求rpg极致x幻想攻略1.40礼包码
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时间：2018-08-11 16:47
光影极致《X幻想》打造炫酷技能
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注意事项：
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参与人 0，评论数PK10计划-PK10计划群 - PK10计划交流群&p&总之岁月漫长，然而值得等待。——村上春树&/p&&p&凡是过去，皆为序章。——莎士比亚&/p&&p&少年与爱永不老去，即便披荆斩棘，丢失怒马鲜衣。 ——莫峻 &/p&&p&没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临。——南方周末&/p&&p&浅水是喧哗的，深水是沉默的。——雪莱&/p&&p&四方食事，不过一碗人间烟火。——小灯泡儿&/p&&p&天可补，海可填，南山可移。日月既往，不可复追。——曾国藩&/p&&p&我走得很慢，但我从不后退。——林肯&/p&&p&花看半开，酒饮微醺。——『菜根谭』&/p&&p&花开如火，也如寂寞。——顾城&/p&&p&愿你一生努力，一生被爱。想要的都拥有，得不到的都释怀。——八月长安&/p&&p&纵使黑夜吞噬了一切，太阳还可以重新回来。——汪国真&/p&&p&一星陨落，黯淡不了星空灿烂；一花凋零，荒芜不了整个春天。——巴尔扎克&/p&&p&我有一瓢酒，可以慰风尘。——韦应物&/p&&p&鲸落海底，哺暗界众生十五年。——加里·斯奈德&/p&&p&我荒废了时间，时间便把我荒废了。——莎士比亚&/p&&p&只有流过血的手指，才能弹出世间的绝唱。——泰戈尔&/p&&p&夜暗方显万颗星，灯明始见一缕尘。——七堇年&/p&&p&月缺不改光，剑折不改刚。——梅尧臣&/p&&p&活着不一定要鲜艳，但一定要有自己的颜色。——张曙光&/p&&p&掉头一去是风吹黑发，回首再来已雪满白头。——余光中&/p&&p&万物皆有裂痕，那是光照进来的地方。——莱昂纳德·科恩&/p&&p&每个人都在愤世疾俗，每个人又都在同流合污。——『自由在高处』&/p&&p&你生而有翼，为何竟愿一生匍匐前进，形如虫蚁。——贾拉尔·阿德丁·鲁米&/p&&p&浮名浮利，虚苦劳神。叹隙中驹，石中火，梦中身。——苏轼&/p&&p&少年安得长少年，海波尚变为桑田。——李贺&/p&&p&谁终将声震人间，必长久深自缄默；谁终将点燃闪电，必长久如云漂泊。——尼采&/p&&p&容颜会老去，四季不会停。那些散碎在笔尖的光阴，寂静欢喜。——陆苏&/p&&p&当华美的叶片落尽，生命的脉络才历历可见。——聂鲁达&/p&&p&日出之美便在于它脱胎于最深的黑暗。——辛夷坞&/p&&p&一盏一直亮着的灯，你不会去注意，但是如果它一亮一灭，你就会注意到。——刘墉&/p&&p&这世界是如此喧哗，让沉默的人显得有点傻。——李宗盛&/p&&p&如果结果不如你所愿，就在尘埃落定前奋力一搏。——『夏目友人帐』&/p&&p&宁鸣而死，不默而生。——范仲淹&/p&&p&人生没有白走的路，每一步都算数。——李宗盛&/p&&p&所谓浮躁，也就是时时刻刻，希望以最短的时间，博取最多的存在感、优越感和自我认同。——张佳玮&/p&&p&从前的日色变得慢，车，马，邮件都慢，一生只够爱一个人。——木心&/p&&p&有些事不是看到了希望才去坚持，而是因为坚持才会看到希望。——『十宗罪』&/p&&p&只有用水将心上的雾气淘洗干净，荣光才会照亮最初的梦想。——『百年孤独』&/p&&p&人生的旅程就是这样，用大把时间迷茫，在几个瞬间成长。——瑞卡斯&/p&&p&成功就是从失败到失败，也依然不改热情。——丘吉尔&/p&&p&方向是比速度更重要的追求。——白岩松&/p&&p&在每个死胡同的尽头，都有另一个维度的天空，在无路可走时迫使你腾空而起，那就是奇迹。——廖一梅&/p&&p&给自己一点时间，别害怕重新开始。——威尔·鲍温 &/p&&p&没有不可治愈的伤痛，没有不能结束的沉沦，所有失去的，会以另一种方式归来。——约翰·肖尔斯&/p&&p&人活一生，值得爱的东西很多，不要因为一个不满意，就灰心。——路遥&/p&&p&虽然明天还会有新的太阳，但永远不会有今天的太阳了。——林清玄&/p&&p&凡心所向，素履所往，生如逆旅，一苇以航。——『尘曲』&/p&&p&醉过才知酒浓，爱过才知情重。你不能做我的诗，正如我不能做你的梦。——胡适&/p&&p&每个人都不是一座孤岛，一个人必须是这世界上最坚固的岛屿，然后才能成为大陆的一部分。——海明威&/p&&p&以上是作文纸条APP里用户收藏数最多的50个句子，分享给大家~&/p&
总之岁月漫长，然而值得等待。——村上春树凡是过去，皆为序章。——莎士比亚少年与爱永不老去，即便披荆斩棘，丢失怒马鲜衣。 ——莫峻 没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临。——南方周末浅水是喧哗的，深水是沉默的。——雪莱四方食事，不过一碗…
&p&某次无意中看到了俄罗斯画家Ivan Aivazovsky的画，被震惊到了，然后逢人就推荐，已经成为脑残粉。他画的水是如此清透，可怜可爱。让人忍不住想身临其境去见识这样的美景。&/p&&p&随手放了几张图，网上还有更多，就不一一列举了。&/p&&p&提示：深海恐惧症患者请慎重观看。&/p&&p&勤劳的小蜜蜂又来啦！&/p&&p&喜讯！！&/p&&p&找到了谷歌艺术计划的网址，上面有很多Ivan的高清大图，大家的桌面都换起来吧！&/p&&p&网址：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//commons.wikimedia.org/wiki/%25D0%%25B2%25D0%25B0%25D0%25BD_%25D0%259A%25D0%25BE%25D0%25BD%25D1%%%25B0%25D0%25BD%25D1%%25B8%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B2%25D0%25B8%25D1%%%25B9%25D0%25B2%25D0%25B0%25D0%25B7%25D0%25BE%25D0%25B2%25D1%%25BA%25D0%25B8%25D0%25B9& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Иван Константинович Айвазовский&/a&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&1280& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b88e292e2cfee4ef14dd4a0_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1813& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1813& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b88e292e2cfee4ef14dd4a0_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&634& 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width=&1000& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-5fee24bdb97f1b57960cef_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&1000& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b0f851b23e83cbd04d4a5a8_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&765& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&765& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b0f851b23e83cbd04d4a5a8_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&704& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-cb54df33edd64fef605f93e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-cb54df33edd64fef605f93e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&581& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-3eb49adfe8a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-3eb49adfe8a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&717& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-8fa0ff5b183b47d31888f0fc_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-8fa0ff5b183b47d31888f0fc_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&925& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-05d1cecd9f24f9b4fadba7d03fbff0dd_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1400& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-05d1cecd9f24f9b4fadba7d03fbff0dd_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&680& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-23c1d6e4ed48c1dc2a397b_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-23c1d6e4ed48c1dc2a397b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&1000& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-3d72af7c232bec6a16ab6_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&795& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&795& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-3d72af7c232bec6a16ab6_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&超积极的答主又来了。。。