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大学物理实验-课程实验指导书
东莞理工学院城市学院《物理实验》课程实验指导书 物理实验》前言《物理实验》是基础课程的重要组成部分。从物理规律的发现到物理理论的建立，物理学从本质上来说是一门实验科学。物理规律的发现和物理理论的建立，都必需以严格的物理实验为基础，并接受实验的检验。对于从事科学技术工作的人来说，物理实验的知识和技能也是必不可少的。物理学原理、物理实验方法以及物理仪器已被广泛运用到现代化科学研究和生产技术的各个领域。《物理实验》作为理工科学生在大学学习过程中的一门必修课程，对学生整个大学的学习和今后的工作生活至关重要，是培养学生基本的实验技能训练并为后续实验课和理论课奠定坚实的基础。本《物理实验》一共安排了 12 个物理实验：实验一：测量与误差和数据处理。介绍测量与误差、误差处理、有效数字、测量结果的不确定度评定等基本知识，使学生养成良好的测量习惯，培养学生对数据的处理能力。实验二：长度的测量。学习米尺、游标卡尺、螺旋测微计和一种测厚仪的原理和使用 方法。 实验三：落球法测定液体的粘滞系数。根据 Stokes 定律和方法设计的实验，测定表征 液体性质的一个物理量。 实验四：铁磁材料的磁滞回线和基本磁化曲线。铁磁物质是一种性能特异，应用广泛 的材料。通过测量铁磁材料的磁滞回线，了解铁磁材料的性质。 实验五：霍尔效应。通过实验了解和掌握霍尔效应的实验原理以及有关霍尔器件对材 料要求的知识。 实验六：用牛顿环测透镜曲率半径。牛顿环是等厚干涉的一种，它在光学计量、基本 物理测量等方面有广泛应用：用牛顿环测定光波的波长、透镜曲率半径，用牛顿环来检验磨 制透镜的质量等。 实验七：迈克尔逊干涉仪测光波波长。迈克尔逊干涉仪是根据干涉原理制成，是近代 光学精密仪器之一。 直接通过计算机进行控制和数据处理， 迈克尔逊干涉仪的应用更加广泛。 实验八：居里点的测定。测量铁磁材料居里点的方法很多，例如磁称法、感应法、电 桥法和差值补偿法等。 它们都是利用铁磁物质磁矩随温度变化的特性， 测量自发磁化消失时 的温度。本实验采用感应法。测量感应电动势随温度变化的规律，从而得到居里点 Tc。 实验九：洛仑兹力。观察电子束在电场力作用下的偏转运动情况；利用洛仑兹力演示 器测量并计算出电子的荷质比 e/m。 实验十：静电场的模拟。学习用稳恒电流场模拟法测绘静电场的原理和方法，加深对 电场强度和电势概念的理解，测绘点状电极、同心圆电极、聚焦电极的电场分布情况，进一 步学习用图示法表示实验结果。 实验十一：磁场的描绘。用感应法测定载流圆线圈产生的交流磁场，使学生掌握低频 交变磁场的测定方法。通过该实验有助于丰富学生对相关电磁理论本质的认识。II实验十二：用超声波测量声速。声速与传声媒质的特性及状态有关，因此通过声速的测量，可以了解被测媒质的特性及状态的变化。用超声波测量声速。测量声波在空气中的传播速度,学习测量声速的方法，加深对波的相位和波的干涉的理解。目录第一部份 绪论 ................................................................................................................................................... 1 一 二 三 物理实验课的任务和要求 ........................................................................................................................... 1 物理实验课的基本程序 ............................................................................................................................. 2 实验室规则....................................................................................................................................... 2 3第二部份 基本实验指导 实验一 一 二 三 四 五 实验二 一 二 三 四 五 实验三 一 二 三 四 五 六 实验四 一 二 三 四 五 实验五 一 二 三 四 五测量与误差和数据处理…………………………………………………………4 测量与误差 .......................................................................................................................... 4 误差处理 ........................................................................................................................... 52 有效数字的记录与运算 ............................................................................................................... 52 测量结果的不确定度评定……………………………………………………14 思考题 长度的测量 22 错误！未定义书签。 错误！未定义书签。 实验目的 ........................................................................................................................... 16 实验仪器 ........................................................................................................................... 16 实验原理 ........................................................................................................................... 16 实验步骤 ........................................................................................................................... 21 思考题 ............................................................................................................................. 22 落球法测定液体的粘滞系数…………………………………………………23 实验目的 ........................................................................................................................... 23 实验仪器 ........................................................................................................................... 23 实验原理 ........................................................................................................................... 23 实验内容 ........................................................................................................................... 25 注意事项 ........................................................................................................................... 26 思考题 ............................................................................................................................. 26 铁磁材料的磁滞回线…………………………………………………………28 实验目的 ........................................................................................................................... 28 实验仪器 ........................................................................................................................... 28 实验原理 ........................................................................................................................... 28 实验内容 ........................................................................................................................... 30 思考题 ............................................................................................................................. 31 霍尔效应………………………………………………………………………32 实验目的 ........................................................................................................................... 32 实验仪器 ........................................................................................................................... 32 实验原理 ........................................................................................................................... 32 实验方法 ........................................................................................................................... 