为什么是3的6三次方是不是幂，而不是6的3三次方是不是幂?

点击联系发帖人 时间：2022-12-09 22:24

三次方是不是幂

有一次，Vita哥哥问了我一个非常刁钻的问题：

他能问出这个问题也是蛮出乎意料的，因为这个问题好像到初中数学才会讲到。我让他猜猜看，他说他觉得应该等于0，因为0无论和自己相乘多少次，结果应该都是0。

唔，我只能说，这个思路还算合理吧，0的N次方（N≠0）都等于0。但是，N的0次方（N≠0）却又都等于1呢！那么问题来了：

0的0次方，到底应该等于几？

Vita决定用计算器算一下，结果显示是等于1！

这下有意思了吧！可是，这是为什么呢？

首先，我需要跟Vita解释一个数的0次方到底有什么意义。

乘方的基本概念是连续乘法，比如2的3次方就是2x2x2，但是0次方是个啥呢？这个问题有点像说的，两个负数相乘的意义也没办法用乘法的概念去解释，而是需要用数学方法去推理，这里0次方也是一样。

如果我们把这两个数字相除：

因为分子有4个2，分母只有3个2，所以很显然，结果等于2。这时就可以让Vita找找规律了，2的4次方除以2的3次方，指数是怎样变化的呢？他发现得还挺快：

没错，只要把指数相减就可以了呗。到这里，0次方的意义也就呼之欲出了：

所以0次方的意义就是一个数的任意次方除以它自己，那么结果必然是1，这一结论对于任何数都成立，唯一的例外就是0，因为：

0的N次方（N≠0）都等于0，于是分子分母都是0，这就没法算了，因为除以0是没有意义的。

如果我没记错的话，在初中数学课本里面，写的就是0的0次方没有意义，理由就是除数为0本身就没有意义。

本来说到这里就可以了，可是不行啊，因为计算器告诉他0的0次方等于1，这可咋办，真要命

其实，0的0次方等于1，这是为了计算方便规定出来的，比如学幂级数的时候都这么算，你说有没有道理呢？还是有的，但是跟娃讲就有点难度了，我只能跟他说，下面这些，你听听就好，不懂也没关系，哈哈

首先，我们可以把0的0次方改写成一个二项式的幂，这样：

然后，牛顿有一个叫二项式定理的东西，本质上跟杨辉三角形是一回事，它可以计算(x+y)的n次方的展开式：

额，看起来很晕？没关系，算0次方很简单的，因为求和就只有1项而已啦：

于是我们把0的0次方等于几变成了一个求组合数C(0,0)的问题，也就是说，一个袋子里面有0个球，现在要拿出其中的0个，有几种拿法？我们可以说，有1种拿法，那就是什么都不拿！所以0的0次方就等于1啦。。。

额，感觉怎么样，这个解释特别牵强是吧？我觉得也是，不过在排列组合中，从N个元素的集合取出0个元素，结果就是1，而且如果把组合数展开的话：

因为数学上已经规定了0!（0的阶乘）等于1，而且这样能够使这个算式有意义，于是组合数C(0,0)就等于1，于是0的0次方也就等于1。

那么，为什么0的0次方不能等于0呢？Vita说的那个思路为什么不对呢？

从二项式定理来看，如果要让0的0次方等于0，那就意味着组合数C(0,0)等于0。而C(0,0)的展开式是0! / (0! x 0!)（看上面那个式子），如果要让这个式子的结果等于0，那么分子就要等于0，也就是0!要等于0，但这样一来，分母也会为0，于是整个式子就没意义了，所以C(0,0)不可能等于0，0的0次方也不可能等于0。

好了，总结时间到，0的0次方到底等于几？

在初等数学中，0的0次方没有意义。或者说，0的0次方有没有意义对初等数学的计算没有什么影响，我们不care！
在高等数学中，0的0次方如果没有意义，就会让很多很多很多很多计算都变得没有意义，这不太划算，那么我们就给它一个意义，而且和其他各种计算都不能矛盾，所以习惯上规定，0的0次方等于1。

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本文主要阐述素数的概念，以通俗易懂的方式形象的描述素数和合数究竟代表什么意思，以及找到一种方法能够求得给定的数值范围内的素数。

5，如何求给定范围内的素数

6，一个Python求素数的例子

素数又称质数，英文名称是Prime number。

关于素数，也叫质数，从字面意思可以想象，这种数有着基本，本质，原子的意思，也就是说，这种数是不能够再拆分的，是一个基本的，独立的原子个体。素数的定义是指在除了1和此整数本身外,不能被其他自然数整除的数（1除外）。

可以想象，有一堆苹果，n个。假设苹果是不可切割的，现在需要你去给这堆苹果等份分给若干人。

有两种可能的结果，一种是可以再分成若干等份；一种是不能够再分了，苹果保存原样的一堆。

针对第二种情况（保持原样，不能再分），这堆苹果可以看成下面两种情形：

A，以单个苹果为一个个体，可以分成n个人，1(个)*n(人)

