意思，现在开始更。首先要说明的该答案针对的是高考知识的延伸，不是针对竞赛知识，也不会系统地讲高数，大多只是断章取义，受众是基础一般的高中生，大神请自觉跳过。 然后，我现在将要写的只是其中一小部分，尽量有空会将几何 代数 不等式 函数 数列 和有趣的tips都大致说一下，望大神勿喷。先讲解析几何&p&解析几何中 &/p&&p&关于导数&/p&&p&众所周知，导数在求关于求函数图像的切线等问题时非常有效，（可避免求△=0的复杂计算）高中定义的导数是要在函数的条件下（即一个x对应一个y）,遇到抛物线
双曲线 圆 椭圆问题时求导该怎么办呢？&/p&&p&那就隐函数求导吧（自行百科）抱歉handwriting非常渣&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/d6bab1f79db76a4ab31f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&326& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/d6bab1f79db76a4ab31f_r.jpg&&&/figure&那么请自行推导椭圆 圆 双曲线的隐函数求导会发现一个神奇的结论：以椭圆为例 &/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D+x%2Fa%5E2+%2B+y_%7B0%7D+y%2F+b%5E2+%3D1+& alt=&x_{0} x/a^2 + y_{0} y/ b^2 =1 & eeimg=&1&& 就是求其中一点（x0，y0)的 切线方程 将标准方程中的一个x和一个y换成该点的横纵坐标即可。 其它圆锥曲线亦然，好的提到这个方程就顺便迁到圆锥曲线的极点极线问题了。&/p&&p&既然讲到了解析几何那么不得不强烈推荐下贴吧里整理的知识点：&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//tieba.baidu.com/p/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&圆锥曲线基础必备&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//pan.baidu.com/s/1pJJMcSr& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&圆锥曲线基础必备.doc_免费高速下载&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/link%3Furl%3D0XSANitYJlw2P3OmHNhO3MaEOT1nEgmNIPpcys4ZMlFEK5w2chcXmPigIfkdkVQwLDw4PDSKVEd5e_yc9MnCU4nB7NvnNBaPzMbs7ugZ4ke& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&极点与极线背景下的高考试题&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&解析几何中的参数方程：&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/bcd569a1367_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&347& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/bcd569a1367_r.jpg&&&/figure&这张图大致就把基础的参数方程
切线方程的要点阐述清楚了。PS（双曲线的参数方程基本用不到，抛物线&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%3D2py& alt=&x^2=2py& eeimg=&1&&,切线方程&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D+x%3Dp%28y%2By_%7B0%7D+%29& alt=&x_{0} x=p(y+y_{0} )& eeimg=&1&&）&/p&&p&考题中圆锥曲线的一般求解访法通常就俩字---联立，但因为曲线多交点多，因而未知量多，我们常常很难快速找到参考答案中的最佳联立方式，是直接代入消元，还是两式相加减乘除，抑或是经特殊整理后以整体代入的形式联立。另外，有时候在众多曲线、动直线、动点之间的联动关系下，若没有等价转化思想就很难找到问题求解的最佳切入点（比如有的同学不知道什么时候改设点的坐标来表达直线方程，什么时候又该设直线方程来求点的坐标），从而被大量繁杂的字母运算吓退。&/p&&p&而当以参数方程的形式设出曲线上某店的坐标那么这个坐标不仅只含一个未知量，而且这个点也在曲线上，减少了联立方程的麻烦。总而言之，参数方程为最值问题、求轨迹问题，曲线过定点等常见问题求解&b&提供了一个明确的方向。&/b&&/p&&p&附两个小tips：&/p&&p&平行四边形ABCD两相邻向量AB=（a,b)AD=(c,d),则&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/b647b3f77d2f46a6d0d3d_b.jpg& data-rawwidth=&173& data-rawheight=&48& class=&content_image& width=&173&&&/figure&(2x2行列式的特征值的几何意义）&/p&&p&注意利用图形的对称性&/p&&p&一波题目正在靠近~~~&/p&&p&已知圆C1：x^2+y^2=r1^2&/p&&p&圆C2：x^2+y^2=r2^2(r1≠r2)&/p&&p&C1上的动点P和圆C2上动点Q满足&/p&&p&存在λ∈R，op=λOQ,过点P作y轴的垂线l1&/p&&p&过点Q作x轴的垂线，l1∩l2=T,求点T的轨迹方程：&/p&&p&参数方程做法：&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/7a8ffc28ad9e773c7bc845_b.jpg& data-rawwidth=&236& data-rawheight=&186& class=&content_image& width=&236&&&/figure&&/p&&p&妈的个腾，不知道为什么mathtype打不了中文，T的轨迹就是个椭圆，这也是椭圆的几何画法。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/e12c98a5d5aeeafd5894_b.jpg& data-rawwidth=&3552& data-rawheight=&2000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3552& data-original=&https://pic1.zhimg.com/e12c98a5d5aeeafd5894_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/5bc50c31085ad7ebb70fc35a61e8d1f8_b.jpg& data-rawwidth=&3552& data-rawheight=&2000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3552& data-original=&https://pic1.zhimg.com/5bc50c31085ad7ebb70fc35a61e8d1f8_r.jpg&&&/figure&&br&注意&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta+& alt=&\theta & eeimg=&1&&不是原点与椭圆上的点连线与X轴的夹角&br&而是小圆上对应该Y坐标的对应点的圆心角&br&设椭圆M&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1+& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 & eeimg=&1&&(a＞&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D+& alt=&\sqrt{2} & eeimg=&1&&）的有焦点F1，直线l：x=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2-2%7D+%7D+& alt=&\frac{a^2}{\sqrt{a^2-2} } & eeimg=&1&&与x轴的交点A，若向量OF1=2向量F1A&br&（1）椭圆方程：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1& eeimg=&1&&&br&(2)设P是M上一点，EF是圆&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%2B%28y-2%29%5E2%3D1& alt=&x^2+(y-2)^2=1& eeimg=&1&&上任意一条直线，求向量PE·PF的最大值&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/8e8dcaf8c90770b1dabd88ecbcb8b21e_b.jpg& data-rawwidth=&226& data-rawheight=&194& class=&content_image& width=&226&&&/figure&&br&(2012,陕西，19题）已知C1: &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1+& alt=&\frac{x^2}{4}+y^2=1 & eeimg=&1&&
C2：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B16%7D+%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%3D1& alt=&\frac{y^2}{16} +\frac{x^2}{4}=1& eeimg=&1&&&br&设O为坐标原点，点A、B分别在C1、C2上&br&向量OB=2向量OA，求直线AB的方程。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/e390d6e52fdfe99_b.jpg& data-rawwidth=&192& data-rawheight=&140& class=&content_image& width=&192&&&/figure&&br&&br&已知椭圆E：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1& alt=&\frac{x^2}{4}+y^2=1& eeimg=&1&&,A在E上（1,1/2），若点P在E上满足&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/9a013b9ab972d118a8ff580c_b.jpg& data-rawwidth=&77& data-rawheight=&26& class=&content_image& width=&77&&&/figure&（1）求t的范围&br&（2）过原点O的直线交E于BC，求S△BCA的最大值&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ff514bcbc31bc4adf6b93b_b.jpg& data-rawwidth=&257& data-rawheight=&253& class=&content_image& width=&257&&&/figure&&br&把A看做原点，由TIP2&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/2afa2b29d508e_b.jpg& data-rawwidth=&173& data-rawheight=&48& class=&content_image& width=&173&&&/figure&&br&迅速可得&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/f4a49fd45e874a795f76d_b.jpg& data-rawwidth=&158& data-rawheight=&85& class=&content_image& width=&158&&&/figure&Smax=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D+& alt=&\sqrt{2} & eeimg=&1&&&br&&br&&br&圆锥曲线的极点与极线&br&&br&定义：对于二次曲线C&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Ax%5E2%2BBy%5E2%2BCx%2BDy%2BE%3D0& alt=&Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0& eeimg=&1&&和一点P（x0,y0)&br&用&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7By0%2By%7D%7B2%7D%5Crightarrow+y& alt=&\frac{y0+y}{2}\rightarrow y& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx0%2Bx%7D%7B2%7D%5Crightarrow+x+& alt=&\frac{x0+x}{2}\rightarrow x & eeimg=&1&&得到一条直线方程&br&L：Ax0x+By0y+C&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx0%2Bx%7D%7B2%7D& alt=&\frac{x0+x}{2}& eeimg=&1&&+D&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7By0%2By%7D%7B2%7D& alt=&\frac{y0+y}{2}& eeimg=&1&&+E=0&br&则称点P和L是关于曲线C的一对极点和极线【especially,焦点与准线是曲线的一对极点和极线】&br&其实，圆与椭圆的切线与渐切线就是特殊的极线，如图&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/de5a826dc75b156d3468_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&355& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/de5a826dc75b156d3468_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/7f90257dcd42fb64ddaf7f4aebefb637_b.jpg& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&338& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic4.zhimg.com/7f90257dcd42fb64ddaf7f4aebefb637_r.jpg&&&/figure&极点极线的性质：&br&一般的有如下性质（焦点所在区域为曲线内部）&br&①若P在曲线上，则P的极线是曲线的切线&br&②若P在曲线内，则P的极线与以P为中点弦平行（仅是斜率相等）&br&③若P在曲线外，则P的极线是过P做曲线的两条切线的切点的连线。&br&④焦点的极线即准线&br&如图：&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/a284f1cd39d75f3b79ba87_b.jpg& data-rawwidth=&408& data-rawheight=&523& class=&content_image& width=&408&&&/figure&&br&&br&注：②的用处就是快速求出中点弦的斜率，比点差法求快。但正规应使用点差法。&br&&br&④极点与极线的对偶性&br&已知P和极线L是关于曲线的极点极线，则L上任一点Pn对应的继续Ln必过点P，&br&反之亦然，任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上。&br&如图&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/ea143f69bdf51ef12e6fd08_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&357& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/ea143f69bdf51ef12e6fd08_r.jpg&&&/figure&&br&⑤过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上。△STP称为自极点三角形，对应边与对应点互极。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/0e280fa0cfadef96a0d274e_b.jpg& data-rawwidth=&516& data-rawheight=&417& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&516& data-original=&https://pic3.zhimg.com/0e280fa0cfadef96a0d274e_r.jpg&&&/figure&对这个图形要有印象，因为他会不停地在高中三年中搞你。&br&（接下来讲下极线与调和不等式，及其几何意义，顺便贴上些高考题）&br&⑥点P是曲线C的极点，他对应的极线为L，则有&br&Ⅰ.若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则OP*OQ=OR?即OP/OR=OR/OQ&br&椭圆如图 &br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/eeedbcb02e04d381da2d1065_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&226& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/eeedbcb02e04d381da2d1065_r.jpg&&&/figure&Ⅱ.若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR&br&如图 &br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/6aac570b9_b.jpg& data-rawwidth=&251& data-rawheight=&411& class=&content_image& width=&251&&&/figure&&br&双曲线基本不用，别记了。&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/6e64c0e517f48cce723dc54_b.jpg& data-rawwidth=&533& data-rawheight=&148& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&533& data-original=&https://pic1.zhimg.com/6e64c0e517f48cce723dc54_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/29376acbc65a311f95c2f2c0e98f229a_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&336& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/29376acbc65a311f95c2f2c0e98f229a_r.jpg&&&/figure&&br&椭圆方程是x?/3+y?=1&br&N是极点，性质⑤，代入极点5x/3+0y=1则x=3/5&br&故定点是（3/5，0）&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/37b57d842eb514e248ebec8_b.jpg& data-rawwidth=&547& data-rawheight=&179& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&547& data-original=&https://pic1.zhimg.com/37b57d842eb514e248ebec8_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/151c2b0a05ddb7d228f0_b.jpg& data-rawwidth=&539& data-rawheight=&111& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&539& data-original=&https://pic1.zhimg.com/151c2b0a05ddb7d228f0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/61ca6c446efc0c832ba9cbea_b.jpg& data-rawwidth=&408& data-rawheight=&322& class=&content_image& width=&408&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/01f989b4b46ebdc8ac6b_b.jpg& data-rawwidth=&549& data-rawheight=&129& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&549& data-original=&https://pic4.zhimg.com/01f989b4b46ebdc8ac6b_r.jpg&&&/figure&已知椭圆x?/4+y?/3=1，右准线上一点M，过M作椭圆的两条切线MA，MB，交椭圆于AB&br&求证：AB恒过定点&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/0161e28bfb028e43f0fdcf_b.jpg& data-rawwidth=&445& data-rawheight=&361& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&445& data-original=&https://pic4.zhimg.com/0161e28bfb028e43f0fdcf_r.jpg&&&/figure&（2009，海南，13题）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F（1，0）&br&，直线L与抛物线C交于AB两点，若AB的中点（2,2），则l的方程：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5E2%3D4x+%2CEpipolar%3A2y%3D4%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7B2%7D%5CRightarrow+l%3Ay%3Dx%2Bbpass+through+%282%2C2%29%5CRightarrow+b%3D0%5CRightarrow+l%3Ay%3Dx& alt=&y^2=4x ,Epipolar:2y=4\frac{x+2}{2}\Rightarrow l:y=x+bpass through (2,2)\Rightarrow b=0\Rightarrow l:y=x& eeimg=&1&&&br&&br&&br&(2009,广东，21题）Cn:&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2-2nx%2By%5E2%3D0%28n%5Cin+Z%5E%2A%29& alt=&x^2-2nx+y^2=0(n\in Z^*)& eeimg=&1&&，从点P（-1,0）向曲线Cn引斜率kn(kn＞0）的切线ln,切点为Pn(x0,y0)&br&（1）求数列{xn}{yn}的通项公式&br&（2）证明：x1x2x3……x2n-1＜&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-x_%7Bn%7D%7D%7B1%2Bx_%7Bn%7D%7D%7D+& alt=&\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}} & eeimg=&1&&＜&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D+sin%5Cfrac%7Bx_%7Bn%7D%7D%7By_%7Bn%7D%7D& alt=&\sqrt{2} sin\frac{x_{n}}{y_{n}}& eeimg=&1&&&br&Cn&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLeftrightarrow+& alt=&\Leftrightarrow & eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-n%29%5E2%2By%5E2%3Dn%5E2& alt=&(x-n)^2+y^2=n^2& eeimg=&1&&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ln%3Ax0x-n%28x0%2Bx%29%2Byny%3D0& alt=&ln:x0x-n(x0+x)+yny=0& eeimg=&1&&pass through P(-1,0)&br&∴-xn-n（xn-1)=0&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CRightarrow+x_%7Bn%7D+%3Dn%2Fn%2B1& alt=&\Rightarrow x_{n} =n/n+1& eeimg=&1&&&br&∵kn＞0∴yn＞0&br&在Rt△APnCn中，由射影定理得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y_%7Bn%7D+%3D%5Csqrt%7B%28x_%7Bn%7D%2B1%29%28n-x_%7Bn%7D%29%7D& alt=&y_{n} =\sqrt{(x_{n}+1)(n-x_{n})}& eeimg=&1&&=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%2B1%7D%5Csqrt%7B2n%2B1%7D& alt=&\frac{n}{n+1}\sqrt{2n+1}& eeimg=&1&&&br&此题亦可用向量APn·PnCn=0来做&br&（2）&br&原命题&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLeftrightarrow+& alt=&\Leftrightarrow & eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%7D+& alt=&\frac{1}{2n} & eeimg=&1&&＜&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%2B1%7D& alt=&\frac{1}{2n+1}& eeimg=&1&&＜&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2n%2B1%7D%5E%7B-1%7D+& alt=&\sqrt{2n+1}^{-1} & eeimg=&1&&易证&br&&br&2010广东理数20题&br&若过点H（0，h)(h＞1）的两条直线l1l2与&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2By%5E2%3D1& alt=&\frac{x^2}{2}+y^2=1& eeimg=&1&&（x(≠0，y≠0）相切于P1P2，且h1⊥h2，求h&br&①过左右顶点A1A2，h=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt2& alt=&\sqrt2& eeimg=&1&&&br&②&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6fba438f0f08dbf2ffcf0b_b.jpg& data-rawwidth=&166& data-rawheight=&157& class=&content_image& width=&166&&&/figure&2011四川理数21题&br&椭圆&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B2%7D%2Bx%5E2%3D1& alt=&\frac{y^2}{2}+x^2=1& eeimg=&1&&，A（-1，0）B（1,0）过焦点F1（0,1）的直线与椭圆交于CD，并与x轴交于P，直线AC与BD相交于Q。&br&（1）当CD=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B3%5Csqrt2%7D%7B2%7D& alt=&\frac{3\sqrt2}{2}& eeimg=&1&&时求L方程&br&（2）当P异于A、B时求证&br&向量OP·OQ为定值&br&（1）联立&br&y=±&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt2& alt=&\sqrt2& eeimg=&1&&x+1&br&(2）由极线极点的对偶性&br&Q（1/h,yq) P(h,0)向量OP·向量OQ=1（当然了，你要是高考把压轴题写这么简单那基本就没分数了，接下来一般做法）&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/fd307bcffb86af_b.jpg& data-rawwidth=&332& data-rawheight=&464& class=&content_image& width=&332&&&/figure&（2013广州一模，20题）已知椭圆&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C_%7B1%7D+& alt=&C_{1} & eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B16%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B12%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1& eeimg=&1&&其上A（2,3），过A得直线L与抛物线C2&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5E2%3D4Y& alt=&X^2=4Y& eeimg=&1&&交于BC两点，抛物线C2在BC处的切线为L1、L2，且L1 L2相交于P&br&是否存在P在C1上，并求出这样的P个数，不用写出坐标。