33 实验内容 ........................................................................................................................... 34III六 七注意事项 ........................................................................................................................... 35 思考题： ........................................................................................................................... 36 实验六 居里点的测定…………………………………………………………………36一 二 三 四 五实验目的 ........................................................................................................................... 36 实验仪器 ........................................................................................................................... 37 实验原理 ........................................................................................................................... 37 实验内容 ........................................................................................................................... 47 思考题 ............................................................................................................................. 40 实验七 洛仑兹力………………………………………………………………………41一 二 三 四 五 六实验目的 ........................................................................................................................... 41 实验仪器 ........................................................................................................................... 41 实验原理 ........................................................................................................................... 41 实验步骤………………………………………………………………………52 注意事项………………………………………………………………………55 思考题 ............................................................................................................................. 47 实验八 用牛顿环测透镜曲率半径……………………………………………………48一 二 三 四 五实验目的 ........................................................................................................................... 48 实验仪器 ........................................................................................................................... 48 实验原理 .......................................................................................................................... 486 实验方法………………………………………………………………………58 思考题 ............................................................................................................................. 51 实验九 迈克尔逊干涉仪测光波波长…………………………………………………52一 二 三 四 五实验目的 ........................................................................................................................... 52 实验仪器 ........................................................................................................................... 52 实验原理 ........................................................................................................................... 52 实验步骤 ........................................................................................................................... 53 注意事项 ........................................................................................................................... 54实验十 一 二 三 四 五静电场的模拟…………………………………………………………………64 实验目的 ........................................................................................................................... 64 实验仪器 ........................................................................................................................... 64 实验原理 ........................................................................................................................... 64 实验步骤 ........................................................................................................................... 67 思考题 ............................................................................................................................. 67实验十一 磁场的描绘……………………………………………………………………68 一 二 三 四 五 思考题 实验目的 ........................................................................................................................... 68 实验仪器 ........................................................................................................................... 68 实验原理 ........................................................................................................................... 68 实验步骤 ........................................................................................................................... 70 71实验十二 用超声波测量声速……………………………………………………………72 一 二 三 实验目的 ........................................................................................................................... 72 实验仪器 ........................................................................................................................... 72 实验原理 ........................................................................................................................... 72IV四 五 思考题实验步骤 ........................................................................................................................... 73 77V第一部份一 物理实验课的任务和要求绪论本指导书是根据《物理实验》课程实验教学大纲编写，适用于大学普通物理课程的实验课程。物理学是一门实验科学。物理实验的基础知识、基本方法和基本技能是一般工程技术人员所必须具备的。1 物理实验课的任务（1) 通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物理实验知识，加深对物理学原理的理解。（2) 培养与提高学生的科学实验能力。其中包括：① 能够自行阅读实验教材或资料，做好实验前的准备；② 能够借助教材或仪器说明书，正确使用常用仪器；③ 能够运用物理学理论知识，对实验现象进行初步分析判断；④ 能够正确记录和处理实验数据、绘制曲线、分析误差原因、说明实验结果、撰写合格的实验报告；⑤ 能够完成简单的设计性实验。（3) 培养与提高学生的科学实验素养。