1、2021级硕士研究生数值分析试卷(A)与参考答案篇一：硕士研究生数值分析试卷2021(A) 硕士研究生数值分析试卷2021(A) 一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“ ”，错误的打“”，每题2 分，共10分) 1. 近似数x?3.200关于准确值x?3.202178有4位有效数字。 ( ) 2. 设xi(i?0,1,2,3)是互异的点，li(x)(i?0,1,2,3)是Lagrange插值基函数，则 * ?4xl(x)?4x 2ii i?0 7 3 2 .( ) 1 2 3 4 5 6 7 3. 设f(x)?x?3x?2，则差商f2,2,2,2,2,2,2?1。 ( ) 2、4. 设A是n阶非奇异方阵，则解方程组Ax?b的迭代法收敛的充要条件是A的谱半径 3 ?(A)?1。 ( ) 5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta方法的整体截断误差是O(h)，其中h是步长。( ) 二、填空题 (每空2分，共16分) 1. 设x?(2,1,?3,4)，A?2. 设I? T 4 ?25? ?. 则
x|1?Cond(A)?4?3? ? 20 若用梯形求积公式计算I，结果是4；用Simpson求积公式计算I，f(x)dx， 结果是2. 则f(1)? . 3. 设S是函数f在区间0,3上满足第一类边界条件的的三次样条： ?x2, 0?x?1,? S(x)?12 ?3、x?1?a?x?1?b,1?x?3,?2 则a?，b?f?(3)?. 4. 设函数f(0.8)?1.2,f(0.9)?1.4,f(1)?1.0,f(1.1)?0.2,f(1.2)?0.5, 步长 h?0.2，则用三点数值微分公式计算f?(1)的近似值为. 5. 设函数f(x)是最高次项系数为?1的3次多项式，的Lagrange插值多项式, 则余项f(x)? * p2(x)是f(x)在节点?1,0,1上 p2(x)?* 三(本题满分8分)的近似值x的相对误差限是0.01%，求x至少应具有几位有效数字？四(本题满分10分) 对下列方程组分别建立收敛的Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式，4、并说明理由。 ?3x1?2x2?10x3?15, ? ?10x1?4x2?x3?5, ?2x?10x?7x?8. 23?1 五(本题满分10分) 用下列表中的数据求插值多项式 p(x)，使之满足p(xi)?f(xi)， i?0,1,2，和p?(x0)?f?(x0),p?(x0)?f?(x0). 六(本题满分12分) (1) 确定x1,x2,A1,A2，使下面的求积公式为Gauss型求积公式 ? 1 ?1 f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x2). (2) 用(1)中的两点Gauss公式计算I? ? 1 xcos2xdx的近似值。 * x是方程f(x)?0的单根。七(本题满分12分) (1)5、 设f?C2a,b，写出求x的Newton 迭代格式；并证明求x的Newton迭代法至少是平方收敛的。 (2) 取初值x0?1.5,x1?1.6，用弦截法求方程x?2x?1?0在x0?1.5附近的实根 3 * * x*.（只迭代两次）。 八(本题满分10分) 求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式p1(x)，取权?i?1， i?0,1,2,3，并计算总误差Q. 九(本题满分12分) (a) 证明Euler方法具有1阶精度。 (b) 用改进的Euler方法求解下列初值问题，取步长h?0.5，y?dy?1?,?dtt? ?y(1)?2.? 1?t?2, .篇二：研究生数值分析考卷参考答案 20216、-2021学年研究生数值分析 参考答案与评分标准 一、（10分）（1）误差产生的来源主要是哪几方面？ （2）设x?10?5%，求函数f(x)?x的相对误差界。 解： （1）误差产生的来源主要是模型误差、观测误差、舍入误差、截断误差。 （2）近似数x?10，绝对误差限?*(x*)?0.05，自变量的相对误差限为?r(x)? 函数值的绝对误差 *0.05?0.005。 10 1f(x)?f(x)?f?(x)(x?x)?x* n*?1?1nx*(x?x)?*(x?x*)， nx*所以函数值的相对误差 e?* rf(x)?f(x*)f(x*)?x* nx*?x*(x?x*) *x?x11*?r(x) 7、*nxn *代入?r(x)得数据，可取函数值f(x)相对误差限为： ?r(f(x)? *1*1?r(x)?0.005。 nn 二、（10分）设l0?x?，l1?x?，?,ln?x?是以x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，试证： k?0,?1,?(1) ?lj?0?xk?k?1,2,?n, ?0,j j?0?1?nxx?x,k?n?1;01n?n (2) 设p(x)为任意首项次数为1的(n?1)次多项式，则 p(x)?p(xj)lj?x?(x)， j?0n 其中?(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)。 k证明： （1）考虑函数f(x)?x（其中k?0,1,2,?,n8、?1），利用Lagrange插值余项公式有 f(n?1)(?) f(x)?Ln(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn) (n?1)! 即 f(n?1)(?)f(x)?xl?x?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)， (n?1)!j?0nkjj 其中?