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酷炫动图（四）：更多的数学
傅里叶 分形 黄金分割率 黄金律 黄金比例 三角函数 迭代
本文作者:Ent
上期我们用了很多篇幅谈论三角函数，但是说三角函数怎么好意思不提那套著名的傅里叶变换图呢？
变身吧傅里叶
不，不是变成夜礼服。
图片作者：LucasVB
和某些公然嘲笑应用的数学家不同，傅里叶特别重视应用领域，而他的傅里叶变换也不负众望成了工程和物理领域里最重要的数学公式之一。
这里展示的傅里叶变换（的三角函数形式）的基本原理是，多个正余弦波叠加（蓝色）可以用来近似任何一个原始的周期函数（红色）。这样近似的效果有点像称量的砝码：不管你原物的质量多奇怪，我总能化归成“5个1斤砝码、3个1两砝码”这样几个基本单位之和。上图末尾处蓝色的竖线就可以想象成“我用了5个1号波、3个2号波”等等。这在计算上多省事儿、处理上多方便就不用说了……
几个傅里叶分解实例，用波叠加出分段函数。图片作者：LucasVB
当然傅里叶分解的好处和用法远不止这些，但那就是一本书的篇幅了。打住。
如果你还记得酷炫动图中讨论过的圆和三角函数之间的密切联系，那你也能看懂下面这张图：
图片作者：Matthew Henderson
大地上的河流
图片来源：google
图片作者可能是blog.matthen.com
Hello？走错片场了吧？标题写的是数学啊？
没有错，这是数学里诸多脑洞大开的定理之一：平原上的河流，从源头到出海口的干流总长度（蓝线）和源头到出海口之间的直线距离（红线）的比值，平均而言比3大一点儿。更准确地说，这个比值应当趋近于π。
图中所示是秘鲁艾尔·西拉保护区里的一条河流，虽然因为地形和时间尺度原因，其比值更接近于2.5，不过意思大家已经看到了。
但是这真的是数学！因为河流的自组织过程很容易形成分形。
一条完美的笔直河流是平衡的，但这是不稳定的平衡。现实中的河流总会因为各种原因而有所弯曲，一旦河道打弯，弯道内侧和外侧的水流速度就会出现差异，外侧遭到冲刷，而内侧则发生沉积。久而久之弯曲会越来越大，最终河道裁弯取直形成牛轭湖，开始新的循环。
而1996年《科学》上的一篇论文认为，对于平原上的河流，这一过程的临界态是可以用分形来描述的。下面两张图是作者汉斯-亨里克·斯托罗姆（Hans-Henrik Stolum）用纯粹的数学公式推演出来的河流演化，可以和上图对比一下。
无限的黄金（率）
图片作者：LucasVB
这个φ不是别的，就是黄金分割率那个1.618了。当然如果你喜欢0.618，把前面的1去掉就是。
常用的黄金分割表达方式是，但是有一个有趣的连分数表达式，就是上面那张停不下来的动图。
当然实际中我们没法无穷地这么除下去……用这个连分数迭代来近似黄金比例的话，误差程度是：
图片来源：wikipedia
还不错嘛。
为什么这个连分数无限迭代下去可以用来算黄金率？注意它的格式：x = 1 + 1/x
而黄金率的定义你还记得吗？在下图中，如果 （a + b）/a = a/b ，那么这个比值就是黄金律。
图片来源：wikipedia
如果我们令 a/b = φ，那么上式就立刻化简成了
如果你学过相关的迭代法求近似解理论，现在应该已经在颔首微笑了。如果没有，那么想着“这两个式子形式完全一样肯定有什么关联”就好……
本期的动图大部分依然来自LucasVB，不过也出现了blog.matthen.com，下期他的戏份会更多。
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引用文章内容：变身吧傅里叶 不，不是变成夜礼服。你找我？