要求学生具有理论联系实际和实事求是的科学作风、严肃认真的工作态度、整洁有序的良好习惯、勇于探索的创新精神和遵守纪律、团结协作、爱护公物的优良品德。2 物理实验课程教学基本要求（1) 学习和运用实验原理、方法去研究某些未知现象并进行具体测试，得出某些结论；（2) 进行实验基本技能的训练，熟悉常用仪器的基本原理、结构性能、调整操作、观测、分析与排除故障；（3) 学习数据处理的基本方法，了解实验方法、实验条件、实验环境等对测量结果的影响并能自行进行分析和处理；（4) 培养学生进行科学实验的能力，即如何从测量目的（研究对象）或课题要求出发，依据实验原理，通过某种方法，正确选用仪器和确定测量程序去获得准确的实验结果；（5) 通过实验培养学生严肃认真、实事求是的科学态度和克服困难、坚韧不拔的工作作风，培养良好的实验习惯和遵守纪律、爱护公物的美德。3 怎样做好物理实验（1) 课前预习包括：实验目的、实验原理、实验方法等，绘出数据记录表格。（2) 课堂操作包括：调整仪器装置，观察实验现象，学习排除故障，测读实验数据。（3) 实验报告包括：按照要求做实验报告，进行数据处理与误差分析，有关问题的讨论等。1物理实验课程不同于一般的探索性的科学实验研究，每个实验题目都经过精心设计、安排，可使同学获得基本的实验知识，在实验方法和实验技能诸方面得到较为系统、严格的训练，是大学里从事科学实验的起步，同时在培养科学工作者的良好素质及科学世界观方面，物理实验课程也起着潜移默化的作用。二物理实验课的基本程序(一)实验前的预习为了在规定的时间内，高质量的完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。预习时应以理解原理为主，搞清实验内容是什么，要用的是什么仪器，要用的是什么方法，所依据的道理又是什么。为了使测量数据眉目清楚，防止遗漏，应根据实验的要求预先设计好表格。(二)实验操作进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装仪器。准备就绪后开始测量。测量的原始数据应整齐的记录在实验笔记本上，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件，仪器的精度，规格以及测量量的单位。(三)实验报告实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告既完整又准确地表达出来。实验报告要求文字通顺，字迹工整，图表规范，结果准确，讨论认真。实验报告应包括下述几部分内容：(1)实验名称(2)实验目的(3)实验原理(4)仪器用具(5)实验记录(6)数据处理(7)实验结果(8)讨论及分析三实验室规则1.实验前要认真预习，做到心中有数，并画出记录数据的表格。 2.实验过程中严格遵守操作规程，注意安全，爱护仪器。在没弄清注意事项和操作方法之前不要乱动仪器。 3.细心操作，认真观察，及时记录实验原始数据。 4.实验室要保持肃静和整洁，不得大声喧哗，不得在实验室抽烟和吃东西。 5.无故迟到或没有预习者不得进入实验室进行实验。 6.如遇到自己不能处理的问题应及时报告老师。电学实验电路联好后，要经过老师检查同意后，方可接通电源开始实验。 7.学生实验完毕后，所测得原始数据须经过老师检查签字后，才能离开实验室。原始数据一律要附在实验报告后面一齐交给老师。 8.禁止穿拖鞋、背心入实验室。2第二部份基本实验指导实验一 测量与误差和数据处理一 测量与误差 物理实验的任务，不仅仅是定性地观察物理现象，也需要对物理量进行定量测量，并找出各物理量之间的内在联系。 由于测量原理的局限性或近似性、测量方法的不完善、测量仪器的精度限制、测量环境的不理想以及测量者的实验技能等诸多因素的影响，所有测量都只能做到相对准确。随着科学技术 的不断发展，人们的实验知识、手段、经验和技巧不断提高，测量误差被控制得越来越小，但是绝对不可能使误差降为零。因此，作为一个测量结果，不仅应该给出被测对象的量值和单位， 而且还必须对测量值的可靠性做出评价，一个没有误差评定的测量结果是没有价值的。 下面介绍测量与误差、误差处理、有效数字、测量结果的不确定度评定等基本知识，这些知识不仅在后面的实验中要经常用到，而且也是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 （一）测量及其分类 所谓测量，就是借助一定的实验器具，通过一定的实验方法，直接或间接地把待测量与选作计量单位的同类物理量进行比较的全部操作。简而言之，测量是指为确定被测对象的量值而进 行的一组操作。 按照测量值获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量两种。 直接从仪器或量具上读出待测量的大小，称为直接测量。例如，用米尺测物体的长度，用秒表测时间间隔，用天平测物体的质量等都是直接测量，相应的被测物理量称为直接测量量。如果待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的函数运算后才获得的，则称为间接测量。例如，先直接测出铁圆柱体的质量 m、直径 D 和高度 h，再根据公式ρ=4m πD 2 h计算出铁的的密度 ρ，这就是间接测量，ρ 称为间接测量量。 按照测量条件的不同，测量又可分为等精度测量和不等精度测量。 在相同的测量条件下进行的一系列测量是等精度测量。例如，同一个人，使用同一仪器，采用同样的方法，对同一待测量连续进行多次测量，此时应该认为每次测量的可靠程度相同，故 称之为等精度测量，这样的一组测量值称为一个测量列。 在不同测量条件下进行的一系列测量，例如不同的人员，使用不同的仪器，采用不同的方法进行测量，则各次测量结果的可靠程度自然也不相同，这样的测量称为不等精度测量。处理不 等精度测量的结果时，需要根据每个测量值的“权重” ，进行“加权平均” ，因此在一般物理实验中很少采用。 等精度测量的误差分析和数据处理比较容易，下面所介绍的误差和数据处理知识都是针对等精度测量的。（二）误差与偏差 1．真值与误差 任何一个物理量，在一定的条件下，都具有确定的量值，这是客观存在的，这个客观存在的量值称为该物理量的真值。测量的目的就是要力图得到被测量的真值。我们把测量值与真值之 差称为测量的绝对误差。设被测量的真值为χ0，测量值为χ，则绝对误差ε为 ε = χ C χ0 （1）由于误差不可避免，故真值往往是得不到的。所以绝对误差的的概念只有理论上的价值。 2．最佳值与偏差 在实际测量中，为了减小误差，常常对某一物理量 X 进行多次等精度测量，得到一系列测量值χ1 ，χ2，…，χn，则测量结果的算术平均值为χ=χ1 + χ 2 + L + χ nn=1 n ∑ χi n i =1（2）算术平均值并非真值，但它比任一次测量值的可靠性都要高。系统误差忽略不计时的算术平均值可作为最佳值，称为近真值。我们把测量值与算术平均值之差称为偏差（或残差） ：vi = χ i ? χ（三）误差的分类（3）正常测量的误差，按其产生的原因和性质可分为系统误差和随机误差两类，它们对测量结果的影响不同，对这两类误差处理的方法也不同。 1.系统误差 在同样条件下，对同一物理量进行多次测量，其误差的大小和符号保持不变或随着测量条件的变化而有规律地变化，这类误差称为系统误差。系统误差的特征是具有确定性，它的来源主3要有以下几个方面： （1）仪器因素：由于仪器本身的固有缺陷或没有按规定条件调整到位而引起误差。例如，仪器标尺的刻度不准确，零点没有调准，等臂天平的臂长不等，砝码不准，测量显微镜精密螺杆 存在回程差，或仪器没有放水平，偏心、定向不准等。 （2）理论或条件因素：由于测量所依据的理论本身的近似性或实验条件不能达到理论公式所规定的要求而引起误差。例如，称物体质量时没有考虑空气浮力的影响，用单摆测量重力加速度时要求摆角θ→0，而实际中难以满足该条件。（3）人员因素：由于测量人员的主观因素和操作技术而引起误差。例如，使用停表计时，有的人总是操之过急，计时比真值短；有的人则反应迟缓，计时总是比真值长；再如，有的人对 准目标时，总爱偏左或偏右，致使读数偏大或偏小。 对于实验者来说，系统误差的规律及其产生原因，可能知道，也可能不知道。已被确切掌握其大小和符号的系统误差称为可定系统误差；对于大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未 定系统误差。前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除，或测量结果中进行修正。而后者一般难以做出修正，只能估计其取值范围。 2．随机误差 在相同条件下，多次测量同一物理量时，即使已经精心排除了系统误差的影响，也会发现每次测量结果都不一样。测量误差时大时小，时正时负，完全是随机的。在测量次数少时，显得 毫无规律，但是当测量次数足够多时，可以发现误差的大小以及正负都服从某种统计规律。这种误差称为随机误差。随机误差的特征是它的不确定性，它是由测量过程中一些随机的或不确定 的因素引起的。例如，人的感受（视觉、听觉、触觉）灵敏度和仪器稳定性有限，实验环境中的温度、湿度、气流变化，电源电压起伏，微小振动以及杂散电磁场等都会导致随机误差。 除系统误差和随机误差外，还有过失误差。过失误差是由于实验者操作不当或粗心大意造成的，例如看错刻度、读错数字、记错单位或计算错误等。过失误差又称粗大误差。含有过失误 差的测量结果称为“坏值” ，被判定为坏值的测量结果应剔除不用。实验中的过失误差不属于正常测量的范畴，应该严格避免。 3．精密度、正确度和准确度 评价测量结果，常用到精密度、正确度和准确度这三个概念。这三者的含义不同，使用时应注意加以区别。 （1）精密度反映随机误差大小的程度。它是对测量结果的重复性的评价。精密度高是指测量的重复性好，各次测量值的分布密集，随机误差小。但是，精密度不能确定系统误差的大小。 （2）正确度反映系统误差大小的程度。正确度高是指测量数据的算术平均值偏离真值较少，测量的系统误差小。但是，正确度不能确定数据分散的情况，即不能反映随机误差的大小。 （3）准确度反映系统误差与随机误差综合大小的程度。准确度高是指测量结果既精密又正确，即随机误差与系统误差均小。 现以射击打靶的弹着点分布为例，形象地说明以上三个术语的意义。如图 1 所示，其中图（a）表示精密度高而正确度低，图（b）表示正确度高而精密度低，图（c）表示精密度和正确度 均低，即准确度低，图（d）表示精密度和正确度均高，即准确度高。通常所说的“精度”含义不明确，应尽量避免使用。精密度高，正确度低正确度高，精密度低精密度和正确度均低精密度和正确度均高图 1 精密度、正确度和准确度示意图二 误差处理 （一）处理系统误差的一般知识 1．发现系统误差的方法 系统误差一般难于发现，并且不能通过多次测量来消除。人们通过长期实践和理论研究，总结出一些发现系统误差的方法，常用的有： （1）理论分析法：包括分析实验所依据的理论和实验方法是否有不完善的地方；检查理论公式所要求的条件是否得到了满足；量具和仪器是否存在缺陷；实验环境能否使仪器正常工作以 及实验人员的心理和技术素质是否存在造成系统误差的因素等。 （2）实验比对法：对同一待测量可以采用不同的实验方法，使用不同的实验仪器，以及由不同的测量人员进行测量。对比、研究测量值变化的情况，可以发现系统误差的存在。 （3）数据分析法：因为随机误差是遵从统计分布规律的，所以若测量结果不服从统计规律，则说明存在系统误差。我们可以按照规律测量列的先后次序，把偏差（残差）列表或作图，观 察其数值变化的规律。比如前后偏差的大小是递增或递减的；偏差的数值和符号有规律地交替变化；在某些测量条件下，偏差均为正号（或负号） ，条件变化以后偏差又都变化为负号（或正号） 等情况，都可以判断存在系统误差。 2．系统误差的减小与消除 知道了系统误差的来源，也就为减小和消除系统误差提供了依据。 （1）减小与消除产生系统误差的根源 对实验可能产生误差的因素尽可能予以处理。比如采用更符合实际的理论公式，保证仪器装置良好，满足仪器规定的使用条件等等。 （2）利用实验技巧，改进测量方法 对于定值系统误差的消除，可以采用如下一些技巧和方法。 ①交换法：根据误差产生的原因，在一次测量之后，把某些测量条件交换一下再次测量。例如，用天平称质量时，把被测物和砝码交换位置进行两次测量。设 m1 和 m2 分别为两次测得的质量，取物体的质量为m = m1 ? m2，就可以消除由于天平不等臂而产生的系统误差。4②替代法：在测量条件不变的情况下，先测得未知量，然后再用一已知标准量取代被测量，而不引起指示值的改变，于是被测量就等于这个标准量。 ③异号法：改变测量中的某些条件，进行两次测量，使两次测量中的误差符号相反，再取两次测量结果的平均值做为测量结果。例如，用霍耳元件测磁场实验中，分别改变磁场和工作电 流的方向，依次为（+B，+I）（+B，-I）（-B，+I）（-B，-I） 、 、 、 ，在四种条件下测量电势差 UH，再取其平均值，可以减小或消除不等位电势、温差电势等附加效应所产生的系统误差。 此外，用“等距对称观测法”可消除按线性规律变化的变值系统误差；用“半周期偶数测量法”可以消除按周期性变化的变值系统误差等等，这里不再详细介绍。 在采取消除系统误差的措施后，还应对其它的已定系统误差进行分析，给出修正值，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正。例如，千分尺的零点读数就是一种修正值；标准电池的 电动势随温度的变化可以给出修正公式；电表校准后可以给出校准曲线等等。 对于无法忽略又无法消除或修正的未定系统误差，可用估计误差极限值的方法进行估算。 以上仅就系统误差的发现及消除方法做了一般性介绍。在实际问题中，系统误差的处理是一件复杂而困难的工作，它不仅涉及许多知识，还需要有丰富的经验，这需要在长期的实践中不 断积累，不断提高。 （二）随机误差及其分布 实验中随机误差不可避免，也不可能消除。但是，可以根据随机误差的理论来估算其大小。为了简化起见，在下面讨论随机误差的有关问题中，并假设系统误差已经减小到可以忽略的程 度。 1．标准误差与标准偏差 采用算术平均值作为测量结果可以削弱随机误差。但是，算术平均值只是真值的估计值，不能反映各次测量值的分散程度。采用标准误差来评价测量值的分散程度是既方便又可靠的。对 物理量 X 进行 n 次测量，其标准误差（标准差）定义为σ ( x) = limn→∞1 n ∑ ( xi ? x 0 ) 2 n i =1（4）在实际测量中，测量次数 n 总是有限的，而且真值也不可知。因此标准误差只有理论上的价值。对标准误差σ (x)的实际处理只能进行估算。估算标准误差的方法很多，最常用的是贝塞尔法，它用实验标准（偏）差 S（x）近似代替标准误差σ (x)。实验标准差的表达式为S ( x) =1 n ∑ ( xi ? x) 2 n ? 1 i =1（5）本书中我们都是用此式来计算直接测量量的实验标准差，其含义将在下面讨论。 2．平均值的实验标准差如上所述，在我们进行了有限次测量后，可得到算术平均值x 。 x 也是一个随机变量。在完全相同的条件下，多次进行重复测量，每次得到的算术平均值也由误差理论可以证明，算术平均值的实验标准差为S ( x) =S ( x) n=n 1 ∑ ( xi ? x ) 2 n(n ? 1) i =1（6）由此式可以看出，平均值的实验标准差比任一 次测量的实验标准差小。增加测量次数，可以减少平均值的实验标准差，提高测量的准确度。但是，单纯凭增加测量次数来提高准确度的作用是有限的。如图 2 所示，当 n&10 以后，随测量次数 n 的增加，S (x) 减小得很缓慢。所以，在科学研究中测量次数一般取 10-20 次，而在物理实验教学中一般取 6-10 次。3．随机误差的正态分布规律 随机误差的分布是服从统计规律的.首先，我们用一组测量数据来形象地说明这一点。例如用数字毫秒计测量单摆周期，重复 60 次（n=60） ，将测量结果统计如下表： 时间区间/s 出现次数 Δn （频 数） 相 对 频 数 时间区间/s 出现次数 Δn （频 相对频数 数）?n /% n1 3 9 2 5 15 2.166-2.170 2.171-2.175 2.176-2.180?n /% n25 15 82.146-2.150 2.151-2.155 2.156-2.16015 9 552.161-2.16516272.181-2.18523?n 以时间 T 为横坐标,相对频数 为纵坐标， 用直方图将测量结果表示如图 n图3统计直方图3.如果再进行一组测量（如 100 次） ，做出相应的直方图，仍可以得到与前述图形不完全吻合但轮廓相似的图形。随着次数的增加，曲线的形状基本不变，但对称性越来越明显，曲线也趋向光滑。当n → ∞ 时，上述曲线变成光滑曲线。这表示测值 T 与频数?n 的对应关系呈连续变化的函数关系。显然，频数与 T 的取值有关，连续分布时它们之间的关系可以表示为 ndn = f (T )dT n函数f (T ) =dn ndT称为概率密度函数，其含义是在测值 T 附近、单位时间间隔内测值出现的概率。当测量次数足够多时，其误差分布将服从统计规律。许多物理测量中，当n → ∞ 时随机误差 ε 服从正态分布（或称高斯分布）规律。可以导出正态分布概率密度函数的表达式为：f (ε ) =1 2π σe?ε2 2σ 2（7）图 4 是正态分布曲线。该曲线的横坐标为误差ε，纵坐标f (ε ) 为误差分布的概率密度函数。 f (ε ) 的物理含义是：在误差值 ε 附近，单位误差间隔内，误差出现的概率。+曲线下阴影面积元f (ε ) d ε∞表示误差出现在ε ε dε~区间内的概率。按照概率理论，误差ε出现在区间（? ∞,+∞ ）范围内是必然的，即概率为 100%。所以，图中曲线与横轴所包围的面积应恒等于 1，即∫?∞f (ε )dε ≡ 1（8）由概率理论可以证明σ就是标准差。在正态分布的情况下，式（7）中σ的物理意义是什么呢？首先定性分析一下：从式（7）可以看出，当ε=0 时，f ( 0) =1 2π σ值因此，σ值越小，f (0) 的值越大。由于曲线与横坐标轴所包围的面积恒等于 1，所以曲线峰值高，两侧下降就较快。这说明测量值的离散性小，测量的精密度高。相反，如果 σ大，f (0) 就小，误差分布的范围就较大，测量的精密度低。这两种情况的正态分布曲线如图 5 所示。6图4正态分布曲线图5σ的物理意义4．置信区间与置信概率 我们还可以从另一个角度理解σ的物理意义。计算一下测量结果分布在-σ σ~之间的概率，可得P1 = ∫ f (ε )d ε = 0.683 = 68.3%?σ这就是说， 在所测的一组数据中平均有 68.3%的数据测值误差落在区间[-σ（9）σ σ，]之间。 同样也可以认为在所测的一组数据中， 任一个测值的误差落在区间[-σ σ，]内的概率为 68.3%.我们把P1 称作置信概率，[- σ ， σ P2 = ∫ P3 = ∫2σ]就是 68.3%的置信概率，所对应的置信区间。显然，扩大置信区间，置信概率就会提高。可以证明，如果置信区间分别为[-2σ σ，2]和[-3σ σ，3]，则相应的置信概率为? 2σ 3σf (ε )dε = 95.5% f (ε )dε = 99.7%（10）一般情况下，置信区间可用[-k 对应于[-3σ σ，3σ σ，k?3σ（11）]表示，k 称为包含因子，对于一个测量结果，只要给出置信区间和相应的置信概率就表达了测量结果的精密度。]这个置信区间，其置信概率为 99.7%，即在 1000 次的重复测量中，随机误差超出[-3σ σ，3]的平均只有 3 次。对于一般有限次测量来说，测量值超出这一区间的可能性非常小，因此常将 5.t 分布± 3σ称为极限误差。根据误差理论，当测量次数很少时（例如，少于 10 次） ，测量列的误差分布将明显偏离正态分布，这时测量值 1908 年由戈塞特首先提出来的，由于发表时使用了笔名“Student”，故也称“学生分布” 分布曲线与正态分布曲线类 。t的随机误差将遵从 t 分布。这个分布是 似， 两者的主要区别是 t 分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄，下部较宽，如图 1-6。这样，在有限次测量的情况下，就要将随机误差的估算值取大一些，包含因子 k 应转换成t p ，t p 值与测量次数有关，也与置信概率 P 有关，表 1给出了t p 与测量次数 n、置信概率 P 的对应关系，供查用。表1t p 值表4 5 6 7 8 9 10n P 0.68 0.95 0.9923图 6 20 t 分布与正态分布比较 ∞ …1.84 12.71 63.661.32 4.30 9.921.20 3.18 5.841.41 2.78 4.601.11 2.57 4.031.09 2.45 3.711.08 2.36 3.501.07 2.31 3.361.06 2.26 3.261.03 2.09 2.86… … …1.00 1.96 2.58由表 1 可见，当置信概率 P=68%时，t p 因子随测量次数增加而趋向于 1。当 n&6 以后， t p 与 1 的偏离并不大，故在进行误差估算时，当 n≥6 时置信概率取 68.3%，包含因子可以不加修正。 （三）坏值的剔除 在一列测量值中，有时会混有偏差很大的“可疑值” 。一方面， “可疑值”可能是坏值，会影响测量结果，应将其剔除不用。另一方面，当一组正确测量值的分散性较大时，尽管概率 很小，出现个别偏差较大的数据也是可能的，即“可疑值”也可能是正常值，如果人为地将它们剔除，也不合理。因此要有一个合理的准则，判定“可疑值”是否为“坏值” 。下面介绍三种常 用的准则。 1.拉依达准则如前所述，± 3σ可认为是极限误差，它的估算值± 3S ( x) 也可以认为是极限偏差。按照拉依达准则，将偏差大于 ± 3S ( x) 的数据视为坏值而将它剔除。剔除坏值7时，首先应算出测量列x1 , x 2 ,? ? ?, x n 的算术平均值 x 和任一次测量值的标准偏差 S( x )，然后检验每一个测值的偏差，如果 xi ? x&3 S(x )，则确定 xi 为坏值予以剔除。对剔除后的测量列再重复进行上述步骤，直到无坏值为止。应该指出的是，拉依达准则只有在测量次数 n≥10 时才能应用。因为根据 S(x )的定义式（5） n&9 时，恒有 xi ? x ?3S ( x) ，即拉依达准则失效。 ，当2.维涅准则肖 维 涅 准 则 考 虑 了 测 量 次 数 对 偏 差 的 影 响 。 设 重 复 测 量 的 次 数 为 n ， 任 一 次 测 量 值 的 标 准 偏 差 为 S(x ) ， 肖 维 涅 准 则 认 为 ， 如 果 测 值 xi (i=1 ， 2 ， … ， n ) 满 足xi ? x & C (n) S ( x) ，则认为 xi 为坏值，予以剔除。式中 C (n) 称为肖维涅系数，其值与测量次数 n 有关，下表给出了不同测量次数对应的 C (n) 值。测量次数越多，C (n) 越大；当 n &100 时, C (n) 值接近于 3，和拉依达准则相当。但当 n ≤4 时,准则无效，所以表中的系数 n 从 5 开始。表2 肖维涅系数n5 6 7 8 9 10 11 12 13C (n)1.65 1.73 1.80 1.86 1.92 1.96 2.00 2.03 2.07n14 15 16 17 18 19 20 21 22C (n)2.10 2.13 2.15 2.17 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28n23 24 25 30 40 50 75 100 200C (n)2.30 2.31 2.33 2.39 2.49 2.58 2.71 2.81 3.023.格拉布斯准则格拉布斯准则比肖维涅准则更为科学,它同时考虑了测量次数n 和置信概率 P 的影响。该准则认为，如果 xi ? x & g (n, p ) S ( x) 时，测量值 xi 为坏值的置信概率为 P。式中 g 值为格拉布斯系数，其值见表 3。表3格拉布斯系数g ( n, p )0.99 0.995 P 0.95 0.975 0.99 0.995P0.950.975n3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.28 2.33 1.16 1.48 3 1.89 2.02 2.13 2.22 2.29 2.36 2.41 2.46 1.16 1.49 1.75 1.94 2.10 2.22 2.32 2.41 2.48 2.55 2.61 1.16 1.50 1.76 1.97 2.14 2.27 2.39 2.48 2.56 2.64 2.70n15 16 17 18 19 20 24 28 32 36 40 2.41 2.44 2.48 2.50 2.53 2.56 2.64 2.71 2.77 2.82 2.87 2.55 2.59 2.62 2.65 2.68 2.71 2.78 2.88 2.94 2.99 3.04 2.70 2.75 2.78 2.82 2.85 2.88 2.99 3.07 3.14 3.19 3.24 2.81 2.85 2.89 2.93 2.97 3.00 3.11 3.20 3.27 3.33 3.388142.372.512.662.76502.963.133.343.48必须指出,按以上准则判别时，若测量数据中存在两个以上测值需要剔除,只能先剔除偏差最大的测值，然后重新计算平均值x 及标准偏差 S( x )，再对余下的测值进行判断，直至所有的测值均不是坏值为止。 由于大学物理实验中大多数情况下重复测量次数小于 9 次，所以实验课程中不使用拉依达准则。格拉布斯准则较为科学，但是涉及置信概率的考虑，较为复杂。我们一般可采用肖维涅准 则，必要时采用格拉布斯准则判断坏值。 （四）仪器误差 1.仪器的示值误差（限） 测量仪器的误差来源往往很多，逐项进行深入的分析处理是很困难的，在绝大多数情况下也没有必要。实际上，人们最关心的是仪器提供的测量结果与真值的一致程度，即测量结果中各 仪器的系统误差与随机误差的综合估计指标。 在物理实验中， 常常把国家技术标准或检定规程规定的计量器具最大允许误差或允许基本误差经过适当的简化称为仪器误差 （限） 仪器示值差 。 （限）用? m 来表示，它代表在正确使用仪器的条件下，仪器示值与被测量真值之间可能产生的最大误差的绝对值。仪器的示值误差（限）通常是由制造工厂或计量部门使用更精确的仪器、量具，经过检定比较合格给出的，一般写在仪器的标牌上或说明书中，有的仪器直接给出了仪器的准确等级。各类仪器的示值误差（限）与其准确度等级之间都存在着一定的关系．一般由仪器的量程和准确度等级可以求出仪器示值误差（限）的大小。不同的仪器、量具，其示值误差（限）有不同的规 定。例如，游标卡尺不分精度等级，测值范围在 300mm 以下的示值误差一律取游标的分度值。螺旋测微计分零级和一级两类，通常实验室使用的为一级，其示值误差随测量范围的不同而不同，量程在 0~25mm，及 20~50mm 的一级千分尺的示值误差均为? m =0.004mm。天平的示值误差以标尺分度值的倍数形式给出，它与天平的称量载荷有关，本讲义中约定，取天平标尺分度值的一半做为仪器的示值误差。 电表的示值误差，可以根据其量程和准确度等级计算：? m =量程 × 准确度等级%如果测量仪器是数字式仪表，则取其末位数最小分度单位为示值差。在我们不能知道仪器的示值误差（限）或准确度等级的情况下，也可以取其分度值的一半做为示值误差（限） 。 还有一些仪器（如电阻箱，电桥，电势差计等）的误差用基本误差来表示，其值需用专用公式来计算。仪器误差提供的是误差绝对值的极限值，而不是测量的真实误差，也无法确定其符 号。 2.仪器的标准误差在对测量结果的误差评定中，随机误差是用标准误差来估算的，相应地，也需要知道仪器的标准误差。仪器的标准误差用σ 仪 表示，它实际上是一个等价标准误差，下面要讨论的是如何确定仪器的标准误差，以及它与仪器误差? m 间的关系。一般仪器误差的概率密度函数近似服从如图 7 所示的均匀分布规律。在[-? m ， ? m ]范围内，误差出现的概率相同，[- ? m ， ? m ]区间以外出现的概率为零。例如，游标卡尺的仪器误差，仪器度盘或其它 传动齿轮的回差所产生的误差，机械秒表在其分度值内不能分辨引起的误 差，指零仪表判断平衡的误差等，都属于均匀分布。 均匀误差的概率密度函数为图 7 均匀分布f (?) =1 2? m ? m 的关系：根据标准误差的定义，可以求出仪器的标准误差与仪器误差（限）σ仪 =?m 39仪器标准误差σ 仪 的物理含义与标准误差 σ 类似。3 .仪器的灵敏阈 仪器的灵敏阈是指足以引起仪器示值可察觉变化的被测量的最小变化值，即当被测量值小于这个阈值时，仪器将没有反应。例如，数字式仪表最末一位数所代表的量就是数字式仪表的灵 敏阈。对指针式仪表，由于人眼能察觉到的指针改变量一般为 0.2 分度值，于是可以把 0.2 分度值所代表的量作为指针式仪表的灵敏阈。灵敏阈越小，说明仪器的灵敏度越高。一般地讲，测量 仪器的灵敏阈应该小于示值误差（限） ，而示值误差（限）应该小于最小分度值。但是也有一些仪器，特别是实验室中频频使用的仪器，准确度等级可能降低了或灵敏阈变大了，因而使用这样 的仪器前，应检查其灵敏阈。当仪器灵敏阈超过仪器示值误差限时，仪器示值误差（限）便应由仪器的灵敏阈来代替，这一点并不难理解。三 有效数字的记录与运算 （一）有效数字的一般概念 为了理解有效数字的概念，我们先举一个例子。如图 8 所示，用米尺测量一个物体的长度，测量结果记为 13.4cm、13.5cm、13.6cm 都可以。换不同的测量者进行测量，前两位数不会变化， 我们称之为准确数字， 但最后一位数字各人估计的结果可能略有不同， 我们把这位数称为欠准数字或可疑数字。 虽然最后这位数字欠准， 但是记上它能客观地反映出该物体比 13cm 长， 14cm 比 短的实际情况，比较合理。我们把测量结果中可靠的几位数字加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。有效数字的上述定义，适用于直接测量量和间接测量量。图 8 有效数字概念需要特别指出的是，一个物理量的测量值和数学上的一个数有着不同的意义。在数学上，13.5cm 和 13.50cm 没有区别，但是从测量的意义上看，13.5cm 表示十分位上的“5”是欠准数字， 而 13.50cm 表示十分位上的“5”是准确测量出来的，而百分位上的“0”才是欠准的。因为有效数字只有最后一位是欠准的，因此大体上说有效数字的位数越多，相对误差就越小。一般来说。测量结果有两位有效数字时，对应于10 ?1 ~ 10 ?2量级的相对误差；有三位有效数字时，对应于10 ?2 ~ 10 ?3量级的相对误差。在表示物理实验的测量结果时，为了更方便地反映有效数字的位数，应尽量采用科学记数法，即在小数点前只写一位数字，用 10 的几次幂来表示其数量级。例如，3.8×105m，4.123×10-7s 分别表示两个量的有效数字是 2 位和 4 位，而如果将 3 .8×105 记成 380 000m 不但繁琐，而且有效数字的位数错误，人为地将精度提高了 4 个数量级。 （二）直接测量量的有效数字的读取 在进行直接测量时，要用到各种各样的仪器和量具。从仪器和量具上直接读数，必须正确读取有效数字，它是进一步估算误差和数据处理的基础。 一般而言，仪器的分度值是考虑到仪器误差所在位来划分的。由于仪器多种多样，读数规则也略有区别。正确读取有效数字的方法大致归纳如下： 1.一般读数应读到最小分度以下再估一位，但不一定估读十分之一，也可根据情况（如分度的间距、刻线、指针的粗细及分度的数值等）估读最小分度值的 1/5、1/4 或 1/2。但无论怎样 估计，最小分度位总是准确位，最小分度的下一位是估计的欠准位。 2.有时，读数的估计位就取在最小分度位。如仪器的最小分度值为 0.5，则 0.1、0.2、0.3、0.4 及 0.6、0.7、0.8、0.9 都是估计的；如仪器最小分度值为 0.2，则 0.3、0.5、0.7、0.9 都是估计的。这类情况都是不必再估到下一位。 3.游标类量具，只读到游标分度值，一般不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。 4.数字式仪表及步进读数仪器（如电阻箱）不需要进行估读，仪器所显示的末位就是欠准数字。 5.特殊情况下， 直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。 例如， 在测量灵敏电流计临界电阻时， 调节电阻箱的 “×10” 挡， Ω 仪表上才刚刚有反应， 所以尽管电阻箱的最小步进值为 0.1Ω， 测量值也只能记录到“×10”Ω，如记为 R=8.53×103Ω. 6.在读取数据时，如果测值恰好为整数，则必须补“0” ，一直补到可疑位。例如，用最小刻度为 1mm 的钢卷尺测量某物体的长度恰为 12 mm 时，应记为 12.0mm；如果改用游标卡尺测量同 一物体，读数也为整数，应记为 12.00mm；如再改用千分尺来测量，读数仍为整数，则应记为 12.000 mm；切不可一律记为 12mm。 （三）间接测量量有效数字的运算 间接测量量测量结果的有效数字，最终应由测量不确定度的所在位来决定（详见§4 有关内容）。但是在计算不确定度之前，间接测量量需要经过一系列的运算过程。运算时，参加运算 的量可能很多，有效数字的位数也不一致。如果数字相乘，位数会增加；如果相除而又除不尽，位数可以无止境。为了简化运算过程，一般可以按以下规则进行运算： 1.几个数进行加减运算时，其结果的有效数字末位和参加运算的诸数中末位数数量级最大的那一位取齐，称为“尾数取齐”。例如，278.2+12.451=290.7。 2.几个数进行乘除运算时，其结果的有效数字的位数与参与运算的诸数中有效数字位数最少的那个相同，称为“位数取齐”。例如，5.348×20.5=110。3.一个数进行乘方、开方运算，其结果的有效数字位数与被乘方、开方数的有效数字位数相同。例如，200 =14.1.104.一般说来，函数运算的有效数字，应按间接量测量误差传递公式进行计算后决定。在普通实验中，为了简便统一起见，对常用的对数函数、指数函数和三角函数按如下规则处理：对数 函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数取成与真数的位数相同；指数函数运算结果的有效数字中，小数点后的位数取成与指数中小数点后的位数相同；三角函数结果中有效数字的取 法，可采用试探法，即将自变量欠准位上、下波动一个单位，观察结果在哪一位上波动，结果的欠准位就取在该位上。 以上所述有效数字的运算规则，只是一个基本原则，在实际问题中，为防止多次取舍而造成误差的累积效应，常常采用在中间运算时多取一位的办法。在计算器和微机已经相当普及的今 天，中间过程多取几位有效数字不会给我们带来太多的麻烦，所以在中间运算过程中，可以适当多取几位（如多取 2、3 位）。最后表达结果时，有效数字的取位再由不确定度的所在位来一并 截取。 （四）有效数字尾数的舍入法则 过去对有效数字的尾数采用“四舍五入”的规则来修约，但是这样处理“入”的机会总是大于“舍”的机会，引起最后结果偏大。为了弥补这一缺陷，目前普遍采用“小于五舍去，大于 五进位，等于五凑偶”的规则来修约。例如，将下列数据保留三位有效数字的修约结果是： 3.542 2→3.54 3.546 6→3.55 3.535 0→3.54 小于五舍去 大于五进位 等于五凑偶 3.545 0→3.54 3.545 01→3.55 3.544 99→3.54 等于五凑偶 大于五进位 小于五舍去四 测量结果的不确定度评定 （一）测量不确定的基本概念 1.不确定的定义 前面对测量中可能存在的各种误差做了简要介绍。这些误差的存在，使得测量结果具有一定程度的不确定性。所以，对某一物理量进行测量，我们只能知道测量值 N 与真值之差的绝对值 以一定概率分布在-u ~ u 之间，用公式表示为N ? N0 ≤ u（置信概率为 P）（13）其中，u 值可以通过一定的方法进行估算，称为不确定度，它表征真值以某置信概率存在的范围，是对测量结果不确定性的度量。 1980 年，国际计量局提出了关于“实验不确定度”的建议书，建议用不确定度来评价测量的质量。1981 年，第 17 届国际计量大会通过了采纳“建议书”的决议。我国计量科学院在 1986 年也发出了用不确定度作为误差指标名称的通知。国家技术监督局决定于 1992 年 10 月 1 日正式开始采用不确定度进行误差的评定工作。在实验中全面采用不确定度来评价测量的结果已成为 必然的趋势。 严格的不确定度理论比较复杂。考虑到本课程的性质，对不确定度评定的介绍将在保证其科学性的前提下，适当加以简化，以免初学者不得要领。 2.