&br&点P（x0，y0)关于C2极线&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D+x%3D2%5Ctimes+%28y%2By_%7B0%7D+%29& alt=&x_{0} x=2\times (y+y_{0} )& eeimg=&1&&过A（2,3）&br&P轨迹：y=x-3联立C1，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E3%80%81& alt=&、& eeimg=&1&&＞0&br&（2012，佛山质检，19题）已知椭圆E：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1& alt=&\frac{x^2}{4}+y^2=1& eeimg=&1&&上异于上下顶点A1、A2的P点，PA1、PA2与X轴交于M、N若直线OT与过M、N的圆I相切，切点为T，证明线段OT为定值。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/d9b5edf4c72c6_b.jpg& data-rawwidth=&1090& data-rawheight=&667& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1090& data-original=&https://pic3.zhimg.com/d9b5edf4c72c6_r.jpg&&&/figure&&br&&p&继续讲解析几何&/p&&p&上面的圆锥曲线基础必备的链接是关于高考的拓展知识点，下面在补充一些具体情况的结论（我知道这很难记，但是建议自己证明一下，对解题非常有帮助，不会问我。）&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50db6f6d6cfe_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&313& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50db6f6d6cfe_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/2cacfa96c63c6ee44979f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&289& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/2cacfa96c63c6ee44979f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/eebb58c0977ce85cbdd988d01c4eeda0_b.jpg& data-rawwidth=&362& data-rawheight=&342& class=&content_image& width=&362&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/c64b48b6e1f434e58ecdb_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/c64b48b6e1f434e58ecdb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/41d1d265c80d49ead541be_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&325& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/41d1d265c80d49ead541be_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/fcf9cb62bf44fe72fefa5d7c00debe15_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/fcf9cb62bf44fe72fefa5d7c00debe15_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/fcf9cb62bf44fe72fefa5d7c00debe15_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/fcf9cb62bf44fe72fefa5d7c00debe15_r.jpg&&&/figure&关于上面的1、2点是圆锥曲线的重要特点之一，就是它的光学性质，可用代数证明（即导数来做）也可以几何反证法证明相当精巧。&br&一、椭圆&br&椭圆的光学性质：椭圆上一点B，焦点为A、C（为方便起见不用F），则角ABC的外角平分线所在直线即为椭圆的切线。&br&那么，我们只需证明外角平分线上的其他点均不在椭圆上。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/9d9dec3e2e1b_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&521& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/9d9dec3e2e1b_r.jpg&&&/figure&如图，在外角平分线上另取一点D，连接DC、DA，在CB延长线上取BE=BA，则三角形ABD和EBD全等， AD+CD=ED+CD&CE=CB+BE=CB+BA=2a&br&所以D不在椭圆上，即外角平分线上只有B在椭圆上，所以为切线。&br&二、双曲线&br&双曲线的光学性质：双曲线上一点E，焦点为A、D，则角AED的平分线所在直线为双曲线的切线。&br&类似的，我们来证明角平分线上除E外的任一点均不在双曲线上。&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/63fae60f03e4e6bcab02cfb6ef276310_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&365& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/63fae60f03e4e6bcab02cfb6ef276310_r.jpg&&&/figure&角平分线上另取一点C，在AE上取EF=ED，连接CF，则三角形CFE和三角形CDE全等。2a=AE-AD=AF&AC-CF=AC-CD，所以C不在双曲线上，即内角平分线上只有E在双曲线上，所以为切线。&br&三、抛物线&br&抛物线光学性质：抛物线上一点B，焦点C，过B作准线的垂线交于A，则角ABC的角平分线为切线。同样的，我们在角平分线上另取一点E，证明E不在抛物线上。 &br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/c0ab2a569d1b0d_b.jpg& data-rawwidth=&540& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&540& data-original=&https://pic1.zhimg.com/c0ab2a569d1b0d_r.jpg&&&/figure&连接EA、EC，过E作准线的垂线交于D。三角形AEB和三角形CEB全等，EC=EA&ED，所以E不在抛物线上，BE为切线。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/10cd917d2bc967d26c51_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&243& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic2.zhimg.com/10cd917d2bc967d26c51_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/3bd2e5d635c8a3f6c67b21_b.jpg& data-rawwidth=&373& data-rawheight=&280& class=&content_image& width=&373&&&/figure&&br&&br&好的，可能有人觉得我巴拉巴拉讲了一大堆很无聊，那么就用我们上面学的知识参数方程与极线定理来轻松一下做一道题= =！顺便引出下一讲内容：仿射变换（主要应用于减少联立计算，当然了大题要是这么写是要扣分的= =）&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/d8ab1ecaacbc38c56a9bb6c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&435& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/d8ab1ecaacbc38c56a9bb6c_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/17db55c11b02dcfc159f882cbd6538d6_b.jpg& data-rawwidth=&506& data-rawheight=&438& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&506& data-original=&https://pic3.zhimg.com/17db55c11b02dcfc159f882cbd6538d6_r.jpg&&&/figure&&br&当然如果这道题不进行仿射变换，答主尝试过但是被繁琐的计算彻底打败了.有可能有些读者无法理解上面的缩放变换（其实非常实用简单）这里介绍点适用于高中生的缩放变换基础知识：（占坑）&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/516ec2c0d4bf91f7e391f0cdf4115970_b.jpg& data-rawwidth=&446& data-rawheight=&206& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&446& data-original=&https://pic1.zhimg.com/516ec2c0d4bf91f7e391f0cdf4115970_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/b9f8bc7e64a5ec9db519f_b.jpg& data-rawwidth=&427& data-rawheight=&111& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&427& data-original=&https://pic4.zhimg.com/b9f8bc7e64a5ec9db519f_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ee2f65e0cfd47a725796f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&299& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ee2f65e0cfd47a725796f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/17c169c9cd7e07f0cfa21a_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/17c169c9cd7e07f0cfa21a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/31c156a294be898dd8fa8_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&180& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/31c156a294be898dd8fa8_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/d362fdfd68bf2bc64875f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&224& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/d362fdfd68bf2bc64875f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/e2ccad2b5aacaef2045dd_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&243& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/e2ccad2b5aacaef2045dd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/0f8ac87815fba80fc0e04e0babec39d3_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&325& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/0f8ac87815fba80fc0e04e0babec39d3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/e34e75ae83_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&242& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/e34e75ae83_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/f07b52e4_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&452& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic2.zhimg.com/f07b52e4_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/5bcd0e9736089cdf5036ef_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&387& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/5bcd0e9736089cdf5036ef_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/2c9bbfefe1dafda1890a_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&438& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/2c9bbfefe1dafda1890a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ca45c3a1c8c565ffbd12a73d27ca8d0f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&188& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ca45c3a1c8c565ffbd12a73d27ca8d0f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/6df815cf1f15992eafb4d_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&246& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/6df815cf1f15992eafb4d_r.jpg&&&/figure&注4的柯西解法中(x^2+3y^2)(cos^2+sin^2/3)是≥&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/2da2d18b31f403faf4c131d718d9cad3_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&281& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/2da2d18b31f403faf4c131d718d9cad3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/7cdbf72e29ccb99c973d_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&309& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/7cdbf72e29ccb99c973d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/57a1bfbeed030e83aea4c097f2a1b0c7_b.jpg& data-rawwidth=&451& data-rawheight=&511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&451& data-original=&https://pic4.zhimg.com/57a1bfbeed030e83aea4c097f2a1b0c7_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/9d3bce2ae47aaf_b.jpg& data-rawwidth=&456& data-rawheight=&514& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&456& data-original=&https://pic2.zhimg.com/9d3bce2ae47aaf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/fbf3eec0cd2ca8589728_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&206& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/fbf3eec0cd2ca8589728_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/779d2f670dd069de83cd_b.jpg& data-rawwidth=&457& data-rawheight=&410& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&457& data-original=&https://pic2.zhimg.com/779d2f670dd069de83cd_r.jpg&&&/figure&&br&PS&b&遇到这种求弦长最值得时候还是老实联立吧，因为仿射变换中弦长不成比例而且计算量跟联立相差无几。&/b&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/c8add7be5d39_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&188& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/c8add7be5d39_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/c70b4e340d298ed6c3da0b_b.jpg& data-rawwidth=&458& data-rawheight=&462& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&458& data-original=&https://pic4.zhimg.com/c70b4e340d298ed6c3da0b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/f8bb79fcab8f87a560cc1_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&224& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/f8bb79fcab8f87a560cc1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/e70cca0ee2dda5a1218c49_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/e70cca0ee2dda5a1218c49_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/43d86f95cfc1a9411149b_b.jpg& data-rawwidth=&763& data-rawheight=&316& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&763& data-original=&https://pic4.zhimg.com/43d86f95cfc1a9411149b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/118cbe4bfef7f82e96e8522_b.jpg& data-rawwidth=&755& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&755& data-original=&https://pic3.zhimg.com/118cbe4bfef7f82e96e8522_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/e0a1b2b82bb_b.jpg& data-rawwidth=&437& data-rawheight=&415& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&437& data-original=&https://pic3.zhimg.com/e0a1b2b82bb_r.jpg&&&/figure&&br&&b&这里就提到了点差法的实质实为仿射变换，可以解答下列这个问题（虽然被关闭了。）&/b&&br&&b&&a href=&http://www.zhihu.com/question/& class=&internal&&点差法究竟利用了哪个我没有看见的条件？ - 数学&/a&&br&&/b&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/3bfd0a2bbac2_b.jpg& data-rawwidth=&736& data-rawheight=&192& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&736& data-original=&https://pic3.zhimg.com/3bfd0a2bbac2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/f584b909edaaaa_b.jpg& data-rawwidth=&763& data-rawheight=&385& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&763& data-original=&https://pic3.zhimg.com/f584b909edaaaa_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/5f4c3dd8f16_b.jpg& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&279& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&https://pic3.zhimg.com/5f4c3dd8f16_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/955b324ce00b8c0e8c924_b.jpg& data-rawwidth=&442& data-rawheight=&462& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&442& data-original=&https://pic1.zhimg.com/955b324ce00b8c0e8c924_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/2becf90d3cfbe852e8cedc69_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&198& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/2becf90d3cfbe852e8cedc69_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/41ea466f528ec97db05860_b.jpg& data-rawwidth=&453& data-rawheight=&425& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&453& data-original=&https://pic1.zhimg.com/41ea466f528ec97db05860_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/3032fdbdf745487bcd134d539acf6834_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&181& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/3032fdbdf745487bcd134d539acf6834_r.jpg&&&/figure&称OA OB为椭圆的共轭半径&br&below是椭圆的阿坡隆尼亚定理：&br&在椭圆的任何一对共轭半径上的平行四边形面积等于两个半轴的长方形面积，in other words，如果a'b'是共轭半径的长度，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi+& alt=&\varphi & eeimg=&1&&是它们的中间角，则a'b'sin&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi+& alt=&\varphi & eeimg=&1&&=ab&br&证：可知这些平行四边形经仿射对应的是面积恒定的正方形，面积不变，而仿射变换后正方形面积与平行四边形面积成特定比值，所以这些平行四边形面积不变，S=ab/2&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/0b4fb7e5c5d1cca_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&247& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/0b4fb7e5c5d1cca_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/b62fd5d6e01b74b9646dd_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&233& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/b62fd5d6e01b74b9646dd_r.jpg&&&/figure&利用仿射同样可以证明极线定理&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/1bfac60802d2ecee7ebf9_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/1bfac60802d2ecee7ebf9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/f5cc03770c3_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&423& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/f5cc03770c3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/c7cffd37eb95_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&182& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/c7cffd37eb95_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/3c30ff3f36b5fa4adfbae8ec_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&206& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/3c30ff3f36b5fa4adfbae8ec_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/643409bbd19fd6ffd55bdc8f8976c77d_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/643409bbd19fd6ffd55bdc8f8976c77d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/b4a88c2afed9e19cf1e5f032ffab547c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&328& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/b4a88c2afed9e19cf1e5f032ffab547c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/7bada51b130a38e4c5af71f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&258& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/7bada51b130a38e4c5af71f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/a80d13ca08fb309d0307_b.jpg& data-rawwidth=&421& data-rawheight=&416& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&421& data-original=&https://pic4.zhimg.com/a80d13ca08fb309d0307_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/1a0cdc36e2fe829fa5ab7a3b494191de_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&283& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/1a0cdc36e2fe829fa5ab7a3b494191de_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/1a0cdc36e2fe829fa5ab7a3b494191de_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&283& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/1a0cdc36e2fe829fa5ab7a3b494191de_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/45fdd0eaf5cea53ad3af6c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&303& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/45fdd0eaf5cea53ad3af6c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/8a3ceb6f34acbb5d79755_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/8a3ceb6f34acbb5d79755_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/b0dc78db1c15ba51faa854da2022e7ce_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&465& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/b0dc78db1c15ba51faa854da2022e7ce_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/bc6f884b0cc_b.jpg& data-rawwidth=&435& data-rawheight=&425& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&435& data-original=&https://pic1.zhimg.com/bc6f884b0cc_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/6173dcacc79c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&230& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/6173dcacc79c_r.jpg&&&/figure&葛军的那道圆上△PAB面积为1的P点个数真是弱&br&&br&&br&&br&&br&&b&&u&来看看去年高考题你们说弱不弱！！&/u&&/b&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/f3cfdb4eb3efa5a1c6d6_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&153& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/f3cfdb4eb3efa5a1c6d6_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/cae00d1e06db91b6809aedabcc7f9344_b.jpg& data-rawwidth=&419& data-rawheight=&588& class=&content_image& width=&419&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/f41c82ee52e7d175eae23_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&339& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/f41c82ee52e7d175eae23_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/cd668d8a8ecba5a939faa5_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&404& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/cd668d8a8ecba5a939faa5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/094e62b93a4a2dfdb955_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&176& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/094e62b93a4a2dfdb955_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/4ed3bade5a294f00c96c61_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&318& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic2.zhimg.com/4ed3bade5a294f00c96c61_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/9aef3b3d05b8_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&131& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic1.zhimg.com/9aef3b3d05b8_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/4f92f6e34bd92dea594d1c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&348& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/4f92f6e34bd92dea594d1c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/a76c9edefde449d4e733f79ed1a355d2_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&197& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic3.zhimg.com/a76c9edefde449d4e733f79ed1a355d2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/4f92f6e34bd92dea594d1c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&348& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/4f92f6e34bd92dea594d1c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6f19f0b0dd8dd3d5bcf6bdbc361d1dcb_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&194& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic4.zhimg.com/6f19f0b0dd8dd3d5bcf6bdbc361d1dcb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/eefbcbf26245fdc77518a5fccd5bc7f7_b.jpg& data-rawwidth=&425& data-rawheight=&517& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&425& data-original=&https://pic4.zhimg.com/eefbcbf26245fdc77518a5fccd5bc7f7_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/23e3c267f17e2c7ac85a91_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&256& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/23e3c267f17e2c7ac85a91_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/796e2ed79abd5a67456f_b.jpg& data-rawwidth=&417& data-rawheight=&399& class=&content_image& width=&417&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/a991e45b7b8b8622aff275443dcf2314_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&244& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic1.zhimg.com/a991e45b7b8b8622aff275443dcf2314_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/5070b41dd_b.jpg& data-rawwidth=&442& data-rawheight=&462& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&442& data-original=&https://pic2.zhimg.com/5070b41dd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ff88dd4e93_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&175& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ff88dd4e93_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/e7db8cce525d19fcde170b0_b.jpg& data-rawwidth=&556& data-rawheight=&160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&556& data-original=&https://pic1.zhimg.com/e7db8cce525d19fcde170b0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/6a3fcb200e7af54c1dca89_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&142& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic2.zhimg.com/6a3fcb200e7af54c1dca89_r.jpg&&&/figure&最后注意两点&br&&b&
仿射变换后除去与平行线段，其余线段长度不成比例&br&
面积仍成比例，即只是乘了一个系数，原图中最大值变换后仍为最大值&/b&&br&最后稍微推广下上述的仿射变换，顺便做个对仿射变换的应用做个了结&br&&p&2007年高考江苏卷出了一道耐人寻味的小题：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/3abfdfebbae24a2013662_b.jpg& data-rawwidth=&605& data-rawheight=&146& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&605& data-original=&https://pic3.zhimg.com/3abfdfebbae24a2013662_r.jpg&&&/figure&因为给定的变换&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+x%2By%0Ay%5Crightarrow+x-y& alt=&x\rightarrow x+y
y\rightarrow x-y& eeimg=&1&&为仿射变换，其直线仍变成直线,故变换后的图形仍为三角形，原三个顶点仍为三个顶点，&br&O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)，将这三点的坐标代入中得：O’（0,0）、M’（1,1）、N’(1,-1)，画出由O’、M’、N’三点确定的三角形区域B，求得区域B的面积为1。好了，对仿射感兴趣，学有余力者想要系统了结的话请自学&b&矩阵，&/b&此处不再赘述。&br&&b& 数列&/b&&br&从基础开始，等差等比不用介绍。实在是大坑，能力有限只能提到一些啊，等会把题目发上来，边发题目边得出些结论。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/4b32b74f8a7662bea76eec7fd2cb57ed_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&294& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic2.zhimg.com/4b32b74f8a7662bea76eec7fd2cb57ed_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6b2b7c38bf_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&735& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic4.zhimg.com/6b2b7c38bf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/dc412b2c9b838fa4aee7c_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic1.zhimg.com/dc412b2c9b838fa4aee7c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/f58af78cecd4bc7d9ef176b0_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&459& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic1.zhimg.com/f58af78cecd4bc7d9ef176b0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/06f72f0bf02eef7b090b_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&294& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic4.zhimg.com/06f72f0bf02eef7b090b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/9a8e3d62e541407cbdbdd8fe_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&551& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic3.zhimg.com/9a8e3d62e541407cbdbdd8fe_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/b906c2c903c90ccf11f07ddb_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&422& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic4.zhimg.com/b906c2c903c90ccf11f07ddb_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/bae_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&588& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic3.zhimg.com/bae_r.jpg&&&/figure&以著名的斐波那契数列为例用特征方程秒解&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/11816eebb31956baecb7f_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&806& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&https://pic4.zhimg.com/11816eebb31956baecb7f_r.jpg&&&/figure&数列的放缩&br&①构造等比数列&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/88f03c5b7c4a5137a46d_b.jpg& data-rawwidth=&436& data-rawheight=&489& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&436& data-original=&https://pic2.zhimg.com/88f03c5b7c4a5137a46d_r.jpg&&&/figure&构造等比数列证明&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%3Cc+& alt=&\sum_{a}^{b}{a_{n}}&c & eeimg=&1&&是非常有效的方法，an中含有n的指数，q(0&q&1时)可以任取皆可,当然了，要便于后面的证明我们取了&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&\frac{1}{2}& eeimg=&1&&,有时对a1开始放缩达不到要求，则可从第2、3项后再进行等比放缩，要求保留前面的项。&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/b1e36b0d541f934dc9378b_b.jpg& data-rawwidth=&969& data-rawheight=&161& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&969& data-original=&https://pic4.zhimg.com/b1e36b0d541f934dc9378b_r.jpg&&&/figure&先用待定系数法求通项&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/56ae56de307f92e7c9c5_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&121& class=&content_image& width=&277&&&/figure&解得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda+%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D& alt=&\lambda =\frac{2}{3}& eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/dbd708cae7c_b.jpg& data-rawwidth=&392& data-rawheight=&109& class=&content_image& width=&392&&&/figure&我们要需放缩必须要注意到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%7Bn-2%7D+-%28-1%29%5En%5Cgeq+2%5E%7Bn-2%7D-1& alt=&2^{n-2} -(-1)^n\geq 2^{n-2}-1& eeimg=&1&&,本题放缩中最重要的一点，按上题所述，此题为保留放缩的紧凑性，我们不妨从n=6开始放缩即要证明.(如从第四项开始放缩会导致放缩的不紧凑性无法证明该命题）&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/71d1f9bf343f7d49fe7bc67f35b307f7_b.jpg& data-rawwidth=&424& data-rawheight=&108& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&424& data-original=&https://pic4.zhimg.com/71d1f9bf343f7d49fe7bc67f35b307f7_r.jpg&&&/figure&有个错误，第一个小于号应该是≤&br&重点来了如何证明上式成立&br&可构造一个等比数列Pn&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6a39e66aac3dcc037a533e2ea4c990eb_b.jpg& data-rawwidth=&456& data-rawheight=&116& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&456& data-original=&https://pic4.zhimg.com/6a39e66aac3dcc037a533e2ea4c990eb_r.jpg&&&/figure&&br&我们为了放了后面方便计算可取相同公比q=1/2,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=p_%7B6%7D+%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B72%7D& alt=&p_{6} =\frac{5}{72}& eeimg=&1&&,那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bp_%7B6%7D+%7D%7B1-q%7D+%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B36%7D+& alt=&\frac{p_{6} }{1-q} =\frac{5}{36} & eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/ed595266fac_b.jpg& data-rawwidth=&156& data-rawheight=&126& class=&content_image& width=&156&&&/figure&&br&显然成立&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/29c353f9f24e5bcbc396_b.jpg& data-rawwidth=&882& data-rawheight=&472& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&882& data-original=&https://pic3.zhimg.com/29c353f9f24e5bcbc396_r.jpg&&&/figure&②构造函数证明数列不等&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/ba40aa4ec04eda1f59aade4_b.jpg& data-rawwidth=&1003& data-rawheight=&585& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1003& data-original=&https://pic1.zhimg.com/ba40aa4ec04eda1f59aade4_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/37a13a7da7ce534c632b8e_b.jpg& data-rawwidth=&1009& data-rawheight=&475& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1009& data-original=&https://pic3.zhimg.com/37a13a7da7ce534c632b8e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/670ea87fe02_b.jpg& data-rawwidth=&1074& data-rawheight=&461& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1074& data-original=&https://pic3.zhimg.com/670ea87fe02_r.jpg&&&/figure&③利用基本不等式放缩&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/3babfa8a81fd_b.jpg& data-rawwidth=&887& data-rawheight=&621& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&887& data-original=&https://pic2.zhimg.com/3babfa8a81fd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/b06adf54db1a1f549b1f6_b.jpg& data-rawwidth=&971& data-rawheight=&341& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&971& data-original=&https://pic3.zhimg.com/b06adf54db1a1f549b1f6_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/c7cdfc7d2b45ad1cd52b5060_b.jpg& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&533& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&https://pic1.zhimg.com/c7cdfc7d2b45ad1cd52b5060_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/d04a55ca639cab7868af4eab5ae476f6_b.jpg& data-rawwidth=&767& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&767& data-original=&https://pic3.zhimg.com/d04a55ca639cab7868af4eab5ae476f6_r.jpg&&&/figure&证明：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%2B1%3Ce%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%7D+& alt=&n+1&e\sqrt[n]{n} & eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/89916debbe2e78164c49_b.jpg& data-rawwidth=&994& data-rawheight=&525& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&994& data-original=&https://pic2.zhimg.com/89916debbe2e78164c49_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/ef8aff4a9a05beeb854e0ccc4c9d53f8_b.jpg& data-rawwidth=&864& data-rawheight=&622& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&864& data-original=&https://pic1.zhimg.com/ef8aff4a9a05beeb854e0ccc4c9d53f8_r.jpg&&&/figure&这里出现了一个可能令人难以理解的点：首先证明n=1时不等式成立&br&其次只要将上两个通项相减，证明&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/7475ceff6b0afc_b.jpg& data-rawwidth=&899& data-rawheight=&331& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&899& data-original=&https://pic4.zhimg.com/7475ceff6b0afc_r.jpg&&&/figure&这就好比两函数在边界点满足左小右大，两边的增量仍满足左小右大，所以原命题得证。