看到评论里很多人说透纳，于是找了一些他的作品，的确有相似之处。不过感觉透纳的风格更疏狂，不知道为什么看到他的画我老是想起苏东坡仰天大笑：“大江东去浪淘尽。”的气势？艺术小白。。请专业人士笔下留情。&/p&&p&这次透纳的画是在有画网和视觉中国上找到的，爱者请自取。&/p&&figure&&img data-rawheight=&645& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&706& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-635f21a95e69ed9acf8f1eebf5977542_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&950& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&950& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-635f21a95e69ed9acf8f1eebf5977542_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&513& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-9ac9bafa33cfadb472b8b711ed155b6c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-9ac9bafa33cfadb472b8b711ed155b6c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&500& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c9a299cd165d03fed33cfbf_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1076& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1076& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c9a299cd165d03fed33cfbf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&916& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-dca06fd4a26a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-dca06fd4a26a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&836& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9e2acabfc04b950ed2c2_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9e2acabfc04b950ed2c2_r.jpg&&&/figure&
某次无意中看到了俄罗斯画家Ivan Aivazovsky的画，被震惊到了，然后逢人就推荐，已经成为脑残粉。他画的水是如此清透，可怜可爱。让人忍不住想身临其境去见识这样的美景。随手放了几张图，网上还有更多，就不一一列举了。提示：深海恐惧症患者请慎重观看。…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&p&吐血整理100句！&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&喜欢阅读，经常在自己公号推读过的好书新书，好词好句，各种书单。&br&欢迎关注微信公众号&b&「黑白书单」&/b&（ID：hishudan）&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&1&/p&&p&若人间有情，那是开始，也是尽头。&/p&&p&（北岛怀念顾城）&/p&&p&&br&&/p&&p&2&/p&&p&但愿离去是幸，我愿永不归来。&/p&&p&弗里达·卡罗《卡罗日记》&/p&&p&&br&&/p&&p&3&/p&&p&长日尽处，我站在你的面前，你将看到我的伤痕，知道我曾经受伤，也曾经痊愈。&/p&&p&泰戈尔《飞鸟集》&/p&&p&&br&&/p&&p&4&/p&&p&有人认为爱是性，是婚姻，是清晨六点的吻，是一堆孩子，也许真是这样的，莱斯特小姐。但你知道我怎么想吗，我觉得爱是想触碰又收回手。&/p&&p&塞林格《破碎故事之心》&/p&&p&&br&&/p&&p&5&/p&&p&幸福与不幸福，是四堵墙壁里的秘密，虽说墙有耳，却没有舌头。&/p&&p&大仲马《基督山伯爵》&/p&&p&&br&&/p&&p&6&/p&&p&过去都是假的，回忆是一条没有归途的路，以往的一切春天都无法复原，即使最狂乱且坚韧的爱情，归根结底也不过是一种瞬息即逝的现实，唯有孤独永恒。&/p&&p&马尔克斯《百年孤独》&/p&&p&&br&&/p&&p&7&/p&&p&我应该相信还有别的，其实都不可信。只有你实实在在。你是我的不幸，和我的大幸，纯真而无穷无尽。&/p&&p&博尔赫斯《恋人》&/p&&p&&br&&/p&&p&8&/p&&p&你太习惯这个世界了，才会对任何事情都不感到惊奇。&/p&&p&贾德《苏菲的世界》&/p&&p&&br&&/p&&p&9&/p&&p&和你们这些少爷不同，我们光是活着就竭尽全力了。&/p&&p&空知英秋《银魂》&/p&&p&&br&&/p&&p&10&/p&&p&我的身体里住过我一生至今每个冬天的雪，住过大海，住过这世间所有流浪的爱人。&/p&&p&马良《坦白书》&/p&&p&&br&&/p&&p&11&/p&&p&后海有树的院子，夏代有工的玉。此时此刻的云，二十来岁的你。&/p&&p&冯唐《可遇不可求的事》&/p&&p&&br&&/p&&p&12&/p&&p&我年华虚度，空有一身疲倦。&/p&&p&海子《祖国或以梦为马》&/p&&p&&br&&/p&&p&13&/p&&p&目的虽有，却无路可循；我们称之为路的，无非是踌躇。&/p&&p&卡夫卡《误入世界》&/p&&p&&br&&/p&&p&14&/p&&p&假如你下午四点钟来，那么从三点钟起我就开始感到高兴。&/p&&p&圣艾克苏佩里《小王子》&/p&&p&&br&&/p&&p&15&/p&&p&死了，就像水消失在水中。&/p&&p&博尔赫斯《另一次死亡》&/p&&p&16&/p&&p&秋天的风都是从往年吹来的。&/p&&p&木心《素履之往》&/p&&p&&br&&/p&&p&17&/p&&p&想人想的厉害的时候，也是淡淡的。像饿极了许多日的人闻到炊烟，但知道不是自家的。&/p&&p&（简媜）&/p&&p&&br&&/p&&p&18&/p&&p&那时候苏小姐把自己的爱情看得太名贵了，不肯随便施与。现在呢，宛如做好了衣服，舍不得穿，锁在箱里，过了一两年忽然发现这衣服的样子和花色都不时髦了，有些自怅自悔。&/p&&p&钱锺书《围城》&/p&&p&&br&&/p&&p&19&/p&&p&每个人心中有多么长的一个清单，清单里写着多么美好的事。可它们总是悲哀推迟被搁置，在时间的阁楼上腐烂。为什么勇气的问题总被误认为是时间的问题，而那么沉重抑郁的、不得已的，总被叫做生活本身。&/p&&p&刘瑜《送你一颗子弹》&/p&&p&&br&&/p&&p&20&/p&&p&那一天我21岁，在我一生的黄金时代，我有好多奢望。我想爱，想吃，还想在一瞬间变成天上半明半暗的云。后来我才知道，生活就是个缓慢受锤的过程，人一天天老下去，奢望也一天天消失，最后变得像挨了锤的牛一样。&/p&&p&王小波《黄金时代》&/p&&p&&br&&/p&&p&21&/p&&p&楼下一个男人病得要死，那间壁的一家唱着留声机，对面是弄孩子。楼上有两人狂笑；还有打牌声。河中的船上有女人哭着她死去的母亲。人类的悲欢并不相通，我只觉得他们吵闹。&/p&&p&鲁迅《而已集·小杂感》&/p&&p&&br&&/p&&p&22&/p&&p&丢失的日子如融化在人群里的好姑娘，我看着她沿途美丽下去，嫁给别人。&/p&&p&叶三《九万字》&/p&&p&&br&&/p&&p&23&/p&&p&醒来觉得甚是爱你。&/p&&p&朱生豪《朱生豪情书》&/p&&p&&br&&/p&&p&24&/p&&p&你的不在就像无奈的石碑，将会使许许多多个黄昏暗淡。&/p&&p&（博尔赫斯）&/p&&p&&br&&/p&&p&25&/p&&p&我今晚之所以来，是因为当你知道，要与某人共度余生时，你希望你的余生尽快开始。&/p&&p&《当哈利遇到莎莉》&/p&&p&&br&&/p&&p&26&/p&&p&人是在等人的时候老下去的。&/p&&p&（木心）&/p&&p&&br&&/p&&p&27&/p&&p&她可以褪色，可以枯萎，怎样都可以，但我只要看她一眼，万般柔情就涌上心头。&/p&&p&纳博科夫《洛丽塔》&/p&&p&&br&&/p&&p&28&/p&&p&从前的日色变得慢，车，马，邮件都慢，一生只够爱一个人。&/p&&p&木心《从前慢》&/p&&p&&br&&/p&&p&29&/p&&p&我是你路上最后的一个过客&/p&&p&最后的一个春天&/p&&p&最后的一场雪&/p&&p&最后的一次求生的战争&/p&&p&保尔·艾吕雅《凤凰》&/p&&p&&br&&/p&&p&30&/p&&p&你来人间一趟，你要看看太阳，和你的心上人，一起走在街上。&/p&&p&海子《夏天的太阳》&/p&&p&&br&&/p&&p&31&/p&&p&酒水相溶之后，酒就会变得淡了，水也会变了质。&/p&&p&有些人遇到某一个人之后，就会变得软弱一点，就像是掺了水的酒。&/p&&p&古龙《英雄无泪》&/p&&p&&br&&/p&&p&32&/p&&p&你的眉目笑语使我病了一场&/p&&p&热势退尽，还有我寂寞的健康&/p&&p&木心《眉目》&/p&&p&&br&&/p&&p&33&/p&&p&夜里不睡的人，白天多多少少总有什么逃避掩饰的吧。白昼解不开的结，黑夜慢慢耗。&/p&&p&卡佛《当我们谈论爱情时我们在谈论什么》&/p&&p&&br&&/p&&p&34&/p&&p&什么叫多余？夏天的棉袄，冬天的蒲扇，还有等我已经心冷后你的殷勤。