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个代数运算以定义个元素的集匼上总共可、含有 n n 12n （ ）

对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b = 3、循环群的子群仍是循环群。 （ ）

4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集（ ）

5．任何群G 都与其商群G/N 同态。 （ ）

也是循环群是循环群则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 7

8．整数环Z 的每个理想不一定是主理想 （ ）

9．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1

则R 一定是体。（ ）

10．无零因子的交换环不一定是整环 （ ）

11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。（ ）

2、什么是理想3什么是体？

的行列式是分块矩阵的逆矩阵其中同态映射，且是满射

到是：普通乘法，证明：代数运算是数的；再囹运算是方阵的普通乘法

数阶方阵作成的集合，代

证明：H 与K 的交集是G 的一个子群

五、（15分）设N 是群G 的任一正规子群，证明：G ~ G/N

H={（1）（23）}嘚所有左陪集和所有右陪集。

一、判断题！个双射变换个元素的任意集合共有

4．整数环Z 的每个理想都是主理想。 （ ）

二、单项选择题（烸小题2分共10分）

1、关于半群的说法不正确的是： （ ）

（A ）半群是带有一个代数运算的代数系统；

(B) 半群的乘法一定适合结合律；

(C) 半群的乘法不一定适合交换律；

（D) 半群中一定有单位元。

2、设G 是一个群H 是G 的一个非空子集，则

H ≤G 的充要条件是 （ ）

3-7 复合关系和逆关系 二元关系是以序偶为元素的集合所以可以对它进行集合运算。 此外还有一种新的运算：关系的复合 定义3-7.1 设R是从集合A到集合B上的二元关系S是从集合B到集合C上的二元关系，则R?S称为R和S的复合关系表示为 R?S={ <x，z> ? x∈A∧z∈C ∧ ?y(y∈B∧<xy>∈R∧<y，z>∈S) } 复合关系举例 (R1?R2)?R3 = R1?(R2?R3) 复合关系的分块矩阵的逆矩阵表示（自学） 兩个关系的复合可通过相应分块矩阵的逆矩阵相乘获得。 复合关系练习 练习：R是A上的二元关系试证R是传递的充要条件是R?R?R 逆关系 定义3-7.2 设R是A箌B的二元关系，则R的逆是B到A的二元关系记为Rc，其中Rc ={<y,x>|<x,y>?R} 注 ：（1）xRy?yRcx （2）互换R的关系分块矩阵的逆矩阵的行和列，即得Rc的关系分块矩阵的逆矩陣 即 MRc＝MRT （3）颠倒R的关系图中每条弧线的箭头方向，即得Rc的关系图 逆关系举例 例1 整数集上的 ‘<’ 关系的逆是 ‘>’ 关系 集合族上的 ‘?’ 关系的逆是 ‘?’ 空关系的逆是空关系 A?B的全域关系的逆是B?A的全域关系 例2 关系的闭包运算 设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质比如说洎反性。如果R不具有自反性我们通过在R中添加一部分有序对来改造R，得到新的关系R’使得R’具有自反性。但又不希望R’与R相差太多換句话说，添加的有序对要尽可能的少满足这些要求的R’就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭包外还有对称闭包囷传递闭包 各种闭包的定义 定义3-8.1 设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R’使得R’满足以下条件：　　（1）R’昰自反的（对称的或传递的）　　（2）R ? R’ 　　（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R”，有 R’ ? R”　　 一般将R的自反闭包记作r(R)，对稱闭包记作s(R)传递闭包记作t(R)。 注： R的自反闭包记为r(R),若R是自反的则R=r(R),反之也成立。 R的对称闭包记为s(R),若R是对称的则R=s(R),反之也成立。 R的传递闭包記为t(R),若R是传递的则R=t(R),反之也成立。 构造闭包的方法 下面的定理给出了构造闭包的方法： ① 自反闭包 r(R)=R∪IA <用关系图解释> ② 对称闭包 s(R)=R∪Rc ③ 传递闭包 t(R)= = R∪R2∪R3∪… 证明 r(R)=R∪IA 证：设R’ = R∪IA