关于转置我是这么想的:
若k是特征值,且k=0的话,那么对应的特征向量就是Ax=0的基础解系,楼主,我可以这样设想一下,如果不是实对称阵的话,转置之后是不是就相当于行+列变?这是不是在求基础解系中是不允许的?也就是说转置之后,所求出的特征向量和a不同呢?

我正在做钱吉林，随便勾了一些题打算补充一些基方法，然而发现大部分题都会做，有一些答案超麻烦而我自己的办法比较简单的题。随便记录一下。

设V是n阶实数矩阵空间，给定V中的A和B，令映射t从X到AXB，证明t的可逆等价于det（AB）≠0。

这里面当然首先是无脑求自然基下t的矩阵T了。原空间可是n阶矩阵，太复杂了，必须脱离出原空间的具体形式才好说。然而很快就失败了因为AB的未知量实在太多。

我们想了一想，可以对n归纳法，也可以用done right的思路，Ker t=0。我们选择后者，比较简单。

经过几次脑补和尝试，最后决定两边都用反证法。因为Ker=0的这种证明方式在done right上面就经常使用反证。

第二类反证法【前提和假结论都设为成立，找出矛盾】。假设Ker t=0，detAB=0。那么不妨设detA=0。【因为A本身就类似于0了，直觉上可以找到一个一小部分非零的X使得AX=0，矛盾。】【顺其自然地想到从Ker A找。】由线性映射基本定理可知Null A≠0。取q是Ker A的非零元，并作为X的第一列，其余列都为0。由线性映射与矩阵列的关系可知AX=0进而AXB=0，矛盾。从左往右证完。

第一类反证法【证原命题的逆否命题】。【直接用det。这是最基本的方法，在从左往右的证明里我也尝试过了，没法直接用det。】假设Ker t≠0，存在X≠0但AXB=0。取det然后交换就发现detAB=0。从右往左证完。

钱吉林在这道题和附近的几道题上用的方法，并不基本，不太符合『方法的复用性』原则。甚至还有一道题，我自己做出来篇幅和这道题差不多，钱吉林写了一页半直接展开算的，而且也不是常规的展开方法。如果看似硬算其实非常要灵感的话还不如不算。

钱吉林在选题方面，难题是有的，复用性高的基方法也不缺，但简单题和重复考察知识点的题非常多。我觉得这本书的篇幅可以缩减至少三分之一，或者像裴礼文一样标星号。

钱吉林的计算题对专业数学学生来说偏多，毕竟不是所有计算都像Jordan那么难算，特征值什么的不是有手就行吗（笑）。

当然这样说并不必然代表这本书有重大的缺陷，应该说是我自己的领悟能力提升了，才会觉得一个方法对应一道题就足够。而这个过程是不那么容易的。

下面补充一个猜特征值的方法。这不是钱吉林或者任何老师提供给我的方法，是我自己发现的。

这个方法需要对矩阵乘法有相当的熟练度，算是计算转证明的一种方法。

例1：全1矩阵Jn的特征值。

我们就不要用老办法，归纳法或者组合法求λ矩阵的det了。今天再介绍一个更好玩的。

观察矩阵，假设J右边乘了一个向量x的结果是y。y1其实就是x的和，y2也是。所以想求y=ax，也就是分析什么时候y1=ax1。基于此，从等角向量1n（上次我导师告诉我这个向量很有用，当时没感觉到，因为第一遍学代数的时候根本没做题。现在发现了。）开始尝试，发现J的一个特征值是n。然后发现rk J只有1，口算几何重数是n-1，然后通过几何代数重数不等式，或者简单矩阵（实对称矩阵）的性质，可以发现其剩下的n-1个特征值都为0。特征向量也求出来了，可以口算方程组基础解系，也可以用简单矩阵的正交法。

练习：aJ+bE的特征。

例2：某上海人口中比北大还大的学校的真题。

不大好猜对吧。还是盲猜等角向量1n，也就是A的行和。发现是n。然后bingo。

然后老办法，算Null。观察到行和一致，那么都摞到第一列。然后行2到n减去行1就发现Null A=n-2。

最后可能还差一个特征值。也可能0的几何重数是n-2，代数重数是n-1，而n的代数重数是1。还可能n的代数重数是2。怎么区分呢？想到用相似不变量探测特征值部分信息的基方法，选取便于计算的tr，发现还有最后一个特征值。

最后，接近于口算，解出了这个矩阵的所有特征值。

最后看一下书上的方法。比较招喷。

这里面硬是用了2个基方法，可惜这两个方法的优先级都不是很高。

我们要从第二个方法开始看。第二个方法的证明是构造EABE这个分块矩阵，进行分块初等变换来计算行列式。这个公式本身是挺常见的，优先级大概在3.5/5星左右。但是在算特征行列式的时候比较鸡肋。原因就是这个公式需要把A变成两个矩阵的乘积。这就是第一个基方法。

这个真的很不容易看出来，还不如猜特征向量呢。

硬要说怎么看的话，大家需要熟悉一个统计上用过的矩阵，也就是1n1nT，就是Jn和1n的关系。这里推广一下，变成另一个统计上常见的矩阵aaT。我导师说这个矩阵和aTa的直观意义差不多，但更能凸显出其中丰富的信息，也有利于保留矩阵这一数据格式而不是把它变成数。

观察到原矩阵和aTa的关系，此外还发现原矩阵每一元素都是2元向量的内积。然后慢慢凑去吧。

这里面的直观意义比较重要，我有必要讲一下。把一个矩阵写成2个窄矩阵的意义，就类似于奇异值分解，相当于告诉大家这个矩阵的信息有很多是冗余的。而第二个基方法，也就是用分块矩阵的方法让特征行列式里AB变成BA，同时提出λ的方法，就是这种冗余的数学形式之一。既然提出了很多λ就意味着原矩阵有很多特征值是0，也就意味着原矩阵的rank非常之低。这个事情是我在去年研究aaT的rank的时候想到的。

这里还可以用另一个数学公式去理解。一大串矩阵乘积的rk小于等于其中涉及的最小的行数列数。相当于容纳更多信息的可能在最小的交接口被卡住了。在那个地方发生的事情就是，由映射的单值性，映射不可增维，也就是说那个地方传输不了更多的信息。这里面与一些高等数理统计的思想是一致的。那么你也可以逆用这个公式，去寻找中间隐藏起来的交接口/控制环节。不过我不建议你这样去做，这样相当于做逆向工程，难度是没有上限的。

分块对角矩阵 分块上三角、下三角矩阵 特征值就是对角元,其他没有简化