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“倍数与因数”作为小学数学学习的重要知识点之一，掌握好该部分内容有利于加深学生对整数乘法的理解。基础知识相信同学们都已经掌握得差不多了，今天林老师要重点说的就是“倍数与因数的应用”，希望能启发同学们了解更多该部分内容的解题思路。

（注：“倍数与因数”为北师大版五年级数学上册第三单元内容，该章节出现在人教版五年级下册第二单元）

1、倍数与因数是相互依存的关系，在描述时一定要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

2、一个数的倍数的个数是无限的。因数个数是有限的。一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

（1）2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6,8的数是2的倍数。

（2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。

（3）既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。

（4）3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

（5）同时是2和3的倍数的特征：个位上的数是0, 2，4,6，8，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2的倍数，又是3的倍数。

（6）同时是3和5的倍数的特征：个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。

（7）同时是2，3和5的倍数的特征：个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2和5的倍数，又是3的倍数。

（8）6的倍数的特征：既是2的倍数又是3的倍数的数。

（9）9的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

4、偶数和奇数：是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。

可运用乘法算式，找出1~100的自然数中，某个自然数的所有因数。

【补充】一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

质数与合数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。1既不是质数也不是合数。

判断一个数是质数还是合数的方法：

【解题思路】一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如果还无法判断，则可以用7，11等比较小的质数去试除，看有没有因数7，11等。只要找到一个1和它本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本身找不到其他因数，这个数就是质数。

偶数+偶数=偶数；奇数+奇数=偶数

偶数+奇数=奇数；偶数－偶数=偶数

奇数－奇数=偶数；偶数－奇数=奇数

奇数－偶数=奇数；偶数×偶数=偶数

偶数×奇数=偶数；奇数×奇数=奇数

题型一：找最大公因数（短除法）

【例题】一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块的正方形，而且正方形的边长为整厘米数，而且裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？

【解析】长7分米5厘米，宽6分米，即长75厘米，宽60厘米。75和60的最大公因数是15，所以可以裁成15的因数1、3、5、15四种。最大的正方形的边长为15厘米。

7分米5厘米=75厘米

题型三：最大公因数在实际问题中的应用

【例题】五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？

【解析】要把24人，36人、42人分成人数相等的小组，即小组的人数是24、36、42的公因数，求每组最多有多少人，就是求24、36、42的最大公因数，求出最大公因数后，用每班的人数除以最大公因数就是各班可以分的组数。

题型四：最小公倍数在实际问题中的应用

【例题】甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同的天数去图书馆一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相遇，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？

【解析】3、4、5的最小公倍数是3×4×5＝60，所以，最少再过60天三人在图书馆相遇。

答：至少再过60天他们三人又在图书馆相会。

类型二：最小公倍数中的余数问题

【例题】有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗数在150-200之间，求共有多少棵树苗？

由题意可知，150-200之间180的倍数只有180。且“9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵”，因此180-2=178（棵）

答：共有178棵树苗。

1、两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？

【解析】奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数的和是奇数，所以，一定有一个质数是偶数，偶数中只有2是质数。

答：这两个质数的乘积是194。

2、两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是多少？

【解析】首先注意到41是质数，两个自然数的和与差的积是41，可见它们的差是1，这是两个连续的自然数，大数是21，小数是20。

解：这两个自然数的积是20×21=420。

答：这两个自然数的积是420。

3、在1-100中，因数的个数是奇数的数有哪些数？因数的个数是偶数的有多少个？

【解析】我们知道，一个数的因数个数都是成对出现的，但是，有些数的因数对是相同的，所以，它们的因数个数就是奇数个。

解：100以内（包括100）因数个数是奇数的有：1、 4、9、16、 25、36、49、64、81、100共10个， 因数个数是偶数的一共有100-10=90(个)。

4、四个连续偶数的乘积是5760，求这四个数各是多少？

【解析】根据已知条件必须将5760分解质因数后，重新组合四个连续偶数。

答：这四个连续偶数是6、8、10、12。

5、用某数去除47、61、75， 结果都有余数5，问这个数最大是多少?

