运动学与力学的关系以及牛顿运动定律产生的背景

我们已经知道，运动学的研究不足以揭示我们观察到的自然界的现象的产生原因。一个运动学方程只是描述了质点在一段时间内的每一个时刻的位置。在实际问题中，我们记录下质点运动在某一个时间范围内每一时刻的位置，然后知道了在这个时间范围内的质点的运动轨迹，如果我们的研究只是到此为止，那么我们只是作了一种测量的工作，意义是很小的。因为我们不能由此作任何推导，比方说我们无法知道在这个时间范围以外的某个时刻，质点会是什么样的运动状态，除非我们已经知道质点仍然保持原来的速度和加速度的条件。但在实际问题中，在一个时刻所作的运动学意义上的测量，并不能得到在以后时刻保证质点都遵循的速度与加速度条件。这就是说，我们已经学过的运动学尽管能告诉我们如何描述质点运动的方式，但并不能告诉我们质点按某种方式运动的原因。

我们不妨想象一下，假如我们对自然界里的现象只能进行描述，也就是说，只有在看到了什么以后，才能说什么，那么就不能说这是科学。对于质点的运动，我们能测量到质点在某一个时刻的位置，然后还可以通过测量得到质点在这一个时刻的速度和加速度，然而我们并没有任何的理由来断定质点在这以后或以前的时刻，仍然具备相同的速度和加速度条件。因此当物理学发展到完成运动学后，面临的任务就是研究导致速度和加速度的原因。只有了解了产生速度和加速度的原因，我们才有可能根据质点现在的状况，来判断质点在未来或过去的速度和加速度状况。这就是牛顿运动定律产生的背景。

既然加速度是描述速度的变化，那么对于质点的运动，我们可以首先按速度不发生变化和发生变化这两种情况来分别两种运动状况。对于速度不发生变化的运动过程，我们有牛顿第一定律：

当物体不受任何外力作用，或它所受所有外力的合力为零，那么物体保持静止，或保持匀速直线运动。

这条定律也可以反过来理解，也就是说，如果物体保持静止，或保持匀速直线运动，那么物体不受任何外力作用，或它所受所有外力的合力为零。

我们看到，这条定律实际上给出了质点速度保持不变的原因，这样一旦我们能够判断质点具备了这样的物理条件，那么就能够断定质点在任何时刻的速度都保持不变，只要这个物理条件保持不变。

实际上，从另一个角度来讲，牛顿第一运动定律也同时规定了一系列参照系，在牛顿力学里，这一系列参照系是最自然，最适宜用来作为我们观察运动现象的参照系。我们已经知道，原则上任意运动对象都可以作为我们观察其他运动对象的参照系，从而得到的是其他运动对象相对于被我们选为参照系的对象的相对运动的描述。但是从牛顿力学的角度出发，一个物体的速度是否变化是有本质不同的。对于一系列相互保持匀速直线运动的质点，任意取其中一个作为参照系，其他的质点仍然保持匀速直线运动，如果存在一个质点对于其中任意一个参照系是具有加速度的，那么它对于这一系列参照系中任意其他的参照系都会是具有加速度的。因为加速度不可能通过速度的代数运算而抵消。

反过来，如果我们取一个相对于匀速直线运动的物体作具有加速度的运动的物体为参照系，那么在这个参照系里，那个本来是匀速直线运动的物体反而作加速运动。如果我们认为速度是否变化具有本质的区别，那么一旦取一个加速运动物体作参照系，就会赋予其他物体虚假的物理性质（我们在下面还会要仔细讨论用加速运动物体作参照系的问题）。这是理所当然应该避免的。

但是，对于一对相互具有加速度的运动物体，我们凭什么有可能取其中的一个物体为匀速直线运动呢？因为既然一切运动都是相对而言的，似乎我们没有理由先验地相信某个物体必然是作匀速直线运动，因为我们要是观察到这个物体是作匀速直线运动，则作为观察者就必须是取一个相对于被观察物体作匀速直线运动的物体作为参照系（刚性坐标架）。那么我们又如何相信被我们取为参照系的物体是作匀速直线运动的呢？于是我们似乎进入了逻辑循环。