证明通项成立只是必要不充分条件。&br&【广州二模】设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D+& alt=&a_{n} & eeimg=&1&&是函数f(x)=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B3%7D+%2Bn%5E%7B2%7D+-1& alt=&x^{3} +n^{2} -1& eeimg=&1&&的零点&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ecae009077_b.jpg& data-rawwidth=&1092& data-rawheight=&369& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1092& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ecae009077_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/37ab3d08d31bc27827b5a_b.jpg& data-rawwidth=&1096& data-rawheight=&690& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1096& data-original=&https://pic3.zhimg.com/37ab3d08d31bc27827b5a_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/8a7f8000af_b.jpg& data-rawwidth=&1082& data-rawheight=&327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1082& data-original=&https://pic4.zhimg.com/8a7f8000af_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6e38d202e132e8fdf9b9a6b_b.jpg& data-rawwidth=&1150& data-rawheight=&613& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1150& data-original=&https://pic4.zhimg.com/6e38d202e132e8fdf9b9a6b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/cec1cd9045993_b.jpg& data-rawwidth=&1187& data-rawheight=&601& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1187& data-original=&https://pic4.zhimg.com/cec1cd9045993_r.jpg&&&/figure&分析通项构造函数证明数列不等式&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/67fd378ae20d448411faa7ffb1ab6e66_b.jpg& data-rawwidth=&1095& data-rawheight=&688& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1095& data-original=&https://pic3.zhimg.com/67fd378ae20d448411faa7ffb1ab6e66_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/62ba380c0d85b90ffbf54e0_b.jpg& data-rawwidth=&1100& data-rawheight=&349& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1100& data-original=&https://pic1.zhimg.com/62ba380c0d85b90ffbf54e0_r.jpg&&&/figure&
占个坑先 ，原先只是想随便答答的，居然还有人赞，实在抬举。最近三个月一直在玩炉石传说，而且身体一直生病没来得及更，实在不好意思，现在开始更。首先要说明的该答案针对的是高考知识的延伸，不是针对竞赛知识，也不会系统地讲高数，大多只是断章取义，…
&p&谢邀&/p&&p&我在这里讲一些好懂一点的解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）。此版本为理科版，适用于理科生和基础较好的文科生，文科版请看&a href=&http://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/3724&/span&&span class=&invisible&&2948/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&。如果想学一些高大上的解题方法，也可以看&/p&&p&&a href=&http://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&有哪些暂时未学的知识方便学习解决高中数学题目？ - 伍连贵的回答&/a&&/p&&p&——————————————————一条分割线———————————————&/p&&p&一、设点或直线&/p&&p&做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D+%5Cright%29+& alt=&\left( x_{1},y_{1} \right) & eeimg=&1&&,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D+%5Cright%29+& alt=&\left( x_{2},y_{2} \right) & eeimg=&1&&等。对于椭圆&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D+%7D%7Ba%5E%7B2%7D+%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D+%7D%7Bb%5E%7B2%7D+%7D+%3D1& alt=&\frac{x^{2} }{a^{2} }+\frac{y^{2} }{b^{2} } =1& eeimg=&1&&上的唯一的动，还可以设为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+acos%5Ctheta+%2Cbsin%5Ctheta+%5Cright%29+& alt=&\left( acos\theta ,bsin\theta \right) & eeimg=&1&&，在抛物线&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5E%7B2%7D+%3D2px%28p%3E0%29& alt=&y^{2} =2px(p&0)& eeimg=&1&&上的点，也可以设为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D+%7D%7B2p%7D%2Cy_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&\left(\frac{y_{0}^{2} }{2p},y_{0} \right) & eeimg=&1&&。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&\left( x_{0},y_{0} \right) & eeimg=&1&&并且不与y轴平行，可以设点斜式&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y-y_%7B0%7D%3Dk%5Cleft%28+x-x_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&y-y_{0}=k\left( x-x_{0} \right) & eeimg=&1&&,如果不与x轴平行，可以设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x-x_%7B0%7D%3Dm%5Cleft%28+y-y_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&x-x_{0}=m\left( y-y_{0} \right) & eeimg=&1&&（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同），如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dx_%7B0%7D+%2Btcos%5Calpha+%2Cy%3Dy_%7B0%7D+%2Btsin%5Calpha+& alt=&x=x_{0} +tcos\alpha ,y=y_{0} +tsin\alpha & eeimg=&1&&，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5E%7B2%7D+%3D2px%28p%3E0%29& alt=&y^{2} =2px(p&0)& eeimg=&1&&的表达式中不含x的二次项，所以直线设为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x-x_%7B0%7D%3Dm%5Cleft%28+y-y_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&x-x_{0}=m\left( y-y_{0} \right) & eeimg=&1&&或x=my+n联立起来更方便。&/p&&p&二、转化条件&/p&&p&有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。&b&对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。&/b&下面列出了一些转化工具所能转化的条件。&/p&&p&向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0）、平行四边形&/p&&p&斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1&/p&&p&（使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！）&/p&&p&几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等）&/p&&p&有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三思而后行。&/p&&p&三、代数运算&/p&&p&转化完条件只需要算数了。很多题目都要将直线与圆锥曲线联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都需要联立。&/p&&p&（1）求弦长&/p&&p&解析几何中有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%3D%5Csqrt%7Bk%5E%7B2%7D%2B1%7D+%5Csqrt%7B%5Cleft%28x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D+%5Cright%29+%5E%7B2%7D-4x_%7B1%7Dx_%7B2%7D+%7D+%3D%5Csqrt%7B}
本文主要内容包括:如何利用化齐次、双根、隐函数求导和放缩、柯西不等式简化圆锥曲线中的计算。&/p&&p&
此外也欢迎大家来我知乎专栏&i&&b&读书.作文,&/b&&/i&&/p&&p&&i&&b&
微信公众号: 有酒可以留客谈、
做客，&/b&&/i&上面我会定期发布和高考作文相关内容&/p&&p&&i&&b&北京地区有数学、语文补习需求的可以私信本人，价格绝对比机构划算。&/b&&/i&&/p&&p&&i&&/i&定场文，本人写的高考作文纽带&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-55af6bbe6fe44ea8cb0ebd_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&825& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-55af6bbe6fe44ea8cb0ebd_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-780a53728fbe07ae08ff43_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-780a53728fbe07ae08ff43_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-f02d1f439bed_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-f02d1f439bed_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-80e1eb3ecc13a76d20abff41_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-80e1eb3ecc13a76d20abff41_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-56d82f4cf7aaef45c459e306b17d5a14_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-56d82f4cf7aaef45c459e306b17d5a14_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-733f9ab6c9d042ce1d4eb_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-733f9ab6c9d042ce1d4eb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f716a63d698d57d39a4fa_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f716a63d698d57d39a4fa_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2d892a401ac8f668b8d1e2f738c42443_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2d892a401ac8f668b8d1e2f738c42443_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-df9237b4cdde940feab17_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-df9237b4cdde940feab17_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-38bd149caca671dccafc25c3bca3a246_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-38bd149caca671dccafc25c3bca3a246_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fb90f344cafb2_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-fb90f344cafb2_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a3c62ab3c43e84fb6974_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a3c62ab3c43e84fb6974_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-983fec531ef4ec7b3804_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-983fec531ef4ec7b3804_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fe9e1f8e01797d6fee3c_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fe9e1f8e01797d6fee3c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0e67ffb30a1_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0e67ffb30a1_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e44bd64f89f3e6faae2a_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e44bd64f89f3e6faae2a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0db9aea8cab_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0db9aea8cab_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f37a3f42bbffb9265117ea_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f37a3f42bbffb9265117ea_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b75af31b947d161cead1cd7ff551ecd9_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b75af31b947d161cead1cd7ff551ecd9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-07f65944bfb5b9c04bf8ce2d37c476ad_b.jpg& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-07f65944bfb5b9c04bf8ce2d37c476ad_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&
此文和本人发的圆锥曲线秒杀法是姊妹篇，前者侧重于道，本文侧重于术，建议将二者结合起来看。 本文主要内容包括:如何利用化齐次、双根、隐函数求导和放缩、柯西不等式简化圆锥曲线中的计算。 此外也欢迎大家来我知乎专栏读书.作文, 微信公众号: 有酒可以留…
谢邀。&br&我在高中时曾发现过一个关于三阶导数的简单定理：&br&&blockquote&&b&定理1 &/b&设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&三阶可导,且其导数有零点&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%28s%29%3D0& alt=&f'(s)=0& eeimg=&1&&.设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%5Cgeq+0& alt=&t\geq 0& eeimg=&1&&.若&br&①&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%27%28x%29%5Cgeq+0& alt=&f'''(x)\geq 0& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+f%28s%2Bt%29+%5Cgeq+f%28s-t%29& alt=& f(s+t) \geq f(s-t)& eeimg=&1&&;&br&②&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%27%28x%29%5Cleq+0& alt=&f'''(x)\leq 0& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+f%28s%2Bt%29+%5Cleq+f%28s-t%29& alt=& f(s+t) \leq f(s-t)& eeimg=&1&&.&br&等号当且仅当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%3D0& alt=&t=0& eeimg=&1&&时成立.&/blockquote&于此简要证明如下（对①):&br&令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%28t%29%3Df%28s%2Bt%29-f%28s-t%29& alt=&\Delta (t)=f(s+t)-f(s-t)& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%280%29%3D0& alt=&\Delta (0)=0& eeimg=&1&&,&br&则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27+%28t%29%3Df%27%28s%2Bt%29%2Bf%27%28s-t%29& alt=&\Delta' (t)=f'(s+t)+f'(s-t)& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27+%280%29%3D0& alt=&\Delta' (0)=0& eeimg=&1&&,&br&则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%27+%28t%29%3Df%27%27%28s%2Bt%29-f%27%27%28s-t%29& alt=&\Delta'' (t)=f''(s+t)-f''(s-t)& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%27+%280%29%3D0& alt=&\Delta'' (0)=0& eeimg=&1&&,&br&则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%28t%29%3Df%27%27%27%28s%2Bt%29%2Bf%27%27%27%28s-t%29& alt=&\Delta (t)=f'''(s+t)+f'''(s-t)& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%27%27%27%280%29%5Cgeq0& alt=&\Delta '''(0)\geq0& eeimg=&1&&.&br&从而,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta%27%27%28t%29%5Cgeq0%2C+%5CDelta%27%28t%29%5Cgeq0%2C+%5CDelta%28t%29%5Cgeq0& alt=&\Delta''(t)\geq0, \Delta'(t)\geq0, \Delta(t)\geq0& eeimg=&1&&.证毕.&br&&br&这个定理的直观意义非常明显,②说明了在三阶导数为负的情形下,函数的导数增长越来越慢(或减少越来越快),如图:&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/d397dd26bd667eb55dd77f_b.jpg& data-rawwidth=&2592& data-rawheight=&1936& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2592& data-original=&https://pic3.zhimg.com/d397dd26bd667eb55dd77f_r.jpg&&&/figure&&b&定理2&/b& 对称的,对于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%27%28x%29%5Cgeq0& alt=&f'''(x)\geq0& eeimg=&1&&,我们有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_1%2Bx_2%3E2s& alt=&x_1+x_2&2s& eeimg=&1&&.&br&&br&这个定理可以说明很多高考中的问题。&br&在复习(尤其是三轮)的过程中,经常会遇见涉及方程两个根联合的不等式问题,例如:&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/37fe8e5cef21dfb071a480d016d7ded3_b.jpg& data-rawwidth=&1342& data-rawheight=&224& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1342& data-original=&https://pic4.zhimg.com/37fe8e5cef21dfb071a480d016d7ded3_r.jpg&&&/figure&只考察第三小问,我们发现这定理2的形式相似.实际上,不仅相似,而且相同.此题中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=s%3D1& alt=&s=1& eeimg=&1&&.&br&读者如有闲工夫,不妨提笔验证之.&br&&br&另外,如果令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F%28x%29%3D%5Cint%28f%28x%29-f%28%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%29%29%5Ctext%7Bd%7Dx& alt=&F(x)=\int(f(x)-f(\frac{a+b}{2}))\text{d}x& eeimg=&1&&,我们更有&br&&blockquote&&b&定理3 &/b&设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&二阶可导,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%3Eb& alt=&a&b& eeimg=&1&&,若&br&①&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%28x%29%5Cgeq0& alt=&f''(x)\geq0& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba-b%7D%5Cint%5Ea_bf%28x%29%5Ctext%7Bd%7Dx%5Cgeq+f%28%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%29& alt=&\frac{1}{a-b}\int^a_bf(x)\text{d}x\geq f(\frac{a+b}{2})& eeimg=&1&&;&br&②&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%27%27%28x%29%5Cleq0& alt=&f''(x)\leq0& eeimg=&1&&,则&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba-b%7D%5Cint%5Ea_bf%28x%29%5Ctext%7Bd%7Dx%5Cleq+f%28%5Cfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%29& alt=&\frac{1}{a-b}\int^a_bf(x)\text{d}x\leq f(\frac{a+b}{2})& eeimg=&1&&.&br&等号当且仅当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%5Crightarrow+b& alt=&a\rightarrow b& eeimg=&1&&时成立.&/blockquote&这是Hadamard定理的一部分,十分有趣.令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dx%2Cf%28x%29%3D%5Cfrac1x& alt=&f(x)=x,f(x)=\frac1x& eeimg=&1&&之类的,可以得到最简单的(算术、对数等)均值不等式.