【解析】根据题意可知47÷a=X……5，61÷a=Y……5，75 ÷a=Z……5。用75－47=28，相当于把余数5消去了，就剩下几个除数，再用61－47=14，最后求28和14的最大公因数。

答：这个数最大是14。

6、甲数是32，甲乙两数的最小公倍数是224，最大公因数是8，求乙数。

【解析】由于两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以求乙数就用最大公因数乘最小公倍数再除以甲数。

7、三个连续的偶数和是96，这三个数分别是多少？

【解析】连续偶数之间相差2，如果设中间的数是a，则另外两个数分别是（a－2），（a+2），

可以看出中间的数是它们的平均数。

答：这三个数分别是30、32、34。

【解析】我们发现这个数比较大，用短除法求最大公因数不容易找出它们的公因数，我们可以掌握另一种求最大公因数的方法——辗转相除法。

答：2430和1686的最大公因数是6。

9、一次会餐，每两个人合用一只饭碗，三个人合用一只菜碗，四个人合用一只汤碗，会餐共用65只碗。问参加会餐的有多少人？

【解析】会餐的人数应该是2、3、4的倍数，就是先求2、3、4的最小公倍数，（2，3，4） =12，看看12个人里面可以用几只饭碗，几只菜碗，几只汤碗，再用总碗数除以每12 个人所用的碗数，得到的数就是有多少个12 个人用餐。

答：参加会餐的共有60人。

10、学校买来72只桶，共交了口67.9口元钱，（口内的数字辨认不清）请你算出每只桶要用多少元？

【解析】我们可以把口67.9口元看成口679口分，因为是72个桶的总价，所以，这个数一定能被72 整除，72= 8×9，可以根据能被8和9整除的特征求出各口的数。

解：被8整除的特征是末三位数字之和是8的倍数。所以，79口的口内应填2。又知口+6+7+9+2=24+口能被9整除，因此前面口内应填3。那么72 只桶总价钱是367.92元，367.92÷72=5.11（元）

答：每只桶要用5.11元。

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　　一、填一填。（26分）

　　如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫（ ）图形，那条直线就是（ ）。

　　正方形有（ ）条对称轴。

　　这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：

　　（1）张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是（ ）现象。

　　（2）升国旗时，国旗的升降运动是（ ）现象。

　　（3）妈妈用拖布擦地，是（ ）现象。

　　（4）自行车的车轮转了一圈又一圈是（ ）现象。

　　4、移一移，说一说。

　　（1） （1）向（ ）平移了（ ）格。

　　（2）向（ ）平移了（ ）格。

　　（3）向（ ）平移了（ ）格。

　　二、动手操作。（28分）

　　图形①是以点（ ）为中心旋转的；图形②是以点（ ）为中心旋转的；图形③是以点（ ）为中心旋转的。

　　（1）图形1绕A点（ ）旋转90。到图形2。

　　（2）图形2绕A点（ ）旋转90。到图形3。

　　（3）图形4绕A点顺时针旋转（ ）到图形2。

　　（4）图形3绕A点顺时针旋转（ ）到图形1。

　　三、画出下列图形的对称轴。（12分）

　　四、请画出对称图形的另一半。（15分）

　　五、请按照对称轴画出第一个图形的对称图形，第二个图形请向上移动3格。（10分）

　　六、画出下图经过平移或旋转的图形。（9分）

　　一、填空。（每空1分，共40分。）

　　1、在3×9=27中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。在18÷3=6中，（ ）和（ ）是（ ）的因数。5×7=35中，（ ）是（　　）和（　　）的倍数，（ ）和（　　）是（　　）的因数。

　　2、18的因数有（ ）。 11的因数有（ ）。 39的因数是（ ）。从上面可以看出，一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。

　　3、在8和48中，（ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的因数。

　　4、分别写出下列各数的倍数。

　　3的倍数 ； 8的倍数 。 从上面可以看出，一个数的倍数的个数是（ ）的，其中最小的倍数是（ ），没有（ ）。

　　5、18最大的因数是（ ），最小的倍数是（ ）。一个数的最大因数是12，这个数是（ ）；一个数的最小倍数是18，这个数是（ ）。一个数最大因数是12，这个数的最小倍数是（ ）。一个数既是15的因数，又是15的倍数，这个数是 （ ）。