这个问题实际上涉及到了牛顿力学的基本假设。尽管牛顿宣称“我不需要任何假设”，但这个假设他是无法避免的。即假设存在一个绝对静止不动的时空参照系，从这个参照系出发就可以确定其他一切的作匀速直线运动的物体，然后在实际问题中我们就可以取其中任意的一个物体来作为参照系，从而得到解决问题的方便。

这个假设存在的绝对静止不动的时空参照系被称为绝对时空。从物理上讲，它可以这么理解，即离我们越远的宇宙深处，越是近似于绝对参照系。因为离我们越远，受我们这里的力的影响越小。至于在实际问题里，我们总是能取一个受外力的和近似为零的物体作为我们的参照系，从而不影响我们应用牛顿运动定律。

我们看到在这个角度上，牛顿第一定律实际上也就是定义了绝对时空的存在。

在绝对时空里，物体保持匀速直线运动的能力的属性被称为惯性，在绝对时空参照系里，保持匀速直线运动的物体都可以取为参照系，这些参照系被称为惯性参照系。

进一步，我们通过牛顿第二定律会看到，惯性是可以定量表示的。

至此我们可以领会到绝对时空对于牛顿力学的基本重要性。实际上牛顿力学的有效性也正是由这条定律规定，而爱因斯坦也正是通过揭示这条定律的局限性，而得到更一般的力学-狭义相对论。这点我们将在以后的学习中领会到。

上面我们已经说过，在牛顿力学里认为对于质点的运动，速度是否变化是非常不一样的。对于匀速直线运动的物理原因，我们理解为质点所受合力为零，对于速度发生变化的运动，我们就理解为质点所受合力不为零。而质点是否受力为零，在物理上是有本质的不同的。这样我们就得到了牛顿第二定律。

如果物体所受的外力不为零，那么物体运动的加速度和它所的外力成正比，和物体本身所含的物质总量成反比。

这条定律同样也可以反过来说，即如果物体的加速度不为零，那么它的加速度的大小与它所的外力成正比，和物体本身所含的物质总量成反比。

如果把物体所受力用F表示，物体的加速度用a表示，物体的质量用m表示，那么牛顿第二定律可以用数学公式表示为：

这条定律直接表达了质点运动的加速度的产生原因。这样只要我们观察到物体运动具有加速度，就可以说物体所受外力不为零。并且加速度同时表达了两个方面的因素。

如同在第一定律里同时定义了惯性和惯性参照系一样，在第二定律里也同时定义了力和质量的概念。初学者往往很难理解这点。

我们知道通过第一定律，已经假设存在绝对时空参照系，在实际问题中我们往往也能很容易地建立近似的惯性参照系，那么基于惯性参照系，当我们测量到物体运动的加速度不为零时，我们就把物体的状态理解为它受到了不为零的外力，这样我们关于受力就有了一个可以定量研究的途径。第二定律的规定是对于同一个物体，受力的大小和加速度的大小成正比，而且所受力的方向和加速度的方向一致。这样在物理学的历史上，对于力的观念第一次摆脱了直观而模糊的理解。因为加速度是可以精确地加以测量的物理量。从而力也可以加以精确的测量了。

同时由于力是由物体的外部环境对物体所产生的作用，那么只要我们想办法控制住外部对物体的作用力保持不变，再改变物体本身的物质的总量，就可以得到加速度还与物质的总量成反比，或者反过来说，在外部对物体的作用力保持不变时，加速度还和一个表征物质总量的大小的物理量成反比。从第一定律我们知道，物体具有保持自身的匀速直线运动的状态的属性，称为惯性，如果要使得物体改变其匀速直线运动状态所需的力越大，那么就是说物体的惯性越大，更具体的说，如果有两个不同的物体，开始都保持相同的匀速直线运动，现在要使得它们都具有相同的加速度，如果作用于它们之上的力不相同，那么肯定是因为这两个物体具有不同的惯性，需要作用力大的物体，则惯性也大，需要作用力小的物体，则惯性也小。因此这里实际上是定义了惯性的度量方式，也就是说，物质的总量的度量方式。我们称之为质量。