谢邀。 我在高中时曾发现过一个关于三阶导数的简单定理： 定理1 设f(x)三阶可导,且其导数有零点f'(s)=0.设t\geq 0.若 ①f'''(x)\geq 0,则 f(s+t) \geq f(s-t); ②f'''(x)\leq 0,则 f(s+t) \leq f(s-t). 等号当且仅当t=0时成立.于此简要证明如下（对①): 令\…
占个坑先 ，原先只是想随便答答的，居然还有人赞，实在抬举。最近三个月一直在玩炉石传说，而且身体一直生病没来得及更，实在不好意思，现在开始更。首先要说明的该答案针对的是高考知识的延伸，不是针对竞赛知识，也不会系统地讲高数，大多只是断章取义，受众是基础一般的高中生，大神请自觉跳过。 然后，我现在将要写的只是其中一小部分，尽量有空会将几何 代数 不等式 函数 数列 和有趣的tips都大致说一下，望大神勿喷。先讲解析几何&p&解析几何中 &/p&&p&关于导数&/p&&p&众所周知，导数在求关于求函数图像的切线等问题时非常有效，（可避免求△=0的复杂计算）高中定义的导数是要在函数的条件下（即一个x对应一个y）,遇到抛物线
双曲线 圆 椭圆问题时求导该怎么办呢？&/p&&p&那就隐函数求导吧（自行百科）抱歉handwriting非常渣&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/d6bab1f79db76a4ab31f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&326& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/d6bab1f79db76a4ab31f_r.jpg&&&/figure&那么请自行推导椭圆 圆 双曲线的隐函数求导会发现一个神奇的结论：以椭圆为例 &/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D+x%2Fa%5E2+%2B+y_%7B0%7D+y%2F+b%5E2+%3D1+& alt=&x_{0} x/a^2 + y_{0} y/ b^2 =1 & eeimg=&1&& 就是求其中一点（x0，y0)的 切线方程 将标准方程中的一个x和一个y换成该点的横纵坐标即可。 其它圆锥曲线亦然，好的提到这个方程就顺便迁到圆锥曲线的极点极线问题了。&/p&&p&既然讲到了解析几何那么不得不强烈推荐下贴吧里整理的知识点：&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//tieba.baidu.com/p/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&圆锥曲线基础必备&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//pan.baidu.com/s/1pJJMcSr& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&圆锥曲线基础必备.doc_免费高速下载&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/link%3Furl%3D0XSANitYJlw2P3OmHNhO3MaEOT1nEgmNIPpcys4ZMlFEK5w2chcXmPigIfkdkVQwLDw4PDSKVEd5e_yc9MnCU4nB7NvnNBaPzMbs7ugZ4ke& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&极点与极线背景下的高考试题&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&/p&解析几何中的参数方程：&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/bcd569a1367_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&347& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/bcd569a1367_r.jpg&&&/figure&这张图大致就把基础的参数方程
切线方程的要点阐述清楚了。PS（双曲线的参数方程基本用不到，抛物线&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%3D2py& alt=&x^2=2py& eeimg=&1&&,切线方程&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D+x%3Dp%28y%2By_%7B0%7D+%29& alt=&x_{0} x=p(y+y_{0} )& eeimg=&1&&）&/p&&p&考题中圆锥曲线的一般求解访法通常就俩字---联立，但因为曲线多交点多，因而未知量多，我们常常很难快速找到参考答案中的最佳联立方式，是直接代入消元，还是两式相加减乘除，抑或是经特殊整理后以整体代入的形式联立。另外，有时候在众多曲线、动直线、动点之间的联动关系下，若没有等价转化思想就很难找到问题求解的最佳切入点（比如有的同学不知道什么时候改设点的坐标来表达直线方程，什么时候又该设直线方程来求点的坐标），从而被大量繁杂的字母运算吓退。&/p&&p&而当以参数方程的形式设出曲线上某店的坐标那么这个坐标不仅只含一个未知量，而且这个点也在曲线上，减少了联立方程的麻烦。总而言之，参数方程为最值问题、求轨迹问题，曲线过定点等常见问题求解&b&提供了一个明确的方向。&/b&&/p&&p&附两个小tips：&/p&&p&平行四边形ABCD两相邻向量AB=（a,b)AD=(c,d),则&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/b647b3f77d2f46a6d0d3d_b.jpg& data-rawwidth=&173& data-rawheight=&48& class=&content_image& width=&173&&&/figure&(2x2行列式的特征值的几何意义）&/p&&p&注意利用图形的对称性&/p&&p&一波题目正在靠近~~~&/p&&p&已知圆C1：x^2+y^2=r1^2&/p&&p&圆C2：x^2+y^2=r2^2(r1≠r2)&/p&&p&C1上的动点P和圆C2上动点Q满足&/p&&p&存在λ∈R，op=λOQ,过点P作y轴的垂线l1&/p&&p&过点Q作x轴的垂线，l1∩l2=T,求点T的轨迹方程：&/p&&p&参数方程做法：&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/7a8ffc28ad9e773c7bc845_b.jpg& data-rawwidth=&236& data-rawheight=&186& class=&content_image& width=&236&&&/figure&&/p&&p&妈的个腾，不知道为什么mathtype打不了中文，T的轨迹就是个椭圆，这也是椭圆的几何画法。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/e12c98a5d5aeeafd5894_b.jpg& data-rawwidth=&3552& data-rawheight=&2000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3552& data-original=&https://pic1.zhimg.com/e12c98a5d5aeeafd5894_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/5bc50c31085ad7ebb70fc35a61e8d1f8_b.jpg& data-rawwidth=&3552& data-rawheight=&2000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3552& data-original=&https://pic1.zhimg.com/5bc50c31085ad7ebb70fc35a61e8d1f8_r.jpg&&&/figure&&br&注意&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta+& alt=&\theta & eeimg=&1&&不是原点与椭圆上的点连线与X轴的夹角&br&而是小圆上对应该Y坐标的对应点的圆心角&br&设椭圆M&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1+& alt=&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 & eeimg=&1&&(a＞&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D+& alt=&\sqrt{2} & eeimg=&1&&）的有焦点F1，直线l：x=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba%5E2%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2-2%7D+%7D+& alt=&\frac{a^2}{\sqrt{a^2-2} } & eeimg=&1&&与x轴的交点A，若向量OF1=2向量F1A&br&（1）椭圆方程：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B2%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1& eeimg=&1&&&br&(2)设P是M上一点，EF是圆&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%2B%28y-2%29%5E2%3D1& alt=&x^2+(y-2)^2=1& eeimg=&1&&上任意一条直线，求向量PE·PF的最大值&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/8e8dcaf8c90770b1dabd88ecbcb8b21e_b.jpg& data-rawwidth=&226& data-rawheight=&194& class=&content_image& width=&226&&&/figure&&br&(2012,陕西，19题）已知C1: &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1+& alt=&\frac{x^2}{4}+y^2=1 & eeimg=&1&&
C2：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B16%7D+%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%3D1& alt=&\frac{y^2}{16} +\frac{x^2}{4}=1& eeimg=&1&&&br&设O为坐标原点，点A、B分别在C1、C2上&br&向量OB=2向量OA，求直线AB的方程。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/e390d6e52fdfe99_b.jpg& data-rawwidth=&192& data-rawheight=&140& class=&content_image& width=&192&&&/figure&&br&&br&已知椭圆E：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1& alt=&\frac{x^2}{4}+y^2=1& eeimg=&1&&,A在E上（1,1/2），若点P在E上满足&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/9a013b9ab972d118a8ff580c_b.jpg& data-rawwidth=&77& data-rawheight=&26& class=&content_image& width=&77&&&/figure&（1）求t的范围&br&（2）过原点O的直线交E于BC，求S△BCA的最大值&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ff514bcbc31bc4adf6b93b_b.jpg& data-rawwidth=&257& data-rawheight=&253& class=&content_image& width=&257&&&/figure&&br&把A看做原点，由TIP2&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/2afa2b29d508e_b.jpg& data-rawwidth=&173& data-rawheight=&48& class=&content_image& width=&173&&&/figure&&br&迅速可得&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/f4a49fd45e874a795f76d_b.jpg& data-rawwidth=&158& data-rawheight=&85& class=&content_image& width=&158&&&/figure&Smax=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D+& alt=&\sqrt{2} & eeimg=&1&&&br&&br&&br&圆锥曲线的极点与极线&br&&br&定义：对于二次曲线C&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Ax%5E2%2BBy%5E2%2BCx%2BDy%2BE%3D0& alt=&Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0& eeimg=&1&&和一点P（x0,y0)&br&用&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7By0%2By%7D%7B2%7D%5Crightarrow+y& alt=&\frac{y0+y}{2}\rightarrow y& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx0%2Bx%7D%7B2%7D%5Crightarrow+x+& alt=&\frac{x0+x}{2}\rightarrow x & eeimg=&1&&得到一条直线方程&br&L：Ax0x+By0y+C&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx0%2Bx%7D%7B2%7D& alt=&\frac{x0+x}{2}& eeimg=&1&&+D&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7By0%2By%7D%7B2%7D& alt=&\frac{y0+y}{2}& eeimg=&1&&+E=0&br&则称点P和L是关于曲线C的一对极点和极线【especially,焦点与准线是曲线的一对极点和极线】&br&其实，圆与椭圆的切线与渐切线就是特殊的极线，如图&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/de5a826dc75b156d3468_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&355& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/de5a826dc75b156d3468_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/7f90257dcd42fb64ddaf7f4aebefb637_b.jpg& data-rawwidth=&545& data-rawheight=&338& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&545& data-original=&https://pic4.zhimg.com/7f90257dcd42fb64ddaf7f4aebefb637_r.jpg&&&/figure&极点极线的性质：&br&一般的有如下性质（焦点所在区域为曲线内部）&br&①若P在曲线上，则P的极线是曲线的切线&br&②若P在曲线内，则P的极线与以P为中点弦平行（仅是斜率相等）&br&③若P在曲线外，则P的极线是过P做曲线的两条切线的切点的连线。&br&④焦点的极线即准线&br&如图：&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/a284f1cd39d75f3b79ba87_b.jpg& data-rawwidth=&408& data-rawheight=&523& class=&content_image& width=&408&&&/figure&&br&&br&注：②的用处就是快速求出中点弦的斜率，比点差法求快。但正规应使用点差法。&br&&br&④极点与极线的对偶性&br&已知P和极线L是关于曲线的极点极线，则L上任一点Pn对应的继续Ln必过点P，&br&反之亦然，任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上。&br&如图&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/ea143f69bdf51ef12e6fd08_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&357& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/ea143f69bdf51ef12e6fd08_r.jpg&&&/figure&&br&⑤过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上。△STP称为自极点三角形，对应边与对应点互极。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/0e280fa0cfadef96a0d274e_b.jpg& data-rawwidth=&516& data-rawheight=&417& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&516& data-original=&https://pic3.zhimg.com/0e280fa0cfadef96a0d274e_r.jpg&&&/figure&对这个图形要有印象，因为他会不停地在高中三年中搞你。&br&（接下来讲下极线与调和不等式，及其几何意义，顺便贴上些高考题）&br&⑥点P是曲线C的极点，他对应的极线为L，则有&br&Ⅰ.若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则OP*OQ=OR?即OP/OR=OR/OQ&br&椭圆如图 &br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/eeedbcb02e04d381da2d1065_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&226& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/eeedbcb02e04d381da2d1065_r.jpg&&&/figure&Ⅱ.若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR&br&如图 &br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/6aac570b9_b.jpg& data-rawwidth=&251& data-rawheight=&411& class=&content_image& width=&251&&&/figure&&br&双曲线基本不用，别记了。&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/6e64c0e517f48cce723dc54_b.jpg& data-rawwidth=&533& data-rawheight=&148& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&533& data-original=&https://pic1.zhimg.com/6e64c0e517f48cce723dc54_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/29376acbc65a311f95c2f2c0e98f229a_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&336& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/29376acbc65a311f95c2f2c0e98f229a_r.jpg&&&/figure&&br&椭圆方程是x?/3+y?=1&br&N是极点，性质⑤，代入极点5x/3+0y=1则x=3/5&br&故定点是（3/5，0）&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/37b57d842eb514e248ebec8_b.jpg& data-rawwidth=&547& data-rawheight=&179& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&547& data-original=&https://pic1.zhimg.com/37b57d842eb514e248ebec8_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/151c2b0a05ddb7d228f0_b.jpg& data-rawwidth=&539& data-rawheight=&111& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&539& data-original=&https://pic1.zhimg.com/151c2b0a05ddb7d228f0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/61ca6c446efc0c832ba9cbea_b.jpg& data-rawwidth=&408& data-rawheight=&322& class=&content_image& width=&408&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/01f989b4b46ebdc8ac6b_b.jpg& data-rawwidth=&549& data-rawheight=&129& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&549& data-original=&https://pic4.zhimg.com/01f989b4b46ebdc8ac6b_r.jpg&&&/figure&已知椭圆x?/4+y?/3=1，右准线上一点M，过M作椭圆的两条切线MA，MB，交椭圆于AB&br&求证：AB恒过定点&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/0161e28bfb028e43f0fdcf_b.jpg& data-rawwidth=&445& data-rawheight=&361& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&445& data-original=&https://pic4.zhimg.com/0161e28bfb028e43f0fdcf_r.jpg&&&/figure&（2009，海南，13题）已知抛物线C的顶点在原点，焦点F（1，0）&br&，直线L与抛物线C交于AB两点，若AB的中点（2,2），则l的方程：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5E2%3D4x+%2CEpipolar%3A2y%3D4%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7B2%7D%5CRightarrow+l%3Ay%3Dx%2Bbpass+through+%282%2C2%29%5CRightarrow+b%3D0%5CRightarrow+l%3Ay%3Dx& alt=&y^2=4x ,Epipolar:2y=4\frac{x+2}{2}\Rightarrow l:y=x+bpass through (2,2)\Rightarrow b=0\Rightarrow l:y=x& eeimg=&1&&&br&&br&&br&(2009,广东，21题）Cn:&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2-2nx%2By%5E2%3D0%28n%5Cin+Z%5E%2A%29& alt=&x^2-2nx+y^2=0(n\in Z^*)& eeimg=&1&&，从点P（-1,0）向曲线Cn引斜率kn(kn＞0）的切线ln,切点为Pn(x0,y0)&br&（1）求数列{xn}{yn}的通项公式&br&（2）证明：x1x2x3……x2n-1＜&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-x_%7Bn%7D%7D%7B1%2Bx_%7Bn%7D%7D%7D+& alt=&\sqrt{\frac{1-x_{n}}{1+x_{n}}} & eeimg=&1&&＜&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D+sin%5Cfrac%7Bx_%7Bn%7D%7D%7By_%7Bn%7D%7D& alt=&\sqrt{2} sin\frac{x_{n}}{y_{n}}& eeimg=&1&&&br&Cn&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLeftrightarrow+& alt=&\Leftrightarrow & eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-n%29%5E2%2By%5E2%3Dn%5E2& alt=&(x-n)^2+y^2=n^2& eeimg=&1&&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ln%3Ax0x-n%28x0%2Bx%29%2Byny%3D0& alt=&ln:x0x-n(x0+x)+yny=0& eeimg=&1&&pass through P(-1,0)&br&∴-xn-n（xn-1)=0&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CRightarrow+x_%7Bn%7D+%3Dn%2Fn%2B1& alt=&\Rightarrow x_{n} =n/n+1& eeimg=&1&&&br&∵kn＞0∴yn＞0&br&在Rt△APnCn中，由射影定理得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y_%7Bn%7D+%3D%5Csqrt%7B%28x_%7Bn%7D%2B1%29%28n-x_%7Bn%7D%29%7D& alt=&y_{n} =\sqrt{(x_{n}+1)(n-x_{n})}& eeimg=&1&&=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bn%7D%7Bn%2B1%7D%5Csqrt%7B2n%2B1%7D& alt=&\frac{n}{n+1}\sqrt{2n+1}& eeimg=&1&&&br&此题亦可用向量APn·PnCn=0来做&br&（2）&br&原命题&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLeftrightarrow+& alt=&\Leftrightarrow & eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%7D+& alt=&\frac{1}{2n} & eeimg=&1&&＜&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%2B1%7D& alt=&\frac{1}{2n+1}& eeimg=&1&&＜&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%7B2n%2B1%7D%5E%7B-1%7D+& alt=&\sqrt{2n+1}^{-1} & eeimg=&1&&易证&br&&br&2010广东理数20题&br&若过点H（0，h)(h＞1）的两条直线l1l2与&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2By%5E2%3D1& alt=&\frac{x^2}{2}+y^2=1& eeimg=&1&&（x(≠0，y≠0）相切于P1P2，且h1⊥h2，求h&br&①过左右顶点A1A2，h=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt2& alt=&\sqrt2& eeimg=&1&&&br&②&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6fba438f0f08dbf2ffcf0b_b.jpg& data-rawwidth=&166& data-rawheight=&157& class=&content_image& width=&166&&&/figure&2011四川理数21题&br&椭圆&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B2%7D%2Bx%5E2%3D1& alt=&\frac{y^2}{2}+x^2=1& eeimg=&1&&，A（-1，0）B（1,0）过焦点F1（0,1）的直线与椭圆交于CD，并与x轴交于P，直线AC与BD相交于Q。