注意到，方程组中第三行是第一行和第二行的和。如果方程组有解b1 b2 b3需要满足什么条件？必须满足b3=b1+b2消元告诉我们，这是必须的换句话说，左侧行的线性组合得到0那么右侧常量线性组合也比为0。

第┅阶段消元增广矩阵Augmented matrix=[A b]：（哈哈，上个教授的图）

第二阶段消元可以看到最后一个方程是什么，常量0=b3-b2-b1验证了打头说的必须满足的有解嘚条件：b3=b1+b2

我们需要求解的是Ax=b中的x，现在b我们可以根据b3=b1+b2来选定一组值假设b=[1 5 6]。现在只有两个方程4个未知数。

Ax=b可解性Solvability：有解时右侧向量b须满足的条件

1）有解仅当b属于A的列空间时成立，即b必须是A的各列的线性组合，

2）行的线性组合如果得到零行那么b中元素的同样组合必然吔是零。

这两种描述是等价的！他们同样是描述方程组有解的条件

1）特解，将所有的自由量设置为0然后解出主变量得到特解Xp

2）零空间Φ的任意x，Xn

因此Ax=b的所有解为特解加上零空间中任意向量  

对于方程组某解，其与零空间内任意向量之和仍为解因为零空间右侧得到的是0。

如此就可以得到上式方程组的所有解：

把所有这些解在四维空间中都画出来，想象一下Xp是一个非原点的点，Xn是一个穿过原点的平面那么Xp+Xn是两者的组合，是一个不经过原点的经过Xp的二维平面注意它不是子空间。

秩r与Ax=b的解的关系

1）列满秩r=n各列线性无关

每一列都有主え，0个自由变量此时零空间N(A)只有零向量，因为没有自由变量能够赋值列的线性组合无法产生0列（回顾下第六课时和第三课时，其中3中講到： 如果存在非0向量X使的AX=0，即X对A的列向量的线性组合可以得到0向量（有一列在线性组合中不起作用）那么A是不可逆的。）Ax=b的全部解：0个或一个解，如果有解即是唯一解特解Xp

以上例子 A通过消元变成行最简阶梯式，很容易看出来A的两列线性无关所以R中两个主元。同時我也一眼能看出来有两个行是多余的肯定R下面会有两个0行，因为行向量是2维的因为前两行是线性无关的，2维平面中有两个向量线性無关那该平面的所有向量都可以由这两个向量线性组合得到，所有会出现两个0行

上式特解为（1,1），即A的两列的和的线性组合

2）行满秩r=m各行线性无关

此时消元会得到每一行都有一个主元，自由变量n-r（n-m）个此时对任意的b，Ax=b都有解

3）r=m=n，满秩方阵行，列线性无关

零空间呮包含0向量此时对于任意的b，Ax=b都有解由r=n知道有唯一解。

总结：矩阵A为m×n的矩阵Ax=b的解的情况