运动学一开始，我们已经不加定义地引入了质量的概念，即把质点定义为具有一定质量的几何点。但那时我们只是基于直观地使用这个概念，一直到这里，我们才得到质量的合乎逻辑的定义。即

质量是作为度量物质的惯性大小的物理量，当物体运动时，它作为物体所受力与物体运动的加速度成正比的比例因子。并且同一个物体在运动时，质量保持不变。

这就是牛顿第二定律给我们带来的对质量的精确定义。

注意到，在牛顿第二定律里，只有加速度的概念是已知的，其他涉及到的两个概念都是通过它们与加速度的关系来得到定义的。意识到加速度的这种基本重要性是牛顿力学发展的一个关键。

我们知道加速度是质点运动时，位移对于时间的二阶导数，那么位移对于时间的三阶或更高阶导数是否同样有物理意义呢？我们在后面的学习中会体会到，相应于加速度的概念的力的概念是非常适宜于描述物理世界里真实存在的物质之间的相互作用的。因此求进一步的第三或更高阶的导数意义不大。因为可以想象，第三阶导数的意思肯定是指力的变化率，更高阶导数则以此类推。

我们再看第二定律和第一定律的关系。

从第二定律的数学表达式可以看到，F=ma，当力为0时，加速度也为0，正是第一定律所表述的。因此第二定律的数学表达式里似乎是包含第一定律的。不过在第二定律的表述中并未说明变量取零值的情况，因此在这种意义上，第一定律仍有单独存在的必要性，而且第一定律更是强调了惯性参照系的基本重要性，这也是单独用第二定律所不能涵括的。

让我们再回顾总结一下。

对于在地面上静止的观察者来说，（尽管我们知道对运动的观察依赖于观察者所在的参照系，但我们暂时不考虑以地面作参照系的合理性问题，）第一件有意义的事是意识到静止和匀速直线运动是等价的。这点可以通过比较分别在地面静止不动和相对于地面作匀速直线运动时所观察到的运动现象是否有本质的差异来得到。这种实验是非常容易作的，物理学的先驱们通过大量的这一类实验，比方说在匀速直线移动的马车或船上，作各种各样的物理学实验，观察不到和在静止的地面上作的实验有何本质的不同。这就只能说明静止和匀速直线运动的等价性。

现在在我们需要研究的形形色色的运动中，静止和匀速直线运动被归于同一种运动，那么进一步导致静止或匀速直线运动状态发生变化的就是加速度的出现了。由于我们对于静止已经有了很明确的看法，即对于静止的物体，外界对物体所产生的影响一定是全部抵消了的。因此要改变物体的静止状态，就一定是要有额外的作用，一定是有物理原因的。日常生活里我们常常把一种外界作用称为力，那么就不妨把这种加速度的产生的原因归之于力，使得力成为物体之间相互作用的一种物理实在，并且直接定义力的大小正比于加速度的大小。

反过来看，我们是从观察到的现象来推断一种物理实体的存在性，日常的状态下，加速度的测量是非常明确的。由加速度的出现，我们就可以断定一种物理作用的出现，尽管我们还不知道这种物理作用的来源或者说本质是什么。但至少如此明确地抽象出力的概念来，就给出了我们进一步研究物理现象的途径。因为下一步我们就可以针对我们在观察到的现象中所出现的加速度，来寻找相应的物理作用。循着这个思路，导致了伟大的万有引力的发现，而经典物理学最辉煌的历史就是找到自然界里的两种最基本的力：万有引力和电磁力，并且最终把日常生活中所能观察到的种种物理作用都归结为这两种力。至此我们已经可以看到牛顿运动定律决定了经典物理学的基本思路。

现在我们已经看到，外界对一个物体产生力的作用，就表现为这个物体会产生加速度，而所谓外界，终究也还是可以看成一个物体，那么我们观察这个物体，它对另外一个物体产生力的作用，那么它自身又会有什么表现呢？这就是牛顿第三定律所要说明的。

