导读：江夏区第一初级中学九年级数学元月调考复习学案，课题：旋转综合主备人：熊本春序号：11姓名目标：会运用旋转思想探究角与角之间的关，一、基础练习：，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，将△ABC逆时针旋转90江夏区第一初级中学“三为主，N环节”教学模式导学案 江夏区第一初级中学九年级数学元月调考复习学案 课题：旋转综合
主备人：熊本春
目标：会运用旋转思想探究角与角之间的关系，线段与线段之间的数量关系 重难点：会构造全等三角形，会运用特殊的直角三角形找到线段的数量关系。 一、基础练习： 1、如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部1分的面积为（
A、a2 2B、??3?23?2321-a1-a
D、a C、????????4?3?3??
2、如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则OC的值为
CD3、.如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上则∠C=
例题1：在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
1 江夏区第一初级中学“三为主，N环节”教学模式导学案 例题2（14年元调）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3．P为AC边上一动点，PC＝t，以点P为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△DEF，DE交边AC于G．
（1）用含有t的式子填空：DP＝
； （2）如图2，当F在AB上时，求证：PG＝PC； （3）如图3，当P为DF的中点时，求AG∶PG的值．
AA EAE GGG
BCBCC 图2图3图1
EFB例题3、已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，P为边AC上的一动点（不含A、C两点），连BP，将AP绕A点逆时针旋转β，使P点恰好落在BP的延长线的M点处，过M点做MN⊥AC于N点。（1）当α=β时，用直角尺，圆规作出图形，并证明：AN=PC （2）E为MN时射线上一点，AM=2，EN=2?2，EP交BC直线于F点，将FE射线绕F点逆时针方向旋转2α交AB直线Q点，当α=β=45°，求S?BQF
2 江夏区第一初级中学“三为主，N环节”教学模式导学案 课堂作业： 1、在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ。 （1） 若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数； （2） 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含?的代数式表示），并加以证明； （3） 对于适当大小的?，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出?的范围。
2、已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F． 1（1）当直线m经过B点时，如图1，证明：EF?CF． 2（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．
3 江夏区第一初级中学“三为主，N环节”教学模式导学案 3、如图（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG． （1）试猜想线段BG和AE的关系，请写出你的结论并加以证明；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度a后（0°＜a＜90°），如图（2），通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由： （3）若BC=DE=2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜360°）过程中，当AE为最大值时，则AF的值为
4、等边△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，H、G分别为BD、CE的中点，P、E分别为DE、BC中点 (1) 如图1，△AHG的形状为___________，四边形PGFG的形状为__________（直接写结果） (2) 将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转到图2的位置时，求证：四边形PHFG是平行四边形 (3) 当图1中的△ADE绕A点逆时针旋转到图3的位置时，求证：△AHG为等边三角形 (4) (选做)若AC＝10，AE＝5，△ADE绕点A逆时针旋转一周，图2中，若四边形PHFG为矩形，直接写出旋转角________，图3中，△AHG的面积的最大、最小值分别是_______、______
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& 江苏省姜堰市张甸中学2012届高三英语一轮复习牛津译林版模块选修9《Unit 2 Witnessing time》学案二
江苏省姜堰市张甸中学2012届高三英语一轮复习牛津译林版模块选修9《Unit 2 Witnessing time》学案二
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资料概述与简介
专题20 图形的变换、视图与投影
学校___________姓名：___________班级：___________
、1．【2015德阳某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（　　）
A．200πcm3
B．500πcm3
C．1000πcm3
D．2000πcm3
【答案】B．
【考点定位】．2．【2015达州如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（　　）
【答案】B．
试题分析：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°，∴图中阴影部分的面积是：S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O==24π．故选B．
【考点定位】1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．
32015自贡如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（　　）
【答案】A．
【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．最值问题．
42015南宁如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（　　）
【答案】．
【考点定位】1．轴对称-最短路线问题；2．圆周角定理；3．综合题．
、5．【2015牡丹江由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是
【答案】．
试题分析：根据题意得：，则搭成该几何体的小正方体最多是1+1+1+2+2=7（个）．故答案为：7．
【考点定位】．
62015乐山如图，已知A（，2）、B（，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′（﹣2，）的位置，则图中阴影部分的面积为
【答案】．
【考点定位】1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转．
7如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上， OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时， 的值为
；当时，为
．（用含n的式子表示）
【答案】，．
【考点定位】1．相似三角形的判定与性质；2．旋转的性质8．【2015玉林防城港如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是
【答案】．
试题分析：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，AD=A′D=3，BE=BE′=1，AA′=6，AE′=4．DQ∥AE′，D是AA′的中点，DQ是AA′E′的中位线，DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，BP∥AA′，BE′P∽△AE′A′，，即，BP=，CP=BC﹣BP==，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣SADQ﹣SPCQ﹣SBEP=9﹣AD?DQ﹣CQ?CP﹣BE?BP=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，故答案为：．