第二天，新生代英雄Sinc应邀来到Gauss家。Gauss对他说，他考虑要退休了，要Sinc来当这个镇长。Gauss是大家心中典范的functian，有诸多美好的品质，比如转身也没变化（也有人说这不好），比如方差给定时熵最大。就像圆形是平面国Flatland里当之无愧的国王一样，Gauss也是Functia当之无愧的镇长。他要退休，这怎么让人接受呢？Gauss看着外面，对Sinc娓娓道来，“很久以前我也和大伙一样，有这样那样的特点和缺点，身上有点不连续啊，有点不可导之类的地方。这其实也没什么，人人都是这样的。后来我找到了一本古书，其中记载了乘积魔法，以及用它来卷积的方法。虽然知道这是很危险的招数，但是我还是好奇的在我自己身上试验，一次一次的对着镜子和自己卷积。最终的结果，经过数不清的试验，我就变成了现在的样子，得到了很多崇拜，也凭着许多知识当了镇长。其实我并非天生特别……可是你知道未来会变成什么样的么？”“未来？”这个词Sinc自然是懂得的，但却从没想过。因为Functia的生活如此悠闲自在，没人需要真正希望以后会 变 成 什么其他的样子。“未来，将会有一天，怪物Comb将会再次来袭。那时候，每一个连续的functian都会被采样，变成尖刺组成的形状，转身后的样子都会是一个无穷长的队列。不仅如此，这个无穷长的队列还会再次被采样，所以在原来的方向上，尖刺组成的形状也会被复制无数份排列起来。这样无论从那个角度看，就都是无数个尖刺了，还反复周期性得排列起来，而人们只关心我们在一个周期内的样子……”Sinc虽然不能完全理解，但也实在听不下去了，这就是我们functians的未来么？我们都会变成Comb那种鬼样子？“但是只要你Sinc还在，我们就还有希望……你是一把钥匙，只要你去使用乘积，卷积的魔法，我们的原形就能恢复。许多人都能做类似的事，Trapez，Bessel，Butterworth，甚至我也可以，但是谁的天赋都没有你好，毕竟你是一个理想的滤波器啊……所以你可以照顾好Functia所有的人，渡过那段黑暗无比的 离散化 的未来。这股浪潮一来，我这个Gauss的身躯就是一点用都没有了啊，所以我想让你当镇长……”Sinc从没想过自己或是傻而方的身体，或是上下翻腾的衣角有这么重要的使命，“能拯救所有被采样的functian？”但是想想可怕的怪物Comb，想想Gauss的话“将会有一天，每一个连续的functian都会被采样”，感到能维持或者恢复现在和睦的生活，对任何人，都是最好的事情。其实他心里还是更想让Gauss在位，因为Gauss几乎成了这安宁生活的一个象征，而自己上任，其实意味着灾难和拯救。当天下午进行了全体functian投票。新英雄Sinc全票当选镇长，他是唯一的候选人。（完）
数学战五渣路过。。。
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全部评论(56)
数学战五渣路过。。。
软件工程师，应用数学专业
河流和π，天啦！！
果壳网副主编
进阶的，果然难了……看不懂的渣渣默默走了。
引用文章内容：变身吧傅里叶 不，不是变成夜礼服。你找我？
就像提到泰勒就能想起洛朗一样，提到傅里叶变换，就能想起另一个拉布拉多变换。我知道很多人没找到笑点在哪里。。。
数学家很牛
高考数学才考完。。
引用 的话：就像提到泰勒就能想起洛朗一样，提到傅里叶变换，就能想起另一个拉布拉多变换。我知道很多人没找到笑点在哪里。。。呃……略冷……
靠！我终于在大学毕业工作很久了，搞懂傅里叶变换是咋回事了！呜呜呜呜......................
数学太优美了。
妈的我也要学数学装逼
图作得比较精致
数学真牛！
这个φ不是别的，就是黄金分割率那个1.618了。当然如果你喜欢0.618，把前面的1去掉就是。
好赞的感觉啊
河流那个好神奇
我回忆起了那令人恐惧的尖叫的傅里叶级数
引用 的话：就像提到泰勒就能想起洛朗一样，提到傅里叶变换，就能想起另一个拉布拉多变换。我知道很多人没找到笑点在哪里。。。你妹的拉不拉屎变换。
