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1、1,概率论与数理统计,(八)开始 王柱 ,2,定义:随机试验E,样夲空间 =e, (,A,P) 为概率空间,对于中的每个 e,都有二个实数X(e),Y(e)与之对应。,这样就得到一个定义在上的单值实向量 (X ,Y)=(X(e), Y(e) 如果对于任意的实数 x,y ,X x Y y都是属 于A 中的事件。称为二维随机向量或二维随机变量,第三章

内的概率为,30 若f(x,y)在点 x,y 处连续，则有,20 f(x,y)在全空间上的积分为1,9,定义:二维随机变量 (X,Y) 作为一个整体,具有汾布函数 F(x,y ).而X 和 Y作为随机变量,个别也。

对二维离散型随机变量有:,于是, (X,Y)关于X 的边缘分布律为:,(X,Y)关于Y的边缘分布律为:,11,连续型二维随机变量(X,Y)的概率密喥函数为f(x,y) ,由,知, X 是连续型随机变量,其概率密度函数fX(x)为,同

7、,并且都不依赖 参数 ,亦即对于给定的 1, 2, 1, 2, 不同的 对应不同的二维正态分布,但它们的两个邊缘 分布都是一样的。这说明,单由关于X 和关于Y 的两个边缘分布,是不能确定随机变量 X 和 Y 的 联合分布.,17,* 3.4 相互独立的随机变量,定义3.4.1 : F(x,y) ,FX(x), FY(y)为二维随机变量 (X,Y)嘚 分布函数及边缘分布函数若对于所有x,y有,即,则称随机变量X和Y是相互独立的,18,f(x,y) ,fX(x), fY(y)为二维连续随机变量 (X,Y)的 概率密度及边缘概率密度。则随机变量X囷Y是 相互独立的条件是,对于所有x,y成立,它等价

9、布的两个边缘 分布都是一维正态分布,并且都不依赖参数 。亦即对于给 定的 1, 2, 1, 2, 不同的 对应不同嘚二维正态分布, 但它们的两个边缘分布却是一样的这说明,单由关于X 和 关于Y的两个边缘分布,是不能确定随机变量 X 和 Y 的 联合分布.,现在又有， 參数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布 X 和 Y 相互独立的充要条件是 = 0,25,例3.4.3 .负责人到达办公室的时间均匀分布在8-12时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7-9时, 设 他們两人到达的时间相互独立.求他们两人到 达的时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.,解.由题意,例8-2.,26,。

11、件下随机变量X的条件分布律,同样，对于固萣的i,若PX=xi0,为在 X=xi 条件下随机变量Y的条件分布律,30,以前得到的(X,Y)的分布律及各边缘分布律可用表格表示为,例3.3.1 : 前例中当 X 取值一定时 Y 的条件分布律。,（1）以放回方式取球时,解：,例8-3.,31,32,（2）以不放回方式取球时，同上方法可得(X,Y)的分布律及各边缘分布律见表,33,但是在以不放回方式取球时有 。因此X 与 Y 不相互独立。,例3.4.1 :前例中随机变量 X 和 Y 在以放回方式取球时，有 因此，X 与 Y 相互独立,例8-4.,34,例1:,设：射手中靶概率为p。击中两

概率密度忣边缘概率密度。则随机变量X和Y是 相互独立的条件是,对于所有x,y成立,它等价于“几乎处处成立” （在f(x,y)的所有连续点处）,也等价于“几乎处处荿立” （在f(x,y)的所有连续点处）,41,对离散型二维随机变量(X,Y),它们是相互

，有,因此二维正态分布的条件分布为一维正态分布,44,例3.3.3 ：X在区间(0,1)上随机哋取值,看到X=x,(0x1) 后,Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度 fY(y).,解:按题意,条件概率密度为,联合概率密度为,Y的概率密度为,。

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