图形的变换专题无疑是中考的“三点”（重点、难点、热点），其中折叠问题占着极其重要的地位，应引起中考备战期间学生的高度重视．本文拟以几道难能可贵的小题来叙说折叠问题中的精彩，以盼达到抛砖引玉之效！

题1：（来源：好朋友浙江温州俞卫胜大师）

如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是边AB上一点，且AE=2EB，点P是边BC上一点，连接EP，过点P作PQ⊥PE交射线CD于点Q．若点C关于直线PQ的对称点正好落在边AD上，求BP的值．

法一（利用“折痕垂直平分对应点连线段”这一重要结论，构造相似三角形）：

第一步：如图1-1-1，连接CC’，则CC’⊥PQ，由PQ⊥PE知CC’∥PE，易得△BPE∽△DC’C，且相似比为1：3，设BP=x，则C’D=3x；

这里得到C’D=3x是解决此道题目的关键所在，这里本质上是巧妙借助了折叠问题中“折痕垂直平分对应点的连线”这一重要结论，同学们需予以关注，这个看似普普通通的结论往往可以出奇制胜！

第二步：如图1-1-2，利用对称或折叠，锁定四边形PCDC’，其本质上是一个直角梯形，且四边均已知或者已表示成x的代数式，这就注定了问题可解；

第三步：如图1-1-3，过点C’作C’G⊥PC于点G，将目光聚焦在Rt△PGC’上，由勾股定理便可列出方程进行求解（具体过程及答案略）！

至此本问题已顺利解出，求解的关键是得出C’D的长度，这里运用了“折痕垂直平分对应点的连线”这一重要结论，下面再提供一个得到C’D长度的方法：

法二（利用折叠问题中“角平分线+平行线→等腰三角形”这一重要结论，构造等腰三角形）：

第一步：如图1-2-1，类比“倍长中线”辅助线的思路，延长PE、DA交于点F，则易得△BPE∽△AFE，且相似比为1：2，设BP=x，则AF=2x；

第二步：如图1-2-2，由PQ⊥PE及对称，易推得∠FPC’=∠EPB，又由平行易知∠EPB=∠F，从而有∠FPC’=∠F，即△FPC’是等腰三角形；

这一步的本质其实是折叠问题中“角平分线+平行线→等腰三角形”的重要结论，即翻折问题中经常会出现等腰三角形，这一点学生应予以高度重视！

得出△FPC’是等腰三角形后，再通过对称或翻折不变性，很容易推得C’D=3x，下面的解答过程同法一，不再赘述！

法二中先构造了一个“平行8字型”相似结构，得出相似比，再通过折叠问题中“角平分线+平行线→等腰三角形”这一重要结论，锁定等腰△FPC’即可顺利表示出问题的关键C’D的长，值得同学们好好回味！

另外，此题得出C’D=3x后，若是没能发现梯形PCDC’（毕竟梯形在中考里直接不会提及，课本中直接删除了梯形的相关内容），也可以利用同学们熟知的“一线三直角”相似结构搞定问题，只是计算上可能稍显麻烦而已，下面提供简要的思路：

法三（利用“折痕垂直平分对应点连线段”这一重要结论，构造相似三角形）：

第一步：如图1-3-1，识别到“一线三直角”相似结构，即Rt△BPE∽Rt△CQP，则CQ=x（4-x）；

第二步：如图1-3-2，将目光聚焦在Rt△C’DQ中，由勾股定理即可列出方程进行求解；

值得一提的是，这里的计算表面上稍显复杂，其实最后列出的勾股方程中，将x（4-x）看作一个整体，其平方整个会抵消，根本不会出现所谓“四次方”，计算也并非多么复杂，同学们可以不妨一试，强化自己的计算能力与巧算意识！

 题2：（来源：好朋友浙江温州俞卫胜大师）

如图2，在平面直角坐标系中，已知A（4,0），B（4,3），C（0,3），D在线段BC上，且CD=3DB，点E是线段OA上一点，连接DE，若点A关于直线DE的对称点恰好落在y轴上，求点E的坐标．

本题呈上两种巧妙解法；

巧法一（利用折痕上的点到对应点距离相等，结合题目特殊性，巧构全等或巧用勾股）：

第一步：如图2-1-1，连接AD及A’D，由对称或折叠不变性易知AD=A’D，再发现题目中有一个特殊性CD=AB=3，识别一组全等三角形，即Rt△A’CD≌Rt△DBA，从而有A’C=DB=1，故OA’=2；

这一步得出OA’的长是解决此题的关键所在，这里巧妙连线，识别全等，方法妙哉！当然若没有CD=AB=3这一特殊性，虽全等不存在了，然仍可以在这两个直角三角形中利用两次“勾股定理”的方式列出方程计算出A’C的长，进而得到OA’的长！此法带给我们的“惊喜”之感，这真的需要同学们用心琢磨！并且这一方法还会在下面的题4中“粉墨登场”，展示其迷人风姿！

第二步：如图2-1-2，连接A’E，得出OA’=2后，设OE=x，再次利用对称或折叠不变性易知A’E=AE=4-x，将目光聚焦在Rt△A’OE中，利用勾股定理即可列出方程进行求解，下略；

此法第一步可以说“精彩至极”，尤其是不存在这个巧合的全等之后，我们利用两次勾股定理列方程的方式进行求解，值得同学们体悟，这种利用题中两条线段相等，进而其平方相等，再分别锁定两个直角三角形，列出这两个相等边的平方的表达式，即得方程，妙趣横生，在很多问题中都有体现，不仅局限于折叠问题中，同学们可以做个有心人，比如本次一模中第26题圆中求半径就是采用此法，可以说是一种应用较广泛的“通解通法”！

巧法二（利用“折痕垂直平分对应点连线段”，识别与构造“矩形中十字架结构”）：

第一步：如图2-2-1，由对称或折叠问题中“折痕垂直平分对应点的连线”知AA’⊥DE，联想到“矩形中垂直结构”过点D作DG⊥OA于点G，易知Rt△A’OA∽Rt△EGD，且其相似比为4：3，从而可以设OA’=4x，GE=3x；

这一步的关键是识别并构造“矩形中垂直结构”，也可形象地称之为“矩形中的十字架结构”，这个结构在本人作品《广猛说题系列之一道徐州中考折叠问题的两种解法》详细介绍过，并利用这个结构解决了两道2016年中考真题，方法惊艳，模型巧妙，有兴趣的同学可以温习下！

第二步：如图2-2-2，将目光聚焦在Rt△A’OE中，利用对称或折叠不变性，可将其三边均表示出来，接下来列勾股定理求解之即可，不再赘述！

此法中巧妙识别“矩形中垂直结构”或称之为“矩形中的十字架结构”，从而巧设线段，勾股求解，妙哉妙哉！更有趣的是，若将上面两个巧法合二为一，则妙趣横生！由法二巧设后结合巧法一可以得出4x=2这一极其简单的方程，再求出OE=3-3x，绝对的口算！同学们，折叠问题有趣吗？你爱上了数学吗？

前面两题中有关折叠的几个重要性质，这里有必要小结下：

（1）折叠的两部分全等，进而所有对应的元素均相等：如对应边相等、对应角相等、折痕上的点到对应点距离相等；

（2）折痕垂直平分对应点连线段，进而得到垂直条件，为构造相似作铺垫；

（3）折叠问题中“角平分线+平行线→等腰三角形”，即折叠加上平行线会出现等腰三角形，往往是解题的必胜法宝！