介于x，x0,x1,?,xn之间。 当k?0时，f(x)?1，f nk jj(n?1)(x)?0，于是由式得， f(n?1)(?) 1?xl?x?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?0 (n?1)!j?0 取x?0既得?xl?0?1； k jj j?0n 当k?1,2,?,n时，f(x)?xk，f knk jj(n?1)(x)?0，于是9、由式得， f(n?1)(?) x?xl?x?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?0 (n?1)!j?0 取x?0既得?xl?0?0； k jj j?0n n?1当k?n?1时，f(x)?x，f(n?1)(x)?(n?1)!，于是由式得， xn?1f(n?1)(?)?xl?x?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn) (n?1)!j?0nn?1jj kn?xl0?(?1)x0x1?xn。 ?jj j?0n取x?0既得 (n?1)(2) 若p(x)为任意首项次数为1的(n?1)次多项式，则p(x)?(n?1)!，则利用 Lagrange插值余项公式有 p(10、n?1)(?) p(x)?Ln(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn) (n?1)! 即p(x)?p(x j?0nj)lj?x?(x)。三、（15分）1、叙述3次样条的定义； 2、确定参数a、b、c、d、e的关系，使得函数s(x)是3次样条函数，其中 ?a(x?2)2?b(x?1)3,x?(?,1)?2x?1,3) s(x)?c(x?2), ?d(x?2)2?e(x?3)3,x?3,?)? 为了使函数s(x)满足条件 s(0)?26，s(1)?7，s(4)?25 求确定参数a、b、c、d、e的值。 解： 1、若函数s(x)在定义区间a,b（也可以是开区间）上二阶导数连续，且在在每个小区间11、xj,xj?1（?0,1,2,?,n）上是三次多项式，其中a?x0?x1?xn?b是给定的节点，则称s(x)是节点x0,x2,?,xn上的3次样条函数。 2、由 ?a(x?2)2?b(x?1)3,x?(?,1)?s(x)?c(x?2)2, x?1,3) ?d(x?2)2?e(x?3)3,x?3,?)? 可得 s(1)?s(1?0)?a,?s(3?0)?c, s(3)? s(1?0)?c,s(3?0)?d,? s?(1)?s?(1?0)?2a,?s?(3?0)?2c, s?(3)? ?s?(1?0)?2c,?s?(3?0)?2d, ?s?(1?0)?2a,?s?(3?0)?2c, s?(3)? 12、s?(1)?s(1?0)?2c,s(3?0)?2d,? 为了使函数s(x)是3次样条函数，当且仅当 a?c，c?d 即a?c?d，b，d可以任意取值。 为了使函数s(x)满足条件s(0)?26，s(1)?7，s(4)?25，根据上面推导过程，可得 ?s(0)?4a?b?26,?s(1)?a?7,? ?s(4)?4d?e?25,?结合a?c?d，可得 a?c?d?7，b?2，e?3。 四、（15分）设f(x)、g(x)?Ca,b，分别定义 （1）(f,g)? （2）(f,g)?baf?(x)g?(x)dx； ?b af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)； b问这两种定义是否构成内积？ 解：13、 （1）由(f,g)?af?(x)g?(x)dx结合定积分线性性，可得 (f,g)?(g,f)， (?f,g)?(f,g) ，其中?为常数， (f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)， 但不满足“(f,f)?0，当且仅当f?0时(f,f)?0”， （2）由(f,g)? 则，可得 (f,g)?(g,f)， (?f,g)?(f,g) ，其中?为常数， (f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)， 下面考察第4条“(f,f)?0，当且仅当f?0时(f,f)?0”。由于 b?af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)，结合定积分线性性和四则运算法 (f,f)?(f?(x)2dx?f2(a)14、， ab 当f?0时，则有 (f,f)? 反之，若(f,f)?0ab2dx?02?0； ?(f?(x)ab2dx?f2(a)?0，则必有f?0，即(f,g)?b af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a) 满足内积公理的四个条件，所以它构成内积。 五、（10分）确定参数a、b、c，构造下面积分公式，使其代数精度尽可能高，并指出其代数精度 ?h ?hf(x)dx?haf(0)?b(f(?h)?f(h)?c(f(?2h)?f(2h)。 解： 由于对称性，上述积分公式对于奇次幂函数显然成立。求积公式有三个待定参数，即a、b、c，将f(x)?1,x2,x4，分别代入求积公式，令其左右相等，拟解得三个15、待定参数。 设积分公式对f(x)?1成立，得 ha?1?b(1?1)?c(1?1)?2h 即 a?2b?2c?2； 类似，设积分公式对f(x)?x2成立，得 b?4c? 设积分公式对f(x)?x4成立，得 b?16c? 解联立方程组 1； 31。 5 a?2b?2c?2, 1 b?4c?, 31b?16c?,5 1921得a?，b?，c?，于是积分公式为 154590 ?h ?h21?19?f(x)dx?h?f(0)?(f(?h)?f(h)?(f(?2h)?f(2h)?。 4590?15? 56对于f(x)?x积分公式显然成立。对于f(x)?x， 2h7 左边=?xdx?， ?h7h6 右边=16、h?21?19?f(0)?(f(?h)?f(h)?(f(?2h)?f(2h)? 4590?15?篇三：硕士生数值分析试卷答案2021 湖北工业大学 2021级硕士学位研究生试题 科目代号 考试时间 2021.12.26上午8:30-10:30 科目名称 考试地点 2-007;2-008 数值分析 1、答案请写在答题纸上，在此试卷上答题无效。 2、允许使用计算器 一、填空题（每小题2分，共20分） (1) 设x的相对误差为2%，则x的相对误差是(2) 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)，则差商fx0,x1，fx0,x1,x2(3) 设lj(x)(j?0,1,2?n)是n次拉格朗日17、插值多项式的插值基函数，xj为互异节点，则 n ?l(x)?(x jj?0 nn j ?x)klj(x)?. b j?0 (4) 插值型求积公式. ? b a f(x)dx?Akf(xk)的求积系数Ak? k?0 n ?l(x)dx,k?0,1,?,n，至少具有 ak (5) 梯形求积公式具有,辛普生求积公式具有次代数精度. (6) 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、. (7) 非线性方程f(x)=0的牛顿迭代格式为xn?1?xn?处是2 阶收敛，在重根处是1 阶收敛. (8) .设A? f(xn)f(xn) 使用该迭代格式在单根(n?0,1,2,?)， ?0.60.5? ?，则A?= ，A118、= . 0.10.3? (9) 已知实对称矩阵的全部特征值为?1,?2,?,?n, 则条件数Cond2(A)= ?max . ?min (10) 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是?(B)1. 二、(10分) 取的6位有效数9. 94987，则以下两种算法各有几位有效数字？(要误差分析过程， 不要直接计算的结果！) 110?99?10?9.94987?0.05013 ? 111 ?0.0501256399? ? 10?9910?9.9498719.94987 解：记x?99,x*?9.9419、987,e(x)?x?x*，则 e(x)? 由e(10?x)?e(x)得 1 ?10?5 2 e(10?x)?e(x)? 因而算式? 1 ?10?5 2 10?99?10?9.94987?0.05013 至少具有4位有效数字. 又由 e(10?x)e(x)?1? e?22 10?x(10?x)(10?x)? 得 1 ?10?5 e(x)?1?7e?0.1256?10 ?22 (10?9.94987)?10?x?(10?x) 因而算式? 111 ?0.0501256399? 10?10?9.9498719.94987 至少具有7位有效数字. 三、(10分)求经过A(0，1)，B(1，2)，C(220、，3)三个样点的插值多项式. 解：由Lagrange插值公式得 ?2x?xj? ?ykL2(x)?k?0?j?0,j?kxk?xj? (x?1)(x?2)(x?0)(x?2)(x?0)(x?1)?1?2?3 (0?1)(0?2)(1?0)(1?2)(2?0)(2?1)?x?1. 2 四、(10分) 设M2?span1,x2，试在M2中求f(x)?x在区间-1，1上的最佳平方逼近元. 2解：设?0(x)?1,?1(x)?x2，则f(x)在M2中的最佳平方逼近多项式为 P(x)?a0?0(x)?a1?1(x) 则有如下正则方程组 ?(?0,?0)(?0,?1)?a0?(?0,f)?a?(?,f)?21、 ?(?,?)(?,?)? 11?1?1?10 即 ?2?2?3 解得a0? 2? ?a?1?03?1? ?2?a1? ?2? 5? 315,a1? 1616 3152 ?x. 1616 故最佳平方逼近多项式为P(x)? 五、(10分)给定求积公式 ? 1 f(x)dx?Af(0)?Bf(0.5)?Cf?(0)，试确定A,B,C，使其代数精度尽 可能的高，并指明此时求积公式的代数精度,然后估计求积公式的误差. 解：分别将f(x)?1,x,x2，代入求积公式，可得 1? ?A?B?01?dx?1,?11?B?C?xdx?, ?0 2?1 ?B?x2dx?1. ?0?3? 解得A? 211 ,B?22、,C?，求积公式为 336 ? 3 1 f(x)dx? 211 f(0)?f(0.5)?f?(0). 336 令f(x)?x时求积公式不精确成立，从而精度为2. 3 由于此求积公式的代数精度为2，故余项表示式为Rf?Kf?(?),令f(x)?x，得f?(?)?3!, 于是 111?2? Kf?(?)?x3dx?f(0)?f(0.5)?f?(0)?, 036?3? 从而 K? 1?13111?2? ?0xdx?f(0)?f(0.5)?f?(0)?. 3!?3672?3? 3 故得Rf? 1 f?(?),?(0,1). 72 六、(10分)证明解y?f(x,y)的梯形格式 h yn?1?yn?f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1) 2 是二阶的，并求出局部截断误差的主项. 证：局部截断误差为 Tn?1?y(xn?1)?y(xn)? h f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1) 2 h2h3h ?hy?(xn)?y?(xn)?y?(xn)?y?(xn)?y?(xn?1)?O(h4) 23!2 h2h3hh2 ?hy?(}