【考点定位】1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．
、9．【2015巴中如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（项点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为
【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）．
试题解析：（1）如图；
（2）如图；
（3）∵BC=3，∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：=．故答案为：．
【考点定位】1．作图-旋转变换；2．作图-平移变换．
102015自贡在ABC中，AB=AC=5，cosABC=，将ABC绕点C顺时针旋转，得到A1B1C．
（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1CA1；②求AB1C的面积；
（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．
【答案】（1）①证明见试题解析；②；（2）．
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E，如图①：
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∵cos∠ABC＝，AB＝5，∴BF＝3，∴BC＝6，∴B1C＝BC＝6，∵CE⊥AB，∴BE＝B1E＝，∴BB1＝，CE＝，∴AB1＝，∴△AB1C的面积为：；
（2）如图2，过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值，此时在Rt△BFC中，CF＝，∴CF1＝，∴EF1的最小值为；如图，以C为圆心BC为半径画圆交BC的延长线于F1，EF1有最大值．此时EF1＝EC＋CF1＝3＋6＝9，∴线段EF1的最大值与最小值的差为．
【考点定位】1．几何变换综合题；2．最值问题；3．旋转的性质；4．和差倍分；5．压轴题．
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第1页（共60页）
中考导向专题训练
1．（2013o重庆）已知，如图，在?ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2．
（1）若CF=2，AE=3，求BE 的长；
（2）求证：∠CEG=∠AGE ．
第2页（共60页）
2．（2013o新疆）如图，?ABCD 中，点O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．
（1）求证：△AOE ≌△COF ；
（2）请连接EC 、AF ，则EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 是矩形，并说明理由．
3．（2011o北京）在?ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．
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4．（2011o河南）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（t ＞0）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF ．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．
（3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．
第5页（共60页）
5．（2010o镇江）如图，在直角坐标系xOy 中，Rt △OAB 和Rt △OCD 的直角顶点A ，C 始终在x 轴的正半轴上，B ，D 在第一象限内，点B 在直线OD 上方，OC=CD，OD=2，M 为OD 的中点，AB 与OD 相交于E ，当点B 位置变化时，Rt △OAB 的面积恒为． 试解决下列问题：
（1）点D 坐标为（
（2）设点B 横坐标为t ，请把BD 长表示成关于t 的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM 与AB 相交于F ，当△BDE 为直角三角形时，判断四边形BDCF 的形状，并证明你的结论．
第6页（共60页）
6．（2015o玉林）如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点P 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），连接CP ，过点P 作PQ ⊥CP 交AD 边于点Q ，连接CQ ．
（1）当△CDQ ≌△CPQ 时，求AQ 的长；
（2）取CQ 的中点M ，连接MD ，MP ，若MD ⊥MP ，求AQ 的长．
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7．（2015o义乌市）正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF ，BF ，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
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8．（2012o锦州）已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CF ．②CF=BC﹣CD ．
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC 的形状，并说明理由．
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9．（2016o东营）如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD 、AF 上，此时BD=CF，BD ⊥CF 成立．
（1）当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点H ．
①求证：BD ⊥CF ；
②当AB=2，AD=3时，求线段DH 的长．
第10页（共60页）
10．（2016o衢州）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD 两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC=4，AB=5，求GE 长．
第11页（共60页）
11．（2016o达州）△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）观察猜想
如图1，当点D 在线段BC 上时，
①BC 与CF 的位置关系为：
②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB=2，CD=BC ，请求出GE 的长．
第12页（共60页）
12．（2016o泰州）已知正方形ABCD ，P 为射线AB 上的一点，以BP 为边作正方形BPEF ，使点F 在线段CB 的延长线上，连接EA 、EC ．
（1）如图1，若点P 在线段AB 的延长线上，求证：EA=EC；
（2）若点P 在线段AB 上．
①如图2，连接AC ，当P 为AB 的中点时，判断△ACE 的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP 平分∠AEC 时，求a ：b 及∠AEC 的度数．
第13页（共60页）
13．（2016o乐山）如图，在直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴正半轴上，点B 的坐标是（5，2），点P 是CB 边上一动点（不与点C 、点B 重合），连结OP 、AP ，过点O 作射线OE 交AP 的延长线于点E ，交CB 边于点M ，且∠AOP=∠COM ，令CP=x，MP=y．
（1）当x 为何值时，OP ⊥AP ？
（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（3）在点P 的运动过程中，是否存在x ，使△OCM 的面积与△ABP 的面积之和等于△EMP 的面积？若存在，请求x 的值；若不存在，请说明理由．
第14页（共60页）
14．（2015o临沂）如图1，在正方形ABCD 的外侧，作两个等边三角形ADE 和DCF ，连接AF ，BE ．
