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【转】简论中国古代数学中的“黄金分割率”
公理1设A是任意一个事物，x, y 是其既相互对立又相互依存的两个方面或两种基本属性。若x, y的强度分别为Q(x)和Q(y),而就强度而言x,y的比重分别为A(x),A(y),且A(x)+A(y) ≡1,则有Q(x)=kQ(y),其中,k为比例系数,而A的性质取决于A(x)和A(y)之差C=A(x)-A(y)。
公理1用自然语言表示出来,即设A是任意一个事物, 阴和阳是其既相互对立又相互依存的两个方面或两种基本属性。若就强度而言，阴与阳比重之和恒等于1，则阴与阳的强度成比例，而A的性质取决于阴、阳强度的比重之差。在公理1 中,阴、阳强度比重之和等于1 是对阴和阳不可分割地联系在一起的整体性及建立在整体性基础之上的对立性和消长性的刻画; 阴、阳的强度成比例是对阴阳互根性的刻画;整体的状态取决于阴阳强度比重之差是对阴阳平衡性和转化性的刻画。五行是对同一个系统既相互助长又相互抑制的五个方面或五种属性的抽象概括，五行逻辑是高层次的辩证逻辑。因为任何一个整体都可分为阴、阳两部分,阴和阳都至少可以分为盛、衰、平三种状态，所以，若阴阳各分为五部分,则由于每部分又有阴、阳之分，故而逻辑至少是60值逻辑。这比西方的二值逻辑高出近两个数量级。可用以下的公理2加以刻画：
公理2设A是任意一个系统, x,y,z,u,v是其既相互助长又相互抑制的五个方面或五种属性.若 x与 y ,y与 z, z与 u, u与 v ,v与x,分别具有同一性,x与z, y与u, z与v,u与 x, v与y, 分别具有对立性, 则x与y, y与z, z与u, u与v ,v与 x分别构成 A的子系统A11, A12 , A13 ,A14 , A15, x与z ,y与u, z与 v,u与 x, v与y 分别构成 A的子系统A21,A22,A23,A24,A25. 又x,y,z,u,v的强度依次分别为Q(x),Q(y),Q(z),Q(u),Q(v),而就强度而言 x,y,z,u,v在A中的比重分别为A(x),A(y),A(z),A(u),A(v), xz在 A21中的比重分别为A21(x),A21(z), y与u在A22中的比重分别为 A22(y),A22(u), z与v 在 A23中的比重分别为A23(z), A23(v), u与x在A24中的比重分别为A24(u), A24(x),v与y在A25中的比重分别为A25(v),A25(y),且 A(x)+A(y)+A(z)+A(u)+A(v)=1, 则有
Q(x)=k1Q(y), Q(y)=k2Q(z), Q(z)=k3Q(u), Q(u)=k4Q(v), Q(v)=k5Q(x); A21(x)+A21(z)=1, A22(y)+A22(u)=1, A23(z)+A23(v)=1, A24(u)+A24(x)=1, A25(v)+A25(y)=1.其中,ki(i=1,2,3,4,5)为比例系数,而A的性质取决于C1=A21(x)-A21(z), C2=A22(y)-A22(u), C3=A23(z)-A23(v), C4=A24(u)-A24(x), C5=A25(v)-A25(y). Q(x)=k1Q(y), Q(y)=k2Q(z), Q(z)=k3Q(u), Q(u)=k4Q(v), Q(v)=k5Q(x); A21(x)+A21(z)=1, A22(y)+A22(u)=1, A23(z)+A23(v)=1, A24(u)+A24(x)=1, A25(v)+A25(y)=1.其中,ki(i=1,2,3,4,5)为比例系数,而A的性质取决于C1=A21(x)-A21(z), C2=A22(y)-A22(u), C3=A23(z)-A23(v), C4=A24(u)-A24(x), C5=A25(v)-A25(y).