&br&（1）当CD=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B3%5Csqrt2%7D%7B2%7D& alt=&\frac{3\sqrt2}{2}& eeimg=&1&&时求L方程&br&（2）当P异于A、B时求证&br&向量OP·OQ为定值&br&（1）联立&br&y=±&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt2& alt=&\sqrt2& eeimg=&1&&x+1&br&(2）由极线极点的对偶性&br&Q（1/h,yq) P(h,0)向量OP·向量OQ=1（当然了，你要是高考把压轴题写这么简单那基本就没分数了，接下来一般做法）&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/fd307bcffb86af_b.jpg& data-rawwidth=&332& data-rawheight=&464& class=&content_image& width=&332&&&/figure&（2013广州一模，20题）已知椭圆&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=C_%7B1%7D+& alt=&C_{1} & eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B16%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B12%7D%3D1& alt=&\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1& eeimg=&1&&其上A（2,3），过A得直线L与抛物线C2&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%5E2%3D4Y& alt=&X^2=4Y& eeimg=&1&&交于BC两点，抛物线C2在BC处的切线为L1、L2，且L1 L2相交于P&br&是否存在P在C1上，并求出这样的P个数，不用写出坐标。&br&点P（x0，y0)关于C2极线&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D+x%3D2%5Ctimes+%28y%2By_%7B0%7D+%29& alt=&x_{0} x=2\times (y+y_{0} )& eeimg=&1&&过A（2,3）&br&P轨迹：y=x-3联立C1，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E3%80%81& alt=&、& eeimg=&1&&＞0&br&（2012，佛山质检，19题）已知椭圆E：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D%2By%5E2%3D1& alt=&\frac{x^2}{4}+y^2=1& eeimg=&1&&上异于上下顶点A1、A2的P点，PA1、PA2与X轴交于M、N若直线OT与过M、N的圆I相切，切点为T，证明线段OT为定值。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/d9b5edf4c72c6_b.jpg& data-rawwidth=&1090& data-rawheight=&667& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1090& data-original=&https://pic3.zhimg.com/d9b5edf4c72c6_r.jpg&&&/figure&&br&&p&继续讲解析几何&/p&&p&上面的圆锥曲线基础必备的链接是关于高考的拓展知识点，下面在补充一些具体情况的结论（我知道这很难记，但是建议自己证明一下，对解题非常有帮助，不会问我。）&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50db6f6d6cfe_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&313& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50db6f6d6cfe_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/2cacfa96c63c6ee44979f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&289& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/2cacfa96c63c6ee44979f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/eebb58c0977ce85cbdd988d01c4eeda0_b.jpg& data-rawwidth=&362& data-rawheight=&342& class=&content_image& width=&362&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/c64b48b6e1f434e58ecdb_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/c64b48b6e1f434e58ecdb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/41d1d265c80d49ead541be_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&325& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/41d1d265c80d49ead541be_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/fcf9cb62bf44fe72fefa5d7c00debe15_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/fcf9cb62bf44fe72fefa5d7c00debe15_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/fcf9cb62bf44fe72fefa5d7c00debe15_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/fcf9cb62bf44fe72fefa5d7c00debe15_r.jpg&&&/figure&关于上面的1、2点是圆锥曲线的重要特点之一，就是它的光学性质，可用代数证明（即导数来做）也可以几何反证法证明相当精巧。&br&一、椭圆&br&椭圆的光学性质：椭圆上一点B，焦点为A、C（为方便起见不用F），则角ABC的外角平分线所在直线即为椭圆的切线。&br&那么，我们只需证明外角平分线上的其他点均不在椭圆上。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/9d9dec3e2e1b_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&521& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/9d9dec3e2e1b_r.jpg&&&/figure&如图，在外角平分线上另取一点D，连接DC、DA，在CB延长线上取BE=BA，则三角形ABD和EBD全等， AD+CD=ED+CD&CE=CB+BE=CB+BA=2a&br&所以D不在椭圆上，即外角平分线上只有B在椭圆上，所以为切线。&br&二、双曲线&br&双曲线的光学性质：双曲线上一点E，焦点为A、D，则角AED的平分线所在直线为双曲线的切线。&br&类似的，我们来证明角平分线上除E外的任一点均不在双曲线上。&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/63fae60f03e4e6bcab02cfb6ef276310_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&365& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/63fae60f03e4e6bcab02cfb6ef276310_r.jpg&&&/figure&角平分线上另取一点C，在AE上取EF=ED，连接CF，则三角形CFE和三角形CDE全等。2a=AE-AD=AF&AC-CF=AC-CD，所以C不在双曲线上，即内角平分线上只有E在双曲线上，所以为切线。&br&三、抛物线&br&抛物线光学性质：抛物线上一点B，焦点C，过B作准线的垂线交于A，则角ABC的角平分线为切线。同样的，我们在角平分线上另取一点E，证明E不在抛物线上。 &br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/c0ab2a569d1b0d_b.jpg& data-rawwidth=&540& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&540& data-original=&https://pic1.zhimg.com/c0ab2a569d1b0d_r.jpg&&&/figure&连接EA、EC，过E作准线的垂线交于D。三角形AEB和三角形CEB全等，EC=EA&ED，所以E不在抛物线上，BE为切线。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/10cd917d2bc967d26c51_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&243& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic2.zhimg.com/10cd917d2bc967d26c51_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/3bd2e5d635c8a3f6c67b21_b.jpg& data-rawwidth=&373& data-rawheight=&280& class=&content_image& width=&373&&&/figure&&br&&br&好的，可能有人觉得我巴拉巴拉讲了一大堆很无聊，那么就用我们上面学的知识参数方程与极线定理来轻松一下做一道题= =！顺便引出下一讲内容：仿射变换（主要应用于减少联立计算，当然了大题要是这么写是要扣分的= =）&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/d8ab1ecaacbc38c56a9bb6c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&435& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/d8ab1ecaacbc38c56a9bb6c_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/17db55c11b02dcfc159f882cbd6538d6_b.jpg& data-rawwidth=&506& data-rawheight=&438& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&506& data-original=&https://pic3.zhimg.com/17db55c11b02dcfc159f882cbd6538d6_r.jpg&&&/figure&&br&当然如果这道题不进行仿射变换，答主尝试过但是被繁琐的计算彻底打败了.有可能有些读者无法理解上面的缩放变换（其实非常实用简单）这里介绍点适用于高中生的缩放变换基础知识：（占坑）&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/516ec2c0d4bf91f7e391f0cdf4115970_b.jpg& data-rawwidth=&446& data-rawheight=&206& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&446& data-original=&https://pic1.zhimg.com/516ec2c0d4bf91f7e391f0cdf4115970_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/b9f8bc7e64a5ec9db519f_b.jpg& data-rawwidth=&427& data-rawheight=&111& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&427& data-original=&https://pic4.zhimg.com/b9f8bc7e64a5ec9db519f_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ee2f65e0cfd47a725796f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&299& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ee2f65e0cfd47a725796f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/17c169c9cd7e07f0cfa21a_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/17c169c9cd7e07f0cfa21a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/31c156a294be898dd8fa8_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&180& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/31c156a294be898dd8fa8_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/d362fdfd68bf2bc64875f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&224& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/d362fdfd68bf2bc64875f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/e2ccad2b5aacaef2045dd_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&243& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/e2ccad2b5aacaef2045dd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/0f8ac87815fba80fc0e04e0babec39d3_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&325& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/0f8ac87815fba80fc0e04e0babec39d3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/e34e75ae83_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&242& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/e34e75ae83_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/f07b52e4_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&452& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic2.zhimg.com/f07b52e4_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/5bcd0e9736089cdf5036ef_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&387& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/5bcd0e9736089cdf5036ef_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/2c9bbfefe1dafda1890a_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&438& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/2c9bbfefe1dafda1890a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ca45c3a1c8c565ffbd12a73d27ca8d0f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&188& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ca45c3a1c8c565ffbd12a73d27ca8d0f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/6df815cf1f15992eafb4d_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&246& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/6df815cf1f15992eafb4d_r.jpg&&&/figure&注4的柯西解法中(x^2+3y^2)(cos^2+sin^2/3)是≥&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/2da2d18b31f403faf4c131d718d9cad3_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&281& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/2da2d18b31f403faf4c131d718d9cad3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/7cdbf72e29ccb99c973d_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&309& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/7cdbf72e29ccb99c973d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/57a1bfbeed030e83aea4c097f2a1b0c7_b.jpg& data-rawwidth=&451& data-rawheight=&511& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&451& data-original=&https://pic4.zhimg.com/57a1bfbeed030e83aea4c097f2a1b0c7_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/9d3bce2ae47aaf_b.jpg& data-rawwidth=&456& data-rawheight=&514& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&456& data-original=&https://pic2.zhimg.com/9d3bce2ae47aaf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/fbf3eec0cd2ca8589728_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&206& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/fbf3eec0cd2ca8589728_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/779d2f670dd069de83cd_b.jpg& data-rawwidth=&457& data-rawheight=&410& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&457& data-original=&https://pic2.zhimg.com/779d2f670dd069de83cd_r.jpg&&&/figure&&br&PS&b&遇到这种求弦长最值得时候还是老实联立吧，因为仿射变换中弦长不成比例而且计算量跟联立相差无几。&/b&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/c8add7be5d39_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&188& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/c8add7be5d39_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/c70b4e340d298ed6c3da0b_b.jpg& data-rawwidth=&458& data-rawheight=&462& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&458& data-original=&https://pic4.zhimg.com/c70b4e340d298ed6c3da0b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/f8bb79fcab8f87a560cc1_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&224& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/f8bb79fcab8f87a560cc1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/e70cca0ee2dda5a1218c49_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&310& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/e70cca0ee2dda5a1218c49_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/43d86f95cfc1a9411149b_b.jpg& data-rawwidth=&763& data-rawheight=&316& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&763& data-original=&https://pic4.zhimg.com/43d86f95cfc1a9411149b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/118cbe4bfef7f82e96e8522_b.jpg& data-rawwidth=&755& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&755& data-original=&https://pic3.zhimg.com/118cbe4bfef7f82e96e8522_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/e0a1b2b82bb_b.jpg& data-rawwidth=&437& data-rawheight=&415& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&437& data-original=&https://pic3.zhimg.com/e0a1b2b82bb_r.jpg&&&/figure&&br&&b&这里就提到了点差法的实质实为仿射变换，可以解答下列这个问题（虽然被关闭了。）