傅里叶变换那个，想起来SMTH上一个强文：原创作者:schumaFunctia(1)有一个安静的小镇，名叫Functia，镇上的居民被人称作functian。这其中一个普通的居民叫Sinc，至少邻居们这么称呼他。他的样子嘛，顾名思义，有个圆滚滚的头，没有脖子和腰，像一个酒盅扣在地上。衣服在旁边的地上拖得很长，像水的波纹一样。他在路上走的时候，有时候被人上下打量，然后被人认出来， “哎，这不是正弦函数除以自变量本身么？听人提起过你啊。”然后他就会很高兴的回答，“管我叫Sinc好了。”于是别人就管他叫Sinc，其实谁也不知道那个C是什么意思。Sinc爱种花，在自己的院子里种。他不想让随便什么人进来弄坏他的小花园，所以就修了一个门。这个门，其实并没有门扇，只是墙的一个缺口而已。Sinc回家的时候，不能直接进门——因为他的衣服拖得很长。到了门口，他会一转身，变一个样子，变成矩形... 好，Sinc会变成矩形。整个变形一转身就完成了，他根本不用想积分之类的东西，这是写到他基因里面的。变成矩形以后，很容易就可以进到门里去。要是他愿意的话，再转身变成原来的样子。实际上哪种样子他都能舒服的呆着。这件事也不是秘密，因为稍微熟识Sinc的人都知道，他的全名叫Sincus Rectanguli。其实这种转身动作，镇上每个functian都会。镇外的人管它叫傅立叶转身。但是其实人们也知道，傅立叶本人并不会这种魔术。Sinc最要好的朋友叫Lambda，从一边看是一个三角形Λ，从另一边看跟Sinc样子差不多，只是更瘦一点。也许他们长得差不多所以关系好吧。Lambda也能进到 Sinc的院门里，只要他用三角形的一面对着门。有传言说Lambda是Sinc的孩子，一种说法说Sinc变成矩形的样子，用叫“卷积”的魔法制造了 Lambda；另一种说法说Sinc会做“乘积”，于是产生了Lambda。也不知道哪种说法更可信。不过镇上的元老们的解释是，这些都是假的，因为不管卷积还是乘积都是神话时代才有的魔法。要是这种魔法现在还有人会的话，这个世界就全乱套了。说起元老们，首先还得提到镇长，叫Gauss。它很胖，穿着宽大的袍子。镇上没有人比他更老了，也没有人比他的威信更高。他似乎什么都懂，每次他咳嗽两下开始说话，其他的functians都安静的听。小镇最高的房子上有一个钟楼，据说那口钟也是他的雕像。Sinc对Gauss也很景仰，同时，敬而远之。Sinc对自己院子的门感到很得意，因为Gauss不管怎么摆弄他的肥胖的身躯，都进不了那个门。这样Gauss就不会常常来串门，指手画脚了。Gauss的转身功夫实在是有点差劲。他一转身，无非就是从矮胖变得稍微瘦高，但是袍子总在脚边拖着。有人说这个袍子是他元老的象征，是不会消失的。顺便说一句，Functia里的人，有时候见到美味吃的太多，变胖了以后，并不担心，即使女生们也不担心——她们只要一转身，就变得甚至比先前更瘦了。所以胖瘦大家并不在意。Gauss以前宣布过一个“海森堡减肥无用原理”，说就算你减肥了，一转身准保变胖。其实这个道理大家心里都有数，Gauss 说这个只不过是为了反驳某些人说他胖而已。Gauss也有个密友，叫Sech，也成天穿着件袍子，比Gauss瘦一点点，但是拖在地上的衣服厚一些。人们见到的Sech也总是保持一个样子，其实许多人不知道Sech转身以后样子也还是没变化，这点倒是跟Gauss很一样。不用说，因为那件不肯摘掉的袍子，他也进不了Sinc的花园。许多人觉得Sech和Gauss条件很接近，完全有资格当镇长，但Sech一直比较低调，也许是碍于面子，从不提这码事。人们只是见Sech经常跑到海滩上去冲浪，他在水面上划过，活像一个孤立子。镇上还有好多村民，一个长得很像Sinc的人叫Bessel。Gauss曾说，她的名字起的有点问题，说她是一阶Bessel函数除以自变量本身，就像Sinc不能叫Sin一样，她也不应该叫Bessel。不管怎么说，Bessel还是一个响亮的名字。她一转身会变成一个精确的半圆形，扣在地上的样子。有人说这个样子很完美，有些人说像乌龟。但终归她这样可以去Sinc家玩，所以她也是Sinc的常客。一个叫Trapez的人，样子普通，也穿着花边衣服，转身后变成一个梯形的样子。他之所以出名是因为他的职业，他是个旅行家，经常带照片回来给大家分享。他讲的外面的世界的故事也是人们最喜欢听的。虽然有那么两个阶层，元老和村民，但functians都和睦的生活着。直到有一天，长久的平静被打破了
