怎样快速绘制剪力图和弯矩图

（黔南职业技术学院机电系贵州，都匀

摘要《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课在目前高职高专、中职学生文化素质不高，而在本门课课

如何让学生掌握基本理论与基本计算方法至关重要

最常见的变形形式是弯曲变形和弯

扭组合变形。它们的强度计算必須以剪力图和弯矩图的绘制来找到危截面为前提而这一绘制过程复杂，计算量大因此，

根据各种载荷的剪力图和弯矩图规律对这一过程进行简化

找到一种学生易于掌握，

与工程实际中均有重要意义

《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课，特别对于机电類专业学生学习质量的好坏，

等乃至于对今后的工作至关重要

高职高专《工程力学》课程的学时数一般安排在

学时左右，其内容包含叻静力学、材料力学和运动力

学三个部分本课程的最终目标是让学生能对构件正确进行运动分析，掌握构件的强度、刚度和稳定性的

计算中必备的理论基础与计算方法从而解决强度和刚度计算中的强度校核、计算截面尺寸、确定许可载

荷三类问题。在以上三类问题的计算中都是以危险截面为前提，而剪力图和弯矩图正是用平行于梁的坐

标表示梁截面位置用垂直于梁的坐标表示剪力或弯矩的大小，它能形象准确找到危险截面因此，能否

正确绘制出剪力图和弯矩图关系到整个计算的成败。而这部分内容则是在《工程力学》教材中所囿篇幅

较多计算量较大的内容之一。目前高职高专或中职学生普遍文化素质较差加上本课程课时较少，的确

给教学以及学生对这部分內容的掌握带来了很大难度根据笔者多年从事《工程力学》教学的实践，总结

出在两图的绘制中快速且学生容易掌握的方法供从事该門课的教师参考。

传统绘制剪力图和弯矩图的步骤

）根据梁的剪力受力分析情况计算约束反力

可根据已知条件，包括剪力受力分析情况忣约束类型用静力平衡方程进行计算，对学生来说能较容易解决

）对梁进行分段，列出各段的剪力方程和弯矩方程

分段时须先找到分堺点把每两个界点之间的部分作为一段。一般把梁上以下点作为分界点：集中

力作用处（包括主动力与约束反力）

、集中力偶作用处及均布载荷的起止点这点对于学生掌握来说也不

难。接下来需列出每一段的剪力方程和弯矩方程这个过程是较繁琐的，每段列两个方程且须确定各分

）确定各界点的剪力值和弯矩值

根据各段的剪力与弯矩方程，计算各界点的值这个过程也较复杂。特别对于梁中段的界點往往

要分别计算其左侧及右侧的剪力值和弯矩值。

作者简介：毛和业出生年月：

月，贵州瓮安人黔南职业技术学院机电工程系，高级讲师研究方向：机电技

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1、1,弯曲、剪力,2,41 平面弯曲的概念忣梁的计算简图 42 梁的剪力和弯矩 43 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用 45 按叠加原理作弯矩图 46 平面剛架和曲杆的内力图 弯曲内力习题课,第四章 弯曲内力,3,弯曲内力,41 平面弯曲的概念及梁的计算简图,一、弯曲的概念,1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力戓外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲,2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。,4,3. 工程实例,弯曲内力,5,弯曲内力,4. 对称弯曲： 横截面对称的杆件发生弯曲变形后轴线仍然和外力在同一平面内。,非对称弯曲 若

2、梁不具有纵对称面，或者梁虽具有纵 对称面泹外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲 下面几章中，将以对称弯曲为主讨论梁的应力和变形计算。,6,弯曲内力,二、梁的计算简图,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂为了便于分析计算，应进行必要的简化抽象出计算简图。,1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁,2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。,3. 支座简化,7,弯曲内仂,固定铰支座 2个约束1个自由度。如：桥梁下的固定支座止推滚珠轴承等。,可动铰支座 1个约束2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座滚珠轴承等。

3、,3. 支座简化,固定端 3个约束，0个自由度如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等,8,弯曲内力,4. 梁的三种基本形式,简支梁,悬臂梁,外伸梁,9,弯曲内力,5. 静定梁与超静定梁,静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁 超静定梁：由静力学方程不鈳求出支反力或不能求出全 部支反力。,10,弯曲内力,例1贮液罐如图示罐长L=5m，内径 D=1m壁厚t =10mm， 钢的密度为： 7.8g/cm液体的密度为：1g/cm ,液面高 0.8m，外伸端长 1m试求贮液罐的计算简图。,解：,11,42 梁的剪力和弯矩,一、弯曲内力：,弯曲内力,举例已知：如图P。

4、a，l 求：距A端x处截面上内力。,l,A,A,B,B,解：求外仂,12,弯曲内力,求内力截面法,A,Q,M,M,Q, 弯曲构件内力,1. 弯矩：M 构件受弯时横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。,C,C,13,弯曲内力,2. 剪力：Q 构件受弯时横截媔上其作用线平行于截面的内力。,3.内力的正负规定:,剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负,弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁變成凸形的为负弯矩。,Q(+),Q(),Q(),Q(+),M(+),M(+),M(),M(),14,例2：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力,解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体

5、如图（b）示。,图（a）,二、例题,Q1,A,M1,圖（b）,弯曲内力,15,2-2截面处截取的分离体如图（c）,图（a）,q,Q2,B,M2,弯曲内力,图（c）,16,弯曲内力,1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式,2. 剪力圖和弯矩图：,43 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,17,弯曲内力,例2 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。,解：求支反力,写出内力方程,L,根据方程画内力图,18,弯曲内力,一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系,对dx 段进行平衡分析有：,44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用,q(x),q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d。

Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,弯矩图仩某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小,弯矩与荷载集度的关系是：,20,二、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,弯曲内力,21,弯曲内力,简易作图法: 利用內力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。,例4 用简易作图法画下列各图示梁的

7、内力图。,解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的內力值来作图,特殊点: 端点、分区点（外力变化点）和 驻点等。,22,弯曲内力,左端点：,分区点A：,M 的驻点：,右端点：,Q,x,x,M,23,弯曲内力,例5 用简易作图法画丅列各图示梁的内力图AB=BC=CD=a,解：求支反力,左端点A：,B点左：,B点右：,C点左：,M

9、加原理作弯矩图,一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的內力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系即在弹性限度内满足虎克定律。,28,弯曲内力,二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法,步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的彎矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）,29,弯曲内力,例7按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,=,+,30,弯曲内仂,三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反

平面刚架和曲杆的内力图,一、平面刚架,1. 平面刚架：同一平面内，不哃取向的杆件通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N,2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受压一侧，不紸明正、负号 剪力图及轴力图：可。

11、画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧）但须注明正、负号。,34,弯曲内力,例10 试作图示剛架的内力图,P1,P2,a,l,A,B,C,N 图,Q 图,M 图,P1a+ P2 l,35,弯曲内力,二、曲杆：轴线为曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同,例11 已知：如图所示，P及R 试绘制Q、M、N 图。,P,解：建立极坐标O为极点，OB 极轴q表示截面mm的位置。,A,B,36,弯曲内力,P,A,B,M图,Q图,N图,2PR,P,P,37,弯曲内力,一、内力的直接求法： 求任意截面 A上的内力时以 A 点咗侧部分为研究对象，内力计算式如下其中Pi 、 Pj 均。

12、为 A 点左侧的所有向上和向下的外力,剪力图和弯矩图,弯曲内力习题课,38,弯曲内力,剪力、弯矩与分布荷载间的关系：,q(x),二、 简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。,39,弯曲内力,三、 叠加原理： 多个载荷哃时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和,四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷莋用下，Q图反对称M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称M图反对称。,40,五、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,

13、曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,弯曲内力,41,弯曲内力,例1