B，以n个苹果为一个整体，可以分给1个人，n(个)*1(人)；

回到数的范畴，也就是说，如果一个整数n，只能被1或者自己整除，也就是说整数n只能表示为n=1*n，或者n=n*1的形式，即不能分成其他形式的等份了，那么这个数就叫做素数。

形象的理解为：一堆苹果，还是原来的那堆苹果，没有改变。

接着上面素数的概念，相反的情况，如果一堆苹果可以再分成n=a*b的形式（a,b不等于1或者n），那么就称n为合数。合数这个词，本身也代表了本身是可以由几个数合在一起的意思。

也以苹果为例，假设这堆苹果是15个，除了本身15这种状态之外，也可以分成3个一堆，共5堆（3*5）或者5个一堆，共3堆（5*3）这两种状态。即15不单单只能表示为15*1或者1*15，还可以表示成3*5或者5*3。也就是说，15除了被1和自己整除外，还可以被3或者5整除。

其实，如果从本质的概念来说，1也可以称为素数，这个从上面的例子就可以看出。

之所以现在不能将1看成素数，原因在于，如果将1看成素数了，那么会使得合数的概念不统一。

合数，从上面第3点的分析，可以知道，合数n可以表示为n=a*b的形式（这里的a,b不等于1或者n）。

既然n=a*b，那么a,b有两种状态，要么是素数，要么是合数。why

因为，数本身就只有这两种状态：要么只能被1或者本身整除，要么除此之外还能被其他数整除。因此，a,b这两个数可能是素数，可能是合数。

现在，我想对a,b做如下操作：如果是素数，则保持不变；如果是合数，那么继续分解为两个数的乘积的形式。

这样，一直持续操作下去，n=a*b，最终会以n=p1*p2*p3...的形式呈现（其中，p1,p2,p3...都是素数）。即一个合数，最终都会以素数的乘积表示。

现在回到本题的疑问，为什么1不是素数？

因为：1由于本身的特殊性（任意个1相乘还是1），导致一个合数n=p1*p2*p3，会有无数个表示式。即合数n，可以表示为：

所以，为了达到合数的表达式的唯一性，就人为的将1排除在了素数之外。

到这里，已经知道了素数和合数。那么如果想要求某个给定的数范围内的素数有哪些，应该怎么求。

比如，如何求10以内的素数？

根据常识，可以容易的想到10以内的素数有：2,3,5,7

如果不是10，而是100以内的素数呢？

如果不是100，而是1000以内的素数呢？

看来人为的靠自己的理解去数，会把自己数晕，不是解决问题的根本方法。

我认为，还是得从素数的概念入手：只能被1和自己本身整除的数。

也就是说，除了1和本身，不能被其他数整除的数。或者说，只要找到了一个能够被1和本身之外的数整除，那么就可以判定这个数就不是素数。

下面的目标，就是努力去找到这样的数。

先想一下不是素数的数是什么数？答案很明显，就是合数。合数有什么性质？合数可以表示为若干个素数的乘积。

既然是要求n以内的素数，那么肯定n以内的素数一定是在n以内；n以内的合数也是在n以内。n以内的合数可以表示为若干个素数的乘积，这里的素数也肯定是在n以内。

那么可以确定的知道n以内的某个合数必会至少能够被n以内的一个素数整除。如果能够找到这样的能够被n以内的合数整除的最大的素数K，那么就可以得到这样一组素数集（从2开始，最大值是K），将n以内的整数，依次与这组素数中的素数进行求余运算，根据求余结果是否是0，来判断整数是否是合数。即求余的结果不是0的整数就是素数了。

下面的问题是：已知整数范围n，如何求得能够被n以内的合数整除的最大的素数？

还是从合数的概念出发，一个合数必然可以表示为若干个素数的乘积。

至于合数分解成的素数的个数多少，这个就不确定了，可能是2个，也可能是3个，或者更多。

假设一个合数M可以分解为3个素数的乘积，M=X1*X2*X3（X1<=X2<=X3），那么对M进行开3次方根，得到的结果取整数为I，I必然介于M的素数的中间，即I>=X1且I<=X3。以整数I内的素数构成一个素数集合G，那么G中必然存在素数X1；合数M越大，那么得到的I就越大，因而构成的素数集合G中的最大的素数也越大。设想，要使得找到最大的素数，那么必然要找到最大的I。在合数M最大的情况下，开方根次数越小，则此时找到的I才是最大的。那么开方次数最小是多少呢？显然就是开2次方根时（虽然开1次方根时，I最大，但此时的M就不是合数，而是素数了）。

那么，现在知道了，如何求一个给定的整数范围内的素数方法了：

首先，对给定的整数，求平方根，得到I1（取整数）；
然后，找到I1范围内的所有的素数，构成一个集合G
接着，依次将给定的整数范围内的整数，对集合G的素数，依次取模，若结果是0，那么说明这个整数是合数，则排除之；否则就是素数，保留；
以上收集的素数就是给定的整数范围内的所有的素数。

根据上面讨论的方法，现在用Python实现一个程序来求给定的整数范围内的素数。

Python实现的代码（求给定整数范围内的素数）

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