全面突破·备战高考 精品资源·战胜高考 专题12 高考常见应用题 专题点拨 求解简单的应用性问题,可直接应用有关知识解题；用数学解决一些复杂的实际问题,除了掌握必要的数学基础知识外,还必须注重对以下能力的锻炼与培养． 1．阅读理解能力．首先能层次分明地阅读并理解数学语言表述的实际问题的详尽含义；其次能用准确的数学语言将题目的已知与求解翻译出来,并注意它的清晰性与完整性． 2．数学的迁移能力．即建立数学模型的能力．能从阅读中抽象出解决问题的数或形,并判断用哪些数学知识予以解决,将之转化为纯数学问题． 3．解决纯数学问题的能力．能经过综合分析,应用数学的基础知识和基本方法,完整解答所建立的数学模型． 4．常识能力．平时应关注生活中的点滴常识,对由数学模型解决的结果,进行检验、判断、修正,得到符合实际的解答． 5．表达能力．解一道主观应用题,就像是写一篇小论文,要做到论点明确,论据确凿,论证有力,有始有终,能自圆其说．特别注意在表述过程中,用简明的汉语与数学语言的互补,使语句流畅、自然而清晰． 解决复杂的应用题是一件难事,但又无可回避,只有通过不断地体验反思才能达到能力的培养与提高．解答应用题一般分为四个步骤： 1．阅读理解：分析背景材料,分清条件结论,把握数量关系； 2．建立模型：联想数学问题,运用数学语言,建立数学模型； 3．求解模型：运用思想方法,使用知识技能,求得数学结果； 4．还原实际：审视实际问题,验证运算结果,表述最后结论． 简单归结为：审题、化成数学问题、建立数学模型、进行推理运算、检验、作答． 例题剖析 一、函数型应用性问题 【例1】我国西部某省4A级风景区内居住着一个少数民族村,该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施．据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按30天计)每天的旅游人数与第天近似地满足（千人）,且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足(元)． (1)求该村第天的旅游收入（单位千元,）的函数关系； (2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入的计量依据,并以纯收入的5%的税率收回投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本？ 【解析】(1)依据题意,有 = (2) 当,时, (当且仅当时,等号成立) . 因此,(千元) . 当,时, . 考察函数的图像,可知在上单调递减, 于是,(千元) . 又,所以,日最低收入为1116千元. 该村两年可收回的投资资金为=8035.2(千元)=803.52(万元) . 因803.52万元800万元,所以,该村两年内能收回全部投资资金. 二、三角函数型应用性问题 【例2】 在股票市场上,投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作,股民老张在研究某只股票时,发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝asin（ωx+φ）+20（a＞0,ω＞0,0＜ω＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图）,并且从C点到今天的D点在底部横盘整理,今天也出现了明显的底部结束信号． 老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示,且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称,点B,D的坐标分别是（12,20）（44,12）． （1）请你帮老张确定a,ω,φ的值,并写出ABC段的函数解析式； （2）如果老张预测准确,且今天买入该只股票,那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？ 【解析】（1）a＝12﹣4＝8,T4= ∴T＝48,ω=2π 【变式训练】如图,某广场有一块边长为1（hm）的正方形区域ABCD,在点A处装有一个可转动的摄像头,其能够捕捉到图象的角∠PAQ始终为45°（其中点P,Q分别在边BC,CD上）设∠PAB＝θ,记tanθ＝t． （1）用t表示的PQ长度,并研究△CPQ的周长l是否为定值？ （2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少hm2？