&/b&&br&&b&&a href=&http://www.zhihu.com/question/& class=&internal&&点差法究竟利用了哪个我没有看见的条件？ - 数学&/a&&br&&/b&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/3bfd0a2bbac2_b.jpg& data-rawwidth=&736& data-rawheight=&192& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&736& data-original=&https://pic3.zhimg.com/3bfd0a2bbac2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/f584b909edaaaa_b.jpg& data-rawwidth=&763& data-rawheight=&385& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&763& data-original=&https://pic3.zhimg.com/f584b909edaaaa_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/5f4c3dd8f16_b.jpg& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&279& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&https://pic3.zhimg.com/5f4c3dd8f16_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/955b324ce00b8c0e8c924_b.jpg& data-rawwidth=&442& data-rawheight=&462& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&442& data-original=&https://pic1.zhimg.com/955b324ce00b8c0e8c924_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/2becf90d3cfbe852e8cedc69_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&198& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/2becf90d3cfbe852e8cedc69_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/41ea466f528ec97db05860_b.jpg& data-rawwidth=&453& data-rawheight=&425& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&453& data-original=&https://pic1.zhimg.com/41ea466f528ec97db05860_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/3032fdbdf745487bcd134d539acf6834_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&181& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/3032fdbdf745487bcd134d539acf6834_r.jpg&&&/figure&称OA OB为椭圆的共轭半径&br&below是椭圆的阿坡隆尼亚定理：&br&在椭圆的任何一对共轭半径上的平行四边形面积等于两个半轴的长方形面积，in other words，如果a'b'是共轭半径的长度，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi+& alt=&\varphi & eeimg=&1&&是它们的中间角，则a'b'sin&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi+& alt=&\varphi & eeimg=&1&&=ab&br&证：可知这些平行四边形经仿射对应的是面积恒定的正方形，面积不变，而仿射变换后正方形面积与平行四边形面积成特定比值，所以这些平行四边形面积不变，S=ab/2&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/0b4fb7e5c5d1cca_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&247& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/0b4fb7e5c5d1cca_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/b62fd5d6e01b74b9646dd_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&233& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/b62fd5d6e01b74b9646dd_r.jpg&&&/figure&利用仿射同样可以证明极线定理&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/1bfac60802d2ecee7ebf9_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&330& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/1bfac60802d2ecee7ebf9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/f5cc03770c3_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&423& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/f5cc03770c3_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/c7cffd37eb95_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&182& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/c7cffd37eb95_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/3c30ff3f36b5fa4adfbae8ec_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&206& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/3c30ff3f36b5fa4adfbae8ec_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/643409bbd19fd6ffd55bdc8f8976c77d_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&120& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/643409bbd19fd6ffd55bdc8f8976c77d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/b4a88c2afed9e19cf1e5f032ffab547c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&328& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/b4a88c2afed9e19cf1e5f032ffab547c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/7bada51b130a38e4c5af71f_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&258& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/7bada51b130a38e4c5af71f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/a80d13ca08fb309d0307_b.jpg& data-rawwidth=&421& data-rawheight=&416& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&421& data-original=&https://pic4.zhimg.com/a80d13ca08fb309d0307_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/1a0cdc36e2fe829fa5ab7a3b494191de_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&283& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/1a0cdc36e2fe829fa5ab7a3b494191de_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/1a0cdc36e2fe829fa5ab7a3b494191de_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&283& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/1a0cdc36e2fe829fa5ab7a3b494191de_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/45fdd0eaf5cea53ad3af6c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&303& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/45fdd0eaf5cea53ad3af6c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/8a3ceb6f34acbb5d79755_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&282& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/8a3ceb6f34acbb5d79755_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/b0dc78db1c15ba51faa854da2022e7ce_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&465& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/b0dc78db1c15ba51faa854da2022e7ce_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/bc6f884b0cc_b.jpg& data-rawwidth=&435& data-rawheight=&425& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&435& data-original=&https://pic1.zhimg.com/bc6f884b0cc_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/6173dcacc79c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&230& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/6173dcacc79c_r.jpg&&&/figure&葛军的那道圆上△PAB面积为1的P点个数真是弱&br&&br&&br&&br&&br&&b&&u&来看看去年高考题你们说弱不弱！！&/u&&/b&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/f3cfdb4eb3efa5a1c6d6_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&153& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic3.zhimg.com/f3cfdb4eb3efa5a1c6d6_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/cae00d1e06db91b6809aedabcc7f9344_b.jpg& data-rawwidth=&419& data-rawheight=&588& class=&content_image& width=&419&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/f41c82ee52e7d175eae23_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&339& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic4.zhimg.com/f41c82ee52e7d175eae23_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/cd668d8a8ecba5a939faa5_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&404& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/cd668d8a8ecba5a939faa5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/094e62b93a4a2dfdb955_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&176& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/094e62b93a4a2dfdb955_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/4ed3bade5a294f00c96c61_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&318& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic2.zhimg.com/4ed3bade5a294f00c96c61_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/9aef3b3d05b8_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&131& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic1.zhimg.com/9aef3b3d05b8_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/4f92f6e34bd92dea594d1c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&348& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/4f92f6e34bd92dea594d1c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/a76c9edefde449d4e733f79ed1a355d2_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&197& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic3.zhimg.com/a76c9edefde449d4e733f79ed1a355d2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/4f92f6e34bd92dea594d1c_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&348& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic1.zhimg.com/4f92f6e34bd92dea594d1c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6f19f0b0dd8dd3d5bcf6bdbc361d1dcb_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&194& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic4.zhimg.com/6f19f0b0dd8dd3d5bcf6bdbc361d1dcb_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/eefbcbf26245fdc77518a5fccd5bc7f7_b.jpg& data-rawwidth=&425& data-rawheight=&517& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&425& data-original=&https://pic4.zhimg.com/eefbcbf26245fdc77518a5fccd5bc7f7_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/23e3c267f17e2c7ac85a91_b.jpg& data-rawwidth=&580& data-rawheight=&256& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&580& data-original=&https://pic2.zhimg.com/23e3c267f17e2c7ac85a91_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/796e2ed79abd5a67456f_b.jpg& data-rawwidth=&417& data-rawheight=&399& class=&content_image& width=&417&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/a991e45b7b8b8622aff275443dcf2314_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&244& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic1.zhimg.com/a991e45b7b8b8622aff275443dcf2314_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/5070b41dd_b.jpg& data-rawwidth=&442& data-rawheight=&462& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&442& data-original=&https://pic2.zhimg.com/5070b41dd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ff88dd4e93_b.jpg& data-rawwidth=&559& data-rawheight=&175& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&559& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ff88dd4e93_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/e7db8cce525d19fcde170b0_b.jpg& data-rawwidth=&556& data-rawheight=&160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&556& data-original=&https://pic1.zhimg.com/e7db8cce525d19fcde170b0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/6a3fcb200e7af54c1dca89_b.jpg& data-rawwidth=&558& data-rawheight=&142& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&558& data-original=&https://pic2.zhimg.com/6a3fcb200e7af54c1dca89_r.jpg&&&/figure&最后注意两点&br&&b&
仿射变换后除去与平行线段，其余线段长度不成比例&br&
面积仍成比例，即只是乘了一个系数，原图中最大值变换后仍为最大值&/b&&br&最后稍微推广下上述的仿射变换，顺便做个对仿射变换的应用做个了结&br&&p&2007年高考江苏卷出了一道耐人寻味的小题：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/3abfdfebbae24a2013662_b.jpg& data-rawwidth=&605& data-rawheight=&146& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&605& data-original=&https://pic3.zhimg.com/3abfdfebbae24a2013662_r.jpg&&&/figure&因为给定的变换&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Crightarrow+x%2By%0Ay%5Crightarrow+x-y& alt=&x\rightarrow x+y