（1）请判断：AF 与BE 的数量关系是
，位置关系是
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE 和DCF ”变为“两个等腰三角形ADE 和DCF ，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
（3）若三角形ADE 和DCF 为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．
第15页（共60页）
15．（2015o嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）概念理解：
如图1，在四边形ABCD 中，添加一个条件使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究：
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由． ②如图2，小红画了一个Rt △ABC ，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt △ABC 沿∠ABC 的平分线BB ′方向平移得到△A ′B ′C ′，连结AA ′，BC ′，小红要使平移后的四边形ABC ′A ′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB ′的长）？
（3）拓展应用：
如图3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC ，BD 为对角线，AC=AB ，试探究BC ，CD ，BD 的数量关系．
第16页（共60页）
16．（2015o衡阳）如图，四边形OABC 是边长为4的正方形，点P 为OA 边上任意一点（与点O 、A 不重合），连接CP ，过点P 作PM ⊥CP 交AB 于点D ，且PM=CP，过点M 作MN ∥OA ，交BO 于点N ，连接ND 、BM ，设OP=t．
（1）求点M 的坐标（用含t 的代数式表示）．
（2）试判断线段MN 的长度是否随点P 的位置的变化而改变？并说明理由．
（3）当t 为何值时，四边形BNDM 的面积最小．
第17页（共60页）
17．（2015o丹东）在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ；在Rt △PMN 中，∠MPN=90°．
（1）如图1，若点P 与点O 重合且PM ⊥AD 、PN ⊥AB ，分别交AD 、AB 于点E 、F ，请直接写出PE 与PF 的数量关系；
（2）将图1中的Rt △PMN 绕点O 顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．
①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF ，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF 的长；
③如图3，旋转后，若Rt △PMN 的顶点P 在线段OB 上移动（不与点O 、B 重合），当BD=3BP时，猜想此时PE 与PF 的数量关系，并给出证明；当BD=moBP 时，请直接写出PE 与PF 的数量关系．
第18页（共60页）
18．（2015o随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD ．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC 、CD 上分别有景点E 、F ，且AE ⊥AD ，DF=40（﹣1）米，现要在E 、F 之间修一条笔直道路，求这条道路EF 的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
19．（2015o衢州）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=9，S △ABC =，动点P 从A 点出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正方形PQEF （P 、Q 、E 、F 按逆时针排序），以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH ．
（1）求tanA 的值；
（2）设点P 运动时间为t ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（3）当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．
第20页（共60页）
20．（2015o义乌市）在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上的点，连结AC ，PQ ，点B 1是点B 关于PQ 的对称点．
（1）若四边形OABC 为矩形，如图1，
①求点B 的坐标；
②若BQ ：BP=1：2，且点B 1落在OA 上，求点B 1的坐标；
（2）若四边形OABC 为平行四边形，如图2，且OC ⊥AC ，过点B 1作B 1F ∥x 轴，与对角线AC 、边OC 分别交于点E 、点F ．若B 1E ：B 1F=1：3，点B 1的横坐标为m ，求点B 1的纵坐标，并直接写出m 的取值范围．
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21．（2015o绵阳）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，G 是AD 延长线上的一点，且DG=AD，动点M 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿着A →C →G 的路线向G 点匀速运动（M 不与A ，G 重合），设运动时间为t 秒，连接BM 并延长AG 于N ．
（1）是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若存在，分析点M 的位置；若不存在，请说明理由；
（2）当点N 在AD 边上时，若BN ⊥HN ，NH 交∠CDG 的平分线于H ，求证：BN=HN；
（3）过点M 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，矩形AEMF 与△ACG 重叠部分的面积为S ，求S 的最大值．
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22．（2015o泰州）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：四边形EFGH 是正方形；
（2）判断直线EG 是否经过一个定点，并说明理由；
（3）求四边形EFGH 面积的最小值．
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23．（2015o辽阳）菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON+∠BCD=180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交边BC 于点E ，射线ON 交边DC 于点F ，连接EF ．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF 的形状是
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON 的顶点移到AO 的中点O ′处，∠MO ′N 绕点O ′旋转，仍满足∠MO ′N+∠BCD=180°，射线O ′M 交直线BC 于点E ，射线O ′N 交直线CD 于点F ，当BC=4，且=时，直接写出线段CE 的长．
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24．（2015o宁德）如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别是边AB ，BC 的中点，MP ⊥AB 交边CD 于点P ，连接NM ，NP ．
（1）若∠B=60°，这时点P 与点C 重合，则∠NMP=
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC 为等腰三角形时，求∠B 的度数．
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25．（2015o葫芦岛）在△ABC 中，AB=AC，点F 是BC 延长线上一点，以CF 为边，作菱形CDEF ，使菱形CDEF 与点A 在BC 的同侧，连接BE ，点G 是BE 的中点，连接AG 、DG ．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG 与DG 的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG 与DG 的位置和数量关系，