不确定度的分量 由于误差的来源很多，测量结果的不确定度一般也包含几个分量。在修正了可定系统误差之后，把余下的全部误差归为 A、B 两类不确定度分量。 不确定度 A 类分量 uA:多次重复测量，用统计方法求出的分量。直接测量量的 A 类不确定度分量就用平均值的实验标准差表示，即u A = S (x)?m c（14）不确定度 B 类分量 uB：用其他非统计方法估算的分量。在实验中尽管有多方面的因素存在，本讲义中一般只考虑仪器误差这一主要因素。我们用仪器的等价标准差σ仪 =近似表示不确定度 B 类分量，式中 Δm可以是仪器的示值误差（限）、基本误差或仪器的灵敏阈。因子 c 与仪器误差的分布规律有关。如果仪器误差服从均匀分布规律，则c = 3 ；若服从正态分布，则 c=3；在不能确定其分布规律的情况下，本着不确定度取偏大值的原则，也取c = 3 。本讲义中，我们一律将 c 取为 3 ，即（15）uB = σ 仪 =（二）直接测量结果的不确定度评定 １.合成不确定度?m 3在各不确定度分量相互独立的情况下，将两类不确定度分量按“方和根”的方法合成，构成合成不确定度，即112 2 u ( x) = u A + u B（16）在许多情况下，需要采用 95%、99%或 99.7%的较高的置信概率。这时，可以在合成不确定度前乘以一个包含因子 k 来求扩展不确定度U (x) 。待测量的不确定度服从正态分布时，对应于置信概率 P=68.3%，近似地取 k=1；对应于置信概率 P=95%，近似地可取 k＝2；对应与置信概率 P=99.7%，k＝3。 我们认为，物理实验课对误差处理的要求，主要在于建立正确的概念，而不拘泥于对某一值的精确计算，从这一观点出发，本书除特别说明外，置信概率均取 68.3%。 2.测量结果的不确定度表示 按照国际计量局 1980 年的建议书，直接测量量 X 的测量结果可表示为x = x ± u (x)(单位)（P= …）(17)对于测量结果，同时还可以用相对不确定度表示：E ( x) =这里应特别注意两点：u ( x) × 100% x(18)(1) 不确定度有效数字的取位 由于不确定度本身只是一个估计范围，所以其有效数字一般只取一或二位。在本课程中为了教学规范，我们约定对测量结果的合成不确定度（或总不确定 度）只取一位有效数字，相对不确定度可取两位有效数字。此外，我们还约定，截取剩余尾数一律采取进位法处理，即剩余尾数只要不为零，一律进位，其目的是保证结果的置信概率水平不 降低。 (2) 测量结果有效数字的取位 对测量结果本身有效数字的取位必须使其最后一位与不确定度最后一位取齐。截取时，剩余尾数按“小于 5 舍去，大于 5 进位，等于 5 凑偶”的规则修约。所以，x = (9.80 ± 0.03) cm 是正确的表示，而 x = (9.804 ± 0.03) cm 或 x = (9.8 ± 0.03) cm 均是不正确的表示。例如，用数字毫秒计测得某单摆周期的算术平均值为 2.18305s，经计算，求出置信概率 P=68.3%时的不确定度为 0.0031s，其结果应表示为T = (2.183 ± 0.004) sE(T)＝0.17％ 3.直接测量量不确定度评定的步骤 假设某直接测量量为 X，其不确定度评定的步骤归纳如下： （1）修正测量数据中的可定系数误差；（P=68.3%）该式表示此单摆周期的真值落在［2.183－0.004,2.183＋0.004］范围内的概率有 68.3%。这一测量列的相对不确定度为（2）计算测量列的算术平均值x 作为测量结果的最佳值；S (x) ；（3）计算测量列任一次测量值的实验标准差（4）审查各测值，如有坏值则予以剔除，剔除后再重复步骤(2)、(3)（5)计算平均值的实验标准差S (x) 作为不确定度 A 类分量 u ；A（6）计算不确定度 B 类分量uB =?m 3；（7）求合成不确定度2 2 u ( x) = u A + u B = S ( x) 2 + (?m 3)2及扩展不确定度U ( x) = ku ( x) ，当不确定度正态分布时，置信概率取 68.3%、95%和 99.7%时,k 可分别取近似值为 1、2、3； （8）写出最终结果表示式：12? x = x ± U (x ) ? ? ( ) U (x ) ? E x = x × 100% ?例(P=…)用一级千分尺对一小球直径测量 8 次，测量结果见下表第二行数据，千分尺的零点读数为 0.008mm，试处理这组数据并给出测量结果。次数 D`/mm D/mm1 2.125 2.1172 2.131 2.1233 2.121 2.1134 2.124 2.1165 2.126 2.1186 2.123 2.1157 2.129 2.1218 2.127 2.119解(1) 修正千分尺的零点误差：D＝(D`－0.008)mm，填入上表第三行；（2）直径的算术平均值D＝2.118mm；（3）某次测值的实验标准差为S ( D) =1 8 ∑ ( Di ? D) 2 8 ? 1 i =1＝0.0033 mm (中间运算多取一位，下同)（4）按肖维涅准则 n＝8 时，系数 C(n)＝1.86,则应保留测值范围为（2.188-1.86×0.0033）mm ~(2.118+1.86×0.0033）mm，即 2.111~2.124mm。经检查，无坏值。 （5）A 类分量的估算值（平均值的实验标准差）：u A = S ( D) =S ( D) 8= 0.0011 mm?m 3（6）B 类分量的估算值：按照国家计量标准，一级千分尺在测量范围 0~100mm 内的仪器误差限 Δ 仪 =0.004mm；uB == 0.0023 mm；（7）合成不确定度u ( D) = S ( D) 2 + (?m 3) 2 = 0.0025mm≈0.003mm；（8）测量结果为 D = （2.118+0.003）mm （P=68.3%）E(D) =0.003 =0.15% 2.118（P=95%）若取 P=95%，则扩展不确定度 U（D）=2×u (D)=0.006mm，测量结果为 D = （2.118+0.006）mmE(D) =0.006 =0.29% 2.118在这里，我们还应该特别说明对于单次测量的不确定度处理。在实际测量中，有些量是随时间变化的，无法进行重复测量；也有些量因为对它的测量精度要求不高，没有必要进行重复测 量；还有些量由于仪表的精密度较差，不能反映测量值的随机误差，几次测量值都相同，这时可按单次测量来处理。 一般情况下，我们就约定单次测量的不确定度简单地取 ?m。 （三）间接测量量的不确定度评定x ,y,z,…的函数关系为 x ,y,z,…) (19) 由于 x ,y,z 具有不确定度 u( x ),u(y),u(z),…，N 也必然具有不确定度 u(N),所以对间接测量量 N 的结果也需采用不确定度评定。设间接测量量 N 与直接测量量 N = f ( 1.间接测量量的最佳值13在直接测量中，我们以算术平均值x, y, z , …作为最佳值。在间接测量中，可以证明 N = f ( x, y, z , …)为间接测量量的最佳值，即间接测量量的最佳值由各直接测量量的算术平均值代入函数关系式而求得。 2.间接测量量不确定度的合成 由于直接测量量具有不确定度，从而导致间接测量量也具有不确定度。 因为不确定度是一个微小量，故可以借助于微分手段来研究。对式（19）两边取微分：dN =?f ?f ?f dx + dy + dz + … ?x ?y ?z(20)也可以先对（19）式两边取自然对数，再取微分，得dN ? ln f ? ln f ? ln f = dx + dy + dz + … N ?x ?y ?z其 中 dN 对 应 于 u(N) ， d(（21）x ) 对 应 于 u （ x ）， … 式 （ 20 ） 和 式 （ 21 ） 中 各 求 和 项 称 为 不 确 定 度 项 ， 各 直 接 测 量 量 不 确 定 度 前 面 的 系 数?f ?f ?f 、 、 ?x ?y ?z…及? ln f ? ln f ? ln f 、 、 ?x ?y ?z当直接测量量…称为不确定度传递系数。x ,y,z,…彼此独立时，间接测量量 N 的不确定度为各分量的均方根：2 2 2（22）? ? ?f ? ?f ? ? ?f ? u ( N ) = ? u ( x) ? + ? u ( y ) ? + ? u ( z ) ? + L ? ?y ? ? ?x ? ? ? ? ? ?z2 2? ? ? ln f u( N ) ? ? ln f ? ? ? ln f ? E(N ) = = ? u ( x) ? + ? ? ?y u ( y ) ? + ? ?z u ( z ) ? + L ? N ? ?x ? ? ? ? ?2求均方根时要保证各项是独立的。如果出现多个 Δ x（或 Δy，Δz…）项，要先合并同类项，再求均方根。（23）对于以加减运算为主的函数，先用式（22）求不确定度 u(N)，再用u( N ) 求相对不确定度比较简便；而对以乘除运算为主的函数，则先用式（23）求出其相对不确定度 E（N） ，再 N用u ( N ) = N ? E ( N ) 求不确定度比较简便。3. 间接测量结果不确定度评定的步骤 （1）按照直接测量量不确定度评定的步骤，求出各直接测量量的不确定度 u(x ),u(y),u(z),…；（2）求间接测量量的最佳值N = f ( x, y, z , …)；（3）用不确定度合成公式（22）或（23） ，分别求出 N 的不确定度 u(N)和相对不确定度 E（N） ； （4）写出最后结果的表示式：? N = N ± U (N ) ? ? ( ) U (N ) ? E N = N × 100% ?（P=…）对于不确定度 u(N)、E（N）及算术平均值N ，有效数字的取位与直接测量量的取位规则相同。例已知质量 m = (213.04+0.05)g， （P=68.3%）的铜圆柱体，用 0~125mm、分度值为 0.02mm 的游标卡尺测量其高度 h 六次；用一级 0~25mm 千分尺测量其直径 D 也是六次，其测值列14入下表（设仪器零点示值均为零） ，求铜的密度。 次数 高度 h/mm 直径 D/mm 1 80.38 19.465 2 80.37 19.466 3 80.36 19.465 4 80.38 19.464 5 80.36 19.467 6 80.37 19.466解 铜的密度ρ=4m ，可见 ρ 是间接测量量，由题意，质量 m 是已知量，直径 D、高度 h 是直接测量量。 πD 2 h（1）高度 h 的最佳值及不确定度：h = 80.37 mmS ( h) =S ( h) =1 ∑ (hi ? h) 2 6 ?1S ( h)=0.0036mm=0.0089 mm（按肖维涅准则检查无坏值）6游标卡尺的示值极限误差 Δm=0.02 mm因此得u ( h) = S ( h ) 2 + (?m 3) 2 = 0.012 mm（中间运算，多取一位）（2）直径 D 的最佳值及不确定度：D = 19.4655 mm S ( D) =S ( D) =1 ∑ ( Di ? D) 2 6 ?1S ( D)=0.00045 mm=0.0011 mm（按肖维涅准则检查无坏值）6一级千分尺的示值极限误差 Δm=0.004 mm因此得u ( D) = S ( D) 2 + (?m 3) 2 = 0.0024 mm（3）密度的算术平均值：ρ=4mπD h2= 8.907 g/cm3（4）密度的不确定度：ln ρ = ln 4 + ln m ? ln π ? 2 ln D ? ln hE(ρ ) =u(ρ )ρ? u ( m) ? ? u ( D ) ? ? u ( h) ? = ? ? + ?2 ? +? ? ? m ? ? D ? ? h ?22215=? 0.05 ? ? 0.0024 ? ? 0.012 ? ? ? + ?2 ? +? ? ? 213.04 ? ? 19.466 ? ? 80.37 ?3222=0.037%因此得：u ( ρ ) = ρ ? E ( ρ ) = 8.907×0.037% = 0.0033 g/cm（5）密度测量的最后结果为：E( 4.微小误差准则ρ ρ= (8.907+0.004) g/cm )= 0.037%3(P=68.3%)当合成不确定度来自多个分量的贡献时，常常可能只有一、二项或少数几项起主要作用。