我们在解题过程中,经常会遇到一些较难证明问题,看到问题没有思路.如果能构造出合适的全等三角形,把条件集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了.今天我们学习几种常见的构造全等三角形的方法,供同学们参考.
连接两点线段,将一四边形转化为两个全等三角形
例1:如图,在四边形ABCD中,已知AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
分析:在四边形ABCD中没有三角形,通过连接AC,将四边形ABCD转化为两个全等三角形(边边变),从而可以证明∠B=∠D.
连接两点线段,将所求角所在三角形转化到公共边同侧的两个全等三角形中.
分析:此题虽有两个三角形,根据已知条件无法证明全等.通过连接BC,将结论中的角转化到两个全等ABC,DCB中(边边边),使问题得以解决.
1.延长已知线段,构造公共角,将所求线段转化到两个全等三角形中.
分析:欲证AD=BC,图中分别含有AD、BC的三角形有几种,但根据已知条件均无法证明全等,因此要作出含有新的公共角.
解:延长DA、CB交点E,在△DBE和△CAE中,
当高垂直角平分线时,常延长高线,进行角的转移.
例4:如图,在△ABC中,已知BE平分∠ABC,AD为BE边上高,求证:∠2=∠1+∠C.
分析:延长AD交BC于点F,∵BE平分∠ABC,如果∠2=∠BFD,这样问题便解决了.
解:延长AD交BC于点F,在△ABD和△FBD中,
当两条相等线段在同一个三角形中,常作第三边上高,制造一组全等三角形.
分析:OA、OD不在已有三角形中,根据已知条件,易证AF、DE所在的两个三角形全等,故只要证OE=OF,所以要作第三边EF上的高.
过点O作OG⊥BC于点G,在△OEG和△OFG中,
遇到中线一般是加倍延长,构造出有对顶角的全等三角形,进行边、角条件转换.
例6:如图,在△ABC中,已知AB=5,AC=3,AD为BC边上中线,求AD的长的取值范围.
分析:欲求AD长的取值范围,必须把与AD有关的线段移到同一三角形中,故要延长一倍中线,构造新的三角形.
解:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,在△BDE和△CDA中,
在角平分线两边构造一对全等三角形,把所求线段转化到同一个三角形中进行翻折变换图形.
例8:如图,已知AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF>EF.
分析:欲证BE+CF>EF,联想到三角形的三边关系,设法把BE、CF、EF放到同一三角形中.
本文刊登在《中学生数理化》(初中版)八年级数学2018年第9期上哦!还有专家博客,重难点解析,同步检测等更多精品栏目,快和专家名师们一起,享受快乐的学习之旅吧!
话说三角形的全等/人教社 田载今
聚焦全等三角形中考题 /省教育厅基础教研室 鲍聪晓
遇到角平分线如何作辅助线/焦方伟
点击“K”型全等三角形 /刘振超
一个全等三角形模型的应用 /左效平 张俊芳
“大角含半角”模型中的全等/ 王秋月
那就赶紧来关注我们吧!