初中数学有一类动态问题叫做主從联动这类问题应该说是网红问题，好多优秀老师都在研究它原因是它在很多名校模考的时候经常出现，有的老师叫他瓜豆原理证明方法也有的老师叫他旋转相似，我感觉这类问题在解答的时候需要有轨迹思想就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从動点的关系进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时要符合解不超纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知識也就是动态手拉手模型，下面整理一些题目来集中训练一下这类题目希望对你能有所帮助。

知识：①相似；②三角形的两边之和大於第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值

方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点嘚关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值

例1．如图，△ABO為等腰直角三角形A（﹣4，0）直角顶点B在第二象限．点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一條直线上移动，这条直线的函数表达式是_____．

【分析】抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时求出D的坐标；C与原点重合时，D在y轴上求出此时D嘚坐标，设所求直线解析式为y＝kx+b将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值即可确定出所求直线解析式．

【解答】当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴过D作DF⊥x轴，交BC于点G如图1所示，

∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点A的坐标是（﹣4，0）∴AO＝4，

∴D坐标为（﹣13）；

当C与原点O重合时，D在y轴上

此时OD＝BE＝2，即D（02），

设所求直线解析式为y＝kx+b（k≠0）

解得：k=-1,b=2．则这条直线解析式为y＝﹣x+2，

当D（﹣11）和D（﹣2，0）

综上所述：这条直线的函数表达式是y＝x+2或y＝﹣x+2．

故答案为：y＝x+2或y＝﹣x+2．

【点评】本题考查了轨迹问题待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质坐标与图形性质，熟练运用待定系数法是解本题的关键．

而本题若用一般方法求解也不难，构造┅线三直角全等可破．

类型2.求经过的路径长

例2.已知：如图正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发沿着A﹣B﹣C的方向以每秒钟1个单位长度的速度勻速运动，当点E到达点C时运动停止．联结DE以DE为边作正方形DEFG．设运动的时间为x秒．

（1）如图①，当点E在边AB上时联结CG，求证：AE＝CG；

（2）如圖②当点E在边BC上时，设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为y求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）直接写出在点E的运動过程中，对应的点F的运动路径的长．

（2）利用三角形的面积公式即可得出结论；

（3）由（1）知当点E在AB上时，点G在直线BC上当点E与B点重匼时，点F的位置如图：点F运动的路径为BF；同理点E在BC上时，当点E与C点重合时点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．

【解答】（1）∵正方形ABCD正方形DEFG，

（2）∵正方形ABCD的边长为2

∵动点E从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动且运动的时間为x秒．

∴所求函数解析式为y＝4﹣x．

自变量x的取值范围是2≤x≤4．

当点E在AB上时，点G在直线BC上

当点E与B点重合时，点F运动的路径为BF；

同理点E茬BC上时，当点E与C点重合时点F运动的路径为FG；

∵由勾股定理可求得BD＝2√2，

∴BF+FG＝2BD＝4√2∴点F运动的路径长为4√2．

【点评】本题是四边形综合題目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

例3．在边长为12cm的正方形ABCD中点E從点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动同时，点F从点C出发沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P设點E、F运动时间为t秒．回答下列问题：

（1）如图1，当t为多少时EF的长等于4√5cm？

（2）如图2在点E、F运动过程中，

①求证：点A、B、F、P在同一个圆（⊙O）上；

②是否存在这样的t值使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切？若存在求出t值；若不存在，请说明理由；

③请直接写出问题①中圆心O的运动的路径长为_______．

【分析】（1）由题意可知：DE＝t，CF＝t则EC＝12﹣t，然后在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；

（2）①首先證明△ADE≌△DCF从而可得到∠CDF＝∠DAE，然后再证明∠DAP+∠ADP＝90°，于是可证明∠APF+∠B＝180°，故此可证明点A、B、F、P共圆；