　　6、7是7的（ ）数，也是7的（ ）数。

　　7、在15、18、25、30、19中，2的倍数有（ ），5的倍数有（ ），3的倍数有（ ），既是2、5又是3的倍数有（ ）。

　　8．在17、18、15、20和30五个数中，偶数是（ ）；3 的倍数是（ ）。

　　二、判断（在括号里对的打“√”，错的打“×”）（每空1.5分，共21分）

　　1、一个自然数个位上是0，这个自然数一定是2和5的倍数。 （ ）

　　2、一个自然数至少有两个因数。 （ ）

　　3、28是倍数，4是因数。 （ ）

　　4、一个数的倍数一定比这个数的因数大。 （ ）

　　5、任何一个自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。 （ ）

　　6、、因为6×8=48，所以6是因数，48是倍数。 （ ）

　　7、57是3的倍数。 （ ）

　　8、30的所有因数有2、3、5、6、30。 （ ）

　　9、一个数的最小因数是1。（ ）

　　10、30既是2的倍数，又是3的倍数，也是5的倍数。 （ ）

　　11、在自然数中与1相邻的数只有2。 （　　）

　　12、奇数都比偶数小。 （　　）

　　13、个位上是3、6、9的数，都是3的倍数。 （　　）

　　14、3的倍数一定是9的倍数。 （　　）

　　三、选择（将正确答案的序号填在括号里）（每题2分，计12分）

　　1、15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。

　　2、4的倍数都是（ ）的倍数。

　　3、如果□37是3的倍数，那么□里可能是（ ）。

　　4．把66分解质因数是（ ）。

　　5、5和7都是35的（ ）。

　　①奇数　 ②偶数 ③因数 ④倍数

　　6、42÷3＝14，我们可以说（　　　　）。

　　①42是倍数　　　 　②3是因数　　 ③ 42是3的倍数　 ④42是3的因数

　　四、从四张数字卡片中选出三张，按要求组成三位数。（15分）

　　① 奇数 ② 偶数

　　③ 3的倍数 ④ 5的倍数

　　⑤ 既是2的倍数，又是5的倍数

　　五、在 里填上一个数字，使这个数成为3的倍数。（6分）

　　六、五年级有22人，3个人分成一组，至少再来几人才能正好分完？（6分）

　　一、填一填。（每空1分，其中第4题5分，第11题8分，共28分。 ）

　　1、一个数，如果只有（ ）和（ ）两个因数，这样的数叫做质数。

　　2、一个数，如果除了（ ）和（ ）还有（ ），这样的数叫做合数。

　　3、一个合数至少有（ ）个因数。

　　4、在1、8、12、15、17、22、29、56、87、91中，质数有（ ），合数有（ ）。

　　5、20以内差为1的两个合数有（ ）。

　　6、10以内所有质数的积，减去最小的三位数，差是（ ）。

　　7、10以内不是偶数的合数是（ ） ，不是奇数的质数是（ ）。

　　8、一个数，既是42的因数，又是6的倍数，这个数可能是（ ）。

　　9、1～10中最小的质数与最小的合数的积是（ ）。

　　10、在自然数中，（ ）既不是质数也不是合数。既是奇数又是质数的最小的数是（ ）。

　　（ ）既是一位数，是奇数又是合数。

　　11、、20以内的自然数中，（ ）是质数，（ ）是合数。不是质数的奇数有（ ）。

　　二、判断下面的说法是否正确。（对的打“ √”，错的打“×”。每空2分，共20分。）

　　1、有三个或三个以上的因数一定是合数。 （ ）

　　2、合数有因数，质数没有因数。 （ ）

　　3、两个质数的乘积一定是合数。 （ ）

　　4、质数的因数只有一个。 （　 ）

　　5、质数一定是奇数，合数一定是偶数。 （　　）

　　6、两个质数的和一定是偶数。 （　　）

　　7、自然数中，除了质数就是偶数。 （ ）

　　8、1是所有自然数的因数。 （ ）

　　9、既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是120. （ ）

　　10、一个数是6的倍数，这个数一定也是2和3的倍数。 （ ）

　　三、选择正确答案的序号填在括号里。（每空2分，共20分。）

　　1、正方形的边长是质数，它的周长是（ ）。

　　A.质数 B.合数 C.可能是质数，也可能是合数 D.既不是质数，也不是合数

