数列与放缩法是高考的常考点，对于不少同学来说也是难点，特别是放缩法的应用。本文就和大家分享一道1985年高考理工农医类数学卷中关于数列与放缩及极限的真题。这道题位于全卷八道大题（第九题为附加题）中的第七道大题，题目的难度还是比较大的，难住了不少的考生。

要证明这个不等式成立，很明显需要对an进行放缩处理，但是究竟该怎么放缩呢？这就是本题的难点了。

先观察不等式左边这部分，代数式n(n+1)/2刚好就是1+2+3+……+n的值，所以左边这部分很容易放缩，即√n(n+1)＞n，所以an＞1+2+3+……+n=n(n+1)/2，左边就可以证明出来了。

这一问的难点在不等式右边部分的证明。但是有了左边的启法，那么右边也可以采用类似的放缩，即√n(n+1)＜n+1，那么an＜2+3+4+……+(n+1)=n(n+1+2)/3=n(n+3)/2≤(n+1)^2/2。这样就可以证出不等式的右边部分。

下面再介绍另外一种放缩方法。

根据基本不等式，可知：

另外，这一问还可以用数学归纳法证明。

①先通过计算验证n=1时，不等式成立。

②假设当n=k时，不等式成立，即：

接下来证明当n=k+1时，不等式仍然成立。

综上即可证出完整的不等式。

本题要求bn的极限非常简单，但是用定义法证明却难住了不少同学。

先来看数列极限的定义：对数列{an}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立，那么称a是数列{an}的极限。

所以先根据第一问的不等式表示出bn的不等式，即1/2＜bn＜1/2+1/2n，所以|bn-1/2|=bn-1/2＜1/2n。要使|bn-1/2|＜ε对任意正数ε都成立，只需1/2n＜ε，即n＞1/2ε。取N为1/2ε的整数部分，则bn的第N项后都满足|bn-1/2|＜ε，根据数列极限的定义得证。

本题就和大家分享到这里了。

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1、数列极限定义的等价描述形式

定义1：数列 收敛于 对于任一给定的 ，存在正整数 ，当 时，恒有 成立.

定义2：数列 收敛于 对于任一给定的 ，存在正整数 ， ，成立 .

定义3：数列 收敛于 , , ，成立 .

定义4：数列 收敛于 对于任一给定的 ， , ，成立 ，其中 是一个与 和 都无关的正的常数.

2、关于数列定义的有关注意事项

【注1】：只要四个定义右边的任意一种描述成立，就可以直接得到数列 收敛的结论成立；同样，如果数列 收敛于 ，则可以写出右边四种等价描述形式，针对不同的问题，选用不同的描述形式帮助求解或验证问题.

【注2】：由于定义中的 是用来度量数列与极限值的逼近程度的，所以可小不可大，对于它的取法，在使用定义证明极限时，可以假定其小于某个正数，比如小于1内取值；对于可大不可小，取法不唯一. 如果 满足条件，则 （ 为任意正整数）都可以取为定义中的 值. 因此， 的取值与 有关，但并不是 的函数.

3、利用数列极限定义证明极限的步骤与方法

用数列极限定义证明数列 收敛于 ：

关键：对于任取的 ，找到一个符合定义中的 ；

方法：适当放大不等式；

第一步：任取 ，可以根据后面不等式放大的需要假设它小于某个定值.

第二步：借助适当放大方法放大、简化 为 . 其中放大的方法主要从原绝对值里面的式子出发，当然也可以借助于一些基本不等式来进行放大，目标都是尽可能通过放大，简化绝对值里面的 关系式，使得第三步求解不等式时变得非常简单.

第三步：解关于变量 的不等式 ，得 . 如果不能得到这样的结果，则需要重新改写原绝对值不等式.

第四步：取 描述结论：即任取 ，取 ，则当 时，有 恒成立，所以数列 收敛于 .

【注3】：在放大不等式的过程中，可能也对 的取值有一定的限制，比如 必须大于 时放大不等式才成立. 这个时候，最后的 应该取为

例1：用数列极限的定义证明：

【参考证明】：第一步：任取 .

第二步：放大、简化绝对值不等式

第三步：解关于变量 的不等式 ，得

第四步：取 描述结论：

【任取 ，取 ，则当 时，

【注4】：其实证明过程只需要【 】里面的过程就可以了，因为根据定义，只要对于任意给定的正数 ，能够找到一个 ，让不等式在 恒成立即可. 所以前面三步其实是探索、寻找 的过程，不过实际过程最好包含不等式放大的过程.

例2：用数列极限的定义证明：

【分析】：借助二项式展开，有

右边的和的每一项都为正的，所以当 时，只取第六项，则有

令 ，解得 . 为了同时保证 ，甚至为了保证 也大于 ，我们可取 ，其实这样的范围也可以通过设定 的取值范围来保证，比如设 的取值范围为 ，则完全可以保证 满足以上不等式对 的要求.

【参考证明】：任取 ，取 ，则当 时，

例3 ：用数列极限的定义证明：

【分析1】：不等式法：

【分析2】：借助例2类似放缩法方法，问题转换：

由于 ，所以当 时，有

【注5】：问题转换方法是经常考虑问题的一种方法，尤其是一个数列由另一数列描述的，经常转换问题描述，实现问题求解或验证. 比如

这样由已知，则借助数列极限的四则运算法则可以直接得到结论成立.

【注6】：在没有明确要求使用 语言定义描述的情况下，要证明 收敛于 ，则只要验证得到

则基于夹逼准则就验证了 收敛于 . 其实也可以认为是定义的一种描述形式.

【注7】：借助数列极限的四则运算法则和夹逼定理，有如下结论：

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