&/p&&p&李碧华《只是蝴蝶不愿意》&/p&&p&&br&&/p&&p&35&/p&&p&唯一跟你作对的是你自己的愚蠢。&/p&&p&柳薇卡《乌克兰拖拉机简史》&/p&&p&&br&&/p&&p&36&/p&&p&因为你要做一朵花，才会觉得春天离开你；如果你是春天，就没有离开，就永远有花。&/p&&p&顾城《顾城哲思录》&/p&&p&&br&&/p&&p&37&/p&&p&人时已尽，人世很长&/p&&p&我在中间，应到休息&/p&&p&走过的人说树枝低了&/p&&p&走过的人说树枝在长&/p&&p&顾城《墓床》&/p&&p&&br&&/p&&p&38&/p&&p&我是住在海港并爱你的人，孤寂借梦和沉默穿过，囚禁在海与哀伤之间。&/p&&p&聂鲁达《二十首情诗和绝望的歌》&/p&&p&&br&&/p&&p&39&/p&&p&生活给了我想要的东西，同时又让我意识到那其实没什么意义。&/p&&p&（萨特） &/p&&p&&br&&/p&&p&40&/p&&p&你让我坐你旁边，我非常高兴，我非常孤独，我旅行的时间太长太长了。&/p&&p&凯鲁亚克《在路上》&/p&&p&&br&&/p&&p&41&/p&&p&有一次你对我说：有的人，是无价之宝。我是多么感动啊。对了，我常常这样想，谁把我放在心里的这种位置上，我才把自己的一切给他。不能给一个不咸不淡的人，不能给一个不冷不热的人，不能给一个不死不活的人，因为他不配，他根本不配。&/p&&p&王小波《爱你就像爱生命》&/p&&p&&br&&/p&&p&42&/p&&p&爱情充满了风险，然而，拒绝去爱却是生命最大的遗憾。&/p&&p&柯艾略《我坐在琵卓河畔哭泣》&/p&&p&&br&&/p&&p&43&/p&&p&那是个混账的年龄，你心里身体里都是爱，爱得浑身满心乱窜，给谁是不重要的。&/p&&p&严歌苓《芳华》&/p&&p&&br&&/p&&p&44&/p&&p&于千万人之中遇见你所要遇见的人，于千万年之中，时间的无涯的荒野，没有早一步，也没有晚一步，刚巧赶上了，没有别的话可说，惟有轻轻地问一声：噢，你也在这里？&/p&&p&（张爱玲）&/p&&p&&br&&/p&&p&45&/p&&p&心地才是最远的荒地，很少有人一辈子种好它。&/p&&p&（刘亮程）&/p&&p&&br&&/p&&p&46&/p&&p&一个人只拥有此生此世是不够的，他还应该拥有诗意的世界。&/p&&p&王小波《万寿寺》&/p&&p&&br&&/p&&p&47&/p&&p&我去旅行，是因为我决定了要去，并不是因为对风景的兴趣。&/p&&p&马尔克斯《霍乱时期的爱情》&/p&&p&&br&&/p&&p&48&/p&&p&当一个人不能拥有的时候，他唯一能做的便是不要忘记。&/p&&p&普鲁斯特《追忆似水年华》&/p&&p&&br&&/p&&p&49&/p&&p&哪里会有人喜欢孤独，不过是不喜欢失望。&/p&&p&村上春树《挪威的森林》&/p&&p&&br&&/p&&p&50&/p&&p&世界上最大的折磨也莫过于在爱的同时又带着藐视了。&/p&&p&毛姆《人生的枷锁》&/p&&p&&br&&/p&&p&51&/p&&p&真爱的第一个征兆，在男孩身上是胆怯，在女孩身上是大胆。&/p&&p&雨果《巴黎圣母院》&/p&&p&&br&&/p&&p&52&/p&&p&我们要有最朴素的生活，与最遥远的梦想。即使明日天寒地冻，路远马亡。&/p&&p&七堇年《被窝是青春的坟墓》&/p&&p&（PS：这句是七堇年化用海子的一句诗发挥而成，我觉得蛮好的。）&/p&&p&&br&&/p&&p&53&/p&&p&天空一无所有，为何给我安慰。&/p&&p&黑夜一无所有，为何给我安慰。&/p&&p&海子《黑夜的献诗》&/p&&p&&br&&/p&&p&54&/p&&p&我的忧伤，因为有你的照耀，升起一圈淡淡的光轮。 &/p&&p&舒婷《会唱歌的鸢尾花》&/p&&p&&br&&/p&&p&55&/p&&p&今夜我不关心人类，我只想你。 &/p&&p&海子《日记》&/p&&p&&br&&/p&&p&56&/p&&p&人必生活着，爱才有所附丽。&/p&&p&鲁迅《伤逝》&/p&&p&&br&&/p&&p&57&/p&&p&爱情无药可医，唯有爱得更深。&/p&&p&梭罗《瓦尔登湖》&/p&&p&&br&&/p&&p&58&/p&&p&你是爱，是暖，是希望，你是人间的四月天！&/p&&p&林徽因《你是人间的四月天》&/p&&p&&br&&/p&&p&59&/p&&p&风和日暖，令人愿意永远活下去。&/p&&p&朱生豪《朱生豪情诗》&/p&&p&&br&&/p&&p&60&/p&&p&遇见是两个人的事，离开却是一个人的决定。&/p&&p&（米兰·昆德拉）&/p&&p&&br&&/p&&p&61&/p&&p&如果你能在秋天到来，我会用掸子把夏天掸掉，一半轻蔑，一半含笑。&/p&&p&狄金森《如果你能在秋天到来》&/p&&p&&br&&/p&&p&61&/p&&p&死亡，就是你加上这个世界，再减去你。&/p&&p&（卡尔维诺）&/p&&p&&br&&/p&&p&62&/p&&p&我爱你，不光是因为你的样子，还因为和你在一起时，我的样子。&/p&&p&（罗伊·克里夫特）&/p&&p&&br&&/p&&p&63&/p&&p&有些人浅薄，有些人金玉其外而败絮其中，总有一天，你会遇到有一个彩虹般绚烂的人，在这之后，会觉得其他人都只是浮云而已。&/p&&p&《怦然心动》&/p&&p&&br&&/p&&p&64&/p&&p&我同情所有不想上床睡觉的人，同情所有在夜里需要光亮的人。&/p&&p&海明威《一个干净明亮的地方》&/p&&p&&br&&/p&&p&65&/p&&p&我们努力向前划，逆流而上的小船，不停地被浪潮推回到过去。 &/p&&p&菲茨杰拉德《了不起的盖茨比》&/p&&p&&br&&/p&&p&66&/p&&p&孩童只盼望欢乐，大人只知道寄望，为何都不大懂得努力体恤对方。 &/p&&p&陈奕迅演唱《Shall we talk》歌词&/p&&p&&br&&/p&&p&67&/p&&p&我喜欢你是寂静的，仿佛你消失了一样，遥远且忧伤，仿佛你死了一样。彼时，一个字，一个微笑，已经足够。而我会觉得幸福，因那不是真的而觉得幸福。 &/p&&p&聂鲁达《二十首情诗和绝望的歌》&/p&&p&&br&&/p&&p&68&/p&&p&我之所以这么待你，是因为我愿意。若能以此换回同样的诚心。固然可喜。若是没有，我也没有什么可后悔的。 &/p&&p&海晏《琅琊榜》&/p&&p&&br&&/p&&p&69&/p&&p&你是我温暖的手套，冰冷的啤酒，带着阳光味道的衬衫，日复一日的梦想。&/p&&p&廖一梅《恋爱的犀牛》&/p&&p&&br&&/p&&p&70&/p&&p&除掉睡眠，人的一辈子只有一万多天。人与人的不同在于：你是真的活了一万多天，还是仅仅生活了一天，却重复了一万多次。&/p&&p&（费尔南多·佩索阿）&/p&&p&&br&&/p&&p&71&/p&&p&这世上有成千上万种爱，但从来没有一种爱可以重来。&/p&&p&（菲茨杰拉德）&/p&&p&&br&&/p&&p&72&/p&&p&爱任何事物的方式，就是要意识到你可能会失去它。&/p&&p&（切斯特顿）&/p&&p&&br&&/p&&p&73&/p&&p&如果你爱上了某个星球的一朵花。那么，只要在夜晚仰望星空，就会觉得漫天的繁星就像一朵朵盛开的花。&/p&&p&圣埃克苏佩里《小王子》&/p&&p&&br&&/p&&p&74&/p&&p&我行过许多地方的桥，看过许多次数的云，喝过许多种类的酒，却只爱过一个正当年龄的人。&/p&&p&沈从文《湘行散记》&/p&&p&&br&&/p&&p&75&/p&&p&当我爱你时，风中的松树，要以他们丝线般的叶子唱你的名字。&/p&&p&聂鲁达《我在这里爱你》&/p&&p&&br&&/p&&p&76&/p&&p&所谓理解，通常不过是误解的总和。&/p&&p&村上春树《斯普特尼克恋人》&/p&&p&&br&&/p&&p&77&/p&&p&你嘴凑上来，我对你嘴说，这话就一直钻到你心里，省得走远路，拐了弯从耳朵里进去。&/p&&p&钱锺书《围城》&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&感谢大家，发现原本的这句和前面33那句重复，更换一句围城里的。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&78&/p&&p&每个人都有属于自己的一片森林，也许我们从来不曾去过，但它一直在那里，总会在那里，迷失的人迷失了，相逢的人会再相逢。 &/p&&p&村上春树《挪威的森林》&/p&&p&&br&&/p&&p&79&/p&&p&我把我整个灵魂都给你，连同它的怪癖，耍小脾气，忽明忽暗，一千八百种坏毛病。它真讨厌，只有一点好，爱你。&/p&&p&王小波《爱你就像爱生命》&/p&&p&&br&&/p&&p&80&/p&&p&生为冰山，就该淡淡地爱海流、爱风，并且在偶然接触时，全心全意地爱另一块冰山。&/p&&p&（王小波）&/p&&p&&br&&/p&&p&81&/p&&p&家人闲坐，灯火可亲。&/p&&p&汪曾祺《冬天》&/p&&p&&br&&/p&&p&82&/p&&p&似此星辰非昨夜，为谁风露立中宵。&/p&&p&黄仲则《绮怀》&/p&&p&&br&&/p&&p&83&/p&&p&偶尔觉得妈妈很丢人，妈妈为什么连起码的脸面和自尊心都没有呢？我都觉得上火。比起她自己，她有更想守护的，那就是我，但当时我并不知道。人真正变强大，不是因为守护着自尊心，而是抛开自尊心的时候，所以妈妈很强大。&/p&&p&《请回答1988》&/p&&p&&br&&/p&&p&84&/p&&p&当对幸福的憧憬过于急切，那痛苦就在人的心灵深处升起。&/p&&p&加缪《西绪弗斯的神话》&/p&&p&&br&&/p&&p&85&/p&&p&对未来的真正慷慨，是把一切献给现在。&/p&&p&加缪《反抗者》&/p&&p&&br&&/p&&p&86&/p&&p&初恋就是一点点笨拙外加许许多多好奇。&/p&&p&（萧伯纳）&/p&&p&&br&&/p&&p&87&/p&&p&你必须只有内心丰富，才能摆脱这些生活表面的相似。&/p&&p&王朔《致女儿书》&/p&&p&&br&&/p&&p&88&/p&&p&今夜我不会遇见你，今夜我遇见了世上的一切，但不会遇见你。&/p&&p&海子《山楂树》&/p&&p&&br&&/p&&p&89&/p&&p&一个人生命中最大的幸运，莫过于在他生命途中即在他年富力强的时候发现了自己的使命。&/p&&p&茨威格《人类群星闪耀时》&/p&&p&&br&&/p&&p&90&/p&&p&死亡不是失去生命，而是走出时间。&/p&&p&余华《在细雨中呼喊》&/p&&p&&br&&/p&&p&91&/p&&p&人在无端微笑时，不是百无聊赖，就是痛苦难当。&/p&&p&王小波《革命时期的爱情》&/p&&p&&br&&/p&&p&92&/p&&p&人的一切痛苦,本质上都是对自己的无能的愤怒。&/p&&p&（王小波）&/p&&p&&br&&/p&&p&93&/p&&p&你再不来，我要下雪了。&/p&&p&木心《云雀叫了一整天》&/p&&p&&br&&/p&&p&94&/p&&p&我们听过无数的道理，却仍旧过不好这一生。&/p&&p&韩寒《后会无期》&/p&&p&&br&&/p&&p&95&/p&&p&落在一个人一生中的雪我们不可能全部看见，每个人都在自己的生命中孤独的过冬。&/p&&p&刘亮程《寒风吹彻》&/p&&p&&br&&/p&&p&96&/p&&p&该忘记的早就忘记，该留下的永远留下。&/p&&p&答应我，忍住你的痛苦，不发一言，穿过这整座城市。&/p&&p&海子《太阳和野花》&/p&&p&&br&&/p&&p&97&/p&&p&我只是个戏子，在别人的故事里，流着自己的泪。&/p&&p&席慕蓉《戏子》&/p&&p&&br&&/p&&p&98&/p&&p&我永恒的灵魂注视着你的心，纵然黑夜孤寂，白昼如焚。&/p&&p&（兰波）&/p&&p&&br&&/p&&p&99&/p&&p&每个人都很孤独。在我们的一生中，遇到爱、遇到性都不稀罕，稀罕的是遇到了解。&/p&&p&廖一梅《柔软》&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&100&/b&&/p&&p&&b&整理的这么辛苦，大家是不是应该点个赞。&/b&&/p&&p&&b&鲁迅《我没说过》&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&留言说说哪一句最打动你？&/p&&p&如果上文没提到的你心中一直珍藏的那句，&/p&&p&你也可以留言和我分享。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&如果你不知道读什么书，可以关注我。&/b&&/p&&p&&b&书海芜杂，读点好的。&/b&&/p&&p&&b&微信公号专门推荐好书新书：&/b&&/p&&p&&b&「黑白书单」&/b&（ID：hishudan）&/p&
