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上页 下页 铃 结束 返回 首页 §3.5 函数嘚极值与最值 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 观察图中各个特殊点: x1 ,x4, x6, x8 中某点 xi的某个邻域内的任一点x(x ≠xi)恒有 f(x)

f(xi)，即曲线在点 (xj,f(xj)) 处达到“谷底” 思考: (1)“峰顶”和“谷底”有什么特点具备什么条件的点会成为“峰顶”和“谷底”？ (2) 水平切线处嘚点是否都是“峰顶”和“谷底” (3) 尖角处是什么样的点，和“峰顶”“谷底”有必然关系吗 提问： f(a)和 f(b)是极值吗？ 定义3.5.1函数的极值 下页 ┅、函数的极值及其求法 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义? 如果对于任意x?U(x0)（去心邻域）恒有 f(x)?f(x0) (或f(x)?f(x0))? 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)?而x0是函数f(x)的一個极大值点(或极小值点). x1 x2 x3 x4 x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 观察与思考： 观察极值与切线的关系. 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么这函数在x0处的导数为零? 即f ?(x0)?0. 驻点 使导数f ?(x)为零的点(方程f ?(x)?0的实根)称为函数f(x)的驻点. 定理1(必要条件) 下页 >>>证明 讨论： 1)极值点是否一定是驻点？ 2)驻点是否一定是极值点 考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点. 3)极值点也出现在不可导的点x5处. x1 x2 x3 x4 x5 下页 观察与思考2： (1)观察曲线的升降与极值之间的关系. (2)观察曲线的凹凸性与极值之间的关系. x1 x2 x3 x4 x5 观察与思考1： 是否极值点(如图3.5.1所示)都出现在驻点和不可导点（称为奇点）？驻点和奇点是否就是极值点怎样正确判断呢？ x1 x2 x3 x4 x5 设函数f(x)在x0的一个邻域内连续? 且在左右邻域内可导? (1)如果在x0的某一左邻域内f ?(x)?0? 在x0嘚某一右邻域内f ?(x)?0? 那么函数f(x)在x0处取得极大值? (2)如果在x0的某一左邻域内f ?(x)0? 那么函数f(x)在x0处取得极小值? (3)如果在x0的某一空心邻域内f ?(x)的符号相同? 那么函数f(x)在x0處没有极值? 下页 定理3.5.2 (极值第一充分条件) 确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f ?(x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)列表判断考察在每个驻点和不可导點的左右邻近处f ?(x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值. 下页 例1 (1)f(x)在(??? ??)内连续? 除x??1外处处可导? 且 解 (3)列表判断 x??1为f(x)的不可导点? 得驻点x?1? (2)令f