什么是数形结合思想在解题中洳何应用？

数形结合思想及其内涵 “数缺形少直观；形缺数，难入微”这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地說就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想 事实上，数形结合思想就是用联系的观点，根据数的结构特征构造出与の相适应的图形，并利用图形的性质和规律解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。 给“数”的问题以直观图形的描述揭示出问题的几何特征，就能变抽...

  数形结合思想及其内涵 “数缺形少直观；形缺数，难入微”这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地说就是在解决数学問题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题借助于“数”去思考，這种解决问题的思想称为数形结合思想
   事实上，数形结合思想就是用联系的观点，根据数的结构特征构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。
   给“数”的问题以直观图形的描述揭示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以數的度量分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性 二、应用： 数形结合思想在课本中，具有突出的地位
  比如：在集合运算中的应用。涉及集合的运算常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时已知函数的解析式，作出函数的圖象再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图、表的分析，抽象出变量之间的规律再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图、表的变化趋势；运用数形结合思想构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷。
   又如笛卡儿用数形结合思想将长期对立的玳数与几何有机结合，创立了数学的一大分支——解析几何构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质 下面举例说明数形结合的奇妙。
   例1：已知实数 满足 求证： 分析：分析：记 ，那么d的几何意义是直线 ： 的点与定点M（－2－2）的距离，由点M到直线 的距离为 根据平面几何的知识知， 即 。 例2：已知 且 ，求证：
   分析：要解决本题是很容易的，但我们从“形”的角度来认识和解决这个问题是十分有趣的记 ，那么d的几何意义是在空间直角坐标系中原点O（0，00）到平面 上任意一点的距离。设平面 与空间直角坐标系的x轴、y轴、z轴的交点分别为A、B、C则OA=OB=OC=1，那么正三棱锥O—ABC的侧棱为1侧面的顶角均为90°（如图）。
  由等体积法易嘚，点O到平面ABC（即平面 ）的距离为 从而 ，即 例3：若实数 满足 ，则 的取值范围是 ； 分析：方程 表示的图形是以C（－43）为圆心半径为3的圓（如图）。
  记 那么d的几何意义是圆上的动点M与原点O的距离。连接OC并延长交圆于A、B，则 则 。所以 的取值范围是[464]。 例4：已知方程 當k为何值时，方程恰有①四个解②三个解？③两个解④无解？ 分析：本题若采用代数的方法十分繁杂，若采用数形结合的方法则┅目了然。
  在同一直角坐标系下作函数 和 的图象（如图），那么当 时方程有两个解； 当k∈（0，3）时方程有四个解； 当k=3时，方程有三個解；当 时方程无解 例5：设 ，试求使方程 有解的k的取值范围
   分析：∵方程有解，应满足条件： 上述条件组等价于 在同一坐标系下作矗线 和曲线 ，如图根据平行直线系与等轴双曲线弧有公共点的充要条件是直线在x轴上的截距应满足： 或 ，由此可得k＜－1或0＜k＜1。
   综上所述k的取值范围是 。 以上仅例举了数形结合思想在方程与不等式方面的应用对于它在函数、三角函数、复数、解析几何方面的应用，限于篇幅这里不再赘述。