Functia(2)有一天，Functia镇上的居民正在广场上闲聊，外出旅行的Trapez回来了。远远看见他回来大家都很兴奋。他是以梯形的样子回来的，否则要是他转过身去，很难在远处把它和Sinc区分开。但当他走近的时候，functians心中却产生了恐惧。因为那根本就不是原来的Trapez了，他 受 伤了。他原本很健康很连续的梯形身体，变成了仿佛许多竖直的尖刺排列而成的一个梯形。以往他每次一回来总是被大家围起来问长问短，这一次，从另一个角度看他的人惊奇的发现，他的形状不再是像Sinc那样一个身体加上周围的拖地衣服，而是有许多个同样的身体排成一个长队，像是用叠起来的纸剪出来的人形拉花，队伍的长度都让人看不到尽头。这种事情，functians从没见过，因为所有的镇子里所有人的身体都是有限大的，这个看不到头的队伍算是什么？他简直已经不是这个叫做INTEGRABLE的星球上的生物，而是外星人了！Trapez自己也说不清为什么会这样，只是说在树林里走路，突然被人从背后猛然推倒了，起来就变成这幅样子了。出现怪事，要找Gauss。很快Gauss扭动着肥胖的身躯从图书馆里赶来。他端详了一会儿受伤的Trapez，幽幽的说，“你，被采样了……”采样这个字眼，居民们都没听说过。他们并不介意听到一个新词，因为镇长Gauss常用一些没人认识的词说一些大家都知道的事，他毕竟同时是一个哲学家。这次不对劲的是，Gauss说完这话就在闷头想什么事情，这和他一贯高调做事的风格不符。之后Gauss走到Sinc跟前低声说了一句话就走了。 Gauss叫Sinc去他家。然而Sinc不想一个人去，倒不是怕Gauss亏待他：因为Gauss有长长的衣角，他家连门都没有，应该说，连墙都没有，只是一块空地而已，否则他回不了家。这对来做客的人来说很安全，只是Sinc觉得和Gauss这样的前辈呆在一起并不自在。于是他叫上了好友Bessel 一同前往，这样就感觉舒服很多了。到了Gauss家所在的那块草地上，Gauss对Sinc说，“麻烦来了……”随即从书架上拿下一本金边皮制封皮的大书。
居民们还在广场上讨论Trapez的伤势，这时候有人从城边跑来说，外面来了怪物，于是Sech和另外几个人爬上钟楼眺望。往Functia镇移动而来的是一个像栅栏一样的东西，无数一模一样的尖刺排成一排，两边都无穷无尽。这样一个栅栏居然整个缓缓的移动而来。Sech跟人们一描述， Trapez立刻回想起在自己摔倒以后，见到了类似的东西，它非常危险。镇上有个叫Laplace的家伙很有责任心，听说有人要来攻打，便头也没回就往小镇外走去。他是镇上最强壮的人，有个尖脑袋，左右两个手臂是指数衰减的，比Gauss那种指数平方衰减的袍子可是粗壮了很多。他这个体型被搞概率学家称为Laplace分布，所以得到这个绰号。如果他转过身来，虽然脑袋变得圆了一些，但是手臂更粗壮，达到平方分之一的多项式量级！每当有危险的时候，Laplace总是冲在前面，这让所有functians都感到放心。可这次让Laplace没想到的是，那个怪物栅栏是会魔法的。他刚接近怪物，就一下也变成了尖刺排列的形状，只是尖刺的长度还是原来身体的形状。他像 Trapez一样，也被“采样”了。最强壮的人都抵挡不住，难道这个尖刺军团要让所有的村民都面目全非么？有居民想，也许从另一个角度可以看到怪物转身后的样子，只要别是这种栅栏形，怎么都好说。可是Sech从钟楼眺望，发现即使换个角度看，这个怪物还是同样的形状。它竟然和Gauss，Sech一样，是个转身也不变的家伙！没有弱点，不能攻破。与此同时Gauss还在家里和Sinc，Bessel谈话。Gauss对着书说，“马上会有一个叫Comb的怪物来了，他学名叫Dirac Array，是Dirac Delta异化，也就是，复制好多份的结果……很久以前这个Dirac Delta曾经作乱，用乘积魔法把别人也变得和他一样……”Sinc问，“等等，你是说乘积魔法真的存在？”Gauss答道，“的确存在啊，只是因为破坏力太大，所以不使用这个魔法已经演化为一种道德，被人们无条件的接受了……Dirac Delta的魔法威力虽然很大，但是他本人的弱点也很明显，就是只要他转身，或者人们绕到他另一侧，就会发现他变成了一个平坦的常函数模样，无论他怎么使用乘积魔法也没有效果了。所以那次作乱事件，Dirac Delta只能偷袭别人……现在他可能是和许多受害者——被变成和他一样的人——融为一体，形成了一个梳子形状，所以就算他转身，也逃不过他的魔爪……”听到这里，Sinc绝望了，广场上也传来了嘈杂的声音，那是Sech在跟大家描述那只怪物。Gauss继续说，“有些人管Comb施乘积魔法叫采样。Sinc你知道么，也有一些人管你叫采样函数……”“吓，莫非我和这个怪物有什么关系？”“的确是的，因为如果你能放出乘积魔法的话，你可以干掉这个怪物……你看你的样子，你拖在地上的衣服，在某些位置是没有的。调整好这些等间距的零点的话，恰好可以把Comb的尖刺和零点对准，然后用乘积一网打尽。只剩下中间一个尖刺，它是你的脑袋的位置，没法消除。不过这样的结果就是让Comb 从Dirac阵列还原成了Dirac Delta本身，然后人们就可以容易的回避他了……”尽管Gauss的话太学术了，不过到了紧要关头，Sinc和Bessel也只能忍耐一下这枯燥而准确的语言。Sinc咽了一下口水，我原来有这个使命，还是命中注定圣战中的the one，心里紧张啊。Bessel也觉得Sinc这个行动太危险了，万一没对准反被Comb搞定的话还不如逃命。Bessel瞅着Sinc，对Gauss说，“让我上，我的模样和Sinc很像的。”Gauss说，“唉，钦佩你的勇气，但是遗憾的是，Bessel小姐，你的零点并不是等间距的，没法一下把Comb这个可恶的怪物消灭。”Sinc还是很疑惑，“究竟谁会使用这个早已失传的乘积魔法呢？”“难道你不会么？到这个时候就别隐瞒了啊，不是有不少人说你……”“虽然有流言，但那是瞎话，我一点也不信呢。这可怎么办，书里写了怎么用么？”Gauss眼中一亮“而我的确会啊……我教给你……”镇长，胖归胖，看来的确是有些手段的……就这样，镇长把魔法的咒语和要领教给了Sinc，然后和Bessel一起仔细丈量调整Sinc的衣服，也就是零点的位置。当调整到没有任何误差后，Bessel给了Sinc最好的祝福。
Functia (3)Functia处在前所未有的危机中，Sinc在Gauss的指导下担负起了降伏Comb这个尖刺军团怪物的重任，即将出征。正当他们转身要走时，只见Sinc的好友Lambda在Gauss家外的小路上，也正要匆匆离去。原来Lambda跟着他们一起来，听到了乘积魔法的使用方法。而且他自己的零点，和Sinc是一模一样的，所以他自己调整尺寸以后要代替好友去迎敌了。Sinc看到Lambda的衣服如自己一样前所未有的整齐，就知道事情不妙，要追赶已经来不及，Lambda一溜烟跑远了，毕竟Lambda比Sinc瘦一点。据说Lambda快速跑动的时候，另一面的人看到他三角形的一面，相位在极速变化。镇上的居民们看见Lambda冲向了逼近小镇的怪物Comb，边奔跑边对准，边准备念咒语施魔法。Comb其实也在准备施魔法了，只是因为他的身体只有尖刺，所以看不到他念咒语的样子。就在他们相遇的刹那，“MULTIPLICARE！”两人同时喊出咒语用出了魔法。结果，真的相乘了，由于两人的魔法都生效，他们融为一体，只剩下一个乘积functian。乘积就是Dirac Delta，一根尖刺，光杆一根！Lambda成功把一个阵列还原成了一根尖刺了。Delta看到自己的模样，多少年的功夫全都白费，关键还是见到有人也使出了乘积魔法，不禁怒气冲天，独自像小镇冲来。这显然已经是不理智的举动了，因为他虽然头仍然很尖，杀伤范围却也很小，而且现在不是偷袭了。这回正赶上Sinc在路上等他，Delta冲过来，Sinc侧身变成矩形闪过他。Delta反到把自己常函数的一面暴露出来，“MULTIPLICARE！”Sinc立刻使用乘积魔法，一道光闪过，Delta也被变成了矩形的模样，和Sinc一模一样。Delta没了尖头，仿佛老虎被拔掉了牙齿，立刻失去了斗志。居民一拥而上，Delta还没来得及念咒语就被制服了。敌人被消灭了，可是Lambda和Comb融为一体成为新的Delta，旅行家Trapez和大力士Laplace都受伤了。该怎么办呢？Gauss又出来指挥，要让Sinc帮忙了。Sinc变成了矩形，调整好尺寸，对着Trapez的侧面，就是那个像人形拉花的无穷的队伍使出乘积魔法，滤掉了所有的副本，只剩下原本的一个身体，这样Trapez基本上就恢复了原来的样子。唯一的缺憾是Trapez那个形态原本无限长的衣角被滤掉，造成了一点影响，梯形的样子也不是完美的梯形了，有点像笔挺的衣服被弄皱了。接着Sinc对Laplace做了同样的治疗，使他也基本复原。最后面对已经变成矩形的Delta，他其实是恶魔Comb和好友Lambda的融合体，Sinc还希望做点什么。Gauss建议他用两个矩形卷积来恢复Lambda的三角形外貌。Sinc说，“好吧，我也希望能这样。你一定也会卷积魔法吧，肯教给我么？”Gauss笑道“你是镇上的英雄了，我怎么可能不肯教给你。但是你实际上已经会了啊，只要先转身，再乘积，然后再转身就是卷积魔法了啊……”“原来是这样！”Sinc这样做了，他又看到了Lambda的三角脑袋。Delta的意志似乎已经从那个躯壳中淡出，Lambda在好友Sinc的反复操作下控制住了这个身体。至此，一切问题都被解决了，友谊万岁。
第二天，新生代英雄Sinc应邀来到Gauss家。Gauss对他说，他考虑要退休了，要Sinc来当这个镇长。Gauss是大家心中典范的functian，有诸多美好的品质，比如转身也没变化（也有人说这不好），比如方差给定时熵最大。就像圆形是平面国Flatland里当之无愧的国王一样，Gauss也是Functia当之无愧的镇长。他要退休，这怎么让人接受呢？Gauss看着外面，对Sinc娓娓道来，“很久以前我也和大伙一样，有这样那样的特点和缺点，身上有点不连续啊，有点不可导之类的地方。这其实也没什么，人人都是这样的。后来我找到了一本古书，其中记载了乘积魔法，以及用它来卷积的方法。虽然知道这是很危险的招数，但是我还是好奇的在我自己身上试验，一次一次的对着镜子和自己卷积。最终的结果，经过数不清的试验，我就变成了现在的样子，得到了很多崇拜，也凭着许多知识当了镇长。其实我并非天生特别……可是你知道未来会变成什么样的么？”“未来？”这个词Sinc自然是懂得的，但却从没想过。因为Functia的生活如此悠闲自在，没人需要真正希望以后会 变 成 什么其他的样子。“未来，将会有一天，怪物Comb将会再次来袭。那时候，每一个连续的functian都会被采样，变成尖刺组成的形状，转身后的样子都会是一个无穷长的队列。不仅如此，这个无穷长的队列还会再次被采样，所以在原来的方向上，尖刺组成的形状也会被复制无数份排列起来。这样无论从那个角度看，就都是无数个尖刺了，还反复周期性得排列起来，而人们只关心我们在一个周期内的样子……”Sinc虽然不能完全理解，但也实在听不下去了，这就是我们functians的未来么？我们都会变成Comb那种鬼样子？“但是只要你Sinc还在，我们就还有希望……你是一把钥匙，只要你去使用乘积，卷积的魔法，我们的原形就能恢复。许多人都能做类似的事，Trapez，Bessel，Butterworth，甚至我也可以，但是谁的天赋都没有你好，毕竟你是一个理想的滤波器啊……所以你可以照顾好Functia所有的人，渡过那段黑暗无比的 离散化 的未来。这股浪潮一来，我这个Gauss的身躯就是一点用都没有了啊，所以我想让你当镇长……”Sinc从没想过自己或是傻而方的身体，或是上下翻腾的衣角有这么重要的使命，“能拯救所有被采样的functian？”但是想想可怕的怪物Comb，想想Gauss的话“将会有一天，每一个连续的functian都会被采样”，感到能维持或者恢复现在和睦的生活，对任何人，都是最好的事情。其实他心里还是更想让Gauss在位，因为Gauss几乎成了这安宁生活的一个象征，而自己上任，其实意味着灾难和拯救。当天下午进行了全体functian投票。新英雄Sinc全票当选镇长，他是唯一的候选人。（完）
引用 的话：第二天，新生代英雄Sinc应邀来到Gauss家。Gauss对他说，他考虑要退休了，要Sinc来当这个镇长。Gauss是大家心中典范的functian，有诸多美好的品质，比如转身也没变化（也有人说这不好...我竟然看完了。。。
傅里叶真的有那么重要么，还没学呢，就被它吓怕了。。。
看了这贴····觉得大学里面教数学的老师们都是aho~
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