吐血整理100句！ 喜欢阅读，经常在自己公号推读过的好书新书，好词好句，各种书单。 欢迎关注微信公众号「黑白书单」（ID：hishudan） 1若人间有情，那是开始，也是尽头。（北岛怀念顾城） 2但愿离去是幸，我愿永不归来。弗里达·卡罗《卡罗日记》 3长日尽…
&p&默默翻出自己的收藏夹&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&1.&br&答案很长，&br&我准备用一生的时间来回答，&br&你准备要听了吗？ &br&——林徽因&br&（婚前，梁思成问林徽因：“有一句话，我只问这一次，以后都不会再问，为什么是我？”林徽因如是说。）&/p&&p&&br&&/p&&p&2.&br&家人闲坐，灯火可亲。&br&——汪曾祺《冬天》&/p&&p&&br&&/p&&p&3.&br&未经允许，擅自特别喜欢你，不好意思了。——priest《默读》&/p&&p&&br&&/p&&p&4.&br&生命里面很多事情，沉重婉转至不可说。 &br&——黄碧云《失城》&/p&&p&&br&&/p&&p&5.&br&我们杜撰了无数个黄昏，&br&幻想来自 一只飞出耳廓的飞蛾。&/p&&p&&br&&/p&&p&6.&br&窗纱外 小鹿给我送枝花，&br&沙发上 下凡天使共我喝着茶。&br&——黄伟文&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&7.&br&突然想到你，笑了笑自己。&br&——青慕&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&8.&br&你如同我温暖的手套,冰冷的啤酒。带着阳光味道的衬衫,日复一日的梦想。&br&——廖一梅《恋爱的犀牛》&/p&&p&&br&&/p&&p&9.&br&未佩妥剑，出门便已是江湖。&br&——痞子蔡&/p&&p&&br&&/p&&p&10.&br&&/p&&p&我已经认识她一辈子了，只是等到今天才碰&br&到她而已。一一亦舒&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&11.&br&我见过你最深情的面孔和最柔软的笑意，在炎凉的事态中灯火一样给予我苟且的能力，边走边爱。&br&——七堇年&/p&&p&&br&&/p&&p&12.&br&我的感情像一杯酒。第一个人碰洒了，还剩一半。我把杯子扶起来，兑满，留给第二个人。他又碰洒了。我还是扶起，兑满，留给第三个人。 感情是越来越淡，但是他们每个人，都获得的是我完整的，全部的，一杯酒。&br&——七堇年《澜本嫁衣》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&13.&br&没事 只不过是恢复原状罢了 我本来就是一无所有的。&br&――濑川初原《食灵零》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&14.&br&天地玄黄,宇宙洪荒。&br&——《千字文》&/p&&p&&br&&/p&&p&15.&br&落在一个人一生中的雪，我们不能全部看见。 每个人都在自己的生命中，孤独地过冬。我们帮不了谁。&br&——刘亮程&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&16.&br&你没有如期归来 &br&而这正是离别的意义。&br&——北岛&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&17.&br&水来，我在水中等你；火来，我在灰烬中等你。&br&——洛夫&/p&&p&&br&&/p&&p&18.&br&某天，你无端想起一个人，&br&她曾让你对明天有所期许，&br&但是却完全没有出现在你的明天里。&br&——微电影《再见金华站》&/p&&p&&br&&/p&&p&19.&br&令霜凝树枝，叫茂叶枯卷，&br&使雪掩美色，呈万里荒原。&br&——莎士比亚&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&20.&br&世间情动，不过盛夏白瓷梅子汤，碎冰碰壁当啷响。&br&——《穆玄英挂帅》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&21.&br&在世间 ，&br&本就是各人下雪 ，&br&各人有各人的隐晦与皎洁。&br&——今山事&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&22.&br&念月榭携手，露桥闻笛，沉思前事。似梦里，泪暗滴。&br&——周邦彦《兰陵王》&/p&&p&&br&&/p&&p&23.&br&当时明月在，曾照彩云归。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&24.&br&酒入豪肠，七分酿成了月光。&br&余下的三分啸成剑气。&br&绣口一吐，就半个盛唐。&br&——余光中&/p&&p&&br&&/p&&p&25.&br&醉里论道，醒时折花。&/p&&p&&br&&/p&&p&26.&br&十年饮冰，难凉热血。&/p&&p&&br&&/p&&p&27.&br&人间好烫，我要梦。&br&――谢绝天下宴&/p&&p&&br&&/p&&p&28.&br&幸得识卿桃花面，从此阡陌多暖春。&/p&&p&&br&&/p&&p&29.&br&我们听过无数的道理，却仍旧过不好这一生。&br&——韩寒《后会无期》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&30.&br&喜欢就会放肆，但爱就是克制。&br&——韩寒《后会无期》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&31.&br&吹灭读书灯，一身都是月。&/p&&p&&br&&/p&&p&32.&br&我天性不宜交际。在多数场合，我不是觉得对方乏味，就是害怕对方觉得我乏味。可是我既不愿忍受对方的乏味，也不愿费劲使自己显得有趣，那都太累了。我独处时最轻松，因为我不觉得自己乏味，即使乏味，也自己承受，不累及他人，无需感到不安。&br&——周国平《风中的纸屑》&/p&&p&&br&&/p&&p&33.&br&他教我收余恨，免娇嗔，且自新，改性情。休恋逝水，苦海回身，早悟兰因。&br&——《锁麟囊》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&34.&br&陌上花开，可缓缓归矣。&/p&&p&&br&&/p&&p&35.&br&几年前踏上火车那一刻都还没有意识到，从此故乡只有冬夏，再无春秋。&/p&&p&&br&&/p&&p&36.&br&这一生愿你以梦为马， 而我折骨成刀护你周全。&/p&&p&&br&&/p&&p&37.&br&所有人所有事都不允许我软弱。&/p&&p&&br&&/p&&p&38.&br&你的声音，怎么可以这么好听，想着，如果和你在一起就好啦。能有这么荒唐的想法，一定是风和你都太温柔了。&/p&&p&&br&&/p&&p&39.&br&生活从来都不容易。当你觉得容易的时候，一定是有人在替你承担属于你的那份不容易 。要么是你的父母，要么是未来的自己。&/p&&p&&br&&/p&&p&40.&br&要想人前显贵，必得人后受罪。&br&——《霸王别姬》&/p&&p&&br&&/p&&p&41.&br&和好容易，如初太难。&/p&&p&&br&&/p&&p&42.&br&逢人只说三分话， 不可全抛一片心。&/p&&p&&br&&/p&&p&}
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1、扫描二维码兑换
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注意事项：
1.兑换前请确认已创建游戏角色；
2.进入兑换中心后，正确填写相关信息，兑换成功后进入游戏查收礼包；