　　2、两个奇数的和（ ）

　　A.是奇数 B. 是偶数 C. 可能是奇数，也可能是偶数

　　3、一个合数至少有（ ）个因数

　　4、A和B都是质数，它们的积一定是（ ）。

　　5、一个质数（ ）。

　　A.没有因数 B .只有一个因数 C.有两个因数

　　6、11和2都是（ ）。

　　7、2既是（ ）又是（ ），但不是（ ）。

　　8、13的倍数是（ ）

　　A.合数 B.质数 C.可能是合数，也可能是质数

　　9、一个数是3的倍数，这个数各位上数的和（　　　）。

　　A、大于3　　　B、等于3　　C、是3的倍数　　D、小于3

　　10、89是（　　　）；49是（　　　）。

　　A、合数　　　B、质数　　　 C、因数　　　　D、倍数

　　四、在下面的括号里填上适当的质数。（ 10分）

　　22=（ ）+（ ）=（ ）×（ ）

　　五、解决问题。（ 10分）

　　小猴从树上摘下56个桃子，2个2个的装能正好装完吗？3个3个的装能正好装完吗？5个5个的装呢？

　　六、写出一些三位数，这些数都同时是2、3、5的倍数。（每种写两个数）（12分）

　　①有两个数字是质数：——、——

　　②有两个数字是合数：----、- --

　　③有两个数字是奇数：----、----

　　一、填空（每空2分，共50分）.

　　1．长方体有(　)个面，每个面都是(　 )形，也可能有两个相对的面是(　 )形，(　 )的面积相等。有(　 )条棱，(　 )的棱的长度相等。有（ ）个顶点。

　　2、正方体有(　 )个面，每个面都是(　 )形，(　 )的面积都相等，有(　 )条棱，它们的长度(　 )。有（ ）个顶点。

　　3．长方体的上面和下面、前面和后面、左面和右面，它们的面积（　）。

　　4．长方体的12条棱，每相对的（ ）条棱算作一组，12条棱可以分成（　）组。

　　5．一个正方体的棱长是 6厘米，它的棱长总和是（　）。

　　6．一个长方体的长是1.5分米，宽是1.2分米，高是1分米，它的棱长和是（　）分米。

　　7．一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（　）厘米。

　　8．把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（　）厘米。

　　9、因为正方体是长、宽、高都（ ）的长方体，所以正方体是（ ）的长方体。

　　10、一个正方体的棱长为a，棱长之和是（ ），当a =6厘米时，这个正方体的棱长总和是（ ）厘米。

　　11、一个长方体长、宽、高分别是a、b、h,那么这个长方体的棱长总和是（ ）。

　　二、判断题（每题2分，共16分）.

　　1．长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶。（　）

　　2．长方体的6个面不可能有正方形。（　）

　　3．长方体的12条棱中，长、宽、高各有4条。（　）

　　4．正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。（　）

　　5．长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。（　）

　　6．一个长方体长 12厘米，宽 8厘米，高 7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是8厘米。（　）

　　7、正方体是由6个正方形围成的立体图形。（ ）

　　8、一个长方体中，可能有4个面是正方形。（ ）

　　三、选择题（每题3分，共12分）.

　　1．下列物体中，形状不是长方体的是（　）。

　　①火柴盒　　②红砖　　③足球　　④木箱

　　2．长方体有（ ）条棱，（ ）个面，（ ）个顶点。

　　①4　　②6　　③8　　④12

　　3．下列三个图形中，能拼成正方体的是（　）

　　4．把一个棱长3分米的正方体切成两个相等的长方体，增加的两个面的总面积是（　）平方分米．

　　①18　　 ②9　　 ③36　　 ④以上答案都不对

　　四、解决问题（共22分）.

　　1．用 96厘米的一根铁丝焊成一个正方体框架，这个框架的每条棱长多少厘米？（5分）

苏教版五年级下册数学第三单元 因数与倍数 测试卷一套附答案(精品)