公理2用自然语言表示出来，即设A是任意一个系统,木、火、土、金、水是其既相互助长又相互抑制的五个方面或五种属性，其中木与火、火与土、土与金、金与水、水与木分别具有同一性, 金与木、木与土、土与水、水与火、火与金分别具有对立性,则木与火、火与土、土与金、金与水、水与木分别构成的子系统A11,A12,A13,A14,A15;金与木、木与土、土与水、水与火、火与金分别构成A的子系统A21,A22,A23,A24,A25。又若就强度而言，木、火、土、金、水在A 中比重之和等于1,则木与火、火与土、土与金、金与水、水与木的强度分别成比例；金与木、木与土、土与水、水与火、火与金在A21、A22、A23、A24、A25中的比重之和均等于1，而A的性质取决于金与木、木与土、土与水、水与火、火与金在A21、A22、A23、A24、A25中的比重之差。在公理2中,具有相生关系的任意二行各构成一个子系统,其强度成比例,是对其同一性的刻画,而与阴阳的互根性相关;具有相克关系的任意二行各构成一个子系统,其强度的比重之和等于1, 是对其对立性的刻画, 而与阴阳的对立性相关；整体的状态取决于五对具有相克关系的二行强度比重之差,是对五行平衡性的刻画。由此不难看出,五行学说是阴阳学说的引伸和发展。
公理3设a,b是五行中任意二行.若(a,b)(即a生b),则a与b必然具有同一性;若 (即a克b),则a与b必然具有对立性. 关于五行生克的问题实际上涉及五行的本质问题。根据宋代周敦颐“阴阳妙合而成五行”之说，五行当为五种气；按照周易，十二消息卦揭示出一年12个月或一天12个时辰阴阳二气的数量周期性相对变化的规律；按照五季配五运之法，乃从大寒节日起木运，依次经过火、土、金、水运，每运各主1/5年。将这三方面结合起来，可以得到这样的结论：五行乃是阴阳二气周期性相对变化的五个不同的阶段。若以P(x)和P(y)分别表示阳气和阴气所占的比重，则其主导属性明晰度为§Z（A)= P（x)-P（y)，§而其主导属性明晰度变化范围如下图所示：因为主导属性明晰度大于0意味着阳长阴消，主导属性明晰度小于0意味着阳消阴长，所以从上图中可以看出，木为阳长阴消；火为阳长阴消；土为阳长阴消转阳消阴长；金为阳消阴长；水为阳消阴长转阳长阴消。由阴阳消长性可以看出，木与火具有同一性；火与土具有同一性；土与金具有同一性；金与水具有同一性；水与木具有同一性；金与木具有对立性；木与土具有对立性；土与水具有对立性；水与火具有对立性；火与金具有对立性。对五行的本质作如上理解，就可看出，相生的本原在于具有同一性；相克的本原在于具有对立性。而且，阴阳五行学说的局限性也得以克服，从而可以对中医理论做出圆满的解释。由上显而易见,阴阳五行学说是一个极其科学的公理, 是中国古代先哲最伟大的发明创造。它之所以能成为中国传统文化的渊薮, 特别是中医学的理论基础,就由是使然。
精细结构常数和黄金分割数的意义我们的世界是一个具有着深藏的一致性和连续性的世界。通过对这些一致性和连续性的长期探索，人们逐渐发现在表现出一致性和连续性的现象背景上必然存在着一些不变的量值。人们称它们为自然常数或基本常数，比如普朗克常数、阿佛加得罗常数等等。但是，按照爱因斯坦的意见，所谓自然常数只应该是纯粹的数字，如π、e等，而不是带有量纲的量。所以在爱因斯坦看来，真空中的光速也不能算作是真正的自然常数。相反，我们必须寻找一个具有速度量纲的自然量，当它与光速之比是一个纯数字时，那么这个纯数字就是能够体现真空中的光速的自然常数。所以，巴罗推测[1]，若c是一个基本的自然常数，则必定意味着在空间与时间之间存在一种深刻和基本的联系，而这种基本联系的深刻和重要程度决不会亚于光速对物质世界的关系。同样，普朗克常数、阿佛加得罗常数、玻尔兹曼常数、介电常数、引力常数、电荷和电子静质量、质子静质量等等都不是真正意义上的自然常数。因此，有可能真正称得上是自然常数的数字非常之少。按照马丁.里斯的意见[2]，决定我们宇宙性质的自然常数有6个：爱丁顿首先提出的“大数”N≈1036、氢聚变为氦质量差比ε=0.007、宇宙的实际密度与临界密度之比Ω、爱因斯坦提出的宇宙常数λ、天体系统的引力约束与其静质量之比Q≈10-5以及现实空间的维度D=3。但是很显然，精细结构常数α是一个既符合爱因斯坦的要求是一个无量纲的常量，同时又是对决定我们的宇宙性质至关重要的自然常数。
众所周知，精细结构常数：
α=e2/ћc=2πe2/hc≈7.