如果物体A对物体B产生作用力F_AB，那么同时就意味着物体B对物体A产生了作用力F_BA，并且F_AB和F_BA大小相等，方向相反。

注意这两个力F_BA和F_AB的区别。F_AB指的是物体A对物体B产生的作用力。F_BA指的是物体B对物体A产生的作用力。这两个作用力所作用的对象不一样，也就是说作用点不一样。而初学者常常把这里出现两个力的情况和一个物体上同时受两个力的情况混淆起来，从而得到作用力和反作用力相互抵消的错误结论。

从第三定律我们知道了，力总是产生于两个物体的相互作用，而两个物体的相互作用必定同时产生两个作用力，这两个作用力大小相等，方向相反，并且相互以对方作为作用对象。这样我们就进一步明确了力作为相互作用的属性。在下面的学习中我们还会看到第三定律构成了动量守恒定律的基础。

牛顿运动定律赋予了我们观察自然现象的清晰看法。首先我们从寻找自然现象中的加速度入手，从而发现加速度背后的力。

日常生活中最常见的加速度莫过于自由落体里表现出来的加速度。对于自由落体现象，人们的认识经历了相当曲折的过程。在亚里士多德时代，人们认为自由落体运动是最自然的运动，因而是由下落的物体本身的属性所决定的，比方说，轻而稀疏的物体下落就慢，重而密实的物体下落就快。总之这是与外界无关的由物体自身属性决定的一种性质。一直到伽利略，他才以真正科学的精神，通过实际地作实验，从而推翻了这条亚里士多德的戒律，得到任何物体都有相同的自由落体加速度这一有悖常识的正确结果。进一步到了牛顿的时候，牛顿开始寻找自由落体的物理原因，也就是是什么力导致了自由落体的加速度。

一个有名的传说是牛顿在一个苹果树下散步的时候，被一个苹果砸在头上，从而领悟到苹果的自由落体运动和行星的绕日运动, 或者说月亮的绕地运动的一致性。因为当时牛顿苦苦思考的另一个问题就是，是什么原因导致行星环太阳作椭圆运动。尽管这个传说未必是真实的，但能领悟到行星在作环绕太阳的椭圆运动时所表现出来的加速度，和苹果作自由落体运动时所表现出来的加速度具有相同的物理原因，肯定是导致发现万有引力的相当关键的一步。

一般的万有引力我们在后面再讨论，现在我们只讨论具体的导致地面上的自由落体运动的重力。

因此单纯从实验近似的角度上讲，在一般的高度范围内，重力加速度都足够近似的保持不变。我们必须强调一点，这个结论只是在不太大的高度范围内近似成立。如果我们的实验仪器足够精密，就能发现重力加速度不仅和海拔高度有关系，而且还和经纬度有关系。这点我们在后面再讨论。

根据牛顿第二定律，自由落体加速度一定意味着外界对自由落体有一个作用力，牛顿认为这个作用力来源于地球对自由落体的吸引力，并称之为重力，正是重力导致了自由落体在空中具有了自由加速度，用数学公式表述这点，就是

其中G表示自由落体所受的重力，g表示自由加速度，m为落体的质量。

有了上面有关各个物理量的明确解释，公式G=gm就有了完全不同于作为一般的牛顿第二定律的公式F=ma的意义，因为重力公式表述的是有关一种具体的作用力的规律，其中的加速度g作为比例因子保持不变，而重力G和质量m成正比。而牛顿第二定律的公式表述的是由加速度a的产生决定了一种力F的存在，这时并不是要表述有关这种力的规律。

初学者对于这种区别一定要细心体会，千万不要认为这是无关紧要的。因为我们学习的是物理，而不只是一些数学公式，学习物理最要紧的是“视之有物”，对于任何形式上的表述都能做到“视之有物”，才能细心而深刻地体会物理概念，才能培养自己的物理洞察力，而不是只会死套公式。

我们在日常生活中还使用一个概念：重量，实际上就是物体所受的重力大小，就是G，或者说，就是gm，因此和物体的质量是本质上完全不一样的概念。这种本质的差别也体现在这两种物理量的测量方法上，对于质量，我们一般应用天平来测量，而对于重量，我们常常应用弹簧秤一类的量具来进行测量。