对不确定度贡献小的不确定度项可以忽略不计，通常某一不确定度项小于最大不确定度项的 1/3， 最小平方项小于最大平方项的 1/9，就可以略去不计。这就是微小误差准则。在进行误差分析或计算不确定度时，这样处理可以使问题大大简化。 五 思考题 1.下列几种情况产生的误差属于何种误差？ A.由于米尺的分度不准而产生的误差； B.由于水银温度计毛细管不均匀而产生的误差； C.由于电表接入被测电路所引起的误差； D.由于检流计零点漂移而引起的误差； 2.指出下列表示或说法的错误并加以修正： A.R＝6 371 km = 6 371 000 m = 637 100 000 cm； B.把长度 L 和时间 t 的测量结果表示为 L =(3.823 + 0.3)×102 km t =(406.9 + 0.742)s 3.用分度值为 0.01mm 的一级千分尺测测得钢球的直径为 15.561 mm、15.562 mm、 15.560 mm、15.563 mm、15.564 mm、15.560 mm,千分尺的零点读数为 0.011 mm，试求钢球体积的测量结果。实验二 实验二一 实验目的长度的测量1. 学习米尺、游标尺、螺旋测微计和一种测地仪器的原理和使用方法。 2. 进一步掌握误差理论,有效数字基本概念。 3. 学习有效数字的运算和实验误差的估算。二 实验仪器米尺、游标尺、螺旋测微计、测厚仪、一种测地仪器、待测物体。三 实验原理一. 米尺 “米” 是国际公认的标准长度单位， 历史上由保存在巴黎国际标准度量衡局的米原器二 刻线间的长度决定。1983 年第十七届国际计量大会通过的“米”的新定义为：1m 是光在真 空中于 1/s 的时间内所传播的距离。 常用米尺（包括各种常用直尺）的分度值是 1mm（毫米）,因此用米尺测量长度时可以16读准到毫米这一位上,毫米以下的一位(1/10 毫米位)则凭眼睛估计．例如,用米尺测量一物 体长度 L=AB,如图 1(a)所示,A 点的位置读数是 10.0 毫米,B 点的位置读数是 68.4 毫米, 则 L=68.4-10.0=58.4 毫米。 A 点和 B 点的位置读数中,毫米及毫米以上读数&10&和&68&在米 在 尺上是有刻度线的,可以读准最后一位.即毫米以下的一位数&0&和&4&是估计的,是读数的偶 然误差所在的位数,这位读数与其真实值可能有出入,是可疑数字,但还有参考价值,不能丢 掉,仍为&有效&。用米尺测量时还应注意以下几点: 1.有的米尺的&0&刻度线是从端边开始的,测量时一般不用端边作为测量的起点,以免由 磨损带来误差。 2.测量时要使米尺的刻度线紧贴待测物,如图 1(a)那样放置。读数时还应注意视线在 A 的正上方向,以减少视差.如图 1(b)中, 如果视线在 A 的正上方(即 A1 方向),读得 A 点的正 确位置为 10.0 毫米,如果视线在 A2 或 A3 的方向上,则分别读得 A 点的位置为 9.0 毫米或 11.0 这种因为刻度与待测标记不相重合,由视线方向的偏差而产生读数 毫米,这时产生较大误差。 误差称为&视差&。 3.在精密测量中,考虑米尺的刻度可能不均匀,应该选取不同的起点,进行多次测量求平 均值。图 1 用米尺测量 A、B 两点间的距离二.游标尺 1.构造 如图 2,它主要由主尺 A 和可以沿主尺滑动的游标(又称附尺)B 构成。 主尺是一个普通的 钢制米尺, 主尺左端有量爪 C 和 C'。 附尺的左端有量爪 D 和 D',其右端有量深度的尺 C、 D(又 称外卡)用来测量外径和长度,量爪 C'、D'(又称内卡)用来测量内径深度,尺 G 用来测量深 度,K 为固定螺钉。 2.刻度原理---差示法 一般游标尺的刻度方法是: 游标上有 n 个刻度,它的总长与主尺上(n-1)个刻度的总长17相等。如图 3(a)所示,设主尺每个刻度的长为 y,游标每个刻度的长 x,则有 nx=(n-1)y,求得 主尺游标每个刻度之差值为: δ=y-x=y/n (1) 差值δ正是游标能读准的最小数值,就是游标尺和分度值,按上述原理的方法称为差示 法。 图 3 差示法说明下表列出常见的几种刻度： Y（主尺每个刻度长，ｍｍ） n(游标上总的刻度数目) δ(分度值 ,mm) 1 10 0.1 1 20 0.05 1 50 0.02从(1)式可见游标尺的分度值只与主尺的分度大小和游标的分格数目有关,而与游标的 分度大小无关。 游标尺虽然有各种不同的规格,但都是以差示法测量徽小长度的原理刻度的。 3.读数方法 游标尺测量之前,把量爪 C、D 合拢,检查游标&0&刻度线和主尺的&0&刻度线是否对齐, 若未对齐,则有系统误差,应读出&零点值&,(又叫&零差&),在以后测量的长度中应加上或减 去&零点值&,所得值才是被测物体的实际长度。检查零点后,移动游标,将被测物体放在量爪 C、D 之间轻轻卡住,就可读数如下: 如图 3(b)所示,被测长度 L 的起端与主尺的零线重合,设 L 的末端即游标的&0&线在主尺 的 K 与(K+1)条刻度线之间.因为游标与主尺的分度不同,所以游标的第 m 条刻度线与主尺的 某一条刻线即(k+m)条刻度对齐,则游标&0&刻度线与主尺上第 K 条刻线的距离是： ΔL=my-mx=m(y-x) (2) 所以被测长度(即主尺的&0&刻度与游标的&0&刻度线之间的距离 L)为: L=ky+m(y-x) 或 L=ky+mδ 被测长度 L 等于游标&0&刻重线在所对主尺上读出的整刻度线的数值(ky)加上游标分度值δ 和游标上与主尺某一刻度线对齐的游标刻度线号数(m)的乘积。 有时游标的刻度线并不与主尺的刻度线完全对齐,应取游标上与主尺对得较好的两条刻 度线号数的平均值为 m.如图 4(b)所示 m=5.5,所以 L=43.55mm。18图 4 游标尺的读数法常用的二十分游标(n=20),分度值δ=1/20mm=0.05mm,它能准确读出 0.05mm 最大误差为 1/2δ=0.03mm,读数误差也在 1/100mm 位,因此,读数时不是判断这条线对齐,就是判断那条 线对齐,一般不再估读. 还有常用的五十分游标(n=50),它是将主尺上 49mm 长等分游标上的 50 个刻度,分度值δ =1/50mm =0.02mm,它的最大误δ=0.02mm,所以五十分游标也只能读到 1/50mm 位. 三.螺旋测微计(千分尺) 1.构造原理 螺旋测微计是比游标尺更精密的长度测量仪器,对于螺距为 y 的螺旋,每转一周螺旋将 向轴线方向移动一个螺距 y。如果转了 1/n 周(n 是沿螺旋一周总的刻度线数目)螺旋将沿轴 线移 1/n 的距离,1/n 称为螺旋测微计的分度值。因此借助螺旋的转动把沿轴线方向移动不 易测量的微小距离,转变为圆周上一点移动的较大距离表示这就是所谓机械放大原理。螺旋 测微计就是根据此原理制成的。 常见的螺旋测微计的结构如图 5 所示,它的主要部分是一根微动螺杆,其螺距是 0.5mm, 当螺杆旋转一周时,螺杆就沿轴线前进或后退 0.5mm。 当螺杆外部附有一个微分筒,沿着微分 筒圆周有 50 条等分刻度线,当微分筒转过一条刻度线时,测微螺杆就移动 0.5/50mm=0.01mm, 因此螺旋测微计的分度值是 0.01mm,即千分之一厘米,千分尺就由此而得名。实验室常用的 螺旋测微计的量程是 25mm,分度值为 0.01mm。 1. 尺架 2. 微动螺杆 3.锁紧装置 4.固定套管 5.微分筒 6.棘 轮 7.测砧 8.待测物体图 5 螺旋测微计的结构图2.测量方法19测量前先检查&0&点。轻轻转动棘轮,推动螺杆前进,当听到 &喀、喀&声时就停止转动, 这时的零点读数若不为零,就有零差出现。其校正方法如下: 其零差值可 设零点的读数为 L。 ,待测物体的读数为 L,则待测物体的实际长度:L'=L-L。 正可负,顺刻度线列中的 L。记为正值,逆刻度线序列的 L。记为负值。如图 6(a)中,L。 =-0.010mm,而(b)中,L。=+0.022mm。测量时,将待测物体的表面刚好接触,听到&喀、喀&的声 音就停止转动,然后以微分筒前沿为第一读数准线,在固定套管标尺(主标尺)上读出整刻度 (每个刻度为 0.5mｍ)再以固定套管标尺上的水平线为第二读数准线,在微分筒上读出小 值， 于主尺一个刻度数,估读到最小刻度的 1/10,即 0.01mm 这一位上。 两个读数之和就是测量读 数,如图 7 中读数为 1.95mm。图 6 螺旋测微计的零差 四.CH-B 型测厚仪 1.构造（见图 8） 它是由测头 1,捏手 2,座架 3 和百分表 4 构成,其中 测头可上下移动,该仪器有测量快速,直感、轻便等特 点。它的最大的量程为 10mm,分度值为 0.01mm。 2.测量方法 （1）测试前先转动百分表的外壳,把长指针调到零 位。并经试行发动捏手,试几次,回零后方可进行测试。 （2）测量时手持捏手挤升测头,将被测物置于工作台 测量头正下方,轻放捏手,测厚仪中百分表显示的读数， 即被测物的厚度。为使测试效果准确, 同一被测物体要 在不同位置测量几次取其平均值。 （3）测厚仪中百分表表面大圆圈是把 1mm 划为 100 等分, 每一格为 1/100mm=0.01mm,小圆圈是 把 10mm 划为 10 等分则每一格为 10/10mm=1mm,它 的读数是小指针所指的刻度加上大圆圈上指针的 示数。如图 9 所示,读数: L=(1*2+0.01*15.0)mm =(2+0.150)mm=2.150mm图 7 螺旋测微计的读数图8图 9 读数方法示意20*五.测地仪,见台面说明书 .实验步骤： 四 实验步骤：1.先用米尺测量样品(图 10)上 A、B 两点间的距离 AB 和 B、C 两点间的距离 BC。一次测量 估计误差, 然后经计算得到 A、C 两点间的距离 AC 是多少?ABC 图 10再用米尺测量 A、C 两点间的距离 AC,用尺子的不同段测量多次求平均值,比较以上 AC 两种测量结果。 2.先用游标尺测量圆环的内、外直径和高(在不同部位进行多次测量)。然后计算其体积的 误差。写出测量结果表达式。 3.先用螺旋测微计测量小钢球直径(在不同部位进行多次测量),然后计算其体积误差,写出 测量结果表达式。 4.用测厚仪测量薄样品的厚度(在不同部位进行多次测量),然后计算其误差,写出测量结果 表达式。 记录与计算： ： 1.用米尺测量两点间的距离 AB= ± (cm) BC= ± (cm) ± (cm) AC=AB+BC= AC= ± (cm) 次数 项目 距离 AC(cm) 绝对误差△AC(cm) 2.用游标测量圆环的体积 游标尺零差 L。= (cm) 次数 项目 外直径Φ2(cm) 绝对误差△Φ2(cm) 内直径Φ1(cm) 绝对误差△Φ1(cm) 1 2 3 4 5 平均值 1 2 3 4 5 平均值21高 L(cm) 绝对误差△L(cm) 体 积：V= π (Φ 2 ? Φ 1 ) L =2 231 4(cm )3绝对误差:△V= (cm ) 相对误差:E=（△V/V）×100%= 3 ± (cm ) 测量结果:V=3.用螺旋测微计测量钢球的体积 螺旋测微计的零差 L。= (cm) 次数 项目 直径 D(cm) 绝对误差△D(cm) 体 积：V= πD =312345平均值1 6绝对误差：△V= 相对误差：E= 测量结果：V=+(cm )34.用测厚仪测量钢板的厚度 次数 项目 厚度 L1(mm) 绝对误差△L1(mm) 厚度 L2(mm) 绝对误差△L2(mm) 相对误差：E1= % E2= % L1=L1+△L1(mm) L2=L2+△L2(mm) 1 2 3 4 5 平均值思考题： 五 思考题：1.今分别用常见分的十分、二十分和五十分游标卡尺对某一长度进行一次性测量,读数 均为 3.50mm,每次测量的误差是否一样?各为多少?相对误差又各为多少? 2.如果有一个千分尺,其微动螺杆的螺距是 0.5mm,微分筒圆周上每圈等分刻 100 格,这 个千分尺的测量准确度是多少?如果是每圈 50 格,要达到同样准确度,螺距应为多少?22实验三 实验三 落球法测定液体的粘滞系数液体（或气体）粘滞系数是表征液体性质的物理量，是流体力学中经常接触的问题之一。对于航空航天，船舶研究，水利水力等学科很有意义。粘滞系数的测定方法有多种，现仅介绍其 中的一种――落球法。 本实验是根据 Stokes 定律设计的实验，Stokes 是英国著名的物理学家和数学家。实验方法简单、直观，物理思想清晰明了，在误差处理上应用了合理的数学修正和推理。