(1)它是一个无量纲的纯数,是大自然最重要的的常数之一。式中c是真空中的光速，h是普朗克常数，e是电荷,π是圆周率，这四个常量分别都是极重要的量。正如史蒂夫.亚当斯所说的[3]：“这个谜一般的数将相对论、量子论、电磁学和几何学中的几个基本常量联系在一起。对于许多搞理论的人来说，它始终是个谜。……直到今天，如同在20世纪30～40年代一样，它依然是个谜”。由于精细结构常数的数值，决定于三个有量纲常数的观测值，所以，这三个有量纲常数的确定性和精确性与精细结构常数的确定性和精确性互为因果。但是正如约.巴罗所说的[4]：“我们能以极高的精度测量精细结构常数，但是至今为止，现有的理论没有一个能提供对其测量值的解释。”而且断言：“能完成这个任务的任何一种理论都将十分庄严地被看作是潜在的‘万能理论’”。虽然这个断言未必完全正确，但是至少由此可见，对精细结构常数的理论解释的确十分重要，有可能与最基本的物理对象相关，比如夸克、电子、真空等等。
事实上，文[5]就作出了这样的尝试，即精细结构常数和电子静质量Me与真空元ε有简单的关系为：
(2)式中真空元ε是基态上下夸克之差：
由于文[5]是以假定夸克满足Bohr假说也具有能级为前提的，按此可以得到与观测值相当吻合的强子（包括重子、介子及它们的共振态的）质量谱，并且得到基态的夸克质量最可几值为：
(4)代入（2）式可见符合得相当好。同时，文[5]还给出了精细结构常数以黄金分割数ω和圆周率π之积为系数的与两种真空元质量之比的简单表示：
α=πω（ε/u0）
(5)也与观测值十分吻合。这表明精细结构常数是决定于真空性质的极为基本的自然常数。（5）式中黄金分割数ω是菲波那契级数的前后二个数的比例极限，其数值为：
ω=（51/2-1）/2=0.6180339……
(6)它在许多学科中扮演着谜一样的重要角色，被开普勒称为在几何学中是比毕达哥拉斯定理更“珍贵的钻石矿”，但是，它却不象其他几何概念一样，很少进入物理学，更是从未进入粒子物理。然而文[6]不但表明黄金分割数可以出现在精细结构常数的关系式中，而且还表明黄金分割数ω确定了三个基态夸克的质量关系：
(u0+d0)/2s0=ω
(7)而且事实上，只要夸克的能级k相同，上式总是成立的，即：
(uk+dk)/2sk=ω
(8)因而，当（5）和（8）式成立，就有可能表明黄金分割数ω和圆周率π及精细结构常数一样也是重要的自然常数。倘若如此，那就更进一步证明了文[5]所提出的模型的正确性。夸克的质量关系由黄金分割数所决定 所谓基元应该是物质最基本的物质单元，而质量则是万物最重要的性质之一。基元必定具有自因性，所以基元的质量必定是自因的，即它的质量是确定的，不是随机的，除了与真空相关之外，与其他任何外来物理输入无关。
当夸克和电子一样是最基本的物质基元时，应也可能满足Bohr的能级与跃迁原理和Pauli不相容原理。于是在假设强子是由夸克的交生成时，我们成功地给出了与观测值相当吻合的强子及其共振态的质量谱[1]，而此时基态夸克u0、d0、s0的最可几质量值为： u0=1.596 ；
d0=1.602 ； s0=2.588
（1）质量单位为Gev/c2。偏差在10-3数量级内。所有的自由夸克最终都将衰变为u0，因为u0是最小的夸克，因此
（2）是基态夸克所可能衰变的最小能量，所以ε和u0一样都是物理真空元。由文[3]知电子的静质量e与真空元ε有关系为：
e=ε(α)1/2
(3)即电子质量仅仅决定于真空元，是真空元的激发，所以电子也是基元。于是
ε=d0-u0=0.005982
(4)与由（1）式得到结果的偏差小于3.10-3,完全在可几范围之内。式（3）中的α是精细结构常数，它是一个无量纲数，表示为：
α=2πe2/hc≈1/137.036……
(5)它始于原子的精细结构，是描述电子能级变动的常数。但是在文[1]中发现它也可以用于描述夸克能级的变动，即夸克能级系数为：
（6）本文的目的就是寻求夸克是否可能有与电子一样的性质：其质量仅仅决定于真空元，而系数则是如同α类似的某个常数。
首先，我们发现黄金分割数和基态夸克u0、d0、s0的质量值之间存在如下简单的关系：
（u0+d0）/2 s0=ω
和(s0-d0)/u0=ω
u0=2ωs0-d0
d0=s0-ωu0
s0=ωu0+d0
（8）即有：
s0=u0(1+ω)+ε
（9）可见基态夸克均可表示为真空元。和（3）式电子需要一个精细结构常数α类似，基态夸克s0也只需要一个黄金分割数ω。所以，黄金分割数决定了夸克的质量关系。被达·芬奇称为黄金分割数的ω，被称为是数学四大普适常数之一[4]。早在古希腊就被毕达哥拉斯称为是“凡是美的东西都具有的共同特性”，是“万物形态美的最佳尺寸比例”，文艺复兴时期的帕乔里称它是“神的比例”，开普勒甚至认为它的价值高于毕达哥拉斯定理，他说“几何学里有两个宝藏，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分割。前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的钻石矿”。但是，现在毕达哥拉斯定理已被广泛应用，几何学已经深入物理学，但是，黄金分割数却仍然无缘进入物理学，这是值得深思的事实。黄金分割数等于斐波那契级数的前后二个数的比例极限或最简单的二次方程的解：
ω=（51/2-1）/2≈0.6180339……
（10）代入（7）（8）（8）式则夸克u0、d0、s0的计算值的偏差完全在可几范围之内。同时又可得：
α/πω=（d0-u0）/ u0=ε/u0
(11)将（7）（8）式代入（11）得：
α=π(d0+u0)(d0-u0)/2u0s0=π(d0+u0)ε/2u0s0
α=π(s0-d0)(d0-u0)/u02=π(s0-d0)ε/u02
(13)这就使得精细结构常数可以表示为完全由基态夸克的质量关系所确定。其次，我们还得到混沌常数δ的表示式可表示为基态夸克的函数：
δ=2πωα[（s0-d0）/ε]
(14)混沌学是现代科学技术的产物，混沌常数δ（又称为Feigenbaum常数）是混沌学中最重要的常数之一，它标志了结构不同的非线性系统在变化过程中何时发生倍周期而转向混沌，从而显示出客观事物的多样性、复杂性和动态性的混沌态。即δ标志了分叉点序列之差的比值极限，其值为：δ≈4.6692016…（15）
有趣的是，Feigenbaum，M.J是粒子物理学博士，但是δ从未被运用于粒子物理。虽然目前ω和δ这二个常数已出现在分形和相变的研究中[2]，但是并无迹象显示夸克与ω和δ二个常数有任何关系。然而我们发现不但精细结构常数可以在夸克构成强子质量中起重要作用，而且黄金分割数和混沌常数与夸克之间也有着重要的关系，可以说，α、ω、δ这三个无量纲常数与三个基态夸克ｕ0、ｄ0、ｓ0的质量值之间存在着确定的关系。于是，由ω、α、δ这三个常数关系最后确定三个基态夸克的质量应该为：
u0=1.594(3)
d0=1.600(3)
s0=2.585(5)
(16)如果上述推理均成立，即可得出如下结论：1）
夸克的质量不决定于任何外来条件，是自身自然地由三个基态夸克的相互关系所决定的。它们的相互关系由黄金分割数、精细结构常数和混沌常数这三个常数之间的关系所表现。这表明夸克是物质的基元，因为基元是自因性的，没有任何外来物理输入。2）
精细结构常数具有物理意义是公认的，但是彼此独立无关的黄金分割数和混沌常数通常只被认为是数学中的普适常数[4]，不去深究其存在之所以，本文则表明它们都具有深层次的物理根源，都是具有深刻物理意义的无量纲常数。3）
这三个常数与真空元ε的相关程度不同，α与ε直接相关，δ与ε间接相关，因为（14）式可变化为：
δ=2π2ω2ε/u0= 2π2（1-ω）ε/u0
而且通常认为“对一些物理学家说来，混沌是工程的科学而不是状态的科学，是演化的科学而不是存在的科学”[6]，所以混沌常数不直接决定三个基本的基态夸克之间的质量关系证明了基态夸克的质量是不变量。而混沌常数则可以表现在μ子与真空元ε的关系为:μ=（δ/ω）（1/8πα）1/2ε
（18）计算值（0.10553）与观察值十分吻合。并且：
τ=(1/8πα)(δ/ω)2ε
（19）计算值（1.862）也与观察值相当吻合。由此两式与（3）式比较可见混沌常数、黄金分割数和精细结构常数都与轻子代数存在比例关系。而且发现三代轻子e、μ、τ之间的不象夸克u0、d0、s0之间那样有极为简单的关系，可见只有电子可能是基元，其余两种轻子不是。黄金分割数ω虽然与真空元ε无明显关系，但是（6）（7）式表明ω体现了三个基态夸克的比例美。这表明ω不象人们所说的仅是心理性的偏好，而“令人惊奇的是，自然界也偏爱黄金分割”[5]。表明自然界本质上就是倾向于比例美的。由于这三个常数都是无量纲的数量，对于夸克质量来说都不是物理输入，所以我们得到了期望的结果，即在按照（1）或（16）式能够全面、准确的导出强子的质量谱[1]之外，再一次证明了夸克是具有自因性的物质基元。 参考文献 [1]杨克中：强子的质量谱和夸克的性质，《当代创新专家文论大全》（2004）p.640[2]杨展如：《分形物理学》上海科技出版社（1996）p.186
于渌、郝柏林：《相变和临界现象》科学出版社（2005）p.224[3]杨克中：关于轻子质量谱，《社会主义实践与发展精典文库》（2005）p.275[4]夏茂辉、姚文起：《数学四大普适常数》机械工业出版社（2003）[5]张顺燕：《数学的美与理》北京大学出版社（2006）p.40[6] J.格莱克：《混沌—开创新学科》上海译文出版社（1990）p.5 注：在文[1]计算出两种夸克的静质量分别为：u0=1.596,d0=1.602Gev/c2
（3）在文[2]中我认为真空是由基态的上夸克u0和与基态下夸克之差：d0-u0=ε
（4）这两个不可能再衰变的两元零级能态所组成。
转（九数）从前莱布尼兹将阳爻看作1，阴爻看作0，这样八卦就转换成了数字。卦爻之阴阳自下而上排列，转换成自左至右的0-1数字。乾，阳阳阳，111；兑，阳阳阴，110；离，阳阴阳，101；震，阳阴阴，100；巽，阴阳阳，011；坎，阴阳阴，010；艮，阴阴阳，001；坤，阴阴阴，000。兑=110，乾=111，巽=011离=101，太极图，坎=010震=100，坤=000，艮=001我们数一数每个卦的阴阳爻数目：乾□□□，111，三阳爻，零阴爻；兑□□■，110，二阳爻，一阴爻；离□■□，101，二阳爻，一阴爻；震□■■，100，一阳爻，二阴爻；巽■□□，011，二阳爻，一阴爻；坎■□■，010，一阳爻，二阴爻；艮■■□，001，一阳爻，二阴爻；坤■■■，000，零阳爻，三阴爻。在前面的短文中，我们谈到了斐波那契数列，这是一个非常有趣非常神奇的数列。0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…… 计算公式为：f[n]+f[n+1]=f[n+2]，f[1]=0，f[2]=1。（这里n是自然数。）这个数列中，相邻二项，前项与后项的比值f[n]∶f[n+1]，会越来越接近黄金比，也由此得名黄金数列。（一）黄金数列我们考虑黄金数列的一般形式：g[n]+g[n+1]=g[n+2]，g[1]=a，g[2]=b。[1]写出数列的各项，依次排列为：g[1]=a，g[2]=b，g[3]=a+b，g[4]=a+2b，g[5]=2a+3b，g[6]=3a+5b，g[7]=5a+8b，g[8]=8a+13b，g[9]=13a+21b，……[2]选取前面的八项，改写成如下形式：1a+0b，0a+1b，1a+1b，1a+2b，2a+3b，3a+5b，5a+8b，8a+13b。[3]接着从第六项开始，将字母系数超过3的改写为除以3的余数：1a+0b，0a+1b，1a+1b，1a+2b，2a+3b，3a+2b，2a+2b，2a+1b。[4]我们得出如下结论：字母a的系数，依次为1-0-1-1-2-3-2-2；字母b的系数，依次为0-1-1-2-3-2-2-1。[5]接着考虑数字与卦序的对映，结论如下。将字母a的系数理解为阳爻数目：阳爻数目：一，零，一，一，二，三，二，二；八卦顺序：震，坤，艮，坎，巽，乾，兑，离。字母b的系数理解为阴爻数目：阴爻数目：零，一，一，二，三，二，二，一；八卦顺序：乾，兑，离，震，坤，艮，坎，巽。我们采用二元数对（x，y）来记录每卦之阴阳爻数目。其中x表示阳爻数目，y表示阴爻数目。兑（2，1），乾（3，0），巽（2，1）离（2，1），（阳 ，阴），坎（1，2）震（1，2），坤（0，3），艮（1，2）我们采用序列的记号，定义x[1]，x[2]，……，x[8]如下：乾（3，0）=x[1]；兑（2，1）=x[2]；离（2，1）=x[3]；震（1，2）=x[4]；坤（0，3）=x[5]；艮（1，2）=x[6]；坎（1，2）=x[7]；巽（2，1）=x[8]。兑x[2]，乾x[1]，巽x[8]离x[3]，太极图，坎x[7]震x[4]，坤x[5]，艮x[6]注意到在圆图排列中可以绕圈子，我们继续定义x[9]=x[1]，x[10]=x[2]，一般来说有x[n+8]=x[n]。这实际上蕴涵着八周期律。（二）同余方程同余现象，古代中国人很早就认识了。在弃九验算法中，所谓弃九，实际就是求取除以九后的余数。……。本文中，我们只考虑一个数除以三的余数，所得余数通常为零一二。如果a和b除以3的余数相同，那么就说a和b模3同余，记作a≡b（模3）。比如3≡0（模3）；又如17=3*5+2，38=3*12+2，记作17≡38（模3）。仔细观察先天八卦的圆图排列，我们发现有如下一些有趣的规律。[1]相邻二卦x[n]→x[n+1]同余方程x[n]+x[n+1]≡x[n+2]（模3）乾兑→离x[1]+x[2]≡x[3]（模3）：（3，0）+（2，1）≡（2，1）（模3）；兑离→震x[2]+x[3]≡x[4]（模3）：（2，1）+（2，1）≡（1，2）（模3）；离震→坤x[3]+x[4]≡x[5]（模3）：（2，1）+（1，2）≡（0，3）（模3）；震坤→艮x[4]+x[5]≡x[6]（模3）：（1，2）+（0，3）≡（1，2）（模3）；坤艮→坎x[5]+x[6]≡x[7]（模3）：（0，3）+（1，2）≡（1，2）（模3）；艮坎→巽x[6]+x[7]≡x[8]（模3）：（1，2）+（1，2）≡（2，1）（模3）；坎巽→乾x[7]+x[8]≡x[1]（模3）：（1，2）+（2，1）≡（3，0）（模3）；巽乾→兑x[8]+x[1]≡x[2]（模3）：（2，1）+（3，0）≡（2，1）（模3）。我们看见，黄金数列模三的结果，就是出现八周期。这组算式，是八周期律的直接反映。[2]间隔一卦x[n]→x[n+2]同余方程x[n]+x[n+2] ≡x[n+7]（模3）乾离→巽x[1]+x[3] ≡x[8]（模3）：（3，0）+（2，1）≡（2，1）（模3）；离坤→兑x[3]+x[5] ≡x[2]（模3）：（2，1）+（0，3）≡（2，1）（模3）；坤坎→震x[5]+x[7] ≡x[4]（模3）：（0，3）+（1，2）≡（1，2）（模3）；坎乾→艮x[7]+x[1] ≡x[6]（模3）：（1，2）+（3，0）≡（1，2）（模3）；兑震→乾x[2]+x[4] ≡x[1]（模3）：（2，1）+（1，2）≡（3，0）（模3）；震艮→离x[4]+x[6] ≡x[3]（模3）：（1，2）+（1，2）≡（2，1）（模3）；艮巽→坤x[6]+x[8] ≡x[5]（模3）：（1，2）+（2，1）≡（0，3）（模3）；巽兑→坎x[8]+x[2] ≡x[7]（模3）：（2，1）+（2，1）≡（1，2）（模3）。实际在圆周上行走的时候，感觉就象是：向前走二步，然后退三步。原因很简单，x[n+7]=x[n-1]。