Ak?1α??=0证明：向量组

λ1?,λ2?,?,λk?，使得

λ3?=λ4?=?=λk?=0从而得证 α,Aα,?,Ak?1α线性无关。（这道题主要利用了构造方程求解）

β=α1?+α2?+α3?+α4?利用特征向量的性质可得

α1?,α2?,α3?,α4?分别属于不同的特征值，故线性无关从而有

k1?,k2?,k3?,k4?为待定的未知数，方程组 4个方程组成的齐次线性方程组其系数行列式

λ1?,λ2?,λ3?,λ4?互异，所以

β,Aβ,A2β,A3β线性无关（这道题主要利用了特征向量的性质求解）

B=??????β1?β2??βn????????,AB=C=??????γ1?γ2??γn????????，于是

AB=??????a11?a21??a1m??a12?a22??a2m??????a1n?a2n??amn??????????????β1?β2??βn????????=??????a11?β1?+a12?β2?+?+a1n?βn?a21?β1?+a22?β2?+?+a2n?βn??a1m?β1?+a2m?β2?+?+amn?βn????????=??????γ1?γ2??γn????????,

α1?,α2?,?,αs?,β1?,β2?,?,βs?线性表出故

α1?,α2?,?,αp?扩充成

r(AB)?r(A)+r(B)?n。（这道题主要利用了矩阵的初等变换求解）

r(A)=n?1时由矩阵的定义知， ∣ A ∣ r(A?)=0（这道题主要利用了分类讨论求解）

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