希望本实验能 对学生们有所启发，实验不在形式的复杂和仪器的排场，而在于它的物理意义和实验思想。一 实验目的1． 学习用落球法测定液体的粘滞系数。 2． 了解 Stokes 公式的应用条件，雷诺数及修正。二 实验仪器量筒、不同直径的小钢球、螺旋测微器、秒表、温度计、比重瓶和待测液体（蓖麻油） 等，实验装置如图 1 所示。三 实验原理1． Stokes 公式的简单介绍 一个在静止液体中缓慢下落的小球受到三个力的作 用：重力、浮力和粘滞阻力的作用。粘滞阻力是液体密度、 温度和运动状态的函数。如果小球在液体中下落时的下落 速度很小，球的半径也很小，且液体可以看成在各方向上 都是无限广阔的，则从流体力学的基本方程出发导出著名 的 Stokes 公式：温度计N1f = 6πηvr（1）VN2Lh0式中 f 是小球所受到的粘滞阻力， 是小球的下落速度， v r 是小球的半径，η 是液体的粘滞系数，它的单位是泊 [p]=[0.1 牛顿?秒 / 米 ]。 Stokes 公式是由粘滞液体的普 遍运动方程导出的，是在“小球在液体中下落速度很小， 球的半径也很小和液体可以看成在各方向上无限广阔”三 个假定条件下得到的。那么，在实验上这些条件如何体现 呢？Stokes 公式应作如何修正呢？22R e图12． 奥西恩-果尔斯公式 小球在液体中下落，速度很小，球的半径也很小，可以归结为雷诺数 Re 很小，即：Re =2 rv ρ 0η（2）式中 ρ 0 为液体的密度。当液体相对于小球处于层流运动状态时，解方程过程中可略去 Re 的 非线性项。如果考虑 Re 的非线性项，Stokes 公式修正为奥西恩-果尔斯公式：23f = 6πηvr(1 +23 19 2 Re ? Re + L) 16 1080（3）式中 3Re/16 项和 19Re /1080 项可以看作 Stokes 公式的第一和第二修正项。如 Re=0.1，则零 -4 级解（即 1 式）与一级解（即 3 式中取一级修正）相差约 2%，二级修正项~2×10 ，可略去 不计；如 Re=0.5，则零级解与一级解相差约 10%，二级修正项~0.5%仍可略去不计；但当 Re=1 时，则二级修正项~2%，随着 Re 的增大，高次修正项的影响也变大。 3． 容器壁的影响 在一般情况下，小球在容器半径 R，液体的高度为 h 的液体内下落，则液体在各方向上 都是无限广阔的这一假设条件是不能成立的，因此，必须考虑容器壁的影响，则式（3）变 为r r 3 19 2 f = 6πηvr(1 + 2.4 )(1 + 3.3 )(1 + 3 Re ? Re + ? ? ? ) R h 16 1080式（4）等号右边含 R 和 h 的二项即反映了这一修正 4．η 的表示（4）前面我们讨论了粘滞阻力 f 与小球的速度、几何尺寸、液体的密度、雷诺数、粘滞系 数等参量之间的关系，但在一般情况下粘滞阻力 f 是很难测定的。因此，还是很难得到粘 滞系数η 。这里，我们考虑这么一种情况： 小球在液体中下落时，重力、浮力和粘滞阻力都在铅直方向上，重力方向向下，而浮力 和粘滞阻力向上，阻力随着小球的速度增加而增加。显然，小球从静止开始作加速运动，当 小球的下落速度达到一定大小时，这三个力的合力等于零。然后，小球以匀速下落。则由式 （4）得：4 3 r r 3 19 2 πγ (ρ ? ρ 0 ) g = 6πηvr(1 + 2.4 )(1 + 3.3 )(1 + 3 Re ? Re + ? ? ? ) （5） 3 R h 16 1080式中 ρ 是小球的密度，g 为重力加速度，由式（5）得：η=2 9( ρ ? ρ o ) gr 2 r r 3 19 2 v(1 + 2.4 )(1 + 3.3 )(1 + Re ? Re + L) R h 16 1080 ( ρ ? ρ o ) gd 2 d d 3 19 2 v(1 + 2.4 )(1 + 3.3 )(1 + Re ? Re + L) 2R 2h 16 1080=1 18（6）式中 d 是小球的直径。 由上面 2 的讨论，我们得到以下三种情况：241）当 Re&0.1 时，可以取零级解，则式（6）式就成为：ηo =1 18( ρ ? ρ o ) gd 2 d d v(1 + 2.4 )(1 + 3.3 ) 2R 2h（7）2）0.1&Re&0.5 时，可以取一级近似解，式（6）就成为：η1 (1 +3 1 Re ) = 16 18( ρ ? ρ o ) gd 2 d d v(1 + 2.4 )(1 + 3.3 ) 2R 2h它可以表示成零级近似解的函数：η1 = η 0 ?3）Re&0.5 时，还必须考虑二级修正，则式（6）的η 变成：3 dvρ 0 16（8）η 2 (1 +3 19 2 1 Re ? Re ) = 16 1080 18( ρ ? ρ o ) gd 2 d d v(1 + 2.4 )(1 + 3.3 ) 2R 2h或η 2 = η1 ?1 + 1 +? ?1 2?19 dvρ 0 2 ? ( ) ? 270 η1 ? ?（9）在实验完成后，作数据处理时，必须对 Re 进行计算，确定它的范围后进行修正，得到 符合实验要求的粘滞系数值。四 实验内容1．图１的 N1 和 N2 之间设为匀速下降区，测出其长度 L。 2．用螺旋测微器测定用于测量的 m 个小球的直径，每个小球直径应从不同方向测量取 平均（至少 3 次） ，然后对 m 个小球取平均值。 3. 依次将 m 个小球在量筒中央并尽量接近液面处下落，测出每个小球通过匀速下降区 L 的时间 ti (i＝1…m)，取平均值，然后算出小球匀速下降的速度. 4. 测量液体的密度ρ0 用比重瓶法。 （操作见本实验附录） 5. 用相应的仪器测出 R 和 h (至少各测量三次并求平均值)及液体的温度 T，温度 T 应 取实验开始时的温度和实验结束时的温度的平均值。应用式（7）计算η0。 6. 计算雷诺数 Re，并根据雷诺数的大小，进行一级或二级修正。 7. 用两种不同直径的小球进行实验，由式（8）和（9）计算η1 和η2 8. 用 JW－A 型落针式粘滞系数实验仪测出η仪， 并与上面落球法测出的η球作比较。 （操 作见本实验附录）数据记录及处理251.匀速下降区 L= 1. 液体的高度 h= 2.小球直径 d 测量次序 1m; m.圆筒的内径 R=cm.23平均值d1(10 m) d2(10-3m)3.小球下落的速度 V ０ T 前＝ Ｃ； 3 ρ= kg/ 测量次序 1-3T 后= g=9.8m/s2０Ｃ； 3T 平均=平均值０Ｃ；2t1(s) V1=L/t1(m/s)测量次序 1 2 3 平均值t2(s) = V2=L/t2(m/s)4.用比重瓶法测量液体的密度（表格自行设计） 。 m0 = ; m1 = ; m2 = . ρ 0= 5.测量结果： 1)用直径为 d1 的小球时, η01= 一级修正：;;二级修正：2)用直径为 d2 的小球时, η02= 一级修正：;二级修正：五 注意事项1．量筒内的待测液体须经长时间的静止放置，以排除气泡。实验过程中不可捞取小球 和搅动液体，以保证液体始终保持静止状态。 2.操作中要求小球轻轻放在液面正中，并自由释放。六 思考题1.根据实际情况分析实验中引起测量误差的主要因素是什么？ 2.实验中所采用的测量液体粘滞系数的方法是否对所有液体都适用？为什么？263.说明雷诺尔数的物理意义。结合本实验，分析其影响。附录1. 液体的密度测量－比重瓶法 图 2 所示为常用的比重瓶，它在一定的温度下有一定的容积。使 用时，用移液管将液体注入瓶内，用瓶塞塞紧。多余的液体会通过瓶 塞中的毛细管流出，保证了比重瓶内液体的体积固定。 欲测某液体的密度，可先测出比重瓶空瓶的质量 m0，再分别测出比重瓶盛满待测液体时的总质量 m1 及 比重瓶盛满与待测液体同温度的纯水时的总质量 m2。由于比重瓶在该 温度下的容积一定， 即图 2m1 ? m0ρ0则待测液体密度为=m 2 ? m0ρ水ρ0 =m1 ? m0 ρ m 2 ? m0 水2．附 PH-2 型粘度计操作步骤 （1）打开电源，将显示“PH-2” ，表示进入“复位”状态。 （2）用拾针装置提起落针，将落针与实验装置上的发射器相吸。 （3）按一下面板上的“2”键，将显示“H”或“L” 。 （4）拉动发射器（拉动前手握发射器使落针调整到基本垂直） ，落针下落。 （5）落针下落后，面板显示下落时间。 （6）按一下面板上的“A”键，第一次显示落针的有效密度，第二次按“A”键将显示 液体的密度（蓖麻油） ，第三次按“A”键将显示该液体在常温下的粘度系数。 （7）重复以上实验 5－6 次，求出平均值。27实验四 实验四 铁磁材料的磁滞回线 和基本磁化曲线一 实验目的1.认识铁磁物质的磁化规律。 2.测定样品的基本磁化曲线，作?-H 曲线。 3.测定样品的 Hc、Br、Bm 和[Hm?Bm]等参数 4.测绘样品的磁滞回线，估算其磁滞损耗。二 实验仪器示波器、实验箱，导线。三 实验原理铁磁物质是一种性能特异， 用途广泛的材料。 铁、 钴、 镍及其众多合金以及含铁的氧化物（铁氧体）均属铁磁物 质。其特征是在外磁场作用下能被强烈磁化，故磁导率? 很高。另一特征是磁滞，即磁化场作用停止后，铁磁质仍 保留磁化状态，图 1 为铁磁物质的磁感应强度 B 与磁化场 强度 H 之间的关系曲线。 图 1 中的原点 O 表示磁化之前铁磁物质处于磁中性状 态，即 B=H=0，当磁场 H 从零开始增加时，磁感应强度 B 随之缓慢上升，如线段 oa 所示，继之 B 随 H 迅速增长，如 ab 所示，其后 B 的增长又趋缓慢，并当 H 增至 HS 时，B 到 达 饱 和 值 BS ， oabs 称 为 起 始 磁 化 曲 线 。 图 1 表明，当磁场从 Hs 逐渐减小至零，磁感应强度 B 并不沿 起始磁化曲线恢复到“O”点，而是沿另一条新的曲线 SR 下降，比较线段 OS 和 SR 可知，H 减小 B 相应也减小，但 B 的变化滞后于 H 的变化，这现象称为磁滞，磁滞的明显 特征是当 H=0 时，B 不为零，而保留剩磁 Br。 当磁场反向从 o 逐渐变至-HD 时，磁感应强度 B 消失， 说明要消除剩磁，必须施加反向磁场，HD 称为矫顽力，它 的大小反映铁磁材料保持剩磁状态的能力，线段 RD 称为 退磁曲线。 图 1 还表明，当磁场按 HS→O→-HD→-HS→O→HD→HS 次序变化，相应的磁感应强度 B 则沿闭合曲线 SRDS’R’D’S 变化，这闭合曲线称为磁滞回线。所以， 当铁磁材料处于图 2 交变磁场中时（如变压器中的铁心） ， 将沿磁滞回线反复被磁化→去磁→反向磁化→反向 去磁。在此过程中要消耗额外的能量，并以热的形式从铁 磁材料中释放，这种损耗称为磁滞损耗，可以证明，磁滞 损耗与磁滞回线所围面积成正比。 应该说明，当初始态为 H=B=0 的铁磁材料，在交变磁 场强度由弱到强依，次进行磁化，可以得到面积由小到大 向外扩张的一簇磁滞回线，如图 2 所示,这些磁滞回线顶28图1图2图3点的连线称为铁磁材料的基本磁化曲线， 由此可近似确定其 磁导率 而是随 H 而变化（如图 3 所示） 。铁磁材料的相对磁导率可 高达数千乃至数万，这一特点是它用途广泛的主要原因之 一。 可以说磁化曲线和磁滞回线是铁磁材料分类和选用的 主要依据，图 4 为常见的两种曲型的磁滞回线，其中 软磁材料的磁滞回线狭长， 矫顽力、 剩磁和磁滞损耗均较小， 是制造变压器、电机和交流磁铁的主要材料。而硬磁材料的 图4 磁滞回线较宽，矫顽力大，剩磁强，可用来制造永磁体。 观 察 和 测 量 磁 滞 回 线 和 基 本 磁 化 曲 线 的 线 路 如 图 5?=B H ，因 B 与 H 非线性，故铁磁材料的?不是常数所 示 。图5 待测样品为 E1 型矽钢片，N 为励磁绕组，n 为用来测量磁感应强度Ｂ而设置的绕组。Ｒ1 为 励磁电流取样电阻，设通过Ｎ的交流励磁电流为 I，根据安培环路定律，样品的磁化场强H=NI LL 为样品的平均磁路U1 R1 N QH = ?U1 LR1 QI =（1）式中的 N、L、R1 均为已知常数，所以由 U1 可确定 H。 ．． ．．．．(1)在交变磁场下，样品的磁感应强度瞬时值 B 是测量绕组 n 和 R2C2 电路给定的，根据法拉 第电磁感应定律，由于样品中的磁通?的变化，在测量线圈中产生的感生电动势的大小为：ε2 = n ?=d? dt1 ε 2 dt n∫29B=?S=1 ε 2 dt nS ∫(2)S 为样品的截面积 如果忽略自}