设: 方阵阶数为n, 特征值个数为k, 其中有i重特征值 λi, 单个λ对应的无关特征向量个数为t, 方阵的秩为r特征值a.特征值个数k（包括重根） 与 方阵的阶数n相等; b.特征值个数k>=所有无关特征向量数之和 (因为i重特征值λi最多有i个线性无关的特征向量);c.特征值个数k与方阵的秩无关。2. 特征向量a.单个λ对应的无关特征向量个数t与方阵的秩r没有什么直接的关系，它们都小于等于方阵阶数n3. 方阵的秩a.方阵的秩r与它的特征值λi=0 的重数i有关
i.当方阵A可以相似对角化时（这里自然是包括了方阵A为实对称矩阵的情况），i=n-r.
因为A ~^,
所以r(A)=r(^)。 此时若r(A)=r(^)=r, 意味着对角阵有r个不为零的特征值，即
A也有r个不为零的特征值，进而得到A 有n-r 重特征值：λi=0
ii.当方阵A不可相似对角化时，i>=n-r.
首先，对于i重特征值λi最多有i个线性无关的特征向量，
反过来说，同一特征值λi对应的线性无关的特征向量个数（设为t）<= i.
对于λi=0，有r(0E-A)=r(-A)=r(A)=r,
所以，λi的线性无关特征向量个数t=n-r, 根据上一行的说法就有，λi=0 的重数 t<=i, 即 i>= n-r.n阶矩阵一定有n个特征值（特征值可相同） 矩阵A为实对称矩阵\Rightarrow A可相似对角化 \Leftrightarrow A有n个线性无关的特征向量 矩阵A可相似对角化,λ为A的k重特征值\Leftrightarrow λ对应有k个线性无关的特征向量 若矩阵A为n阶实对称矩阵,r(A)=k,则λ=0为A的n-k重特征值 若矩阵A能相似对角化,r(A)=k,则λ=0为A的n-k重特征值 若矩阵A为n阶方阵,r(A)=k,则λ=0至少为A的n-k重特征值 }

rank也就是秩，其是消元下的一个常用概念，其反应的是有效的方程的个数，也是列空间和行空间的维数，仅此。特征向量和特征值对矩阵性质分析的另一个角度，特征向量可以有无数多个，因为你可以在一个方向上任意选择不同长度的向量作为特征向量，或者当方阵的rank不是满的时候，nullspace中的向量可以任意挑选作为特征向量（此时特征值为0），特征值的个数不会超过方阵的行（列）数（比如nxn的矩阵中特征值的个数不会超过n）原因是行列式的最高次数取决于方阵的行数参考：【线性代数】6-1:特征值介绍(Introduction to Eigenvalues)}