华北水利水电大学课题:数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航39班成员组成:丁哲祥联系方式：012.05.23数项级数敛散性判别法（总结）摘要:数项级数是逼近理论中的重要容之一，也是高等数学的重要 组成部分。本童我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法 然后讨论函数的幕级数展开和三角级数展开。我们这学期学习过的数 数或级数，记为壬“”或称an为级数的通项或一般项。下面举几个例子：(1 ) 1+2 + 3+4+5 + 6+. + n+二口 ;(2)1丄+ .- +出+=23 4n乙常见的数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。交错级数：级数中的项正负相间的级数。调和级数：形如1 +丄+丄+丄+丄的级数。23 n j等比级数:形如 a+aq+aq2+aq3+.+aqn+.=乞呵(a#0 )的 级数。P级数:形如丄+丄+丄+p 2 3卩存哙(P是实数L二数项级数是否收敛的判别定理及性质:定理一考察级数工前n项的和Sn二ai+a2+a3+an二工口 /则称Sn为级数的前n项部分和， Sn 为级数的部分和数列。 所以，若级数工的部分和数列 Sn 收敛，即极限処冲存在，则称 级数“收敛，此时称极限辄为级数为的和，记为ai+a2+a3+an+=s或” =s反之，若级数的部分和数列发散，则级数发散。定理二(级数收敛的必要条件)如果级数收敛，则他的一般项/a=l收敛于零。推理:如果级数不收敛于零，则级数发散。性质1 设级数”分别收敛于s和t , k是一常数，则(1)级数他也收敛，且其和为kso(2 )级数工s土工也收敛，且其和为sto性质2.在级数中添加,删除或修改有限项，不改变函数的敛散性。定理三一切调和级数都是发散的 定理四等比级数收敛的条件等比级数(几何级数)工呵(a#0)的敛散性:当切1时，级数收敛，当能1时级数发散。定理五正向数列勺收敛的充要条件是他的部分和数列 Sn 有界。/|=1勰六对于P级数冷士+A殆(P是实数)(1)当卩1时，级数收敛(2 )当pWl时，级数发散定理七设与是两个正项级数,若若级数羽收敛时 且a3 n=l,2 ,3，)级数也收敛;当级数工亿发散时，且anbn (n=l,2,3,.),级数也发 散。定理R (极限形武) 设和工仇为两个正项级数， 若恤牛二c ,且GO ,则两个级数具有相同的敛散性。 lini = x，则有级数工仇发散可推出级数发散。阻尹=0 ,则有级数口”收敛可推出级数2”收敛。定理九.交错积数的收敛判别法(莱布尼兹定理):设交错级数亡(-1广込(anO)z如果an满足条件(1)数列 an 为单调减少数列，(2 )数列 an 的极限值趋于0.定理十绝对收敛与条件收敛1 对于数项级数，如果由口“的各项加绝对值所构成的正项级数X 00工如收敛，则称级数绝对收敛;如果级数工收敛，而级数刃如n-n-I发散,则称级数”条件收敛。对于正项级数而言,收敛就是绝对收 敛，但应注意，对于非正项级数，收敛，绝对收敛，条件收敛就是不收敛。所以,如果级数绝对收敛,则级数收敛。若iimM = /l或lim|如| = / = oo ,则级数发散； 鬥勺|”十|陽|若limN = /=l z则级数可能收敛也可能发散,需用其他方法判别 叫 a“其敛散性。例如级数为匕12二是条件收敛而级数为匕E二是绝对收敛。注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时需要构造一个 级数这个构造的过程就要求我们对一常用的有特殊性质的级数有 所了解。例如：调和级数,等比级数,p级数。比较法虽然简单但 是需要构造新级数所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自身比较。3.(根值判别法)已知级数(1 )若=则级数绝对收敛，从而收敛；(2)若阻诉j =或怛嗣= / = oc，则级数发散；(3 ) lim倆=21 ,则级数可能收敛也可能发散，需用其他方法判别其敛散性。例如级数二是条件收敛，而级数乞匕竽 是绝对收敛。三.研究及其成果(以例题分析)33例题1、判断级数召屁十1是否收敛lim -=关 0 解：J叫+1 100，所以此级数发散。im u 0P 丄但是当鬻”-时，不能判断该级数是否收敛。例如召仁因此辄險 只是一个必要条件，而非充分条件。例题二.判断调和级数的敛散性4 E、 工- =1+-+ +解因为2 3 n可以按如下加括号，得,级数而上述加括号后的级数的各项大于级数丄丄+2+丄）+.16 16 16 16的对应项，又后一级数若。是发散的，所以原调和级数石是发散的。 注:在级数敛散性判断时，对于某些一般项处理起来比较困难时，可 以通过合并或拆分来使一般项变得方便处理。例题三讨论P级数的敛散性解：此题为P级数，但是也可以用积分判断法解决。函数,当PO时在“胡上是非负减函数。知道.反常积分必1*在戸1时收敛，PF时发散.故由定理4得乙“去当P1时收敛，当0对于这道试题，一个比较自然的问题就是级数Y X.是否收敛亦即级数工（一 1丫心是否绝对 ft 1rtl收敛？事实上，我们还可以考虑如下更为一般的问题.设P为实数，若由递推公式x=/U）所确定的数列工满足xR0 5=12）且lim九=0,定理 设函数/Cr）在0,+8）上连续，且00,定义数列: W+i=fC“）（n=L2,）.若存在正数加0,使聖企需w d为常数）(1)成立则有limn = /.yOO在中取 m=L/(x=x(lx)t0 为面卫共=恤亡=1,严。+x-o+ 工8所以lining = 1,故由正项级数比校判别法的极限形式知当P1时级数S （一绝对收敛当0VPW1时条件收敛特别当P=1时即得前面试题的结论事实上,还可以证明更一般的结果：8若工疋（0,1人00山卄1=忑（1一皿；）6=1,2,），则级数 （一 1）H当pl时绝对收敛，当0e时，正项级数 三心收敛；当0,当足够大时，Wrte时，取 ee?故级数原级数发散.总结:在以上的例题中，可以看出，每一个题，可能有多 种方法处理。但是总有一种比较适合且简便的方法。而且不同的方法 有不同的适用围。在某些领域可能有着特别方便的应用，但是在另一 些领域可能毫无用处。所以我们需要选择合适的方法。对于有些题目， 可能需要多种方法共同处理。对于正项级数首先观察其通项是否趣于 零，如果通项不趣于零，则级数发散。如果通项趣于零,可根据级数 通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。如果不 是正项级数，可以通过加绝对值使其变为正项级数定理。五参考文献：高等数学（下册）第三版 交大，集美大学编 万方数据 第22卷第一期2006年2月 关于正项级数敛散性判定的 类方法（周玉霞）万方数据第28卷第3期2012年6月一道数学竞赛题的相关问题（苏化明，禹春福）六分工情况全过程由丁哲祥单独完成

级数敛散性总结 本文关键词：级数，敛散性

级数敛散性总结 本文简介：摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了

级数敛散性总结 本文内容：

级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。

基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。

本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。

最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。