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展开全部证明：由于f′（a）f′（b）＞0，因此不妨假设f′（a）＞0，f′（b）＞0（f′（a）＜0，f′（b）＜0的情况用类似方法也可得证）由导函数定义可得：limx→a+f(x)x?a＞0，limx→b?f(x)x?b＞0，根据极限的保号性，可知?x1∈（a，a+δ1）和x2∈（b-δ2，b）使得f（x1）＞0，f（x2）＜0，其中δ1，δ2为充分小的正数，显然x1＜x2，在区间[x1，x2]上应用介值定理得：?ξ∈（x1，x2）?（a，b），使得f（ξ）=0．再由f（a）=f（ξ）=f（b）=0及罗尔定理可知：?η1∈（a，ξ）和η2∈（ξ，b），使f′（η1）=f′（η2）=0；在[η1，η2]区间上，对f′（x）运用罗尔定理，可得η∈（η1，η2）?（a，b）使f″（η）=0．证毕．已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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化简定积分的性质及结论？“定积分”的简单性质有：性质1：设a与b均为常数，则f(a->b)[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*f(a->b)f(x)dx+b*f(a->b)g(x)dx。性质2：设a<c<b,则f(a->b)f(x)dx=f(a->c)f(x)dx+f(c->b)f(x)dx。性质3：如果在区间【a,b】上f(x)恒等于1,那么f(a->b)1dx=f(a->b)dx=b-a。性质4：如果在区间【a,b】上f(X)>=0,那么f(a->b)f(x)dx>=0(a<b)。性质5：设M及m分别是函数f(x)在区间【a,b】上的最大值和最小值，则m(b-a)<=f(a->b)f(x)dx<=M(b-a) (a<b)。性质6（定积分中值定理）：如果函数f(x)在积分区间【a,b】上连续，那么在【a,b】上至少存在一个点c，使得f(a->b)f(x)dx=f(c)(b-a) (a<=c<=b)成立。高数中值定理？高等数学的七大中值定理一般是考试中必考的，包括零点定理、介值定理、三大微分中值定理【罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理】、泰勒中值定理与积分中值定理，但一般情况得分率普遍很低，希望考生好好把握，下面我们一起看看证明题有哪些的关键的特征可以提取，以便于我们固化求解模式，提高解题速度与准确率。在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b之间有一个(或者只有一个)根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数(甚至是高阶导数)、含有中值(也可能有多个中值)。应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。在微分中值定理证明问题时，需要注意下面几点：(1)当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理;(2)当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的;(3)当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明;拉格朗日中值定理主要内容是什么？拉格朗日中值定理的内容：若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: (1)在[a,b]连续 (2)在(a,b)可导 则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) ，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 易证明此函数在该区间满足条件: 1.G(a)=G(b); 2.G(x)在[a,b]连续; 3.G(x)在(a,b)可导. 此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。推广的积分中值定理为什么满足g不变号？假设f的最到最小值分别为m,M，即不变号只是为了保证乘上去后不等式的方向要么不变要么反向。比如g>0,mg<f*g<Mg这样才能用介质性得到积分第一中值定理。否则你是无法使用介质性的，就这么简单。
体积的积分中值定理？积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。乘法积分中值定理？积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理,它们各包含两个公式。其退化状态均指在的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值,或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法,是数学分析的基本定理和重要手段,在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。积分中值定理的推广形式1、若 f 与 g 都在[ a , b ]上连续,且 g 在[ a , b ]上不变号,则至少存在一点 C 属于[ a , b ],使得乘以 g 在[ a , b ]上的积分等于 f ( c )乘以 g 在[ a , b ]上的积分。积分中值定理的证明 不定积分的分部积分法公式柯西积分中值定理？柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，弧的切线通过其端点平行于切线。二重积分的微分中值定理？性质1函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ积分中值定理的证明 不定积分的分部积分法公式性质2被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即积分中值定理的证明 不定积分的分部积分法公式∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ(k为常数）性质3如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣f(x,y）∣dσ性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ性质5如果在有界闭区域D上f(x,y)=1,σ为D的面积，则σ=∫∫dσ性质6二重积分中值定理设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ}