第十一章期权定价模型；【学习目标】；本章是期权部分的重点内容之一；自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来；第一节Black-Scholes期权定价模型；一、Black-Scholes期权定价模型的假设；Black-Scholes期权定价模型的七个假设；1.期权标的资产为一风险资产（Black-Sch；dS??dt??dzS；其中，dS为股票价格瞬时
第十一章 期权定价模型
【学习目标】
本章是期权部分的重点内容之一。本章主要介绍了著名的Black-Scholes期权定价模型和由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型，并对其经济理解和应用进行了进一步的讲解。学习完本章，读者应能掌握Black-Scholes期权定价公式及其基本运用，掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。
自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black和Myron Scholes发表《期权定价与公司负债》1一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型。在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨2。
第一节 Black-Scholes期权定价模型
一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件
Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：
1. 期权标的资产为一风险资产（Black-Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动3，即
dS??dt??dz
其中，dS为股票价格瞬时变化值，dt为极短瞬间的时间变化值，dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dz??dt，称为标准布朗运动，?代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），?为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），?则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。?和?都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化?，被称为漂移率，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即?dz，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1和2，意味着标的资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。 1 Black, F., and Scholes (1973) “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy, 81( May-June), p. 637-659
2 从本书难度的设定出发，本章只介绍期权定价模型的基本内容及其理解，而不具体推导模型，更深入的内容可参见郑振龙. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 2003. 第六章
3 有关股票价格及其衍生证券所遵循的随机过程的详细信息，可参见郑振龙. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 页-121页
3. 没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。综合2和3，意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．期权为欧式看涨期权，其执行价格为X，当前时刻为t，到期时刻为T。
7．不存在无风险套利机会。
二、Black-Scholes期权定价模型
（一）Black-Scholes期权定价公式
在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：
?f?f122?2f?rS??S?rf
（11.1） 2?t2?S?S
其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过解这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：
c?SN(d1)?Xe?r(T?t)N(d2)
d1?ln(S/X)?(r??2/2)(T?t)
??t 2ln(S/X)?(r??/2)(T?t)d2??d1???t??t
c为无收益资产欧式看涨期权价格；N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有N(?x)?1?N(x)。
（二）Black-Scholes期权定价公式的理解
1.期权价格的影响因素
首先，让我们将Black-Scholes期权定价公式与第十章中分析的期权价格的影响因素联系起来。在第十章中，我们已经得知期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价格、波动率、无风险利率、到期时间和现金收益。在式（11.2）中，除了由于我们假设标的资产无现金收益之外，其他几个参数都包括在内，且影响方向与前文分析的一致。
2.风险中性定价原理
其次我们要谈到一个对于衍生产品定价非常重要的原理：风险中性定价原理。观察式（11.2），以及第十章中的期权价格影响因素分析，我们可以注意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。即在第一节我们描述标的资产价格所遵循的几何布朗运动时曾经出现过的预期收益率?在期权定价公式中消失了。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一个很大的好消息。因为迄今为止，人们仍然没有找到计算证券预期收益率的确定方法。期权价格与?的无关性，显然大大降低了期权定价的难度和不确定性。
进一步考虑，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率?并未包括在期权的价值决定公式中，公式中出现的变量为标的证券当前市价（S）、执行价格（X）、时间（t）、证券价格的波动率（?）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观变量――风险收益偏好。既然主观风险偏好对期权价格没有
影响，这使得我们可以利用Black-Scholes期权定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：
在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”），所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。
应该注意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和?单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（11?－0.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9?元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的?值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：
11?－0.5=9?
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为：
2.25e?0.1?0.25?2.19元
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：
10?0.25?f?2.19 f?0.31元
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。
从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求：
10?e?0.1?0.25?[11P?9(1?P)]
P=62.66%。
又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：
10?e?0.15?0.25?[11P?9(1?P)]
P=69.11%。
可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31
3. 对期权定价公式的经济理解。
首先，从Black-Scholes期权定价模型自身的求解过程来看1，N(d2)实际上是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，因此，e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值，更朴素地说，可以看成期权可能带来的收入现值。SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值，可以看成期权持有者将来可能支付的价格的现值。因此整个欧式看涨期权公式就可以被看作期权未来期望回报的现值。 df，显然反映了标的资产变动一个很小的单位时，期权价格的变化量；或者说，dS
如果要避免标的资产价格变化给期权价格带来的影响，一个单位的看涨期权多头，就需要?单位的标的资（d1)?其次，??N产空头加以保值。事实上，我们在第十二章中将看到，??N（d1)是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。
最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。这是因为，对于一个资产或无价值看涨期权来说，如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额，根据前文对N(d2)和SN(d1)的分析，可以得出该期权的价值为e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)的结论；同样，对于（标准）现金或无价值看涨期权，如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付1元， 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为N(d2)，则1份现金或无价值看涨期权的现值为-e-r(T-t) N(d2)。
（三）Black-Scholes期权定价公式的拓展
1.无收益资产欧式看跌期权的定价公式
Black-Scholes期权定价模型给出的是无收益资产欧式看涨期权的定价公式，根据欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：
p?c?Xe?r(T?t)?S?Xe?r(T?t)N(?d2)?SN(?d1)
2. 无收益资产美式期权的定价公式
在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（11.2）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有得到一个精确的解析公式，但可以用数值方法以及解析近似方法求出。
3. 有收益资产期权的定价公式
到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收益可以准确地预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的欧式期权定价并不复杂。
在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。?表示风险部分遵循随机过程的波动率2，就可直接套用公式（11.2）和（11.3）1
2 Black-Scholes期权定价模型的具体推导过程参见郑振龙. 金融工程. 北京: 高等教育出版社, 页-133页 从理论上说,风险部分的波动率并不完全等于整个证券价格的的波动率,有风险部分的波动率近似等于整个证券价格波动率乘以S/(S－V)，这里V是红利现值。但在本书中，为了方便起见，我们假设两者是相等的。
分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（11.2）和（11.3）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将Se?q(T?t)代替式（11.2）和（11.3）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。在各种期权中，股票指数期权、外汇期权和期货期权的标的资产可以看作支付连续红利率，因而它们适用于这一定价公式。具体的内容，我们将在第十三章深入阐述。
另外，对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能，我们无法得到精确的解析解，仍然需要用数值方法以及解析近似方法求出。
三、Black-Scholes期权定价公式的计算
（一） Black-Scholes期权定价模型的参数
我们已经知道，Black-Scholes期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。
1. 估计无风险利率
在发达的金融市场上，很容易获得对无风险利率的估计值。但是在实际应用的时候仍然需要注意几个问题。首先，我们需要选择正确的利率。一般来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值。由于美国国库券所报出的利率通常为贴现率（即利息占票面价值的比例），因此需要转化为通常的利率，并且用连续复利的方式表达出来，才可以在Black-Scholes公式中应用。其次，要小心地选择国库券的到期日。如果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率。
我们用一个例子来说明无风险利率的计算。假设一个还有84天到期的国库券，其买入报价为8.83，卖出报价为8.77。由于短期国库券市场报价为贴现率，我们可以推算出其中间报价对应的现金价格（面值为100美元）为
?8.83?8.77??84?P?100?TB?????97.947美元 2???360?
进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率：
er?T?t??100100?er?0.23??r?0.TB
2. 估计标的资产价格的波动率
估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难得多，也更为重要。正如第十章所述，估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。
（1） 历史波动率
所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。以股票价格为例，表11-1列出了计算股票价格波动率的一个简单说明。很显然，计算波动率的时候，我们运用了统计学中计算样本均值和标准差的简单方法。其中，Rt为股票价格百分比收益率，（或者为?）则为连续复利收益率
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Black-Scholes期权定价模型
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　　分红方法　　B-S-M模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。　　(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可：S′=S-DT·E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式：　　C=(S-·E-γT·N(D1)-L·E-γT·N(D2)　　(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004= 6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。　　在此红利现值为：S(1-E-δT)，所以S′=S·E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式：C=S·E-δT·N(D1)-L·E-γT·N(D2) & 产生影响　　自B-S-M模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S-M模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。 &发展状况　　B-S-M模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展B-S-M模型的角度出发，对之进行了扩展。 1977年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)、奇拉斯(chiras)、曼纳斯特(manuster)、麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：　　1。模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。　　2。对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。　　3。对临近到期日的期权的估价存在较大误差。　　4。离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。　　对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：　　首先，对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿(merton)?约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。　　其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：1。投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2。股票的可分性受具体情况制约；3。频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。　　再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。布莱克本人后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。有的学者(包括布莱克本人)曾想扩展布-肖模型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。　　此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息(d)的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布-肖模型即可。若是美国买方期权，情况稍微复杂。第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股价，距除息日的时间替代有效期限?股息调整后的执行价格(x-d)替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。
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期权就是选择权，期权的持有人在确定的时间、按确定的价格向出售方购销一定数量的基础资产，但他不承担必须购入（销售）的义务。 作为一种有效风险管理工具，期权日益活跃在现代金融市场中，其定价问题也一直是金融工程和数学金融学研究的重点之一。 期权定价问题的研究最早可以追溯到1900年，Bachelier在其博士论文中首次提出了股票价格的布朗运动假设并运用它来对欧式买权进行定价，然而模型中有几点与实际市场不符：股票价格可能为负、离到期日足够远的买权价格可能大于股票价格、股票的期望报酬为零。1969年著名经济学家Sanuelson与Merton合作，提出了把期权价格做为基础资产价格函数的观点，不过在1973年B-S模型提出之前大部分模型都没有实用价值。随着B-S公式的问世，金融市场也变得空前繁荣，刺激了大量的学者对期权的定价机制、方法、模型进行研究，本文从三个方面综述期权定价理论的发展。&&&&&& &&&&&& 期权定价的方法&&&&&& &&&&&& 无套利复制定价。这种方法主要归功于Black-Scholes(1973)、Moerton(1973)， 其基本原则就是无套利思想。在一个无套利的市场中，具有相同未来收益的资产组合应当具有相同的价格，通过构造一个投资组合使得其未来收益与未定权益(如期权)的未来收益相同。简单地说，构造一个就是复制该未定权益的投资组合，那么这个自筹资策略的初始成本就是期权当前的价值。Black-Scholes正是根据上述思路得到了描述期权价格变化的随机微分方程，即所谓的B-S方程，最终利用得到了期权定价模型的解析解，也就是著名的Black-Scholes公式，正是这个公式使Scholes与Moerton分享了1997年的诺贝尔经济学奖。&&&&&& 期权定价的鞅方法。尽管无套利复制定价取得了成功， 但是这种方法的基本支柱就是构造出一个复制期权的投资组合， 这在不完备的金融市场中往往不能实现， 现实金融市场通常是不完备的， 因而这种方法具有局限性。Cox 和Ross(1976)、Harrison和Kreps(1979)提出了期权定价的鞅方法，就是任何未定权益的价格都应当是其未来的折现收益在等价鞅测度下数学期望，通过利用数学工具求解该数学期望就可以得到期权的当前价值。在完全的市场中，等价鞅测度唯一， 利用鞅方法能够得到期权的唯一的无套利价格， 在B-S模型下这两种方法得到的期权价格完全相同。在实际交易时，往往通过市场数据首选择一个合理的等价鞅测度， 确定一个合理的实际交易价格。鞅方法的一个主要特点就是能够充分运用现有的数学工具来解决定价问题， 具有很大的精确性。&&&&&& 效用无差别定价(Utility Indifference Pricing)。1989年，Hodges 和Neuberger提出了效用无差别定价， 这是一种基于效用观点的针对不可达(即不可复制)未定权益的一种定价方法。未定权益的发行者是基于投资行为人从效用最优投资的观点来评估价格，具体可描述如下：设CT是T时刻的一个未定权益， 假定投资者有初始成本χ，定义。那么，效用无差别价格(叫价)就定义为。这种定价通过效用函数的选取充分考虑了投资者的兴趣偏好，与实际金融环境相吻合，然而得到的往往是一个期权价格必须满足的复杂积微分方程，很难求出具体的精确价格。&&&&&& Davis价格。设CT是T时刻的一个未定权益，表示自筹资策略，对于每个，表示初始成本为χ交易策略为π的投资组合在T的财富值，令U为效用函数，。对于δ，ρ，设。若方程的唯一解(如果存在的话)称为CT的Davis价格。&&&&&& &&&&&& 期权的定价模型&&&&&& &&&&&& Black-Scholes模型（B-S模型）。Black-Scholes模型是由Black和Scholes为推导欧式期权定价公式于1973年提出的。主要包含如下假设：险利率是常数，投资者可以自由借入和借出资金，且借、贷利率相同都为无风险利率；基础资产的价格变化为一几何布朗运动；基础资产不支付红利；没有买空卖空限制；没有交易费用。在上述模设下，Black和Scholes运用无套利思想得到了著名的期权定价公式B-S公式。正是在这一模型的基础上， 期权定价完成了从定性分析到定量分析的转变， 推动了金融衍生工具的发展， 丰富了风险管理的工具， 促进了金融市场的繁荣。尽管B-S模型取得了成功， 但是市场股票价格的尖峰、厚尾现象以及波动率微笑现象却无法用它给出一个完美的解释。为了解决这一现象，陆续有学者对其进行改进，提出了一些新的模型如O-U过程模型、标值点过程模型等。&&&&&& 二项式期权定价模型。又称二叉树模型，是由Cox、Ross和Rubinstein等人提出。研究者最初的动机是以该模型为基础， 为推导B-S模型提供一种比较简单和直观的方法。但随着研究的不断深入， 二项式模型不再仅仅是作为解释B-S模型的一种辅助工具，它已经成为建立复杂期权（如美式期权和变异期权）定价的基本手段。&&&&&& Merton跳扩散模型。由于B-S模型中股票价格呈现连续变化，而市场的真实情况是当有突发事件发生时， 股票的价格将不再是连续变化，往往呈现出跳的现象。为证实这一金融市场实际，&&Merton(1976)提出了如下的跳扩散模型：。&&&&&& 此外，还有KOU跳扩散模型。， 其中，Bt为布朗运动，Nt为强度是λ的泊松过程，Vi是独立同分布的随机变量。该模型是Kou 在2002年提出的，能够较好表述股票价格的尖峰、厚尾现象。&&&&&& 除了上述几种模型之外，还有O-U过程模型、一般跳扩散模型、随机波动率模型和ARCH模型、常弹性模型（Constant Elasticity Model），仿射随机波动率模型和仿射跳扩散模型、Levy过程模型、指数半鞅模型、一般半鞅模型等，这些模型都在一定程度上克服了B—S模型的不足。&&&&&& &&&&&& 期权定价理论展望&&&&&& &&&&&& 新型期权的设计问题，金融市场日新月异，在市场繁荣的背后隐藏着巨大的金融风险。面对日新月异金融市场，现有的期权品种远远不够，如何根据投资者的需求和风险管理的需要设计新型期权是期权定价工作不能忽视的问题。&&&&&& 金融定价模型的研究有待于进一步深入。尽管到目前为止，期权定价模型繁多，但是大部分都存在不足，不是与市场实际数据不吻合就是模型结构太复杂不便于数学处理，很难得出好的结果，大部分都停留在理论层面上，真正像B-S模型那样能够实际应用并不多。如何构造出既与实际吻合又便于处理，能够真正走入金融市场的定价模型也是数理金融工作者的一大难题。&&&&&& 定价方法的创新。如前所述的各种定价方法各有优劣，无套利复制方法仅用于完备市场，实际应用的比较多的是鞅方法，然而在不完备市场中有许多无套利价格，还得根据其他条件来选取。其它的几种定价方法得到的大多是一个价格必须要满足的积微分方程，很难有解析解。是否还有其它的简便易行的定价方法也是一个值得关注的问题。&&&&&& 市场参数的估计问题。在期权定价模型中扩散系数、波动率，跳的强度等获取都是通过对市场数据的分析得出的，一个期权定价的准确与否离不开参数的估计， 因而参数估计也是期权定价中的一个重要环节。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（）
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