[3]间隔二卦x[n]→x[n+3]同余方程x[n]+x[n+3] ≡x[n+6]（模3）乾震→坎x[1]+x[4] ≡x[7]（模3）：（3，0）+（1，2）≡（1，2）（模3）；兑坤→巽x[2]+x[5] ≡x[8]（模3）：（2，1）+（0，3）≡（2，1）（模3）；离艮→乾x[3]+x[6] ≡x[1]（模3）：（2，1）+（1，2）≡（3，0）（模3）；震坎→兑x[4]+x[7] ≡x[2]（模3）：（1，2）+（1，2）≡（2，1）（模3）；坤巽→离x[5]+x[8] ≡x[3]（模3）：（0，3）+（2，1）≡（2，1）（模3）；艮乾→震x[6]+x[1] ≡x[4]（模3）：（1，2）+（3，0）≡（1，2）（模3）；坎兑→坤x[7]+x[2] ≡x[5]（模3）：（1，2）+（2，1）≡（0，3）（模3）；巽离→艮x[8]+x[3] ≡x[6]（模3）：（2，1）+（2，1）≡（1，2）（模3）。如果将八卦排列在三行三列的九宫格里，中间一格不用，那么我们可以看见，这组算式描述的恰好是按照象棋中马步行走的路线。看来这跳马的步法也挺有趣的呢！[4]相对二卦x[n]→x[n+4]同余方程x[n]+x[n+4] ≡0（模3）乾坤x[1]+x[5] ≡0（模3）：（3，0）+（0，3）=（3，3）；兑艮x[2]+x[6] ≡0（模3）：（2，1）+（1，2）=（3，3）；离坎x[3]+x[7] ≡0（模3）：（2，1）+（1，2）=（3，3）；震巽x[4]+x[8] ≡0（模3）：（1，2）+（2，1）=（3，3）。古人对此的解释是：天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错。（《说卦》）从算术上看，这实际是一组互补关系，互补的二卦恰好在相对位置。第三节——邵雍观物当年，邵雍对先天八卦和后天八卦的排列程序有着非常简明的观点。下面我们引用《观物外篇》中的二句话，然后作点引申。【原文】乾坤纵而六子横，易之本也；震兑横而六卦纵，易之用也。 【原文】四正者，乾坤坎离也。观其象无反复之变，所以为正也。按照邵雍的说法，我们给出二个基本操作：[1]反序操作：abc←→cba。例如：100←→001。[2]互补操作：abc←→a’b’c’。这里a’为a的补数，总有 a+a’=1。b’和c’同理。例如：100←→011。（一）一纵三横先天八卦兑乾巽 离◎坎 震坤艮按照反序操作abc←→cba：乾111←→111；坤000←→000； 离101←→101；坎010←→010。乾坤坎离，此四卦反序操作后仍然为自身。纵：乾111，坤000，互补排列。横：离101，坎010，互补排列。横：兑110，巽011，反序排列。横：震100，艮001，反序排列。 （二）一横三纵在二个基本操作的基础上，我们定义合成操作。[3]反序互补：abc←→c’b’a’。线路一：从abc开始，先反序操作，得出cba；又互补操作，得出c’b’a’。线路二：从abc开始，先互补操作，得出a’b’c’；又反序操作，得出c’b’a’。 看一个例子，011，先反序操作得出110，又互补操作得出001。先天八卦兑乾巽 离◎坎 震坤艮横：离101，坎010，反序互补。纵：兑110，震100，反序互补。纵：乾111，坤000，反序互补。纵：巽011，艮001，反序互补。后天八卦巽离坤 震◎兑 艮坎乾横：震100，兑110，反序互补。 纵：巽011，艮001，反序互补。 纵：离101，坎010，反序互补。 纵：坤000，乾111，反序互补。
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值
菲波那契数列指的是这样一个数列： 1，1，2，3，5，8，13，21…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和 它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1
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