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG 与DG 的数量关系．
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26．（2015o长春）如图，在等边△ABC 中，AB=6，AD ⊥BC 于点D ．点P 在边AB 上运动，过点P 作PE ∥BC ，与边AC 交于点E ，连结ED ，以PE 、ED 为邻边作?PEDF ．设?PEDF 与△ABC 重叠部分图形的面积为y ，线段AP 的长为x （0＜x ＜6）．
（1）求线段PE 的长．（用含x 的代数式表示）
（2）当四边形PEDF 为菱形时，求x 的值．
（3）求y 与x 之间的函数关系式．
（4）设点A 关于直线PE 的对称点为点A ′，当线段A ′B 的垂直平分线与直线AD 相交时，设其交点为Q ，当点P 与点Q 位于直线BC 同侧（不包括点Q 在直线BC 上）时，直接写出x 的取值范围．
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27．（2015o郴州）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P 点到达C 点时，两点同时停止运动，连接PQ ，设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？
（2）设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．
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28．（2015o包头）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿BC 方向运动，动点Q 从点C 出发以2厘米/秒的速度沿CD 方向运动，P ，Q 两点同时出发，当点Q 到达点D 时停止运动，点P 也随之停止，设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）求线段CD 的长；
（2）t 为何值时，线段PQ 将四边形ABCD 的面积分为1：2两部分？
（3）伴随P ，Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l ．
①t 为何值时，l 经过点C ？
②求当l 经过点D 时t 的值，并求出此时刻线段PQ 的长．
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29．（2015o沈阳）如图，在?ABCD 中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E 是边AB 上的一点，点F 是边CD 上一点，将?ABCD 沿EF 折叠，得到四边形EFGH ，点A 的对应点为点H ，点D 的对应点为点G ．
（1）当点H 与点C 重合时．
①填空：点E 到CD 的距离是
②求证：△BCE ≌△GCF ；
③求△CEF 的面积；
（2）当点H 落在射线BC 上，且CH=1时，直线EH 与直线CD 交于点M ，请直接写出△MEF 的面积．
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30．（2015o攀枝花）如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒．
（1）当t=5时，请直接写出点D 、点P 的坐标；
（2）当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，求出△PBD 的面积S 关于t 的函数关系式，并写出相应t 的取值范围；
（3）点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，当△PEO 与△BCD 相似时，求出相应的t 值．
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31．（2015o潍坊）如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ．
（1）求证：DE ⊥AG ；
（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE ′F ′G ′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF ′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
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32．（2015o河南）如图1，在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，
=；②当α=180°时，=．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决
当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．
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33．（2015o盘锦）如图1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上．
（1）请直接写出线段BE 与线段CD 的关系：
（2）如图2，将图1中的△ABC 绕点A 顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．
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34．（2015o自贡）在△ABC 中，AB=AC=5，cos ∠ABC=，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C ．
（1）如图①，当点B 1在线段BA 延长线上时．①求证：BB 1∥CA 1；②求△AB 1C 的面积；
（2）如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在△ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是F 1，求线段EF 1长度的最大值与最小值的差．
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35．（2015o南通）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，CP=3x，CQ=4x（0＜x ＜3）．把△PCQ 绕点P 旋转，得到△PDE ，点D 落在线段PQ 上．
（1）求证：PQ ∥AB ；
（2）若点D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长；
（3）若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ，且12≤T ≤16，求x 的取值范围．
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36．（2015o南充）如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A 、B 和D 的距离分别为1，2，，△ADP 沿点A 旋转至△ABP ′，连结PP ′，并延长AP 与BC 相交于点Q ．
（1）求证：△APP ′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ 的大小；
（3）求CQ 的长．
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37．（2015o潜江）已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转．
（1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ．
①如图1，若BM=DN，则线段MN 与BM+DN之间的数量关系是
②如图2，若BM ≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．
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38．（2015o连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与AG 在同一直线上．
（1）小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．