y\rightarrow x-y& eeimg=&1&&为仿射变换，其直线仍变成直线,故变换后的图形仍为三角形，原三个顶点仍为三个顶点，&br&O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)，将这三点的坐标代入中得：O’（0,0）、M’（1,1）、N’(1,-1)，画出由O’、M’、N’三点确定的三角形区域B，求得区域B的面积为1。好了，对仿射感兴趣，学有余力者想要系统了结的话请自学&b&矩阵，&/b&此处不再赘述。&br&&b& 数列&/b&&br&从基础开始，等差等比不用介绍。实在是大坑，能力有限只能提到一些啊，等会把题目发上来，边发题目边得出些结论。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/4b32b74f8a7662bea76eec7fd2cb57ed_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&294& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic2.zhimg.com/4b32b74f8a7662bea76eec7fd2cb57ed_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6b2b7c38bf_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&735& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic4.zhimg.com/6b2b7c38bf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/dc412b2c9b838fa4aee7c_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic1.zhimg.com/dc412b2c9b838fa4aee7c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/f58af78cecd4bc7d9ef176b0_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&459& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic1.zhimg.com/f58af78cecd4bc7d9ef176b0_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/06f72f0bf02eef7b090b_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&294& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic4.zhimg.com/06f72f0bf02eef7b090b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/9a8e3d62e541407cbdbdd8fe_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&551& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic3.zhimg.com/9a8e3d62e541407cbdbdd8fe_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/b906c2c903c90ccf11f07ddb_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&422& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic4.zhimg.com/b906c2c903c90ccf11f07ddb_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/bae_b.jpg& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&588& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic3.zhimg.com/bae_r.jpg&&&/figure&以著名的斐波那契数列为例用特征方程秒解&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/11816eebb31956baecb7f_b.jpg& data-rawwidth=&620& data-rawheight=&806& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&620& data-original=&https://pic4.zhimg.com/11816eebb31956baecb7f_r.jpg&&&/figure&数列的放缩&br&①构造等比数列&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/88f03c5b7c4a5137a46d_b.jpg& data-rawwidth=&436& data-rawheight=&489& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&436& data-original=&https://pic2.zhimg.com/88f03c5b7c4a5137a46d_r.jpg&&&/figure&构造等比数列证明&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%3Cc+& alt=&\sum_{a}^{b}{a_{n}}&c & eeimg=&1&&是非常有效的方法，an中含有n的指数，q(0&q&1时)可以任取皆可,当然了，要便于后面的证明我们取了&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&\frac{1}{2}& eeimg=&1&&,有时对a1开始放缩达不到要求，则可从第2、3项后再进行等比放缩，要求保留前面的项。&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/b1e36b0d541f934dc9378b_b.jpg& data-rawwidth=&969& data-rawheight=&161& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&969& data-original=&https://pic4.zhimg.com/b1e36b0d541f934dc9378b_r.jpg&&&/figure&先用待定系数法求通项&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/56ae56de307f92e7c9c5_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&121& class=&content_image& width=&277&&&/figure&解得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda+%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D& alt=&\lambda =\frac{2}{3}& eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/dbd708cae7c_b.jpg& data-rawwidth=&392& data-rawheight=&109& class=&content_image& width=&392&&&/figure&我们要需放缩必须要注意到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5E%7Bn-2%7D+-%28-1%29%5En%5Cgeq+2%5E%7Bn-2%7D-1& alt=&2^{n-2} -(-1)^n\geq 2^{n-2}-1& eeimg=&1&&,本题放缩中最重要的一点，按上题所述，此题为保留放缩的紧凑性，我们不妨从n=6开始放缩即要证明.(如从第四项开始放缩会导致放缩的不紧凑性无法证明该命题）&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/71d1f9bf343f7d49fe7bc67f35b307f7_b.jpg& data-rawwidth=&424& data-rawheight=&108& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&424& data-original=&https://pic4.zhimg.com/71d1f9bf343f7d49fe7bc67f35b307f7_r.jpg&&&/figure&有个错误，第一个小于号应该是≤&br&重点来了如何证明上式成立&br&可构造一个等比数列Pn&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6a39e66aac3dcc037a533e2ea4c990eb_b.jpg& data-rawwidth=&456& data-rawheight=&116& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&456& data-original=&https://pic4.zhimg.com/6a39e66aac3dcc037a533e2ea4c990eb_r.jpg&&&/figure&&br&我们为了放了后面方便计算可取相同公比q=1/2,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=p_%7B6%7D+%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B72%7D& alt=&p_{6} =\frac{5}{72}& eeimg=&1&&,那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bp_%7B6%7D+%7D%7B1-q%7D+%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B36%7D+& alt=&\frac{p_{6} }{1-q} =\frac{5}{36} & eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/ed595266fac_b.jpg& data-rawwidth=&156& data-rawheight=&126& class=&content_image& width=&156&&&/figure&&br&显然成立&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/29c353f9f24e5bcbc396_b.jpg& data-rawwidth=&882& data-rawheight=&472& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&882& data-original=&https://pic3.zhimg.com/29c353f9f24e5bcbc396_r.jpg&&&/figure&②构造函数证明数列不等&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/ba40aa4ec04eda1f59aade4_b.jpg& data-rawwidth=&1003& data-rawheight=&585& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1003& data-original=&https://pic1.zhimg.com/ba40aa4ec04eda1f59aade4_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/37a13a7da7ce534c632b8e_b.jpg& data-rawwidth=&1009& data-rawheight=&475& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1009& data-original=&https://pic3.zhimg.com/37a13a7da7ce534c632b8e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/670ea87fe02_b.jpg& data-rawwidth=&1074& data-rawheight=&461& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1074& data-original=&https://pic3.zhimg.com/670ea87fe02_r.jpg&&&/figure&③利用基本不等式放缩&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/3babfa8a81fd_b.jpg& data-rawwidth=&887& data-rawheight=&621& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&887& data-original=&https://pic2.zhimg.com/3babfa8a81fd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/b06adf54db1a1f549b1f6_b.jpg& data-rawwidth=&971& data-rawheight=&341& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&971& data-original=&https://pic3.zhimg.com/b06adf54db1a1f549b1f6_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/c7cdfc7d2b45ad1cd52b5060_b.jpg& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&533& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&https://pic1.zhimg.com/c7cdfc7d2b45ad1cd52b5060_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/d04a55ca639cab7868af4eab5ae476f6_b.jpg& data-rawwidth=&767& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&767& data-original=&https://pic3.zhimg.com/d04a55ca639cab7868af4eab5ae476f6_r.jpg&&&/figure&证明：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%2B1%3Ce%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn%7D+& alt=&n+1&e\sqrt[n]{n} & eeimg=&1&&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/89916debbe2e78164c49_b.jpg& data-rawwidth=&994& data-rawheight=&525& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&994& data-original=&https://pic2.zhimg.com/89916debbe2e78164c49_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/ef8aff4a9a05beeb854e0ccc4c9d53f8_b.jpg& data-rawwidth=&864& data-rawheight=&622& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&864& data-original=&https://pic1.zhimg.com/ef8aff4a9a05beeb854e0ccc4c9d53f8_r.jpg&&&/figure&这里出现了一个可能令人难以理解的点：首先证明n=1时不等式成立&br&其次只要将上两个通项相减，证明&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/7475ceff6b0afc_b.jpg& data-rawwidth=&899& data-rawheight=&331& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&899& data-original=&https://pic4.zhimg.com/7475ceff6b0afc_r.jpg&&&/figure&这就好比两函数在边界点满足左小右大，两边的增量仍满足左小右大，所以原命题得证。证明通项成立只是必要不充分条件。&br&【广州二模】设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D+& alt=&a_{n} & eeimg=&1&&是函数f(x)=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B3%7D+%2Bn%5E%7B2%7D+-1& alt=&x^{3} +n^{2} -1& eeimg=&1&&的零点&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ecae009077_b.jpg& data-rawwidth=&1092& data-rawheight=&369& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1092& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ecae009077_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/37ab3d08d31bc27827b5a_b.jpg& data-rawwidth=&1096& data-rawheight=&690& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1096& data-original=&https://pic3.zhimg.com/37ab3d08d31bc27827b5a_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/8a7f8000af_b.jpg& data-rawwidth=&1082& data-rawheight=&327& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1082& data-original=&https://pic4.zhimg.com/8a7f8000af_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6e38d202e132e8fdf9b9a6b_b.jpg& data-rawwidth=&1150& data-rawheight=&613& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1150& data-original=&https://pic4.zhimg.com/6e38d202e132e8fdf9b9a6b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/cec1cd9045993_b.jpg& data-rawwidth=&1187& data-rawheight=&601& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1187& data-original=&https://pic4.zhimg.com/cec1cd9045993_r.jpg&&&/figure&分析通项构造函数证明数列不等式&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/67fd378ae20d448411faa7ffb1ab6e66_b.jpg& data-rawwidth=&1095& data-rawheight=&688& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1095& data-original=&https://pic3.zhimg.com/67fd378ae20d448411faa7ffb1ab6e66_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/62ba380c0d85b90ffbf54e0_b.jpg& data-rawwidth=&1100& data-rawheight=&349& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1100& data-original=&https://pic1.zhimg.com/62ba380c0d85b90ffbf54e0_r.jpg&&&/figure&
占个坑先 ，原先只是想随便答答的，居然还有人赞，实在抬举。最近三个月一直在玩炉石传说，而且身体一直生病没来得及更，实在不好意思，现在开始更。首先要说明的该答案针对的是高考知识的延伸，不是针对竞赛知识，也不会系统地讲高数，大多只是断章取义，…
&p&谢邀&/p&&p&我在这里讲一些好懂一点的解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）。此版本为理科版，适用于理科生和基础较好的文科生，文科版请看&a href=&http://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/3724&/span&&span class=&invisible&&2948/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&。如果想学一些高大上的解题方法，也可以看&/p&&p&&a href=&http://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&有哪些暂时未学的知识方便学习解决高中数学题目？ - 伍连贵的回答&/a&&/p&&p&——————————————————一条分割线———————————————&/p&&p&一、设点或直线&/p&&p&做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+x_%7B1%7D%2Cy_%7B1%7D+%5Cright%29+& alt=&\left( x_{1},y_{1} \right) & eeimg=&1&&,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+x_%7B2%7D%2Cy_%7B2%7D+%5Cright%29+& alt=&\left( x_{2},y_{2} \right) & eeimg=&1&&等。对于椭圆&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bx%5E%7B2%7D+%7D%7Ba%5E%7B2%7D+%7D%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D+%7D%7Bb%5E%7B2%7D+%7D+%3D1& alt=&\frac{x^{2} }{a^{2} }+\frac{y^{2} }{b^{2} } =1& eeimg=&1&&上的唯一的动，还可以设为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+acos%5Ctheta+%2Cbsin%5Ctheta+%5Cright%29+& alt=&\left( acos\theta ,bsin\theta \right) & eeimg=&1&&，在抛物线&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5E%7B2%7D+%3D2px%28p%3E0%29& alt=&y^{2} =2px(p&0)& eeimg=&1&&上的点，也可以设为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7By_%7B0%7D%5E%7B2%7D+%7D%7B2p%7D%2Cy_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&\left(\frac{y_{0}^{2} }{2p},y_{0} \right) & eeimg=&1&&。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28+x_%7B0%7D%2Cy_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&\left( x_{0},y_{0} \right) & eeimg=&1&&并且不与y轴平行，可以设点斜式&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y-y_%7B0%7D%3Dk%5Cleft%28+x-x_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&y-y_{0}=k\left( x-x_{0} \right) & eeimg=&1&&,如果不与x轴平行，可以设&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x-x_%7B0%7D%3Dm%5Cleft%28+y-y_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&x-x_{0}=m\left( y-y_{0} \right) & eeimg=&1&&（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同），如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dx_%7B0%7D+%2Btcos%5Calpha+%2Cy%3Dy_%7B0%7D+%2Btsin%5Calpha+& alt=&x=x_{0} +tcos\alpha ,y=y_{0} +tsin\alpha & eeimg=&1&&，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5E%7B2%7D+%3D2px%28p%3E0%29& alt=&y^{2} =2px(p&0)& eeimg=&1&&的表达式中不含x的二次项，所以直线设为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x-x_%7B0%7D%3Dm%5Cleft%28+y-y_%7B0%7D+%5Cright%29+& alt=&x-x_{0}=m\left( y-y_{0} \right) & eeimg=&1&&或x=my+n联立起来更方便。&/p&&p&二、转化条件&/p&&p&有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。&b&对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。&/b&下面列出了一些转化工具所能转化的条件。&/p&&p&向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0）、平行四边形&/p&&p&斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1&/p&&p&（使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！）&/p&&p&几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等）&/p&&p&有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三思而后行。&/p&&p&三、代数运算&/p&&p&转化完条件只需要算数了。很多题目都要将直线与圆锥曲线联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都需要联立。&/p&&p&（1）求弦长&/p&&p&解析几何中有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%3D%5Csqrt%7Bk%5E%7B2%7D%2B1%7D+%5Csqrt%7B%5Cleft%28x_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D+%5Cright%29+%5E%7B2%7D-4x_%7B1%7Dx_%7B2%7D+%7D+%3D%5Csqrt%7B}
我要回帖
更多推荐
- ·新概念英语第四册pdf词汇红宝书4图书信息
- ·河北正规河北省最好的中专学校校都有哪些?
- ·阜阳天气预报准确率最高的手机软件为什么不准？
- ·流星镖《小李飞刀歌曲有哪些》
- ·路极液体黄金质地软还是硬在行驶过程中是否更加静音和舒适？
- ·安装金属缠绕垫国标片时要注意什么
- ·酷睿和英特尔赛扬和酷睿的区别是什么
- ·我买了块华硕r9 390x390x，大家说说怎么样啊，三风扇那个
- ·听说吧里人才多 入门入门茶轴机械键盘推荐哪家好
- ·苹果/安卓手机微信恢复软件怎么恢复微信 聊天记录最简单
- ·新华大街空调加氟安装空调移机要加氟吗一般要多少钱一次
- ·求教，1020怎么拍荣耀9 拍摄月亮 教程
- ·格力柜式空调哪款好3匹柜式防爆空调多少钱
- ·大家，intel主板芯片组2017排行是怎样的
- ·谁有那个卖强阳后多久会排卵金方代用罗老师的微信号
- ·新到的红米note3强制重启5一直重启是怎么回事
- ·用魅族pro6s 魅蓝note6的魅友有升级最新的稳定版吗
- ·话说，可不可以刷机成win8平板电脑刷机
- ·王者荣耀梦奇图片好还是曹操好
- ·手机贷转运中国邀请码20188
- ·[image]20 我的联想tooldlimagefail电视不知道咋了没声音有时开开声音它自动关到
- ·后，每次启动凯立德导航开机免接受会有出现提示要点接受，不能关掉吗
- ·北京车载音响改装方案价格多少
- ·手一滑入了个G4ME ZERO 求助声卡线性输入问题
- ·500价位哪个路由器一般什么价格好
- ·瑞旺上海商务中心心怎么样，好不好的默认点评
- ·男士发型设计app手机app哪个好
- ·安卓版随身助手怎么升级到爱思助手最新版本本
- ·三星平板smt700smt320平板底色发黄
- ·手持弹幕亮屏obs全屏弹幕怎么设置置？求
- ·大家说下原装苹果电池多少钱手机电池可以换么
- ·电子烟进口烟油哪款烟油比较柔和好
- ·有哪些能玩游戏的台式电脑配置Mini台式
- ·你怎么网店如何判断可信度利来_ W66可信度的呢
- ·今天为什么能跌c1驾证竟能开这么多车
- ·为什么万达一案判决中，经济补偿金个税计算不包括加班费