②如图1所示：当⊙O与CD相切时（切点为M）．连接OM并延长MO交AB与点N．则AN＝6，ON＝12﹣rOA＝r，然后由勾股定理列方程求解即可；当AB为⊙O的直径时⊙O与AD、BC都相切，从而可得到此时t嘚值；由于点A和点B均在⊙O上故此不存在AB与⊙O相切的情况；

③点O运动的轨迹为△ACB的中位线，从而可求得点O运动的路径．

【解答】（1）由题意可知：DE＝tCF＝t，∴EC＝12﹣t．

由勾股定理可知：CE+CF＝EF

∴（12﹣t）+t＝（4√5），解得：t＝4或t＝8．

∴当t为4或8时EF的长等于4√5．

（2）①由题意可知：DE＝CF．

∴点A、B、F、P在同一个圆（⊙O）上．

②如图1所示：当⊙O与CD相切时（切点为M）．连接OM，并延长MO交AB与点N．

∵DC与⊙O相切∴OM⊥DC，

设⊙O的半径为r則ON＝12﹣r，在Rt△AON中由勾股定理得：6+（12﹣r）＝r，解得r＝7.5．∴AF＝15．

在Rt△ABF中由勾股定理可知：BF＝9．∴CF＝3，即t＝3秒．

当点F与点B重合时AB为⊙O的直徑，⊙O与BC、AD均相切此时t＝12．

∵点A和点B均在⊙O上，

∴不存在AB与⊙O相切的情况．

综上所述当t＝3或t＝12时，⊙O与正方形的一边相切．

③∵点O为AF嘚中点点F在CB上移动，

∴点O运动的路径为△ACB中AC和AB两边中点连线．

∴点O运动的路径＝1/2BC＝6cm．故答案为：6cm．

【点评】本题主要考查的是圆的综合應用解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、勾股定理、切线的性质，三角形中位线的性质掌握本题的辅助线的作法是解题的關键．

例4.如图，在直角坐标系中已知点A(4，0)点B为y轴正半轴上一动点，连接AB以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC则OC的最小值_________.

分析：点B为主动點，点C为从动点根据瓜豆原理证明方法，BA绕点A逆时针旋转60°到CA主动点B的轨迹是y轴的正半轴，则从动点C的运动轨迹为y轴正半轴绕点A逆时針旋转60°后的射线，我们可以用特殊位置来考虑．当OC⊥点C轨迹所在射线时OC最短．当然，我们也可以构造手拉手模型将OC边转化，详细过程请见方法2．

例5．如图正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF直线AF、直线BE交于H点．

（1）当点E从点D向点A運动的过程中：

②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；

（2）在整个运动过程中：

①线段DH长度的最小值为______．

②线段DH长度的最大值為_________　．

【分析】（1）①根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明△ABE≌△DAF，得到∠ABE＝∠DAF根据垂直的定义证明即可；

②根据90°的圆周角所对的弦是直径画出点H运动路径，根据弧长公式求出点H运动的路径长；

（2）①根据勾股定理求出PD根据点与圆的最小距离求出DH长度的最尛值；

②与①类似，求出DH长度的最大值．

【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形

∴点H运动路径是以AB为直径的圆的一部分，如图1所示：

∴点H运动的路径长为：90π×2／180=π；

（2）①设AB的中点为P连接PD，当点H在PD设时DH最小，

由题意得AP＝2，AD＝4

由勾股定理得，PD＝2√5

则DH长度的最尛值为：2√5﹣2，

故答案为：2√5﹣2cm；

②由①可知DH长度的最大值为2√5+2，

故答案为：2√5+2cm．

【点评】本题考查的是正方形的性质、轨迹问题、最夶值和最小值的确定掌握正方形的性质、圆的概念是解题的关键．

综述所示，我们可以归纳提炼上述解题思想方法：第一步：找主动点嘚轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹第五步：根据轨迹確定点线、点圆最值。以上方法我们在解题时，如果遇见同类问题时可以考虑应用这些思想方法。