那么天平和弹簧秤的差别又在哪里呢？

我们设天平两边的物体质量分别为m₁和m₂，如果天平平衡了，说明两边物体的重量一样，也就是

由于天平两边的g相等，所以得到m₁=m₂。这个结论与g的大小变化无关，只要g不等于0，在月球上也能得到同样的结论。

而对于弹簧秤，我们所依据的原理是弹力与重力的平衡。也即：

我们从弹簧秤上读到的测量值是与F相等的G的大小，而不能直接得到m的值，因为g的大小是随高度和经纬度发生变化的，而我们在用弹簧秤称物体时并不能得到g的大小。也就是说，弹簧秤只能称重量。

上面在测量重量时我们已经接触到弹性力。弹性力和我们上面学习的重力是非常不同的物理概念。重力是一种很基本的作用力。我们不知道重力是怎么产生的，而对于弹性力，我们总是可以把它归结于电磁力。也就是说弹性力是一种具有具体机制的物理过程的外在表现。它之所以被称为一种力，也就是从它作用于一个物体能导致这个物体产生加速度这种意义上而言的。

我们观察自然界里的弹性现象，会发现弹性的产生必然是通过弹性体的机械变形而导致的。因为我们知道所谓弹性，就是物体在被外部物体作用而发生机械变形，而一旦外界作用撤消又自动恢复原形的现象。因此我们可以通过弹性体发生弹性变形的大小来度量弹性力的大小。最早被虎克发现的弹性定律就是说明了弹性力的大小与弹性变形的大小的关系。

其中，F为弹性力，l为弹性体离开其平衡位置的变形大小，k为一个常数，被称为弹性系数。其中的负号是由于变形的方向一般是和弹性力的方向相反。

弹性系数为常数是有条件限制的，每一个弹性体都有一定的弹性变形范围，在这个范围内，弹性系数可以很好地近似为常数，这种弹性变形被称为完全弹性变形。超过了这个范围，弹性系数就会发生变化，甚至使得弹性体不能恢复原形。

弹性体的形变大小往往得根据具体的弹性体来考虑测量方法。最常见的弹性体当然是弹簧，对于弹簧来说，其弹性变形的大小可以直接由弹簧的螺旋轴向的伸缩来刻画。在弹性变形范围内，通过实验可以验证弹簧很好地满足弹性定律。

还有用于测量微力的纽称里的扭摆，利用的是金属丝的轴向纽动时所发生的弹性变形。

在我们的日常生活中其实大量地存在弹性力的现象，所谓的压力，拉力，支撑力，推力，张力等这一类纯粹几何性质的描述的力，在大多数情形下其实都属于弹性力，只不过由于其中的弹性变形很小，不容易被观察到而已。

弹性力的一个共同特征就是弹性变形和弹性力在一条直线上，而它们的方向相反。因此我们在实际问题中只需要仔细观察弹性变形的方向就可以很快的判断弹性力的方向。

摩擦力也只是表现在宏观现象上的一种力，它的具体机制非常复杂，但本质上，也可以归结为电磁力。因此和弹性力一样，我们只能得到关于摩擦力的现象上的描述而形成的所谓规律，就是物理学里的所谓唯象规律。

对于摩擦现象我们只考虑固体表面之间的摩擦，这种摩擦被称为干摩擦，而干摩擦又分为三种，有所谓静摩擦，滑动摩擦，滚动摩擦。

静摩擦是指两个物体相互之间存在压力与支撑力的相互作用，而它们之间又没有相对运动，在这种情形下，两个物体之间存在着沿着接触面的切线方向的相对的静摩擦力。所谓相对的静摩擦力，是指在牛顿第三定律意义上的作用与反作用力。也就是说，物体A对物体B有静摩擦力，同时，物体B对物体A也有相同大小，相反方向的静摩擦力。

静摩擦力的大小是不确定的，因为这个力只有在平行于静摩擦力的方向上对其中任何一个物体产生外部的拉力或推力，才有可能表现出来。静摩擦力有一个最大值，只要外部力量沿着静摩擦力的方向上不大于这个最大值，这两个物体就不会发生平移。而这个静摩擦力的最大值和这两个物体沿着接触面的法向正压力成正比，摩擦系数在这个正压力的一定范围内保持为常数，它是由这两个物体的材料以及表面状况决定的。也就是说：