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参与人 0，评论数PK10计划-PK10计划群 - PK10计划交流群&p&总之岁月漫长，然而值得等待。——村上春树&/p&&p&凡是过去，皆为序章。——莎士比亚&/p&&p&少年与爱永不老去，即便披荆斩棘，丢失怒马鲜衣。 ——莫峻 &/p&&p&没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临。——南方周末&/p&&p&浅水是喧哗的，深水是沉默的。——雪莱&/p&&p&四方食事，不过一碗人间烟火。——小灯泡儿&/p&&p&天可补，海可填，南山可移。日月既往，不可复追。——曾国藩&/p&&p&我走得很慢，但我从不后退。——林肯&/p&&p&花看半开，酒饮微醺。——『菜根谭』&/p&&p&花开如火，也如寂寞。——顾城&/p&&p&愿你一生努力，一生被爱。想要的都拥有，得不到的都释怀。——八月长安&/p&&p&纵使黑夜吞噬了一切，太阳还可以重新回来。——汪国真&/p&&p&一星陨落，黯淡不了星空灿烂；一花凋零，荒芜不了整个春天。——巴尔扎克&/p&&p&我有一瓢酒，可以慰风尘。——韦应物&/p&&p&鲸落海底，哺暗界众生十五年。——加里·斯奈德&/p&&p&我荒废了时间，时间便把我荒废了。——莎士比亚&/p&&p&只有流过血的手指，才能弹出世间的绝唱。——泰戈尔&/p&&p&夜暗方显万颗星，灯明始见一缕尘。——七堇年&/p&&p&月缺不改光，剑折不改刚。——梅尧臣&/p&&p&活着不一定要鲜艳，但一定要有自己的颜色。——张曙光&/p&&p&掉头一去是风吹黑发，回首再来已雪满白头。——余光中&/p&&p&万物皆有裂痕，那是光照进来的地方。——莱昂纳德·科恩&/p&&p&每个人都在愤世疾俗，每个人又都在同流合污。——『自由在高处』&/p&&p&你生而有翼，为何竟愿一生匍匐前进，形如虫蚁。——贾拉尔·阿德丁·鲁米&/p&&p&浮名浮利，虚苦劳神。叹隙中驹，石中火，梦中身。——苏轼&/p&&p&少年安得长少年，海波尚变为桑田。——李贺&/p&&p&谁终将声震人间，必长久深自缄默；谁终将点燃闪电，必长久如云漂泊。——尼采&/p&&p&容颜会老去，四季不会停。那些散碎在笔尖的光阴，寂静欢喜。——陆苏&/p&&p&当华美的叶片落尽，生命的脉络才历历可见。——聂鲁达&/p&&p&日出之美便在于它脱胎于最深的黑暗。——辛夷坞&/p&&p&一盏一直亮着的灯，你不会去注意，但是如果它一亮一灭，你就会注意到。——刘墉&/p&&p&这世界是如此喧哗，让沉默的人显得有点傻。——李宗盛&/p&&p&如果结果不如你所愿，就在尘埃落定前奋力一搏。——『夏目友人帐』&/p&&p&宁鸣而死，不默而生。——范仲淹&/p&&p&人生没有白走的路，每一步都算数。——李宗盛&/p&&p&所谓浮躁，也就是时时刻刻，希望以最短的时间，博取最多的存在感、优越感和自我认同。——张佳玮&/p&&p&从前的日色变得慢，车，马，邮件都慢，一生只够爱一个人。——木心&/p&&p&有些事不是看到了希望才去坚持，而是因为坚持才会看到希望。——『十宗罪』&/p&&p&只有用水将心上的雾气淘洗干净，荣光才会照亮最初的梦想。——『百年孤独』&/p&&p&人生的旅程就是这样，用大把时间迷茫，在几个瞬间成长。——瑞卡斯&/p&&p&成功就是从失败到失败，也依然不改热情。——丘吉尔&/p&&p&方向是比速度更重要的追求。——白岩松&/p&&p&在每个死胡同的尽头，都有另一个维度的天空，在无路可走时迫使你腾空而起，那就是奇迹。——廖一梅&/p&&p&给自己一点时间，别害怕重新开始。——威尔·鲍温 &/p&&p&没有不可治愈的伤痛，没有不能结束的沉沦，所有失去的，会以另一种方式归来。——约翰·肖尔斯&/p&&p&人活一生，值得爱的东西很多，不要因为一个不满意，就灰心。——路遥&/p&&p&虽然明天还会有新的太阳，但永远不会有今天的太阳了。——林清玄&/p&&p&凡心所向，素履所往，生如逆旅，一苇以航。——『尘曲』&/p&&p&醉过才知酒浓，爱过才知情重。你不能做我的诗，正如我不能做你的梦。——胡适&/p&&p&每个人都不是一座孤岛，一个人必须是这世界上最坚固的岛屿，然后才能成为大陆的一部分。——海明威&/p&&p&以上是作文纸条APP里用户收藏数最多的50个句子，分享给大家~&/p&
总之岁月漫长，然而值得等待。——村上春树凡是过去，皆为序章。——莎士比亚少年与爱永不老去，即便披荆斩棘，丢失怒马鲜衣。 ——莫峻 没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临。——南方周末浅水是喧哗的，深水是沉默的。——雪莱四方食事，不过一碗…
&p&某次无意中看到了俄罗斯画家Ivan Aivazovsky的画，被震惊到了，然后逢人就推荐，已经成为脑残粉。他画的水是如此清透，可怜可爱。让人忍不住想身临其境去见识这样的美景。&/p&&p&随手放了几张图，网上还有更多，就不一一列举了。&/p&&p&提示：深海恐惧症患者请慎重观看。&/p&&p&勤劳的小蜜蜂又来啦！&/p&&p&喜讯！！&/p&&p&找到了谷歌艺术计划的网址，上面有很多Ivan的高清大图，大家的桌面都换起来吧！&/p&&p&网址：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//commons.wikimedia.org/wiki/%25D0%%25B2%25D0%25B0%25D0%25BD_%25D0%259A%25D0%25BE%25D0%25BD%25D1%%%25B0%25D0%25BD%25D1%%25B8%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B2%25D0%25B8%25D1%%%25B9%25D0%25B2%25D0%25B0%25D0%25B7%25D0%25BE%25D0%25B2%25D1%%25BA%25D0%25B8%25D0%25B9& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Иван Константинович Айвазовский&/a&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&1280& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b88e292e2cfee4ef14dd4a0_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1813& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1813& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b88e292e2cfee4ef14dd4a0_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&634& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ac1ed4b5a87_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ac1ed4b5a87_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&758& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-60fd39b2d7f_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-60fd39b2d7f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&670& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e1d1bcdd7ad_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e1d1bcdd7ad_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&哇，看来大家都很喜欢他的画，那我把珍藏的都放出来吧&/p&&figure&&img data-rawheight=&1000& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-bebdd796e1c743c2e80332_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&687& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&687& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-bebdd796e1c743c2e80332_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&656& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-23dc3c4ba2cfb3eb01a16f4cdcdc7f77_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-23dc3c4ba2cfb3eb01a16f4cdcdc7f77_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&615& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-72bb08ca31_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-72bb08ca31_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&612& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ccffaa349dd89dd90bf89_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ccffaa349dd89dd90bf89_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&745& 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zh-lightbox-thumb& width=&1407& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-347af54c3ad4f5b6c8450_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&644& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-efaf7b0a641f5c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-efaf7b0a641f5c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&646& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-afdf321e4affce6b6576e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-afdf321e4affce6b6576e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&1000& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-56b26e3a329dc3ae3c14614d_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&684& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&684& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-56b26e3a329dc3ae3c14614d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&662& 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width=&1000& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-5fee24bdb97f1b57960cef_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&1000& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b0f851b23e83cbd04d4a5a8_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&765& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&765& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b0f851b23e83cbd04d4a5a8_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&704& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-cb54df33edd64fef605f93e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-cb54df33edd64fef605f93e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&581& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-3eb49adfe8a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-3eb49adfe8a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&717& 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zh-lightbox-thumb& width=&795& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-3d72af7c232bec6a16ab6_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&超积极的答主又来了。。。看到评论里很多人说透纳，于是找了一些他的作品，的确有相似之处。不过感觉透纳的风格更疏狂，不知道为什么看到他的画我老是想起苏东坡仰天大笑：“大江东去浪淘尽。”的气势？艺术小白。。请专业人士笔下留情。&/p&&p&这次透纳的画是在有画网和视觉中国上找到的，爱者请自取。&/p&&figure&&img data-rawheight=&645& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&706& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-635f21a95e69ed9acf8f1eebf5977542_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&950& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&950& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-635f21a95e69ed9acf8f1eebf5977542_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&513& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-9ac9bafa33cfadb472b8b711ed155b6c_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-9ac9bafa33cfadb472b8b711ed155b6c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&500& src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c9a299cd165d03fed33cfbf_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1076& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1076& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c9a299cd165d03fed33cfbf_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&916& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-dca06fd4a26a_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-dca06fd4a26a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawheight=&836& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9e2acabfc04b950ed2c2_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9e2acabfc04b950ed2c2_r.jpg&&&/figure&
某次无意中看到了俄罗斯画家Ivan Aivazovsky的画，被震惊到了，然后逢人就推荐，已经成为脑残粉。他画的水是如此清透，可怜可爱。让人忍不住想身临其境去见识这样的美景。随手放了几张图，网上还有更多，就不一一列举了。提示：深海恐惧症患者请慎重观看。…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&p&吐血整理100句！&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&喜欢阅读，经常在自己公号推读过的好书新书，好词好句，各种书单。&br&欢迎关注微信公众号&b&「黑白书单」&/b&（ID：hishudan）&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&1&/p&&p&若人间有情，那是开始，也是尽头。&/p&&p&（北岛怀念顾城）&/p&&p&&br&&/p&&p&2&/p&&p&但愿离去是幸，我愿永不归来。&/p&&p&弗里达·卡罗《卡罗日记》&/p&&p&&br&&/p&&p&3&/p&&p&长日尽处，我站在你的面前，你将看到我的伤痕，知道我曾经受伤，也曾经痊愈。&/p&&p&泰戈尔《飞鸟集》&/p&&p&&br&&/p&&p&4&/p&&p&有人认为爱是性，是婚姻，是清晨六点的吻，是一堆孩子，也许真是这样的，莱斯特小姐。但你知道我怎么想吗，我觉得爱是想触碰又收回手。&/p&&p&塞林格《破碎故事之心》&/p&&p&&br&&/p&&p&5&/p&&p&幸福与不幸福，是四堵墙壁里的秘密，虽说墙有耳，却没有舌头。&/p&&p&大仲马《基督山伯爵》&/p&&p&&br&&/p&&p&6&/p&&p&过去都是假的，回忆是一条没有归途的路，以往的一切春天都无法复原，即使最狂乱且坚韧的爱情，归根结底也不过是一种瞬息即逝的现实，唯有孤独永恒。&/p&&p&马尔克斯《百年孤独》&/p&&p&&br&&/p&&p&7&/p&&p&我应该相信还有别的，其实都不可信。只有你实实在在。你是我的不幸，和我的大幸，纯真而无穷无尽。&/p&&p&博尔赫斯《恋人》&/p&&p&&br&&/p&&p&8&/p&&p&你太习惯这个世界了，才会对任何事情都不感到惊奇。&/p&&p&贾德《苏菲的世界》&/p&&p&&br&&/p&&p&9&/p&&p&和你们这些少爷不同，我们光是活着就竭尽全力了。&/p&&p&空知英秋《银魂》&/p&&p&&br&&/p&&p&10&/p&&p&我的身体里住过我一生至今每个冬天的雪，住过大海，住过这世间所有流浪的爱人。&/p&&p&马良《坦白书》&/p&&p&&br&&/p&&p&11&/p&&p&后海有树的院子，夏代有工的玉。此时此刻的云，二十来岁的你。&/p&&p&冯唐《可遇不可求的事》&/p&&p&&br&&/p&&p&12&/p&&p&我年华虚度，空有一身疲倦。&/p&&p&海子《祖国或以梦为马》&/p&&p&&br&&/p&&p&13&/p&&p&目的虽有，却无路可循；我们称之为路的，无非是踌躇。&/p&&p&卡夫卡《误入世界》&/p&&p&&br&&/p&&p&14&/p&&p&假如你下午四点钟来，那么从三点钟起我就开始感到高兴。&/p&&p&圣艾克苏佩里《小王子》&/p&&p&&br&&/p&&p&15&/p&&p&死了，就像水消失在水中。&/p&&p&博尔赫斯《另一次死亡》&/p&&p&16&/p&&p&秋天的风都是从往年吹来的。&/p&&p&木心《素履之往》&/p&&p&&br&&/p&&p&17&/p&&p&想人想的厉害的时候，也是淡淡的。像饿极了许多日的人闻到炊烟，但知道不是自家的。&/p&&p&（简媜）&/p&&p&&br&&/p&&p&18&/p&&p&那时候苏小姐把自己的爱情看得太名贵了，不肯随便施与。现在呢，宛如做好了衣服，舍不得穿，锁在箱里，过了一两年忽然发现这衣服的样子和花色都不时髦了，有些自怅自悔。&/p&&p&钱锺书《围城》&/p&&p&&br&&/p&&p&19&/p&&p&每个人心中有多么长的一个清单，清单里写着多么美好的事。可它们总是悲哀推迟被搁置，在时间的阁楼上腐烂。为什么勇气的问题总被误认为是时间的问题，而那么沉重抑郁的、不得已的，总被叫做生活本身。&/p&&p&刘瑜《送你一颗子弹》&/p&&p&&br&&/p&&p&20&/p&&p&那一天我21岁，在我一生的黄金时代，我有好多奢望。我想爱，想吃，还想在一瞬间变成天上半明半暗的云。后来我才知道，生活就是个缓慢受锤的过程，人一天天老下去，奢望也一天天消失，最后变得像挨了锤的牛一样。&/p&&p&王小波《黄金时代》&/p&&p&&br&&/p&&p&21&/p&&p&楼下一个男人病得要死，那间壁的一家唱着留声机，对面是弄孩子。楼上有两人狂笑；还有打牌声。河中的船上有女人哭着她死去的母亲。人类的悲欢并不相通，我只觉得他们吵闹。&/p&&p&鲁迅《而已集·小杂感》&/p&&p&&br&&/p&&p&22&/p&&p&丢失的日子如融化在人群里的好姑娘，我看着她沿途美丽下去，嫁给别人。&/p&&p&叶三《九万字》&/p&&p&&br&&/p&&p&23&/p&&p&醒来觉得甚是爱你。&/p&&p&朱生豪《朱生豪情书》&/p&&p&&br&&/p&&p&24&/p&&p&你的不在就像无奈的石碑，将会使许许多多个黄昏暗淡。&/p&&p&（博尔赫斯）&/p&&p&&br&&/p&&p&25&/p&&p&我今晚之所以来，是因为当你知道，要与某人共度余生时，你希望你的余生尽快开始。&/p&&p&《当哈利遇到莎莉》&/p&&p&&br&&/p&&p&26&/p&&p&人是在等人的时候老下去的。&/p&&p&（木心）&/p&&p&&br&&/p&&p&27&/p&&p&她可以褪色，可以枯萎，怎样都可以，但我只要看她一眼，万般柔情就涌上心头。&/p&&p&纳博科夫《洛丽塔》&/p&&p&&br&&/p&&p&28&/p&&p&从前的日色变得慢，车，马，邮件都慢，一生只够爱一个人。&/p&&p&木心《从前慢》&/p&&p&&br&&/p&&p&29&/p&&p&我是你路上最后的一个过客&/p&&p&最后的一个春天&/p&&p&最后的一场雪&/p&&p&最后的一次求生的战争&/p&&p&保尔·艾吕雅《凤凰》&/p&&p&&br&&/p&&p&30&/p&&p&你来人间一趟，你要看看太阳，和你的心上人，一起走在街上。&/p&&p&海子《夏天的太阳》&/p&&p&&br&&/p&&p&31&/p&&p&酒水相溶之后，酒就会变得淡了，水也会变了质。&/p&&p&有些人遇到某一个人之后，就会变得软弱一点，就像是掺了水的酒。&/p&&p&古龙《英雄无泪》&/p&&p&&br&&/p&&p&32&/p&&p&你的眉目笑语使我病了一场&/p&&p&热势退尽，还有我寂寞的健康&/p&&p&木心《眉目》&/p&&p&&br&&/p&&p&33&/p&&p&夜里不睡的人，白天多多少少总有什么逃避掩饰的吧。白昼解不开的结，黑夜慢慢耗。&/p&&p&卡佛《当我们谈论爱情时我们在谈论什么》&/p&&p&&br&&/p&&p&34&/p&&p&什么叫多余？夏天的棉袄，冬天的蒲扇，还有等我已经心冷后你的殷勤。&/p&&p&李碧华《只是蝴蝶不愿意》&/p&&p&&br&&/p&&p&35&/p&&p&唯一跟你作对的是你自己的愚蠢。&/p&&p&柳薇卡《乌克兰拖拉机简史》&/p&&p&&br&&/p&&p&36&/p&&p&因为你要做一朵花，才会觉得春天离开你；如果你是春天，就没有离开，就永远有花。&/p&&p&顾城《顾城哲思录》&/p&&p&&br&&/p&&p&37&/p&&p&人时已尽，人世很长&/p&&p&我在中间，应到休息&/p&&p&走过的人说树枝低了&/p&&p&走过的人说树枝在长&/p&&p&顾城《墓床》&/p&&p&&br&&/p&&p&38&/p&&p&我是住在海港并爱你的人，孤寂借梦和沉默穿过，囚禁在海与哀伤之间。&/p&&p&聂鲁达《二十首情诗和绝望的歌》&/p&&p&&br&&/p&&p&39&/p&&p&生活给了我想要的东西，同时又让我意识到那其实没什么意义。&/p&&p&（萨特） &/p&&p&&br&&/p&&p&40&/p&&p&你让我坐你旁边，我非常高兴，我非常孤独，我旅行的时间太长太长了。&/p&&p&凯鲁亚克《在路上》&/p&&p&&br&&/p&&p&41&/p&&p&有一次你对我说：有的人，是无价之宝。我是多么感动啊。对了，我常常这样想，谁把我放在心里的这种位置上，我才把自己的一切给他。不能给一个不咸不淡的人，不能给一个不冷不热的人，不能给一个不死不活的人，因为他不配，他根本不配。&/p&&p&王小波《爱你就像爱生命》&/p&&p&&br&&/p&&p&42&/p&&p&爱情充满了风险，然而，拒绝去爱却是生命最大的遗憾。&/p&&p&柯艾略《我坐在琵卓河畔哭泣》&/p&&p&&br&&/p&&p&43&/p&&p&那是个混账的年龄，你心里身体里都是爱，爱得浑身满心乱窜，给谁是不重要的。&/p&&p&严歌苓《芳华》&/p&&p&&br&&/p&&p&44&/p&&p&于千万人之中遇见你所要遇见的人，于千万年之中，时间的无涯的荒野，没有早一步，也没有晚一步，刚巧赶上了，没有别的话可说，惟有轻轻地问一声：噢，你也在这里？&/p&&p&（张爱玲）&/p&&p&&br&&/p&&p&45&/p&&p&心地才是最远的荒地，很少有人一辈子种好它。&/p&&p&（刘亮程）&/p&&p&&br&&/p&&p&46&/p&&p&一个人只拥有此生此世是不够的，他还应该拥有诗意的世界。&/p&&p&王小波《万寿寺》&/p&&p&&br&&/p&&p&47&/p&&p&我去旅行，是因为我决定了要去，并不是因为对风景的兴趣。&/p&&p&马尔克斯《霍乱时期的爱情》&/p&&p&&br&&/p&&p&48&/p&&p&当一个人不能拥有的时候，他唯一能做的便是不要忘记。&/p&&p&普鲁斯特《追忆似水年华》&/p&&p&&br&&/p&&p&49&/p&&p&哪里会有人喜欢孤独，不过是不喜欢失望。&/p&&p&村上春树《挪威的森林》&/p&&p&&br&&/p&&p&50&/p&&p&世界上最大的折磨也莫过于在爱的同时又带着藐视了。&/p&&p&毛姆《人生的枷锁》&/p&&p&&br&&/p&&p&51&/p&&p&真爱的第一个征兆，在男孩身上是胆怯，在女孩身上是大胆。&/p&&p&雨果《巴黎圣母院》&/p&&p&&br&&/p&&p&52&/p&&p&我们要有最朴素的生活，与最遥远的梦想。即使明日天寒地冻，路远马亡。&/p&&p&七堇年《被窝是青春的坟墓》&/p&&p&（PS：这句是七堇年化用海子的一句诗发挥而成，我觉得蛮好的。）&/p&&p&&br&&/p&&p&53&/p&&p&天空一无所有，为何给我安慰。&/p&&p&黑夜一无所有，为何给我安慰。&/p&&p&海子《黑夜的献诗》&/p&&p&&br&&/p&&p&54&/p&&p&我的忧伤，因为有你的照耀，升起一圈淡淡的光轮。 &/p&&p&舒婷《会唱歌的鸢尾花》&/p&&p&&br&&/p&&p&55&/p&&p&今夜我不关心人类，我只想你。 &/p&&p&海子《日记》&/p&&p&&br&&/p&&p&56&/p&&p&人必生活着，爱才有所附丽。&/p&&p&鲁迅《伤逝》&/p&&p&&br&&/p&&p&57&/p&&p&爱情无药可医，唯有爱得更深。&/p&&p&梭罗《瓦尔登湖》&/p&&p&&br&&/p&&p&58&/p&&p&你是爱，是暖，是希望，你是人间的四月天！&/p&&p&林徽因《你是人间的四月天》&/p&&p&&br&&/p&&p&59&/p&&p&风和日暖，令人愿意永远活下去。&/p&&p&朱生豪《朱生豪情诗》&/p&&p&&br&&/p&&p&60&/p&&p&遇见是两个人的事，离开却是一个人的决定。&/p&&p&（米兰·昆德拉）&/p&&p&&br&&/p&&p&61&/p&&p&如果你能在秋天到来，我会用掸子把夏天掸掉，一半轻蔑，一半含笑。&/p&&p&狄金森《如果你能在秋天到来》&/p&&p&&br&&/p&&p&61&/p&&p&死亡，就是你加上这个世界，再减去你。&/p&&p&（卡尔维诺）&/p&&p&&br&&/p&&p&62&/p&&p&我爱你，不光是因为你的样子，还因为和你在一起时，我的样子。&/p&&p&（罗伊·克里夫特）&/p&&p&&br&&/p&&p&63&/p&&p&有些人浅薄，有些人金玉其外而败絮其中，总有一天，你会遇到有一个彩虹般绚烂的人，在这之后，会觉得其他人都只是浮云而已。&/p&&p&《怦然心动》&/p&&p&&br&&/p&&p&64&/p&&p&我同情所有不想上床睡觉的人，同情所有在夜里需要光亮的人。&/p&&p&海明威《一个干净明亮的地方》&/p&&p&&br&&/p&&p&65&/p&&p&我们努力向前划，逆流而上的小船，不停地被浪潮推回到过去。 &/p&&p&菲茨杰拉德《了不起的盖茨比》&/p&&p&&br&&/p&&p&66&/p&&p&孩童只盼望欢乐，大人只知道寄望，为何都不大懂得努力体恤对方。 &/p&&p&陈奕迅演唱《Shall we talk》歌词&/p&&p&&br&&/p&&p&67&/p&&p&我喜欢你是寂静的，仿佛你消失了一样，遥远且忧伤，仿佛你死了一样。彼时，一个字，一个微笑，已经足够。而我会觉得幸福，因那不是真的而觉得幸福。 &/p&&p&聂鲁达《二十首情诗和绝望的歌》&/p&&p&&br&&/p&&p&68&/p&&p&我之所以这么待你，是因为我愿意。若能以此换回同样的诚心。固然可喜。若是没有，我也没有什么可后悔的。 &/p&&p&海晏《琅琊榜》&/p&&p&&br&&/p&&p&69&/p&&p&你是我温暖的手套，冰冷的啤酒，带着阳光味道的衬衫，日复一日的梦想。&/p&&p&廖一梅《恋爱的犀牛》&/p&&p&&br&&/p&&p&70&/p&&p&除掉睡眠，人的一辈子只有一万多天。人与人的不同在于：你是真的活了一万多天，还是仅仅生活了一天，却重复了一万多次。&/p&&p&（费尔南多·佩索阿）&/p&&p&&br&&/p&&p&71&/p&&p&这世上有成千上万种爱，但从来没有一种爱可以重来。&/p&&p&（菲茨杰拉德）&/p&&p&&br&&/p&&p&72&/p&&p&爱任何事物的方式，就是要意识到你可能会失去它。&/p&&p&（切斯特顿）&/p&&p&&br&&/p&&p&73&/p&&p&如果你爱上了某个星球的一朵花。那么，只要在夜晚仰望星空，就会觉得漫天的繁星就像一朵朵盛开的花。&/p&&p&圣埃克苏佩里《小王子》&/p&&p&&br&&/p&&p&74&/p&&p&我行过许多地方的桥，看过许多次数的云，喝过许多种类的酒，却只爱过一个正当年龄的人。&/p&&p&沈从文《湘行散记》&/p&&p&&br&&/p&&p&75&/p&&p&当我爱你时，风中的松树，要以他们丝线般的叶子唱你的名字。&/p&&p&聂鲁达《我在这里爱你》&/p&&p&&br&&/p&&p&76&/p&&p&所谓理解，通常不过是误解的总和。&/p&&p&村上春树《斯普特尼克恋人》&/p&&p&&br&&/p&&p&77&/p&&p&你嘴凑上来，我对你嘴说，这话就一直钻到你心里，省得走远路，拐了弯从耳朵里进去。&/p&&p&钱锺书《围城》&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&感谢大家，发现原本的这句和前面33那句重复，更换一句围城里的。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&78&/p&&p&每个人都有属于自己的一片森林，也许我们从来不曾去过，但它一直在那里，总会在那里，迷失的人迷失了，相逢的人会再相逢。 &/p&&p&村上春树《挪威的森林》&/p&&p&&br&&/p&&p&79&/p&&p&我把我整个灵魂都给你，连同它的怪癖，耍小脾气，忽明忽暗，一千八百种坏毛病。它真讨厌，只有一点好，爱你。&/p&&p&王小波《爱你就像爱生命》&/p&&p&&br&&/p&&p&80&/p&&p&生为冰山，就该淡淡地爱海流、爱风，并且在偶然接触时，全心全意地爱另一块冰山。&/p&&p&（王小波）&/p&&p&&br&&/p&&p&81&/p&&p&家人闲坐，灯火可亲。&/p&&p&汪曾祺《冬天》&/p&&p&&br&&/p&&p&82&/p&&p&似此星辰非昨夜，为谁风露立中宵。&/p&&p&黄仲则《绮怀》&/p&&p&&br&&/p&&p&83&/p&&p&偶尔觉得妈妈很丢人，妈妈为什么连起码的脸面和自尊心都没有呢？我都觉得上火。比起她自己，她有更想守护的，那就是我，但当时我并不知道。人真正变强大，不是因为守护着自尊心，而是抛开自尊心的时候，所以妈妈很强大。&/p&&p&《请回答1988》&/p&&p&&br&&/p&&p&84&/p&&p&当对幸福的憧憬过于急切，那痛苦就在人的心灵深处升起。&/p&&p&加缪《西绪弗斯的神话》&/p&&p&&br&&/p&&p&85&/p&&p&对未来的真正慷慨，是把一切献给现在。&/p&&p&加缪《反抗者》&/p&&p&&br&&/p&&p&86&/p&&p&初恋就是一点点笨拙外加许许多多好奇。&/p&&p&（萧伯纳）&/p&&p&&br&&/p&&p&87&/p&&p&你必须只有内心丰富，才能摆脱这些生活表面的相似。&/p&&p&王朔《致女儿书》&/p&&p&&br&&/p&&p&88&/p&&p&今夜我不会遇见你，今夜我遇见了世上的一切，但不会遇见你。&/p&&p&海子《山楂树》&/p&&p&&br&&/p&&p&89&/p&&p&一个人生命中最大的幸运，莫过于在他生命途中即在他年富力强的时候发现了自己的使命。&/p&&p&茨威格《人类群星闪耀时》&/p&&p&&br&&/p&&p&90&/p&&p&死亡不是失去生命，而是走出时间。&/p&&p&余华《在细雨中呼喊》&/p&&p&&br&&/p&&p&91&/p&&p&人在无端微笑时，不是百无聊赖，就是痛苦难当。&/p&&p&王小波《革命时期的爱情》&/p&&p&&br&&/p&&p&92&/p&&p&人的一切痛苦,本质上都是对自己的无能的愤怒。&/p&&p&（王小波）&/p&&p&&br&&/p&&p&93&/p&&p&你再不来，我要下雪了。&/p&&p&木心《云雀叫了一整天》&/p&&p&&br&&/p&&p&94&/p&&p&我们听过无数的道理，却仍旧过不好这一生。&/p&&p&韩寒《后会无期》&/p&&p&&br&&/p&&p&95&/p&&p&落在一个人一生中的雪我们不可能全部看见，每个人都在自己的生命中孤独的过冬。&/p&&p&刘亮程《寒风吹彻》&/p&&p&&br&&/p&&p&96&/p&&p&该忘记的早就忘记，该留下的永远留下。&/p&&p&答应我，忍住你的痛苦，不发一言，穿过这整座城市。&/p&&p&海子《太阳和野花》&/p&&p&&br&&/p&&p&97&/p&&p&我只是个戏子，在别人的故事里，流着自己的泪。&/p&&p&席慕蓉《戏子》&/p&&p&&br&&/p&&p&98&/p&&p&我永恒的灵魂注视着你的心，纵然黑夜孤寂，白昼如焚。&/p&&p&（兰波）&/p&&p&&br&&/p&&p&99&/p&&p&每个人都很孤独。在我们的一生中，遇到爱、遇到性都不稀罕，稀罕的是遇到了解。&/p&&p&廖一梅《柔软》&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&100&/b&&/p&&p&&b&整理的这么辛苦，大家是不是应该点个赞。&/b&&/p&&p&&b&鲁迅《我没说过》&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&留言说说哪一句最打动你？&/p&&p&如果上文没提到的你心中一直珍藏的那句，&/p&&p&你也可以留言和我分享。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&如果你不知道读什么书，可以关注我。&/b&&/p&&p&&b&书海芜杂，读点好的。&/b&&/p&&p&&b&微信公号专门推荐好书新书：&/b&&/p&&p&&b&「黑白书单」&/b&（ID：hishudan）&/p&
吐血整理100句！ 喜欢阅读，经常在自己公号推读过的好书新书，好词好句，各种书单。 欢迎关注微信公众号「黑白书单」（ID：hishudan） 1若人间有情，那是开始，也是尽头。（北岛怀念顾城） 2但愿离去是幸，我愿永不归来。弗里达·卡罗《卡罗日记》 3长日尽…
&p&默默翻出自己的收藏夹&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&1.&br&答案很长，&br&我准备用一生的时间来回答，&br&你准备要听了吗？ &br&——林徽因&br&（婚前，梁思成问林徽因：“有一句话，我只问这一次，以后都不会再问，为什么是我？”林徽因如是说。）&/p&&p&&br&&/p&&p&2.&br&家人闲坐，灯火可亲。&br&——汪曾祺《冬天》&/p&&p&&br&&/p&&p&3.&br&未经允许，擅自特别喜欢你，不好意思了。——priest《默读》&/p&&p&&br&&/p&&p&4.&br&生命里面很多事情，沉重婉转至不可说。 &br&——黄碧云《失城》&/p&&p&&br&&/p&&p&5.&br&我们杜撰了无数个黄昏，&br&幻想来自 一只飞出耳廓的飞蛾。&/p&&p&&br&&/p&&p&6.&br&窗纱外 小鹿给我送枝花，&br&沙发上 下凡天使共我喝着茶。&br&——黄伟文&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&7.&br&突然想到你，笑了笑自己。&br&——青慕&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&8.&br&你如同我温暖的手套,冰冷的啤酒。带着阳光味道的衬衫,日复一日的梦想。&br&——廖一梅《恋爱的犀牛》&/p&&p&&br&&/p&&p&9.&br&未佩妥剑，出门便已是江湖。&br&——痞子蔡&/p&&p&&br&&/p&&p&10.&br&&/p&&p&我已经认识她一辈子了，只是等到今天才碰&br&到她而已。一一亦舒&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&11.&br&我见过你最深情的面孔和最柔软的笑意，在炎凉的事态中灯火一样给予我苟且的能力，边走边爱。&br&——七堇年&/p&&p&&br&&/p&&p&12.&br&我的感情像一杯酒。第一个人碰洒了，还剩一半。我把杯子扶起来，兑满，留给第二个人。他又碰洒了。我还是扶起，兑满，留给第三个人。 感情是越来越淡，但是他们每个人，都获得的是我完整的，全部的，一杯酒。&br&——七堇年《澜本嫁衣》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&13.&br&没事 只不过是恢复原状罢了 我本来就是一无所有的。&br&――濑川初原《食灵零》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&14.&br&天地玄黄,宇宙洪荒。&br&——《千字文》&/p&&p&&br&&/p&&p&15.&br&落在一个人一生中的雪，我们不能全部看见。 每个人都在自己的生命中，孤独地过冬。我们帮不了谁。&br&——刘亮程&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&16.&br&你没有如期归来 &br&而这正是离别的意义。&br&——北岛&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&17.&br&水来，我在水中等你；火来，我在灰烬中等你。&br&——洛夫&/p&&p&&br&&/p&&p&18.&br&某天，你无端想起一个人，&br&她曾让你对明天有所期许，&br&但是却完全没有出现在你的明天里。&br&——微电影《再见金华站》&/p&&p&&br&&/p&&p&19.&br&令霜凝树枝，叫茂叶枯卷，&br&使雪掩美色，呈万里荒原。&br&——莎士比亚&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&20.&br&世间情动，不过盛夏白瓷梅子汤，碎冰碰壁当啷响。&br&——《穆玄英挂帅》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&21.&br&在世间 ，&br&本就是各人下雪 ，&br&各人有各人的隐晦与皎洁。&br&——今山事&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&22.&br&念月榭携手，露桥闻笛，沉思前事。似梦里，泪暗滴。&br&——周邦彦《兰陵王》&/p&&p&&br&&/p&&p&23.&br&当时明月在，曾照彩云归。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&24.&br&酒入豪肠，七分酿成了月光。&br&余下的三分啸成剑气。&br&绣口一吐，就半个盛唐。&br&——余光中&/p&&p&&br&&/p&&p&25.&br&醉里论道，醒时折花。&/p&&p&&br&&/p&&p&26.&br&十年饮冰，难凉热血。&/p&&p&&br&&/p&&p&27.&br&人间好烫，我要梦。&br&――谢绝天下宴&/p&&p&&br&&/p&&p&28.&br&幸得识卿桃花面，从此阡陌多暖春。&/p&&p&&br&&/p&&p&29.&br&我们听过无数的道理，却仍旧过不好这一生。&br&——韩寒《后会无期》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&30.&br&喜欢就会放肆，但爱就是克制。&br&——韩寒《后会无期》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&31.&br&吹灭读书灯，一身都是月。&/p&&p&&br&&/p&&p&32.&br&我天性不宜交际。在多数场合，我不是觉得对方乏味，就是害怕对方觉得我乏味。可是我既不愿忍受对方的乏味，也不愿费劲使自己显得有趣，那都太累了。我独处时最轻松，因为我不觉得自己乏味，即使乏味，也自己承受，不累及他人，无需感到不安。&br&——周国平《风中的纸屑》&/p&&p&&br&&/p&&p&33.&br&他教我收余恨，免娇嗔，且自新，改性情。休恋逝水，苦海回身，早悟兰因。&br&——《锁麟囊》&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&34.&br&陌上花开，可缓缓归矣。&/p&&p&&br&&/p&&p&35.&br&几年前踏上火车那一刻都还没有意识到，从此故乡只有冬夏，再无春秋。&/p&&p&&br&&/p&&p&36.&br&这一生愿你以梦为马， 而我折骨成刀护你周全。&/p&&p&&br&&/p&&p&37.&br&所有人所有事都不允许我软弱。&/p&&p&&br&&/p&&p&38.&br&你的声音，怎么可以这么好听，想着，如果和你在一起就好啦。能有这么荒唐的想法，一定是风和你都太温柔了。&/p&&p&&br&&/p&&p&39.&br&生活从来都不容易。当你觉得容易的时候，一定是有人在替你承担属于你的那份不容易 。要么是你的父母，要么是未来的自己。&/p&&p&&br&&/p&&p&40.&br&要想人前显贵，必得人后受罪。&br&——《霸王别姬》&/p&&p&&br&&/p&&p&41.&br&和好容易，如初太难。&/p&&p&&br&&/p&&p&42.&br&逢人只说三分话， 不可全抛一片心。&/p&&p&&br&&/p&&p&}
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