微积分的核心概念是极限（limit），而极限最基础的情形是数列的极限．数列是离散的，比较容易理解，而所有与极限有关的概念也都可以从数列的极限拓展得到．先来看一个数列的例子． 注意只有无穷数列具有极限．

　　 $\lim\limits_{n \to \infty }$ 在这里相当于一个 “操作”，叫算符（operator）．它作用在整个数列上，并输出一个数，也就是数列的极限值．这有些类似于函数输入一个自变量并输出一个因变量，只不过自变量从数换成了数列．所以不要误以为这条式子是说当 $n = \infty$ 时，有 $a_n=\pi$，而要理解成数列 $a_n$ 经过算符 $\lim\limits_{n \to \infty }$ 的作用以后，得出的结果是 $\pi$．类比函数 $\sin x = y$，并不是说 $x=y$，而是说 $x$ 经过正弦函数作用后等于 $y$．所以从概念上来说，极限中的 “趋于” 和 “等于” 是不同的．趋于是数列整体的性质，而不是某一个项性质．

　　 我们可以总结出以上数列的一个性质，并把它作为数列极限的一般定义．具有极限的数列最显著的特征是，随着 $n$ 增加，后面的所有项都越来越接近极限值．可是一个难点在于如何定义 “越来越接近”．先看一个错误的理解：考虑数列

这个数列也同样越来越接近 $\pi$，但直觉告诉我们，它的极限是 $3.2$ 而不是 $\pi$．

　　 既然要讨论有多接近，那就要定义距离．我们可以把第 $a_n$ 和极限值 $\pi$ 的距离用绝对值定义为 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert $．对 的数列，可以发现无论我们要求这个距离有多小，当 $n$

为红色，不满足的为蓝色．无论红色区域有多窄（只要不为零），总能找到一个不等式 $n > N$ 使之后所有的点都是红色．

　　 我们来看几个简单的例题，加深一下印象．

　　 一些数列不存在极限：

有两个理由可以说明这种理解不正确：首先，按定义，每个 $a_n$ 都是有理数，而 $\pi$ 是无理数，所以不应该有任何一个 $a_n=\pi$；其次，$\infty$ 不是一个实数，不存在 $n=\infty$ 的说法．这里的