（2）如图2，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长．
（3）如图3，小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转，线段DG 与线段BE 将相交，交点为H ，写出△GHE 与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．
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39．（2015o益阳）已知点P 是线段AB 上与点A 不重合的一点，且AP ＜PB ．AP 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP 1，BP 绕点B 顺时针也旋转角α得到BP 2，连接PP 1、PP 2．
（1）如图1，当α=90°时，求∠P 1PP 2的度数；
（2）如图2，当点P 2在AP 1的延长线上时，求证：△P 2P 1P ∽△P 2PA ；
（3）如图3，过BP 的中点E 作l 1⊥BP ，过BP 2的中点F 作l 2⊥BP 2，l 1与l 2交于点Q ，连接PQ ，求证：P 1P ⊥PQ ．
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40．（2015o恩施州）矩形AOCD 绕顶点A （0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE 交边CD 于M ，且ME=2，CM=4．
（1）求AD 的长；
（2）求阴影部分的面积和直线AM 的解析式；
（3）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；
（4）在抛物线上是否存在点P ，使S △PAM =
？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说
第41页（共60页）
41．（2015o梅州）在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于
，线段CE 1的长等于
；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE1，且BD 1⊥CE 1；
（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为
；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为
．（直接填写结果）
第42页（共60页）
42．（2015o铁岭）已知：点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 所在直线上一点（不与点B 重合），连接AD ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°得到线段AE ，连接CE ．求证：BD=CE，BD ⊥CE ．
（2）如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，探究AD 、BD 、CD 三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD ，直接写出∠BAD 的度数．
第43页（共60页）
43．（2015o贵阳）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD=3．
（1）求MP 的值；
（2）在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合．当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？
（3）若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）
第44页（共60页）
44．（2015o烟台）【问题提出】
如图①，已知△ABC 是等腰三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC，将△BCE 绕点C 顺时针旋转60°至△ACF 连接EF
试证明：AB=DB+AF
【类比探究】
（1）如图②，如果点E 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，线段AB ，DB ，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E 在线段BA 的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB ，DB ，AF 之间的数量关系，不必说明理由．
第45页（共60页）
45．（2015o赤峰）如图，四边形ABCD 是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB 、BA （或它们的延长线）于点E 、F ，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当CE ≠AF 时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E 、F 分别在CB 、BA 的延长线上时，如图3请直接写出DE 与DF 的数量关系；
（3）连EF ，若△DEF 的面积为y ，CE=x，求y 与x 的关系式，并指出当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
第46页（共60页）
46．（2016o枣庄）如图，已知抛物线y=ax2
+bx+c（a ≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．
（1）若直线y=mx+n经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．
第47页（共60页）
47．（2016o苏州）如图，直线l ：y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y=ax2
﹣2ax+a+4（a ＜0）经过点B ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M ′．
①写出点M ′的坐标；
②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ′，当直线l ′与直线AM ′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l ′与线段BM ′交于点C ，设点B 、M ′到直线l ′的距离分别为d 1、d 2，当d 1+d2最大时，求直线l ′旋转的角度（即∠BAC 的度数）．
第48页（共60页）
48．（2016o娄底）如图，抛物线y=ax2
+bx+c（a 、b 、c 为常数，a ≠0）经过点A （﹣1，0），B （5，﹣6），C （6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB 为等腰三角形的点Q 一共有几个？并请求出其中某一个点Q 的坐标．
第49页（共60页）
49．（2016o衡阳）如图，抛物线y=ax2
+bx+c经过△ABC 的三个顶点，与y 轴相交于（0，），点A 坐标为（﹣1，2），点B 是点A 关于y 轴的对称点，点C 在x 轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式．
（2）点F 为线段AC 上一动点，过F 作FE ⊥x 轴，FG ⊥y 轴，垂足分别为E 、G ，当四边形OEFG 为正方形时，求出F 点的坐标．
（3）将（2）中的正方形OEFG 沿OC 向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形DEFG ，当点E 和点C 重合时停止运动，设平移的距离为t ，正方形的边EF 与AC 交于点M ，DG 所在的直线与AC 交于点N ，连接DM ，是否存在这样的t ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在请说明理由．
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50．（2016o株洲）已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2
+k（k ＞0）
（1）当k=时，求这个二次函数的顶点坐标；
（2）求证：关于x 的一元次方程x 2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；
（3）如图，该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．}